KONTROL OPTIMUM SISTEM INVENTORI-PRODUKSI DENGAN LAJU KERUSAKAN BARANG MENYEBAR WEIBULL NURUS SA ADAH

Transkripsi

1 KONTROL OPTIMUM SISTEM INVENTORI-PRODUKSI DENGAN LAJU KERUSAKAN BARANG MENYEBAR WEIBULL NURUS SA ADAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

2 ABSTRAK NURUS SA ADAH. Kontrol Optimum Sistem Inventori-Produksi dengan Laju Kerusakan Barang Menyebar Weibull. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan FARIDA HANUM. Pengendalian persediaan (inventori) merupakan pekerjaan alami seperti halnya proses menyimpan makanan, pakaian, pena, kertas, dan barang-barang lainnya. Bagi perusahaan, pengendalian persediaan sangat diperlukan karena merupakan modal kerja dan berperan dalam menjamin ketersediaan barang untuk memenuhi permintaan pelanggan. Masalah inventoriproduksi merupakan model dinamis (fungsi dari waktu) sehingga dapat disajikan sebagai masalah kontrol optimum. Tulisan ini membahas tentang kontrol optimum suatu sistem inventori-produksi dengan mempertimbangkan kerusakan barang yang disimpan. Tingkat kerusakan barang diasumsikan mengikuti sebaran Weibull dua parameter. Pembahasan dalam tulisan ini meliputi dua kasus, yaitu sistem model kontinu dan diskret. Kondisi optimum untuk model kontinu diperoleh dengan menggunakan prinsip maksimum Pontryagin. Solusi yang didapatkan berupa persamaan diferensial orde dua yang kemudian diselesaikan secara numerik menggunakan metode beda hingga. Sistem inventori-produksi diskret diselesaikan dengan metode pengali Lagrange dengan solusi optimal diperoleh melalui penyelesaian persamaan beda secara rekursif.

3 ABSTRACT NURUS SA ADAH. Optimal Control of a Production-Inventory System with Weibull Distributed Deterioration. Supervised by TONI BAKHTIAR and FARIDA HANUM. Inventory control is a natural action that everyone undertakes, as we keep foods, clothes, pens, papers, and many other goods. For companies, inventory control is an important thing to do because it manages the capital assets and organizes the availability of items for customers. Production-inventory system is a dynamic model (a function of time) so that it can be presented as a problem of optimal control. This paper is concerned with an optimal control of a production-inventory system with deteriorating items. It is assumed that the deterioration rate follows a two parameters Weibull distribution. In this work we investigate continuous and discrete models. Optimal condition for continuous model is derived by using Pontryagin maximum principle, where the solution is a second order differential equation which solved numerically by using finite difference method. While discrete production-inventory system is solved by Lagrange technique, with the optimal solution is obtained by solving difference equations recursively.

4 KONTROL OPTIMUM SISTEM INVENTORI-PRODUKSI DENGAN LAJU KERUSAKAN BARANG MENYEBAR WEIBULL NURUS SA ADAH Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

5 Judul Skripsi Nama Nrp : Kontrol Optimum Sistem Inventori-Produksi dengan Laju Kerusakan Barang Menyebar Weibull : Nurus Sa adah : G Menyetujui, Pembimbing I, Pembimbing II, Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. Dra. Farida Hanum, M.Si. NIP: NIP: Mengetahui, Ketua Departemen Matematika, Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP: Tanggal Lulus:

6 PRAKATA Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat dan karunianya sehingga skripsi ini berhasil diselesaikan. Sholawat dan salam semoga senantiasa tercurah kepada nabi Muhammad SAW yang merupakan suri tauladan bagi kita. Tema yang penulis pilih adalah Riset Operasi dengan judul: Kontrol Optimum Sistem Inventori-Produksi dengan Laju Kerusakan Barang Menyebar Weibull. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Terimakasih yang tidak terkira penulis persembahkan kepada: 1 Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc dan Ibu Dra. Farida Hanum selaku dosen pembimbing, atas segala kesabaran dan masukannya selama membimbing penulis, serta kepada Bapak Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom selaku dosen penguji atas kritik dan sarannya, 2 Orang tua (Ayahanda Tamyis dan Ibunda Suparni) atas kasih sayang, do a, nasihat dan semangat yang senantiasa tercurah, kakak (Fathur dan Fatimah) dan adik (Roziqin dan Murtadho) atas do a dan motivasi yang tiada henti, 3 Kementerian Agama RI yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk bergabung dalam Program Beasiswa Santri Berprestasi (PBSB) dan Keluarga besar CSS MoRA (IPB dan Nasional) untuk semangat dan kebersamaannya, 4 Bapak S.S Tri Riyadi, S.Pd dan Ibu Martiningrum, S.Ag, yang telah membantu membukakan jalan bagi penulis. Hanya Allah yang bisa membalas segala kebaikannya, 5 Ustadz Ece, Ustadz Oman, Ummi Tuti, Ummi Eni, Leni, Kholis, Ummi, mbak Elok, Iin, Diyah, Elisa, Heni, Deuis, Fitri, Titis dan seluruh keluarga besar pesantren mahasiswa Al-Ihya Dramaga atas do a, nasihat, semangat dan ukhuwah yang sangat indah, 6 teman-teman mat44: Na im, Dika, Nadiroh, Iam, Tita, Ririh, Nurul, Yuli, Selvie, Yanti, Indin, Deva, Ayum, Iip, Puying, Lukman, Olih, Endro, Ruhiyat, Pepi, Aqil, Ihsan dan semua mat44 atas warna-warni persahabatan yang pastinya kelak akan kita rindukan, 7 sahabat-sahabat KMNU IPB: Kak Ilul, Kak Dauz, Kak Gun, Kak Misbah, Kak Syafiq, Eko, Atin, Dewi dan semuanya untuk pengalaman berjuang yang luar biasa. Teman-teman omda Kendal (FOKMA) untuk momen-momen terindah yang menyegarkan kembali ketika teringat kampung halaman, 8 seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu yang telah membantu penulis dalam penulisan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat penulis harapkan. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat. Bogor, Maret 2012 Nurus Sa adah

7 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kendal, Jawa Tengah pada tanggal 28 November 1989 sebagai anak ketiga dari lima bersaudara, anak dari pasangan Tamyis dan Suparni. Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Pondok Modern Selamat Kendal. Pada tahun yang sama penulis diterima pada Departemen Matematika, Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD) dengan sponsor dari Kementerian Agama Republik Indonesia. Penulis pernah memegang amanah sebagai Staf Biro Kewirausahaan Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) periode Penulis juga mengikuti beberapa kelembagaan eksternal kampus: OMDA, PMII, KMNU dan CSS MoRA IPB. Dalam kepanitiaan, penulis pernah menjadi bendahara kegiatan seminar kewirausahaan yang diselenggarakan divisi kewirausahaan Gumatika IPB. Penulis pernah menjadi pengajar Kalkulus dan Pengantar Matematika pada bimbingan belajar Gumatika, Express dan Katalis. Penulis juga pernah menjadi tentor mata pelajaran Matematika Dasar pada bimbel intensif pesantren kilat sukses SNMPTN regional Bogor yang diadakan oleh Yayasan Mata Air.

