BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Pada lapangan F diketahui bahwa himpunan elemen-elemen idempotennya (Id(F )) adalah {0, 1} dan himpunan elemen-elemen unitnya (U(F )) adalah F \ {0}. Akibatnya, untuk setiap x F dapat dinyatakan sebagai penjumlahan antara elemen unit dan elemen idempoten dari F. Jika x = 0, maka x dapat dinyatakan sebagai x = dengan 1 Id(F ) dan 1 U(F ). Selanjutnya jika x 0, maka x dapat dinyatakan sebagai x = x + 0 dengan 0 Id(F ) dan x 0 U(F ). Dari fenomena ini muncullah pertanyaan bagaimana dengan struktur aljabar yang memenuhi sifat tersebut tetapi elemen idempotennya tidak hanya 0 dan 1. Nicholson (1977) menjelaskan bahwa ring R disebut ring bersih jika untuk setiap r R berlaku r = u + e dengan u adalah elemen unit dan e adalah elemen idempotent dalam R. Selanjutnya Nicholson (1999) menjelaskan bahwa ring R disebut ring bersih kuat jika R merupakan ring bersih dan berlaku ue = eu. Selain itu Anderson dan Camillo (2002) juga membahas mengenai ring bersih dan sifat-sifat umumnya. Lebih lanjut, jika diberikan lapangan F dan polinomial g(x) = x(x 1) atas lapangan F, maka akar-akar dari polinomial tersebut adalah 0 dan 1 yang dapat menggantikan elemen-elemen idempoten dari lapangan F. Kemudian Camillo dan Simon (2002) memperumum polinomial x(x 1). R dikatakan ring bersih-g(x), jika untuk setiap r R berlaku r = u+s dimana u adalah elemen unit dan g(s) = 0. Selanjutnya diberikan ring pembagi R dan K R yang merupakan lapangan, serta g(x) K[x]. Jelas bahwa polinomial g(x) sekurang-kurangnya mempunyai dua akar di R, karena jika polinomial g(x) hanya memiliki satu akar saja, misalkan s dan 1

2 2 karena R adalah ring bersih-g(x), maka s = s + 0 dengan g(s) = 0 tetapi 0 bukan elemen unit di R. Jadi polinomial g(x) sekurang-kurangnya mempunyai dua akar di R, sehingga g(x) dapat difaktorkan menjadi g(x) = g 1 (x)g 2 (x) = g 2 (x)g 1 (x). Tetapi jika polinomial g(x) atas ring pembagi yang belum tentu komutatif, maka g(x) tidak dapat difaktorkan. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa g(x) C(R)[X] dengan C(R) adalah himpunan elemen-elemen pusat pada sebarang ring R. Dengan mengingat bahwa setiap elemen dari ring bersih-g(x) dapat dinyatakan sebagai r = u s dengan u adalah elemen unit dan g(s) = 0, hal tersebut menimbulkan pertanyaan bagaimana jika ring bersih yang memenuhi sifat untuk setiap r R berlaku r = u + s atau r = u s dengan u adalah elemen unit dan g(s) = 0. Untuk selanjutnya pada tulisan ini ring R yang memenuhi sifat tersebut disebut dengan ring bersih-g(x) lemah. Lebih lanjut perlu dikaji juga mengenai sifat-sifat yang berlaku pada ring bersih-g(x) apakah masih berlaku pada ring bersih-g(x) lemah Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang sudah dijelaskan, rumusan masalah dalam penelitian ini adalah. 1. Bagaimana pendefinisian mengenai ring bersih-g(x) lemah beserta contoh-contohnya? 2. Apakah sifat-sifat dari ring bersih-g(x) masih berlaku pada ring bersih-g(x) lemah? 3. Bagaimana sifat-sifat dari ring bersih-g(x) lemah dengan g(x) berbentuk (x 2 + cx + d) dan (x n x)? 1.3. Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah, tujuan dalam penelitian ini adalah. 1. Menjelaskan definisi dan contoh-contoh dari ring bersih-g(x) lemah.

