Super (a,d)-h- Antimagic Total Covering of Chain Graph

Transkripsi

1

2 Super (a,d)-h- Antimagic Total Covering of Chain Graph Dina Rizki Anggraini 1,, Dafik 1,, Susi Setiawani 1 CGANT - University of Jember Mathematics Education Department - University of Jember dinarizki11.dr@gmail.com, d.dafik@unej.ac.id, setiawanisusi@gmail.com 010 Mathematics Subject Classification: 05C69 Abstract All graph in this paper are finite, simple and undirected. By H -covering, we mean every edge in E(G) belongs to at least one subgraph of G isomorphic to a given graph H. A graph G is said to be an (a, d)-h-antimagic total labeling if there exist a bijective function f : V (G) E(G) {1,,..., V (G) + E(G) } such that for all subgraphs H isomorphic to H, the total H-weights w(h) = v V (H ) f(v) + e E(H ) f(v) form an arithmetic sequence {a, a + d, a + d,..., a + (s 1)d}, where a and d are positive integers and s is the number of all subgraphs H isomorphic to H. Such a labeling is called super if f : V (G) {1,,..., V (G) }. In this paper, we study the problem that if a connected graph G is super (a, d) H- antimagic total labeling, is the disjoint union of multiple copies of the graph G super (a, d) H- antimagic total labeling as well? We will answer this question for the case when the graph G is a Chain Graph K 4 P n and H = K 4 Complete Graph isomorphic to H. Keywords: Super H-antimagic total, Chain Graph. Introduction Teori graf adalah salah satu cabang dari ilmu matematika. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam Teori Graf. Pelabelan suatu graf adalah pemetaan bijektif yang memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan bulat positif. Terdapat banyak jenis pelabelan graf yang telah dikembangkan, diantaranya adalah pelabelan graceful, pelabelan harmoni, pelabelan total tak beraturan, pelabelan ajaib, dan pelabelan anti ajaib. Dalam pengembangan pelabelan anti ajaib, dikenal juga pelabelan total (a, d) -titik anti ajaib, pelabelan total titik ajaib super, pelabelan total (a, d)-sisi anti ajaib, dan pela-belan total sisi ajaib super. Pada penelitian ini selimut graf yang digunakan adalah graf baru yang belum pernah diteliti yaitu graf Rantai yang dinotasikan dengan K 4 P n. Graf Rantai adalah graf yang dinotasikan dengan K 4 P n. Graf Rantai berasal dari graf lintasan yang terdiri dari graf Lengkap. Graf Rantai merupakan shackle titik yang disimbolkan dengan shack(k 4, v, n), sehingga shack(k 4, v, n) memiliki arti sama dengan K 4 P n dimana dan Penelitian mengenai pelabelan selimut (a, d) H-anti ajaib super telah dilakukan oleh Inayah pada tahun 013. Menurut Inayah (013), suatu selimut dari G adalah keluarga subgraf dari G dengan sifat setiap sisi di G termuat pada sekurang- kurangnya satu graf Hi, untuk suatu. Pelabean selimut (a, d) H anti

3 ajaib super adalah pelabelan terhadap unsur titik dan sisi pada graf dengan bilangan 1,, 3,..., p + q sedemikian hingga bobot selimut H membentuk barisan aritmatika a, a + d, a + d,..., a + (k 1)d dengan a adalah suku pertama, b adalah beda, dan k adalah jumlah selimutnya. graf G dikatakan super apabila kemungkinan label terkecil ada pada titiknya. Adapun manfaat yang diharapkan dalam penelitian ini adalah untuk memberikan konstribusi terhadap berkembangnya pengetahuan baru dalam bidang teori graf, khususnya dalam ruang lingkup pelabelan graf dengan menunjukkan pelabelan selimut (a, d) H anti ajaib super pada graf Rantai. Penelitian ini dapat memberikan motivasi pada peneliti lain untuk melakukan penelitian tentang pelabelan selimut (a, d) H anti ajaib super pada jenis-jenis graf yang berbeda. Selain itu, hasil penelitian ini diharapkan dapat dijadikan pengembangan atau perluasan ilmu serta aplikasi dalam masalah pelabelan selimut (a, d) H anti ajaib super di program studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember. Hasilhasil penelitian terkait ini dapat ditemukan di [1, 4]. Useful Lemma Lemma 1 Jika sebuah graf G (V, E) adalah pelabelan selimut(a, d)-h anti ajaib super maka d (p G p H )p H +(q G q H )q H s 1 untuk s = H, H G yang isomorfik dengan H p G = V, q G = E, p H = V, q H = E. Bukti. f(v ) = {1,, 3,.., p G } dan f(e) = {p G + 1, p G +, p G +,.., p G + q G }. Misalkan graf (p G,q G ) mempunyai pelabelan selimut (a, d)-h anti ajaib super dengan fungsi total f(v E) = {1,, 3, 4, 5, 6,..., p G + q G } maka himpunan bobot selimut sebuah graf adalah {a, a+d, a+d,..., a(s 1)d} dimana a merupakan bobot selimut terkecil maka berlaku: p H + (p G + 1) + (p G + ) (p G + q H ) a p H (1 + p H) + q H p G + q H (1 + q H) a Sedangkan untuk nilai terbesar berlaku: p H + p H + q Hp G + q H + q H a + (s 1)d p G + p G 1 + p G (p G (p H 1)) + (p G + q G ) +(p G + q G 1) + (p G + q G ) (p G + q G (q H 1)) = p H p G p H 1 (1 + (p H 1)) + q H p G + q H p G q H 1 (1 + (q H 1)) = p H p G p H 1 (p H ) + q H p G + q H p G q H 1 (q H ) a