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR LAMPIRAN... ix I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan... 1 II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persediaan Sebaran Weibull Laju Kerusakan Barang Kontrol Optimum Masalah Kontrol Optimum State Sistem Dinamik dan Peubah Kontrol Formulasi Masalah Kontrol Optimum Prinsip Maksimum Pontryagin Syarat Batas (Syarat Transversalitas) Masalah Waktu Terminal T Tetap Metode Pengali Lagrange Metode Beda Hingga... 4 III PEMBAHASAN 3.1 Sistem Inventori-Produksi Sistem Inventori-Produksi Model Kontinu Model dan Notasi Solusi Analitik Simulasi Sistem Inventori Produksi Model Diskret Model dan Notasi Solusi Analitik Simulasi IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 13

9 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Fungsi kepekatan peluang sebaran Weibull (a) Hubungan antara tingkat keandalan, tingkat kerusakan, dan waktu... 3 (b) Siklus hidup komponen (bathup curve) Grafik syarat transversalitas secara umum Mekanisme inventori-produksi Laju kerusakan barang θ Tingkat permintaan D Tingkat inventori optimum dan tingkat inventori tujuan untuk simulasi model kontinu Tingkat produksi optimum dan tingkat produksi tujuan untuk simulasi model kontinu Tingkat inventori optimum dan tingkat inventori tujuan untuk simulasi model diskret Tingkat produksi optimum dan tingkat produksi tujuan untuk simulasi model diskret DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Bukti prinsip maksimum Pontryagin Perhitungan persamaan pada simulasi model kontinu Pencarian solusi untuk simulasi model kontinu dengan metode beda hingga Langkah-langkah penyelesaian dengan metode sweep Pencarian solusi untuk simulasi model diskret... 24

10 1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aplikasi teori kontrol optimum dalam masalah riset operasi merupakan area penelitian yang luas dan terbuka (Sethi dan Thompson 2000). Salah satu yang menarik untuk dibahas adalah tentang perencanaan produksi. Setiap individu adalah pengendali persediaan (inventory controller), baik di rumah maupun dalam pekerjaan sebagaimana kebiasaan orang menyimpan makanan, pakaian, kertas, pena, dan barang-barang lainnya. Beberapa orang secara teratur membuang atau mengeluarkan isi lemari es karena berubah sifat. Jadi, pengendalian persediaan adalah pekerjaan alami yang dilakukan setiap orang (Wild 2002). Lebih jauh lagi, sebuah perusahaan yang berorientasi pada keuntungan (profit oriented) harus melakukan pengendalian persediaan. Persediaan merupakan salah satu aktiva penting di dalam perusahaan dan menjadi salah satu modal kerja perusahaan. Tingkat persediaan akan memengaruhi ketersediaan barang yang siap dijual untuk melayani pelanggan (customer). Dalam suatu persediaan, bila mencapai waktu tertentu barang akan rusak. Dengan menyesuaikan data empirik terhadap sebaran matematis, para peneliti menggunakan sebaran Weibull untuk memodelkan laju kerusakan barang. Beberapa contoh barang yang laju kerusakannya menyebar Weibull antara lain: daging, susu, sereal, es krim, dan makanan beku lainnya. Selain persediaan makanan, barang lain yang laju kerusakannya menyebar Weibull adalah film kamera, obat-obatan, bahan kimia, komponen elektronik, dan lainlain. Dalam bidang peternakan, laju kerusakan biasanya berupa rusaknya hewan ternak akibat kematian. Masalah persediaan merupakan model dinamis (fungsi dari waktu), sehingga dapat disajikan sebagai masalah kontrol optimum dengan satu peubah keadaan (tingkat persediaan) dan satu peubah kontrol (tingkat produksi). Tingkat kerusakan barang persediaan diasumsikan sebagai peubah acak yang menyebar mengikuti dua parameter sebaran Weibull. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari karya ilmiah Al-Khedhairi dan Tadj (2007) yang berjudul Optimal control of a production inventory system with Weibull distributed deterioration. Dalam karya ilmiah ini dibahas model inventori-produksi kontinu dan diskret. Model kontinu dipecahkan menggunakan prinsip maksimum Pontryagin dan model diskret diselesaikan menggunakan metode pengali Lagrange untuk meminimalkan fungsional objektif dengan kendala beberapa persamaan beda. 1.2 Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah: 1 memodelkan masalah sistem inventoriproduksi dalam bentuk masalah kontrol optimum, 2 menerapkan prinsip maksimum Pontryagin untuk menyelesaikan masalah sistem inventori-produksi kontinu dan metode pengali Lagrange untuk menyelesaikan masalah sistem inventori-produksi diskret dengan mempertimbangkan laju kerusakan barang yang menyebar Weibull, 3 membuat simulasi model untuk setiap sistem. Dalam menyelesaikan masalah kontrol sistem persediaan pada karya ilmiah ini digunakan pendekatan kontrol optimum. Supaya lebih memahami dalam penyusunan model dan penyelesaiannya, beberapa definisi dan teori yang terkait dengan masalah kontrol optimum perlu dijelaskan. Berikut adalah definisi dan teori terkait yang digunakan. 2.1 Sistem Persediaan (Inventory System) Berdasarkan jenis operasi perusahaan, arti persediaan dapat diklasifikasikan menjadi dua: II LANDASAN TEORI 1. Pada perusahaan manufaktur yang memproses input menjadi output, persediaan adalah simpanan bahan baku dan barang setengah jadi (work in process) untuk diproses menjadi barang jadi (finished goods) yang memunyai nilai tambah yang lebih besar secara ekonomis, untuk selanjutnya dijual kepada pihak ketiga (konsumen). 2. Pada perusahaan dagang, persediaan adalah simpanan sejumlah barang jadi yang sudah siap untuk dijual kepada pihak ketiga (konsumen). (Prawirosentono 2005)