3 3 2. Meneliti apakah sifat-sifat dari ring bersih-g(x) masih berlaku pada ring bersihg(x) lemah. 3. Menelit sifat-sifat dari ring bersih-g(x) lemah dengan g(x) berbentuk (x 2 +cx+ d) dan (x n x) Tinjauan Pustaka Penelitian yang dilakukan penulis menggunakan jurnal utama yang ditulis oleh Ashrafi dan Ahmadi (2012) tentang ring bersih-g(x) lemah. Penelitian mengenai ring bersih-g(x) lemah berawal dari penelitian yang dilakukan oleh Anderson dan Camillo (2002) mengenai ring bersih dan sifat-sifatnya, kemudian Han dan Nicholson (2001) meneliti mengenai perluasan dari ring bersih. Selanjutnya Immormino (2005) membahas mengenai beberapa catatan penting pada ring bersih. Penelitian dilanjutkan lagi oleh Fan dan Yang (2008) mengenai sifat-sifat dari ring bersih-g(x) dan hubungan antara ring bersih-g(x) dengan ring bersih. Lebih lanjut, Ahn dan Anderson (2006) meneliti mengenai ring bersih lemah dan sifat-sifatnya. Dari situlah muncul penelitian mengenai ring bersih-g(x) lemah. Selain beberapa jurnal tersebut, penulis juga menggunakan buku sebagai bahan acuan yang membahas hal-hal yang mendasar pada ring. Buku-buku tersebut adalah Malik (1997) sebagai dasar pada pembahasan mengenai ring boolean dan ring polinomial, Dummit (2004) sebagai dasar pembahasan mengenai ring lokal, grup siklik, dan grup ring, dan Hazwingkle (2004) sebagai dasar pembahasan teori radikal yang berkaitan dengan ring lokal Metode Penelitian Metode atau langkah-langkah yang dipelajari dalam penelitian ini adalah sebagi berikut. Pertama tama mempelajari mengenai ring bersih beserta sifat-sifat yang terkait. Selanjutnya konsep tersebut menjadi dasar dalam mempelajari mengenai ring bersih-g(x) beserta sifat-sifatnya yang merupakan perumuman dari ring bersih dengan menggantikan elemen idempoten dengan akar dari polinomial de-

4 4 ngan koefisiennya di pusat dari ring tersebut. Selain itu dipelajari juga mengenai ring bersih lemah. Konsep-konsep mengenai ring bersih, ring bersih lemah, dan ring bersihg(x) merupakan dasar dari penenelitian utama yaitu mengenai ring bersih-g(x) lemah beserta sifat-sifatnya dan juga sifat-sifat ring bersih-g(x) lemah dengan polinomial g(x) berbentuk khusus yaitu (x 2 + cx + d) dan (x n x). Hal baru yang belum terdapat pada jurnal acuan yang didapat dari penelitian penulis adalah mengenai sifat matriks berukuran n n atas ring bersih-g(x) lemah dan beberapa sifat dari ring bersih-g(x) lemah dengan g(x) berbentuk (x 2 + cx + d) Sistematika Penulisan Pada penulisan Tesis II ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Bab ini menjelaskan mengenai latar belakang, rumusan masalah, tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab ini menjelaskan mengenai definisi, contoh, dan sifat-sifat dari ring bersih, ring bersih-g(x), dan ring bersih lemah yang merupakan dasar untuk pembahasan selajutnya. BAB III RING BERSIH-g(x) LEMAH Dalam bab ini dibahas mengenai definisi beserta contoh-contoh dari ring bersihg(x) lemah dan sifat-sifat dari ring bersih-g(x) lemah, dan juga sifat-sifat dari ring bersih-g(x) lemah dengan g(x) berbentuk (x 2 + cx + d) dan (x n x). BAB IV PENUTUP Bab ini menjelaskan secara singkat mengenai ring bersih-g(x) lemah beserta sifatsifatnya dan juga sifat-sifat dari ring bersih-g(x) lemah dengan g(x) berbentuk (x 2 + cx + d) dan (x n x). Selain itu, diberikan juga saran untuk penelitian selan-

5 jutnya. 5