4 3 (s 1)d p H p G p H 1 p H p G p H 1 (p H ) + q H p G + q H p G q H 1 (q H ) a (p H ) + q H p G + q H p G q H 1 (q H ) ( p H + p H + q Hp G + q H + q H ) = p H p G p H + p H + q Hp G q H + q H (p H + p H + q H + q H ) = p H p G + q H q G p H qh = p H p G p H + q H q G q H = (p G p H )p H + (q G q H )q H d (p G p H )p H + (q G q H )q H (s 1) Dari persamaan diatas terbukti bahwa batas atas d (p G p H )p H +(q G q H )q H s 1 jika graf G memiliki pelabelan selimut (a, d)-h anti ajaib super dari berbagai famili graf. (Dafik, 014) Adapun batas atas pelabelan selimut (a,d)-h-anti ajaib super dapat ditentukan dengan menggunakan Lemma 1 (dalam Dafik, 014). Diketahui jumlah titik p G = 3n + 1 dan sisi q G = 6n, dan jumlah titik selimut adalah p H = 4 serta jumlah sisi selimut adalah q H = 6 dengan jumlah selimut n. Dengan demikian batas atas nilai beda d tersebut adalah: The Results d (p G p H )p H + (q G q H )q H s 1 (3n + 1 4)4 + (6n 6)6 n 1 (3n 3)4 + (6n 6) n 1 6 (1n n 36) n 1 48n 48 n 1 48(n 1) n 1 48 Theorem 1 Ada pelabelan selimut (41n + 14, ) K 4 anti ajaib super pada graf Rantai K 4 P n untuk n.

5 4 Proof. Labeli titik graf Rantai K 4 P n dengan fungsi bijektif f 1 dengan label sebagai f 1 (y j ) = 3j, untuk 1 j n + 1 f 1 (x i ) = 3i 1, untuk 1 i n f 1 (z i ) = 3i, untuk 1 i n Dapat dilihat bahwa f 1 adalah fungsi bijektif yang memetakan K 4 P n ke himpunan bilangan bulat {1,,..., 3n + 1}. Jika w f1 didefinisikan sebagai bobot titik selimut dari pelabelan total selimut pada graf Rantai dimana bobot titik selimut tersebut diperoleh dari penjumlahan 4 label titik dari K 4 yang menjadi selimut pada pada graf Rantai K 4 P n, maka fungsi bijektif w f1 dapat ditentukan sebagai w f1 = f 1 (y j ) + f 1 (x i ) + f 1 (z i ) = (3i 1) + (3j ) + (3i) = 6i 1 + (3j ) Labeli sisi graf Rantai K 4 P n dengan fungsi f 13 yang dapat dituliskan sebagai f 1 (x i y ) = 5n i + 3, untuk 1 i n f 1 (z i y ) = 5n i +, untuk 1 i n f 1 (x i y i ) = 7n i + 3, untuk 1 i n f 1 (y i z i ) = 7n i +, untuk 1 i n f 1 (y i y ) = 8n i +, untuk 1 i n f 1 (x i z i ) = 9n i +, untuk 1 i n Jika W f1 didefinisikan sebagai bobot total selimut pada graf Rantai berdasarkan penjumlahan bobot selimut dengan label sisinya maka W f1 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot selimut w f1 dan rumus label sisi f 1, sehingga dapat W f1 = w f1 + f 1 (x i y ) + f 1 (z i y ) + f 1 (x i y i ) + f 1 (y i z i ) + f 1 (y i y ) + f 1 (x i z i ) = 6i 1 + (3j ) + (5n i + 3) + (5n i + ) + (7n i + 3) + (7n i + ) + (8n i + ) + (9n i + ) = 41n 4i + 13 (3j ) Berdasarkan bobot selimut total dapat diuraikan, untuk i pada interval 1 i n didapat himpunan W f1 = {41n + 14, 41n + 16,..., 41n + 1} karena U n = a +