11 f , 1 1, 2 1, 3 1, Gambar 1 Fungsi kepekatan peluang sebaran Weibull. t 2.2 Sebaran Weibull Sebaran Weibull telah digunakan secara luas dalam bidang rekayasa (keteknikan). Pada mulanya sebaran ini dimaksudkan untuk menganalisis data kelelahan (fatigue data) suatu alat atau instrumen, namun sekarang penggunaannya telah diperluas ke berbagai masalah rekayasa. Khususnya, sebaran ini telah digunakan secara meluas di dalam masalah fenomena umur sebagai sebaran umur. Suatu peubah acak kontinu disebut memiliki sebaran Weibull dengan parameter α (skala) dan β (bentuk), jika fungsi kepekatan peluangnya diberikan oleh f t = αβtβ 1 e αt β, t > 0 0, t lainnya dengan α > 0 dan β > 0. Fungsi kepekatan peluang pada Gambar 1 menunjukkan bahwa jika β = 1 maka sebaran Weibull menjadi sebaran eksponensial. Jika β > 1 maka kurva fungsi kepekatan peluang sebaran Weibull mendekati bentuk lonceng dan mirip kurva Normal, tapi memunyai ketaksimetrisan (skewness). Nilai tengah dan ragam bagi sebaran Weibull masing-masing adalah sebagai berikut: μ t = Γ 1+1 β σ t 2 = dengan Γ n = 1 αβ = αβt β 1, Γ 1+ 2 β Γ 1+1 β 2 αβ e t t n 1 0 dt. 2, (Ross 1996) 2.3 Laju Kerusakan Barang Masalah kerusakan barang tidak akan lepas dari masalah keandalan (reliability) barang itu sendiri. Semakin tinggi tingkat keandalan suatu barang, tingkat kerusakannya semakin rendah dan sebaliknya seperti yang terlihat pada Gambar 2 (a). Bentuk umum dari laju kerusakan rata-rata sebagai fungsi dari waktu dapat dilihat pada siklus hidup komponen (bathup curve) yang bentuknya menyerupai bak mandi seperti pada Gambar 2 (b) dengan penjelasan sebagai berikut: i) Bagian pertama yaitu masa awal dari suatu sistem atau komponen, ditandai dengan tingginya kegagalan pada fase awal dan berangsur-angsur turun seiring dengan bertambahnya waktu. Hal ini disebabkan adanya kesalahan dalam operasi. Kerusakan seperti ini disebut kerusakan dini (early failures) dengan β<1. ii) Bagian kedua ditandai dengan laju kegagalan yang konstan dari komponen atau sistem. Hal ini disebabkan pembebanan barang yang melewati batas standar (over load). Kerusakan seperti ini disebut kerusakan tak terduga (change failures) dengan β=1. iii) Bagian ketiga ditandai dengan naiknya laju kegagalan dari komponen atau sistem seiring dengan bertambahnya waktu. Hal ini disebabkan habisnya umur ekonomis barang sehingga menyebabkan komponen barang mengalami aus (wear-out failures) dengan β>1. Sebaran Weibull dipilih karena selain bisa menggambarkan siklus hidup suatu komponen atau barang, dalam penggunaannya juga bersifat fleksibel atau bergantung pada parameternya (bisa mendekati sebaran eksponensial atau normal). Selain itu distribusi Weibull juga dapat digunakan untuk ukuran sample yang kecil atau data yang kurang lengkap. (Nababan 2009)

12 3 laju kerusakan θ laju kerusakan θ masa awal masa berguna masa aus takandal andal θ konstan (a) waktu t Gambar 2 (a) Hubungan antara tingkat keandalan, tingkat kerusakan, dan waktu. (b) Siklus hidup komponen (bathup curve). (b) waktu t 2.4 Kontrol Optimum Masalah Kontrol Optimum Masalah kontrol optimum adalah masalah memilih peubah kontrol di antara semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal pada waktu awal kepada state akhir pada waktu akhir, sedemikian sehingga memberikan nilai maksimum atau minimum untuk fungsional objektif (performance index). (Tu 1993) State Sistem Dinamik dan Peubah Kontrol Misalkan diberikan sistem dinamik dalam bentuk sistem persamaan diferensial x t = f(x t, u t, t) (1) untuk model kontinu atau dalam bentuk sistem persamaan beda x k + 1 = f x k, u k, k (2) untuk model diskret. Sistem dinamik dapat berbentuk linear atau taklinear, mandiri (autonomous) atau takmandiri (non-autonomous), deterministik atau stokastik. State atau keadaan sistem dinamik adalah koleksi dari x = x 1, x 2,, x n yang apabila diberikan suatu nilai pada waktu t 0 (k 0 untuk model diskret) maka nilainya akan dapat ditentukan pada t t 0 (k k 0 untuk model diskret) melalui pilihan vektor peubah kontrol u = (u 1, u 2,, u n ). Vektor x disebut vektor peubah state sedangkan x i disebut state ke-i. Ruang keadaan adalah ruang berdimensi n yang memuat koordinat x i. Peubah kontrol adalah peubah yang memengaruhi suatu sistem dan dilambangkan dengan u i t (u i k untuk model diskret) dengan 1 i n, t 0 t T untuk model kontinu dan k 0,1, T untuk model diskret. Secara umum, kendala peubah kontrol dinyatakan dengan persyaratan bahwa peubah kontrol harus dipilih dari kumpulan kontrolkontrol yang admissible yang dilambangkan Ω(u), yaitu u i Ω u. Apabila kontrol u hanya merupakan fungsi dari t maka disebut kontrol open-loop dan apabila kontrol u juga merupakan fungsi dari peubah state x yaitu u t = u x t, t untuk model kontinu atau u k = u x k, k untuk model diskret, maka disebut kontrol close-loop. (Tu 1993) Formulasi Masalah Kontrol Optimum Misalkan U menyatakan himpunan dari semua fungsi yang kontinu sesepenggal (piecewise). Masalah kontrol optimum adalah menentukan fungsi kontrol u di antara fungsi admissible u yang membawa sistem dari state awal x 0 kepada state akhir x T pada waktu t 0, T melalui sistem (1) atau (2) sehingga fungsional J mencapai maksimum. Masalah kontrol optimum kontinu (MKOK) adalah masalah memaksimumkan fungsional objektif max J u t = S x T, T + f 0 x, u, t dt u (t)εu t 0 dengan f 0 adalah suatu fungsi yang diberikan dan S x T, T merupakan fungsi scrap (fungsi yang menggambarkan keadaan sistem di waktu akhir) terhadap kendala x t = f x t, u t, t x t 0 = x 0 x T = x T. Masalah kontrol optimum diskret (MKOD) adalah masalah memaksimumkan fungsional objektif max u (k) T 1 T F(x k, u k, k) k=0 terhadap kendala x k + 1 x(k) = f x k, u k, k x k 0 = x 0 x T = x T.

13 4 Kendala pertama merupakan persamaan beda yang menyatakan perubahan pada peubah keadaan dari waktu k ke (k + 1), k = 0,1,, T 1. (Tu 1993) Prinsip Maksimum Pontryagin Syarat perlu tercapainya kondisi optimum bagi MKOK diperoleh dengan menerapkan prinsip maksimum Pontryagin. Teorema 1 (Prinsip Maksimum Pontryagin) Misalkan u sebagai kontrol admissible yang membawa state awal (x(t 0 ), t 0 ) kepada state terminal (x T, T) dengan x(t) dan T secara umum tidak ditentukan. Syarat perlu agar (x, u ) menjadi solusi optimum adalah terdapat vektor p sedemikian rupa sehingga: 1. p dan x merupakan solusi dari sistem kanonik: x = H p (x, u, p, t) p = H x (x, u, p, t) dengan fungsi Hamilton H diberikan oleh H x, u, p, t = f 0 x, u, t + p f x, u, t. 2. H x, u, p, t H x, u, p, t. 3. Semua syarat batas terpenuhi. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1. (Tu 1993) Syarat Batas (Syarat Transversalitas) Jika x(t) dan T belum ditentukan maka diperlukan syarat batas atau syarat transversalitas berikut S x p δx t=t + H + S t δt t=t = 0. dengan δt dan δx bernilai nol jika waktu dan nilai variabel state telah ditetapkan (lihat Gambar 3). Apabila x(t 0 ) dan t 0 keduanya juga belum ditentukan, maka syarat batas menjadi S x p δx t=t0,t + H + S t δt t=t0,t = 0. (Tu 1993) Ilustrasi masalah di atas dapat dilihat pada Gambar Masalah Waktu Terminal T Tetap Jika waktu terminal T tetap, maka δt = 0 syarat batas menjadi S x p δx t=t = 0 Terdapat tiga kasus untuk masalah ini, salah satu di antaranya adalah kasus dengan state terminal bebas, untuk kasus ini jelas bahwa δx T 0 sehingga diperoleh p T = S x. Apabila tanpa fungsi scrap S x T, T = 0, maka syarat batas menjadi p T = 0. (Tu 1993) Metode Pengali Lagrange Syarat perlu tercapainya kondisi optimum bagi MKOD adalah dengan menerapkan metode pengali Lagrange. Didefinisikan fungsi Lagrange T 1 L = F x k, u k, k + λ k + 1 [x k + k=0 f x k, u k, k x(k + 1)] dengan λ k + 1 adalah pengali Lagrange yang berhubungan dengan persamaan beda dari kendala pertama. Syarat perlu agar (x, u ) menjadi solusi optimal adalah: 1. u (k) L = u k F + λ k + 1 u k = x(k) L = x k F + λ k x k f λ t = λ(1+k) L = x k + f x k + 1 = 0 4. L x N = λ N = 0. Syarat terakhir diperlukan jika state akhir bebas. (Conrad & Clark 1987) 2.5 Metode Beda Hingga (Finite Difference Method) Misalkan diberikan persamaan diferensial orde-2 sebagai berikut: y x = p x y x + q x y x + r x, a x b, y a = ξ, y b = η. Gambar 3 Grafik syarat transversalitas secara umum.

14 5 Persamaan diferensial orde dua tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan pendekatan secara numerik terhadap y dan y. Caranya adalah pertama, dipilih sebarang bilangan bulat yaitu N > 0 dan membagi interval [a,b] dengan (N + 1), hasilnya dinamakan h yaitu h = b a. Dengan demikian maka titik-titik x i yang merupakan sub- N + 1 interval antara a dan b dapat dinyatakan x i = a + ih, i = 0,1,, N + 1. Pencarian solusi persamaan diferensial melalui pendekatan numerik dilakukan dengan memanfaatkan polinomial Taylor untuk mengevaluasi y dan y pada x i+1 dan x i 1 seperti berikut ini: y(x i+1 ) = y(x i ) + hy (x i ) + h 2 y (x 2 i) y x i 1 = y x i hy (x i ) + h 2 y (x 2 i). Jika kedua persamaan di atas dijumlahkan maka diperoleh y x i+1 + y x i 1 = 2y(x i ) + h 2 y (x i ). Dari sini y dapat ditentukan y x i = y x i+1 + y x i 1 2y x i h 2. Dengan cara yang sama, y (x i ) dapat ditentukan y x i = y x i+1 y x i 1 2h. Selanjutnya persamaan y dan y disubstitusikan ke persamaan diferensial maka y x i+1 y x i 1 +2y x i h 2 + p x i y x i+1 y x i 1 2h q x i y x i = r(x i ). Dinyatakan bahwa y x i+1 = w i+1 dan y x i = w i serta y x i 1 = w i 1 sehingga persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut 1 + h 2 p x i w i h 2 q x i w i 1 h 2 p x i w i+1 = h 2 r(x i ) dengan i = 1,2,... N. Yang ingin dicari ialah w 1, w 2,, w N dengan w 0 dan w N+1 sudah diketahui, yaitu w 0 = ξ dan w N+1 = η; keduanya dikenal sebagai syarat batas (boundary values). Topik yang sedang dibahas ini juga sering disebut sebagai masalah syarat batas (boundary value problem). Persamaan terakhir merupakan sistem persamaan linear yang berbentuk operasi matriks Aw = b dengan A adalah matriks tridiagonal berukuran N N. Karena elemen-elemen matriks A dan b sudah diketahui, maka vektor solusi w dapat dicari menggunakan beberapa metode pemecahan sistem persamaan linear, seperti eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jourdan, iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel. (Suparno 2011) + A 2 h 2 q x 1 1 h p x h p x h 2 q x 2 1 h p x h p x h 2 q x 3 1 h p x h p x h 2 q x 4 1 h p x h p x 2 N 1 2 h 2 q x N 1 1 h p x 2 N h p x 2 N 2 h 2 q x N, h 2 r x 1 1 h 2 p x 1 w 0 w 1 h 2 r x 2 w 2 h 2 r x 3 w 3 b h 2 r x 4, w w 4. h 2 r x N 1 w N 1 h 2 r x N 1 h p x 2 N w N 1 w N

15 6 III PEMBAHASAN 3.1 Sistem Inventori Produksi Karya ilmiah ini membahas sistem inventori-produksi model kontinu dan diskret. Pada model kontinu, inventori dimonitor secara kontinu dan proses produksi dapat dimulai pada setiap waktu. Sebaliknya, pada model diskret, inventori dimonitor pada titik-titik waktu tertentu. Asumsi yang digunakan dalam model pada karya ilmiah ini ialah: 1. Perusahaan telah menetapkan tingkat persediaan yang diinginkan (inventory goal level) yang merupakan banyaknya barang yang ingin disimpan oleh perusahaan. 2. Perusahaan telah menetapkan tingkat produksi yang diinginkan (production goal level) yang merupakan banyaknya barang yang ingin diproduksi oleh perusahaan secara efektif. 3. Penalti dikenakan ketika tingkat persediaan dan tingkat produksi menyimpang dari level yang diinginkan. 4. Seluruh permintaan dapat dipenuhi oleh perusahaan. Mekanisme inventori-produksi suatu pabrik yang memproduksi satu jenis barang dan memunyai gudang untuk menyimpan barangbarang yang telah selesai diproduksi dapat digambarkan sebagai berikut: Pabrik Tingkat Produksi P θ Gudang Tingkat kerusakan barang θ Weibull (α, β) Pelanggan Tingkat Permintaan D Gambar 4 Mekanisme inventori-produksi. 3.2 Sistem Inventori-Produksi Model Kontinu Model dan Notasi Misalkan sebuah perusahaan menerapkan kebijakan peninjauan kontinu. Didefinisikan notasi sebagai berikut: T : panjang horizon perencanaan I(t) : tingkat persediaan pada waktu t P(t) : tingkat produksi pada waktu t D t : tingkat permintaan pada waktu t I 0 : tingkat persediaan awal θ(t) : tingkat kerusakan barang pada waktu t h : biaya penalti inventori (rupiah/unit) K : biaya penalti produksi (rupiah/unit) I : tingkat persediaan yang diinginkan P t : tingkat produksi yang diinginkan pada waktu t Didefinisikan fungsional objektif T 1 J = 2 h 2 I K 2 P dt 0 dengan I(t) = I t I P t = P t P Fungsional objektif mengukur besarnya biaya penalti yang dikenakan ketika tingkat inventori dan tingkat produksi menyimpang dari goal level. Nilai ½ menunjukkan bahwa bobot yang menyatakan tingkat kepentingan dari biaya-biaya penalti adalah sama. Model yang akan dibahas merupakan masalah kontrol optimum dengan tingkat inventori I sebagai peubah keadaan dan tingkat produksi P sebagai peubah kontrol. Model yang digunakan dalam karya ilmiah ini diambil dari Al-Khedhairi dan Tajd (2007). Masalah kontrol optimum kontinu (MKOK) adalah masalah meminimumkan fungsional objektif min J = P 0 T 1 2 h 2 I K 2 P dt (3.1) dengan kendala sebagai berikut: 1. Perubahan tingkat persediaan: I t = P t D t θ t I t. Dalam karya ilmiah ini diasumsikan kerusakan barang mengikuti sebaran Weibull dengan laju kerusakan θ t = αβt β 1. Akibatnya, kendala di atas dapat dituliskan sebagai I t = P t D t αβt β 1 I t (3.2) 2. kendala ketaknegatifan: P t Nilai awal dan akhir ditetapkan: I 0 = I 0 dan I T = I T. Masalah optimasi di atas dapat diselesaikan dengan prinsip maksimum Pontryagin Solusi Analitik Dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa seluruh permintaan dapat dipenuhi oleh perusahaan, sehingga tingkat produksi yang diinginkan P merupakan jumlah dari barang yang rusak dan tingkat permintaan pasar P t = αβt β 1 I + D t. (3.3) Dengan mendefinisikan λ sebagai variabel adjoin, fungsi Hamilton dituliskan sebagai H = 1 2 h 2 I + K 2 P + λ [P D αβt β 1 I]. (3.4)