6 5 (n 1)b = 41n + 14(n 1) = 43n + 1. Sehingga terbukti ada pelabelan selimut (41n + 14, ) K 4 anti ajaib super pada graf Rantai K 4 P n untuk n. Theorem Ada pelabelan selimut (40n + 15, 4) K 4 anti ajaib super pada graf Rantai K 4 P n untuk n. Proof. Labeli titik graf Rantai K 4 P n dengan fungsi bijektif f 1, maka f (y j ) = f 1 (y j ), f (x i ) = f 1 (x i ), dan f (z i ) = f 1 (z i ) sehingga w f = w f1 = 6i 1 + (3j ). Labeli sisi graf Rantai K 4 P n dengan fungsi f yang dapat dituliskan sebagai f (x i y ) = 5n i +, untuk 1 i n f (z i y ) = 8n i +, untuk 1 i n f (x i y i ) = 5n i + 3, untuk 1 i n f (y i z i ) = 8n i + 3, untuk 1 i n f (y i y ) = 6n i +, untuk 1 i n f (x i z i ) = 8n + i + 1, untuk 1 i n Jika W f didefinisikan sebagai bobot total selimut pada graf Lengkap Lintasanberdasarkan penjumlahan bobot selimut dengan label sisinya maka W f dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot selimut w f dan rumus label sisi f, sehingga dapat W f = w f + f (x i y ) + f (z i y ) + f (x i y i ) + f (y i z i ) + f (y i y ) + f (x i z i ) = 6i 1 + (3j ) + (5n i + ) + (8n i + ) + (8n + i + 1) + (8n i + 3) + (6n i + ) + (8n + i + 1) = 40n i + 1 (3j ) Berdasarkan bobot selimut total dapat diuraikan, untuk i pada interval 1 i n didapat himpunan W f = {40n+15, 40n+19,..., 44n+9} karena U n = a+(n 1)b = 40n+15(n 1)4 = 44n+9. Sehingga terbukti ada pelabelan selimut (40n+15, 4) K 4 anti ajaib super pada graf Rantai K 4 P n untuk n. Theorem 3 Ada pelabelan selimut (39n + 16, 6) K 4 anti ajaib super pada graf Rantai K 4 P n untuk n. Proof. Labeli titik graf Rantai K 4 P n dengan fungsi bijektif f 1, maka f 3 (y j ) = f 1 (y j ), f 11 (x i ) = f 1 (x i ), dan f 3 (z i ) = f 1 (z i ) sehingga w f3 = w f1 = 6i 1+ (3j

7 6 ). Labeli sisi graf Rantai K 4 P n dengan fungsi f 3 yang dapat dituliskan sebagai f 3 (x i y ) = 5n i +, untuk 1 i n f 3 (z i y ) = 8n i +, untuk 1 i n f 3 (x i y i ) = 5n i + 3, untuk 1 i n f 3 (y i z i ) = 8n i + 3, untuk 1 i n f 3 (y i y ) = 5n + i + 1, untuk 1 i n f 3 (x i z i ) = 8n + i + 1, untuk 1 i n Jika W f3 didefinisikan sebagai bobot total selimut pada graf Rantai berdasarkan penjumlahan bobot selimut dengan label sisinya maka W f3 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot selimut w f3 dan rumus label sisi f 3, sehingga dapat W f3 = w f3 + f 3 (x i y ) + f 3 (z i y ) + f 3 (x i y i ) + f 3 (y i z i ) + f 3 (y i y ) +f 3 (x i z i ) = 6i 1 + (3j ) + (5n i + ) + (8n i + ) + (8n + i + 1) + (8n i + 3) + (5n + i + 1) + (8n + i + 1) = 39n (3j ) Berdasarkan bobot selimut total dapat diuraikan, untuk i pada interval 1 i n didapat himpunan W f3 = {39n + 16, 39n +,..., 45n + 10} karena U n = a + (n 1)b = 39n (n 1)6 = 45n Sehingga terbukti ada pelabelan selimut (39n + 16, 6) K 4 P n anti ajaib super pada graf Rantai K 4 P n untuk n. Theorem 4 Ada pelabelan selimut (38n + 17, 8) K 4 anti ajaib super pada graf Rantai K 4 P n untuk n. Proof. Labeli titik graf Rantai K 4 P n dengan fungsi bijektif f 1, maka f 4 (y j ) = f 1 (y j ), f 4 (x i ) = f 1 (x i ), dan f 4 (z i ) = f 1 (z i ) sehingga w f4 = w f1 = 6i 1 + (3j ). Labeli sisi graf Rantai K 4 P n dengan fungsi f 4 yang dapat dituliskan sebagai f 4 (x i y ) = 5n i +, untuk 1 i n f 4 (z i y ) = 7n i +, untuk 1 i n f 4 (x i y i ) = 4n i +, untuk 1 i n f 4 (y i z i ) = 6n i +, untuk 1 i n f 4 (y i y ) = 8n i +, untuk 1 i n f 4 (x i z i ) = 8n + i + 1, untuk 1 i n