16 7 Syarat perlu berupa: H P = 0, H I = λ H, λ = I yang masing-masing dapat dituliskan P = P + λ (3.5) K λ = h I I λαβt β 1 (3.6) dan persamaan (3.2). Dengan menyubstitusi persamaan (3.5) ke dalam persamaan (3.2) didapatkan: I = P + λ K D αβtβ 1 I (3.7) dan dari persamaan (3.7) tersebut didapatkan λ K = I + αβt β 1 I P + D (3.8) Jika (3.7) didiferensialkan terhadap t didapatkan: I = αβ β 1 t β 2 I αβt β 1 I + λ K + P D. (3.9) Kemudian, dengan menyubstitusi persamaan (3.6) ke dalam persamaan (3.9), didapatkan I = αβ β 1 t β 2 I + αβt β 1 λ K I + h K I I + P D. (3.10) Terakhir, dengan menyubstitusi persamaan (3.8) ke dalam persamaan (3.10), didapatkan persamaan diferensial orde dua berikut I h K αβ β 1 tβ 2 + αβt β 1 2 I = αβt β 1 D P h K I + P D. (3.11) Dengan menerapkan nilai awal I 0 = I 0 dan nilai batas I T = I T akan didapatkan solusi optimum yang nilainya bergantung pada bentuk fungsi tingkat permintaan yang dihadapi perusahaan Simulasi Misalkan T = 12, I 0 = 2, I T = 10, h = 1, K = 20, α = 0.5, β = 3, I = 10, D t = 1 + sin t. Penjelasan dari parameter-parameter tersebut adalah sebagai berikut. Misalnya unit waktu dalam contoh tersebut adalah bulan, maka T = 12 berarti periode produksinya adalah dua belas bulan. I 0 = 2 dan I T = 10 menyatakan bahwa tingkat persediaan di awal dan di akhir periode berturut-turut sebanyak dua dan sepuluh unit. Biaya penalti penyimpanan dan biaya penalti produksi dalam contoh ini berturut-turut berupa fungsi konstan, yaitu h = 1 dan K = 20, yang berarti biaya-biaya tersebut sepanjang waktu adalah tetap. Nilai α = 0.5 dan β = 3 adalah parameter sebaran Weibull yang merupakan sebaran tingkat kerusakan barang. Laju kerusakan barang θ t = 1.5t 2 meningkat secara kuadratik seperti yang terlihat dalam Gambar 5. Tingkat permintaan D t = 1 + sin t berupa fungsi sinusodial yang artinya tingkat permintaan berubah secara periodik seiring dengan waktu (lihat Gambar 6). Tingkat inventori yang diinginkan selalu tetap sepanjang waktu, yaitu I = 10. Nilai P t ditentukan dari persamaan (3.3) sehingga untuk contoh ini diperoleh P t = t 2 + sin t t Gambar 5 Laju kerusakan barang θ.

17 D Gambar 6 Tingkat permintaan D. t Parameter-parameter tersebut kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (3.11) sehingga diperoleh I t = 2.25t 4 3t I t 22.5t t 0.5. (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 2). Persamaan yang dihasilkan berupa persamaan diferensial orde dua. Dengan menggunakan nilai awal I 0 = 2 dan nilai batas I T = 10 akan diperoleh fungsi tingkat inventori I(t). Persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan secara analitik sehingga solusinya dicari secara numerik dengan metode beda hingga (Lampiran 3). Pertama, periode waktu [0,12] dibagi menjadi 120 bagian atau N = 120 dan didapatkan h = 0.1. Dengan memanfaatkan polinomial Taylor, persamaan akhir berupa perkalian matriks Aw = b dengan A ,b , w I t w 0 I 0 2 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 6 w 116 w 117 w 118 w 119 w 120 I T 10. Vektor solusi w = I(t) ditentukan dengan menerapkan metode eliminasi Gauss (Lampiran 3) pada persamaan matriks Aw = b. Solusi optimum untuk tingkat inventori pada model kontinu dapat dilihat pada Gambar 7. Nilai-nilai I t, I t, P t, I dan D t sudah diketahui, sehingga nilai P t juga dapat ditentukan dari persamaan (3.5), yaitu P(t) = P(t) + λ(t) K dengan P t = t 2 + sin t, K = 20, dan λ t = 12t t 2 I t + I (t). Solusi optimum untuk tingkat produksi dapat dilihat pada Gambar 8.

18 I tingkat inventori tujuan tingkat inventori optimum 0 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6 6,4 6,8 7,2 7,6 8 8,4 8,8 9,2 9, ,4 10,8 11,2 11,6 12 t Gambar 7. Tingkat inventori optimum dan tingkat inventori tujuan untuk simulasi model kontinu P ,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2, Tingkat Produksi yang diinginkan tingkat produksi optimum 0 0,1 0,5 0,9 1,3 1,7 2,1 2,5 2,9 3,3 3,7 4,1 4,5 4,9 5,3 5,7 6,1 6,5 6,9 7,3 7,7 8,1 8,5 8,9 9,3 9,7 10,1 10,5 10,9 11,3 11,7 t Gambar 8. Tingkat produksi optimum dan tingkat produksi tujuan untuk simulasi model kontinu. 3.3 Sistem Inventori-Produksi Model Diskret Model dan Notasi Misalkan waktu perencanaan dibagi menjadi N selang yang sama panjang. Didefinisikan notasi baru I k, P(k), P(k), D(k) yang berturut-turut merupakan tingkat persediaan, tingkat produksi, tingkat produksi yang diinginkan, dan tingkat permintaan pada setiap subinterval. Perubahan tingkat persediaan dinyatakan dalam persamaan beda I k+1 I(k) T s = P k D k αβk β 1 I k (3.12) dengan T s adalah panjang subinterval. Dengan menyusun ulang persamaan (3.12) diperoleh I k + 1 = 1 T s αβk β 1 I k + T s [P k D(k)]. (3.13)

19 10 Jika I dan P memenuhi (3.13) maka didapatkan I = 1 T s αβk β 1 I + T s P(k) D(k) (3.14) Didefinisikan operator sehingga I(k) = I k I, dan P = P t P. Jika persamaan (3.13) dikurangi dengan persamaan (3.14) didapatkan I k + 1 = a k I k + T s P(k) (3.15) dengan a k = 1 T s αβk β 1 Masalah kontrol optimum diskret (MKOD) adalah meminimumkan fungsional objektif min J = 1 2 N 0 h 2 I(k) + K 2 P(k). (3.16) dengan kendala P k 0, I 0 = I 0, I T = I T, dan persamaan (3.15) Solusi Analitik Didefinisikan pengali Lagrange λ k dengan fungsi Lagrange: L = 1 2 N 1 0 h 2 I k + K 2 P k + λ k + 1 ΔI(k a k ΔI k + T s P(k). (3.17) Syarat perlu: P(k) L = 0, I(k) L = 0, λ(1+k) L = 0 yang masing-masing setara dengan: P k = T s λ(k + 1) (3.18) K λ k = hδi k + a(k)λ(k + 1) (3.19) dan persamaan (3.15). Untuk mendapatkan solusi optimum, digunakan metode sweep (Bryson & Ho 1975) yang dapat dilihat di Lampiran 4. Untuk k = 0,... N, dinotasikan s(k) sehingga λ k = s k ΔI k. (3.20) Dengan menyubstitusi persamaan (3.20) ke dalam persamaan (3.18) didapatkan P k = T s s k + 1 ΔI k + 1. (3.21) K Kemudian, dengan menyubstitusikan persamaan (3.15) ke dalam persamaan (3.21) didapatkan P k = T s s k + 1 [a k I k K T s P k ]. (3.22) Dengan menyelesaikan persamaan (3.22) didapatkan P k = T sa k s k + 1 K + T 2 s s k + 1 I k. (3.23) Persamaan (3.20) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.19) sehingga didapatkan s k ΔI k = hδi k + a k s k + 1 ΔI k + 1. (3.24) Dengan menyubstitusikan persamaan (3.15) ke dalam persamaan (3.24) didapatkan juga s k ΔI k = h + a k 2 s k + 1 ΔI k + T s a(k)s(k + 1)ΔP k (3.25) dan menyubstitusikan persamaan (3.23) ke dalam persamaan (3.25) akan mendapatkan s k ΔI k = h + Ka k 2 s k + 1 K + T 2 I k. s s k + 1 (3.26) sehingga didapatkan persamaan Ricatti Ks k + 1 s k = h + K + T 2 2 a k s s k + 1 (3.27) yang harus diselesaikan secara rekursif mundur, dimulai dari s N = h. Solusi optimum dapat diperoleh dengan menyubstitusikan persamaan (3.23) ke dalam persamaan (3.15) I k + 1 = a k 1 T ss k + 1 K + T 2 s s k + 1 I k (3.29) Kemudian, dengan memasukkan nilai awal I(0) = I 0 dapat dihitung secara rekursif maju persamaan yang merupakan penguraian dari persamaan (3.29) I k + 1 = I + a k 1 T ss k + 1 K + T 2 s s k + 1 I(k) I. (3.30) Tingkat produksi P(k) dapat ditentukan dari persamaan (3.16) P k = 1 I k + 1 a k I(k). T s Untuk k = 0,1,2..., N 1 (3.31) P k = P k + 1 I k + 1 a k I(k) T s (3.32) Karena tingkat produksi tidak boleh negatif maka dalam pemilihan tingkat produksi yang optimal sama dengan max P k + 1 T s I k + 1 a k I k, 0, k = 0,1,2,, N 1. (3.33) Simulasi Misalkan T = 12, N = 12, I 0 = 2, I T = 10, h = 1, K = 20, D k = 1 + sin k, α = 0.5, β = 3, I = 10. Penjelasan dari parameter-parameter tersebut adalah sebagai berikut. Misalnya unit waktu dalam contoh tersebut adalah bulan, maka T = 12 berarti periode produksinya adalah dua belas bulan.

20 P I 11 N = 12 menunjukkan bahwa perusahaan memonitor proses produksi setiap bulan, sehingga panjang subinterval T s = 1. Parameter selainnya sama seperti yang telah dijelaskan pada model kontinu. Langkah-langkah pencarian solusi adalah sebagai berikut: 1. Tentukan P k dengan menggunakan persamaan (3.3) dan dalam contoh ini didapatkan P k = k 2 + sin k. 2. Dimulai dengan menyubstitusikan titik akhir N = 12 ke dalam s N = h sehingga diperoleh s 12 = 1. Nilai-nilai s 11, s 10,, s 1, s 0 didapatkan dengan menghitung secara rekursif mundur (backward) persamaan berikut: Ks k + 1 s k = h + K + T 2 s s k + 1 a k Karena I sudah diketahui, maka solusi optimal untuk I(k) dapat diperoleh dengan menyelesaikan secara rekursif maju (forward) persamaan berikut: I k + 1 = I + a k I k I 1 T ss k+1 K+T s 2 s k+1 dimulai dari nilai awal I(0) = Nilai P k diperoleh dari persamaan (3.33) P k = max{p k + 1 T s [ I k + 1 a k I k ],0} untuk k = 0,1,2,, N 1. Solusi optimum untuk model diskret dapat dilihat pada Gambar 9 dan Gambar Tingkat inventori optimum Tingkat inventori tujuan t Gambar 9 Tingkat inventori optimum dan tingkat inventori tujuan untuk simulasi model diskret Tingkat produksi optimum Tingkat produksi tujuan t Gambar 10 Tingkat produksi optimum dan tingkat produksi tujuan untuk simulasi model diskret.