8 7 Jika W f4 didefinisikan sebagai bobot total selimut pada graf Rantai berdasarkan penjumlahan bobot selimut dengan label sisinya maka W f4 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot selimut W f4 dan rumus label sisi f 4, sehingga dapat W f4 = w f4 + f 4 (x i y ) + f 4 (z i y ) + f 4 (x i y i ) + f 4 (y i z i ) + f 4 (y i y ) + f 4 (x i z i ) = 6i 1 + (3j ) + (5n i + ) + (7n i + ) + (4n i + ) + (6n i + ) + (8n i + ) + (8n + i + 1) = 38n + i (3j ) Berdasarkan bobot selimut total dapat diuraikan, untuk i pada interval 1 i n didapat himpunan W f4 = {38n + 17, 38n + 5,..., 46n + 9} karena U n = a + (n 1)b = 38n (n 1)8 = 46n + 9. Sehingga terbukti ada pelabelan selimut (38n + 17, 8) K 4 anti ajaib super pada graf Rantai K 4 P n untuk n. Theorem 5 Ada pelabelan selimut (36n + 19, 1) K 4 anti ajaib super pada graf Rantai K 4 P n untuk n. Proof. Labeli titik graf Rantai K 4 P n dengan fungsi bijektif f 1, maka f 5 (y j ) = f 1 (y j ), f 5 (x i ) = f 1 (x i ), dan f 5 (z i ) = f 1 (z i ) sehingga w f5 = w f1 = 6i 1 + (3j ). Labeli sisi graf Rantai K 4 P n dengan fungsi f 8 yang dapat dituliskan sebagai f 5 (x i y ) = 5n i + 3, untuk 1 i n f 5 (z i y ) = 5n i +, untuk 1 i n f 5 (x i y i ) = 5n i + 4, untuk 1 i n f 5 (y i z i ) = 5n i + 1, untuk 1 i n f 5 (y i y ) = 7n + i + 1, untuk 1 i n f 5 (x i z i ) = 9n i +, untuk 1 i n Jika W f5 didefinisikan sebagai bobot total selimut pada graf Rantai berdasarkan penjumlahan bobot selimut dengan label sisinya maka W f5 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot selimut w f5 dan rumus label sisi f 5, sehingga dapat W f5 = w f5 + f 5 (x i y ) + f 5 (z i y ) + f 5 (x i y i ) + f 5 (y i z i ) + f 5 (y i y ) + f 5 (x i z i ) = 6i 1 + (3j ) + (5n i + 3) + (5n i + ) + (5n i + 4) +

9 8 (5n i + 1) + (7n + i + 1) + (9n i + ) = 36n + i (3j ) Berdasarkan bobot selimut total dapat diuraikan, untuk i, j pada interval 1 i n dan 1 j n + 1 didapat himpunan W f5 = {36n + 19, 36n + 31,..., 48n + 7} karena U n = a + (n 1)b = 36n (n 1)1 = 48n + 7. Sehingga terbukti ada pelabelan selimut (36n + 19, 1) K 4 anti ajaib super pada graf Rantai K 4 P n untuk n. Concluding Remarks Pada penelitian ini ditunjukkan bahwa graf Rnatai dengan n memiliki pelabelan selimut (a, d)-h anti ajaib super d = {0, 1,,..., 48}. Hasil penelitian ini dibuktikan bahwapelabelan selimut (a, d)-h anti ajaib super (41n + 14, ), (40n + 15, 4), (39n + 16, 6), (38n + 17, 8), dan (36n + 19, 1) References [1] AK Purnapraja, R Hidayat, Cycle-Super Antimagicness of Connected and Disconnected Tensor Product of Graphs, Procedia Computer Science, 74, (015), 9399 [] Dafik, 014.Batas Atas d dari Sebuah Graf yang Memiliki Super (a, d) - H- Antimagic Covering, Working Paper, FKIP UNEJ. [3] Inayah, N., Simanjuntak R., dan Salman Super (a, d)-h-antimagic total labelings for shackles of a connected graph H. Australasian Journal of Combinatorics. Vol. 57: [4] Sherly Citra Wuni, Ika Hesti Agustin, Dafik, Super (a,d)-h-antimagic Total Covering pada Graf Semi Windmill, Prosiding Seminar Nasional Matematika 014 Vol 1, No 1 (014), [5] Simanjuntak,R.,Salman, A Super (a; d)h Antimagic Total Labelings For Shackles of A Connected Graph H. Australian Journal of Combinatorics. [6] Slamin PendekatanTeori Graf.Jember: UniversitasJember.