21 12 IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan Berdasarkan kajian model dan hasil simulasi, maka dapat disimpulkan bahwa: 1 Sistem inventori-produksi dapat diformulasikan sebagai masalah kontrol optimum. 2 Sistem inventori-produksi kontinu dapat diselesaikan dengan menggunakan prinsip maksimum Pontryagin; solusi dari sistem inventori-produksi ini berupa persamaan diferensial orde dua. Sedangkan sistem inventori-produksi diskret diselesaikan dengan menggunakan metode pengali Lagrange; solusi optimal diperoleh dengan menyelesaikan persamaan beda secara rekursif. 3 Hasil simulasi memperlihatkan bahwa solusi optimum konvergen menuju nilai yang diinginkan. Artinya, solusi optimum untuk tingkat inventori cen-derung menuju tingkat inventori yang diinginkan, begitu juga solusi optimum untuk tingkat produksi cenderung menuju tingkat produksi yang diinginkan. 4.2 Saran Penelitian ini bisa dilanjutkan secara teoretis dengan mempertimbangkan kapasitas penyimpanan gudang dan kapasitas produksi. Model lain yang bisa dikembangkan adalah model dengan asumsi tidak semua permintaan dapat dipenuhi. Masalah ini juga dapat dikembangkan menjadi masalah kontrol optimum dengan waktu perencanaan takhingga. Dapat juga dengan membebaskan titik ujung I(T) sehingga syarat batas berupa λ T = 0 harus terpenuhi. DAFTAR PUSTAKA Al-Khedhairi A, Tadj L Optimal control of a production inventory system with Weibull distributed deterioration. Applied Mathematical Sciences 35: Bryson AE, Ho YC Applied Optimal Control. Washington DC: Halsted Press. Conrad JM, Clark CW Natural Resource Economics. New York: Cambridge University Press. Nababan CH Analisis Keandalan dan Penentuan Persediaan Optimal Komponen Sludge Separator di PT Perkebunan Nusantara IV Unit Pabatu [skripsi]. Medan: Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara. Prawirosentono S Riset Operasi dan Ekonofisika. Jakarta: Bumi Aksara. Ross S Suatu Pengantar ke Teori Peluang. Sumantri B, penerjemah. Bogor: Jurusan Statistika FMIPA IPB. Terjemahan dari: A First Course in Probability. Sethi SP, Thompson GL Optimal Control Theory: Applications to Management Science and Economics: 2 nd ed. New York: Springer Suparno S Komputasi untuk Sains dan Teknik Menggunakan Matlab: Edisi 4. Depok: Universitas Indonesia. Tu PNV Introductory Optimization Dynamics: Optimum Control with Economics and Management Applications. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. Wild T Best Practice in Inventory Management: 2 nd edition. Britain: Butterworth-Heinemann.

22 LAMPIRAN 13

23 14 Lampiran 1 Bukti prinsip maksimum Pontryagin Diberikan suatu masalah kontrol optimum max u(t)εu J u t = S x T, T + f 0 t 0 T x t, u t, t dt terhadap kendala x t = f x t, u t, t, x t 0 = x 0, x(t) R n. Misalkan t 0 = 0 dan x 0 = x 0. Fungsi scrap S x T, T dituliskan dalam bentuk T d S x T, T = S x 0, 0 + S x t, t dt 0 dt sehingga fungsional objektif J pada persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk J u t = S x 0, 0 + T 0 T = S x 0, 0 + f 0. + S 0 f 0 x t, u t, t + d S x t, t dt dt x x + S t Suku S x 0, 0 dapat diabaikan untuk mempermudah pembahasan, karena x 0 = x 0 sudah tetap sehingga tidak memengaruhi proses optimasi. Fungsional objektif yang diperluas J a u dituliskan dalam bentuk berikut dengan fungsi L didefinisikan sebagai J a u = 0 T L x, x, p, u, t dt dt. L x, x, p, u, t f 0. + p f. x + S S x + x t H x, u, p, t px + S x + S t x dengan H x, u, p, t = f 0 x, u, t + pf x, u, t merupakan fungsi Hamilton. Dengan menggunakan syarat perlu untuk adanya ekstremum pada fungsional objektif yang diperluas, maka T δj a u = L x d dt L x δ x + L u δu + L p δp dt + L x δx + L L x x δt t=t = 0 0 Karena persamaan Euler harus dipenuhi, maka haruslah L x d dt L x = H x + x S xx + S t d dt S x p = H x + S xx x + S xt S xx x S xt + p = H x + p = 0 Ini berakibat p = H x Karena δu dan δp adalah sebarang dan saling bebas, maka haruslah L u = 0 dan L p = 0. Dari pendefinisian fungsi L, maka L u = H u, dan L p = f. x = H p x, sehingga diperoleh H u = 0 x = f x, u, t = H p Syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh suku-suku sisanya, yaitu L x δx + L L x x δt t=t = 0 tetapi L x = S x p L L x x H px + S x x + S t x S x + x p = H + S t sehingga diperoleh syarat transversalitas atau syarat batas S x p δx t=t + H t + S t δt t=t = 0 Apabila x(t 0 ) dan t 0 keduanya belum ditentukan, maka syarat batas menjadi S x p δx t=t t=t0 + H t + S t δt t=t t=t0 = 0 yang menghasilkan teorema Pontryagin. (Tu 1993)

24 Lampiran 2 Penghitungan persamaan pada simulasi model kontinu 15

25 16 Lampiran 3 Pencarian solusi untuk simulasi model kontinu dengan metode beda hingga Persamaan Diferensial y"(x)= -22.5*x^4+30*x-0.5+(2.25*x^4-3*x+0.05)y(x) p(x)= 0; q(x)= 2.25*x^4-3*x+0.05; r(x)= -22.5*x^4+30*x-0.5; SCRIPT M-FILE fungsi p,q, dan r function y = fungsip(x) y = 0; function y = fungsiq(x) y = 2.25*x^4-3*x+0.05; function y = fungsir(x) y = -22.5*x^4+30*x-0.5; SCRIPT UTAMA >> a=0; >> b=12; >> alpha=2; >> beta=10; >> h=0.1; >> n=((b-a)/h)-1; >> %====== Mencari Elemen Matriks A ======== >> for i=1:n x=a+i*h; A(i,i)=2+h^2*fungsiQ(x); end >> for i=1:n-1 x=a+i*h; A(i,i+1)=-1+((h/2)*fungsiP(x)); end >> for i=2:n x=a+i*h; A(i,i-1)=-1-((h/2)*fungsiP(x)); end >> A; >> %====== Mencari Elemen Vektor b ======== >> x=a+h; >> b(1,1)=-h^2*fungsir(x)+(1+((h/2)*fungsip(x)))*alpha; >> for i=2:118 x=a+i*h; b(i,1)=-h^2*fungsir(x); end >> xn=a+n*h; >> b(n,1)=-h^2*fungsir(xn)+(1-((h/2)*fungsip(xn)))*beta;

26 17 >> b; >> %====== Menggabungkan Vektor b ke dalam matriks A ======== >> for i=1:n A(i,n+1)=b(i,1); end >> A; >> %&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& >> % Proses Triangularisasi >> for j=1:(n-1) %----mulai proses pivot--- if (A(j,j)==0) for p=1:n+1 u=a(j,p); v=a(j+1,p); A(j+1,p)=u; A(j,p)=v; end end %----akhir proses pivot--- jj=j+1; for i=jj:n m=a(i,j)/a(j,j); for k=1:(n+1) A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k)); end end end >> % >> %------Proses Substitusi mundur >> x(n,1)=a(n,n+1)/a(n,n); >> for i=n-1:-1:1 S=0; for j=n:-1:i+1 S=S+A(i,j)*x(j,1); end x(i,1)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end >> %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& >> %===== Menampilkan Vektor w ================= >> w=x w =

27 18 Solusi Optimum i(t)=w (didapat penyelesaian pada Matlab) i'(t) didapat dengan menurunkan i(t)=w secara numerik, yaitu dengan memanfaatkan deret Taylor atau yang lebih dikenal sebagai Metode Selisih Pusat Dua Titik (t) didapat dengan menyubtitusikan i(t) dan i (t) ke dalam pers (t)= -12 t t 2 i(t)+ i (t) Pd(t) didapat dari pers Pd(t)= 1+15t 2 + sin(t) P(t)didapat dengan mensubstitusikan Pd(t), (t)dan K=20 ke dalam persamaan p(t)= Pd(t)+ [ (t)/k] Tabel hasil perhitungan Solusi Optimum t i(t) i'(t) (t) Pd(t) P(t) 0 2 0,1 2,034 0,0880-0,6298 1, , ,2 2,088 0,1512-6,4704 1, , ,3 2,1852 0, ,914 2, , ,4 2,3473 0, ,575 3, , ,5 2,5931 0, ,7798 5, , ,6 2,9359 0, ,5223 6, , ,7 3,3816 0, ,4625 8, , ,8 3,9273 1, , , , ,9 4,5598 1, ,621 13, , ,2561 1, ,801 16, , ,1 5,9856 1, ,579 20, , ,2 6,7133 1, ,609 23, , ,3 7,4044 1, ,291 27, , ,4 8,0286 1, , , , ,5 8,5642 0, , , , ,6 9,0001 0, , , ,

28 19 1,7 9,3361 0, , , , ,8 9,5809 0, , , , ,9 9,7492 0, , , , ,858 0, ,54 61, , ,1 9,9242 0,1039-7, , , ,2 9,9619 0,0578-4, , , ,3 9,982 0,0301-2, , , ,4 9,992 0,0147-1, , , ,5 9,9967 0,0067-0, , , ,6 9,9987 0,0028-0, , , ,7 9,9995 0,0011-0, , , ,8 9,9998 0,0005-0, , , ,9 10 0,0002 0, , , , , , ,1 10 0,0000-4,5E , , ,2 10 0, , , ,3 10 0,0000 4,55E , , ,4 10 0, , , ,5 10 0, , , ,6 10 0,0000-4,5E , , ,7 10 0, , , ,8 10 0, , , ,9 10 0, , , , , , ,1 10 0, , , ,2 10 0, , , ,3 10 0, , , ,4 10 0, , , ,5 10 0, , , ,6 10 0,0000 9,09E , , ,7 10 0,0000-9,1E , , ,8 10 0,0000-9,1E , , ,9 10 0, , , , , , ,1 10 0,0000 9,09E , , ,2 10 0,0000-9,1E , , ,3 10 0, , , ,4 10 0,0000-1,8E , ,

29 20 5,5 10 0, , , ,6 10 0, , , ,7 10 0, , , ,8 10 0, , , ,9 10 0,0000 1,82E , , , , , ,1 10 0,0000-1,8E , , ,2 10 0,0000-1,8E , , ,3 10 0,0000-1,8E , , ,4 10 0, , , ,5 10 0, , , ,6 10 0,0000 1,82E , , ,7 10 0, , , ,8 10 0, , , ,9 10 0, , , , , , ,1 10 0,0000 1,82E , , ,2 10 0,0000-1,8E , , ,3 10 0, , , ,4 10 0, , , ,5 10 0, , ,688 7,6 10 0, , , ,7 10 0, , , ,8 10 0, , , ,9 10 0, , , , , , ,1 10 0, , , ,2 10 0, , , ,3 10 0, , , ,4 10 0, , , ,5 10 0, , , ,6 10 0, , , ,7 10 0,0000-3,6E , , ,8 10 0, , , ,9 10 0,0000-3,6E , , , , , ,1 10 0, , , ,2 10 0,0000 3,64E , ,82289

30 21 9,3 10 0, , , ,4 10 0,0000-3,6E , , ,5 10 0, , , ,6 10 0,0000-3,6E , , ,7 10 0,0000 3,64E , , ,8 10 0, , , ,9 10 0, , , , , , ,1 10 0, , , ,2 10 0,0000 3,64E , , ,3 10 0,0000 3,64E , , ,4 10 0,0000-3,6E , , ,5 10 0, , , ,6 10 0, , , ,7 10 0, , , ,8 10 0,0000-7,3E , , ,9 10 0, , , , , , ,1 10 0, , , ,2 10 0, , , ,3 10 0, , , ,4 10 0, , , ,5 10 0, , , ,6 10 0, , , ,7 10 0,0000 7,28E , , ,8 10 0,0000 7,28E , , ,9 10 0,0000-7,3E , ,

31 22 Lampiran 4 Langkah-langkah penyelesaian dengan metode sweep Masalah kontrol optimum dengan fungsi dari variabel state di akhir kendala telah ditentukan dapat dituliskan N 1 min J = φ x N + i=0 L i x i, u i (1) dengan kendala SOLUSI Syarat perlu: yang masing-masing setara dengan x i + 1 = f i x i, u i, (2) ψ x N = 0. (3) H i = L i x i, u i + λ T i + 1 f i x i, u i, (4) Φ = φ x N + v T ψ x N. (5) H i = x i λt i, (6) λ T N = Φ x N (7) H i u i λ T i = Li x i + λt i + 1 = 0, (8) fi x i, i = 0,, N 1,, (9) λ T N = φ + x N vt ψ x N,, (10) L i u i + λt i + 1 fi u i = 0, i = 0,, N 1., (11) Linearisasi dari persamaan (2), (3), (6), (7), dan (8) adalah dx i + 1 = f i x dx i + f i u du i (12) dx 0 sudah ditentukan (13) dψ N = ψ x dx N sudah ditentukan (14) i i dλ i = H xx dx i + f T i x dλ i H xu du i, i = 0,, N 1 (15) dengan i 0 = H uu dλ N = Φ xx dx N + ψ T x dv, (16) i i du i + H ux dx i + f T u dλ i + 1, i = 0,, N 1 (17) f i x = fi x i, H 2 H i xu i = x i u i, dan seterusnya. Metode sweep untuk masalah ini bagi persamaan 3 dan 5 masing-masing adalah dλ i = S i dx i + R i dv, (18) dψ = R T i dx i + Q i dv. (19) Asumsikan persamaan (18) dan (19) diketahui untuk i = k + 1, persamaan (12) sampai (17) dapat digunakan untuk memperoleh solusi optimum dengan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut: LANGKAH 1. Substitusikan (12) dengan i = k ke dalam (18) dan (19) dengan i = k + 1: dλ k + 1 = S k + 1 f k x dx k + f k u du k + R k + 1 dv, (20) dψ = R T k + 1 f k x dx k + f k u du k + Q k + 1 dv. (21) LANGKAH 2. Tempatkan k = i pada persamaan (20) dan substitusikan dλ i + 1 ke dalam (15) dan (17): i dλ i = H xx i + f T i i x S i + 1 f x dx i + H xu + f x i T S i + 1 f u i du i + f x i T R i + 1 dv, (22) i 0 = H uu i + f T i i x S i + 1 f u du i + H ux + f u i T S i + 1 f x i dx i +f x i T R i + 1 dv. (23)