Abstract

Transkripsi

1 Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut Pada Graf Triangular Cycle Ladder Untuk Pengembangan Ciphertext Irma Azizah 1, Dafik 2, Slamin 3 1 CGANT- University of Jember 2 Department of Mathematics Education - University of Jember 3 Department of Information System - University of Jember desytripuspasari@gmail.com; d.dafik@unej.ac.id; slamin@unej.ac.id Abstract A (a, d)-h-antimagic total covering is a total labeling λ dari V (G) E(G) to integer number {1, 2, 3,..., V (G) E(G) } with condition, every subgraph A in G isomorphic with subgraph H A = v V (A) λ(v) + e E(A) λ(e) on arithmetic sequence. A graph containing the labeling called super (a, d)-h-antimagic total covering. Furthermore, {λ(v)} v V = {1,..., V }, is called graph super H antimagic. In this research used triangular Cycle Ladder Graph T CL n of connective to developing ciphertext. Key Word : Super H antimagic total selimut, Triangular Cycle Ladder Graph T CL n, Ciphertexts. Pendahuluan Matematika merupakan dasar ilmu pengetahuan yang memiliki peranan penting dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu cabang matematika yaitu matematika diskrit dengan fokus kajian teori graf. Salah satu topik dalam teori graf yang saat ini banyak mendapat perhatian untuk diteliti adalah pelabelan graf. Berdasarkan elemen-elemen yang dilabeli maka pelabelan dibagi kedalam tiga jenis, yaitu pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total [7]. Pengertian pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total dapat dilihat pada [7]. Selain itu pelabelan juga dibagi dalam dua jenis yaitu pelabelan antimagic dan pelabelan magic. Pelabelan yang akan digunakan dalam penelitian ini yaitu pelabelan antimagic. [1] Hartsfield dan Ringel mendefinisikan bahwa suatu graf G yang memiliki verteks sebanyak v G = V = V (G) dan edge sebanyak e G = E = E(G) disebut antimagic jika masing-masing edge dilabeli dengan 1, 2, 3,..., e G sehingga bobot verteksnya saling berbeda pairwise distinct, dengan sebuah bobot verteks dari verteks v, verteks v adalah jumlah label dari semua edge yang incident dengan v. Pelabelan antimagic graf juga dapat diartikan graf yang memiliki bobot titik atau bobot sisi yang tidak sama. Setiap pelabelan graf memiliki nilai batas atas d yang berbeda dan nilai d tidak tunggal. Nilai d s dengan d adalah bilangan bulat non negatif dan s merupakan nilai terbesar d dalam suatu graf. Tujuan menentukan batas atas ini adalah mengetahui nilai beda maksimum dalam mencari pelabelan super (a,d)-h-antimagic selimut. Salah satu graf yang menarik untuk diteliti adalah

2 Irma, et.al: Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut 62 graf triangular cycle ladder. [5] Graf triangular cycle ladder merupakan salah satu famili dari graf ladder. Graf ini merupakan salah satu contoh graf W ell Defined yang masih belum ditemukan pelabelannya, khususnya pelabelan super (a, d)-h-antimagic total selimut, dimana a bobot sisi terkecil dan d nilai beda [2]. Dalam [3], [4] ditunjukkan bahwa fungsi super (a, d)-h-antimagic total covering akan diperoleh dengan melabeli titik, sisi, dan kemudian akan diperoleh fungsi titik, fungsi sisi, dan fungsi total selimut. Selanjutnya hasil pelabelan tersebut dimanfaatkan untuk aplikasi pengembangan ciphertexts. [6] Ciphertexts adalah pesan kode yang telah melalui proses enkripsi yang mulanya berupa pesan asli (plaintexts). Artikel ini akan membahas tentang super (a, d)-h-antimagic total selimut pada graf tunggal Triangular Cycle Ladder untuk pengembangan ciphertexts. Oleh karena itu, peneliti memilih judul Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut pada Graf Triangular Cycle Ladder untuk Pengembangan Ciphertexts Metode Penelitian Penelitian ini dikategorikan kedalam penelitian eksploratif dan terapan. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah deskriptif aksiomatik, yaitu dengan menurunkan aksioma atau teorema yang telah ada, kemudian diterapkan dalam pelabelan super (a, d)-h-antimagic total selimut pada graf tunggal Triangular Cycle Ladder. Dalam penelitian ini, terlebih dahulu akan ditentukan pelabelan titik dan pelabelan sisi pada graf Triangular Cycle Ladder. Selanjutnya ditentukan dan dicari nilai beda (d) pada graf Triangular Cycle Ladder, kemudian nilai d tersebut diterapkan dalam super (a, d)-h-antimagic total selimut pada graf Triangular Cycle Ladder. Apabila terdapat pelabelan super (a, d)- H-antimagic total selimut, maka akan dirumuskan bagaimana pola super (a, d)- H-antimagic total selimut pada graf Triangular Cycle Ladder tersebut dengan menggunakan metode pendeteksian pola (pattern recognition) untuk menentukan pola umumnya. Setelah pelabelan tersebut diperoleh maka dipilih salah satu d untuk dimanfaatkan dalam pengembangan ciphertexts a-z. Sehingga apapun pesan yang dikirim pada penerima akan aman dengan mengkonversi pesan asli menjadi pesan kode (ciphertexts) yang telah ditemukan. Batas atas d graf Triangular Cycle Ladder T CL n untuk n 4 dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut: Teorema 0.1 [2] Jika sebuah graf G (V, E) adalah pelabelan selimut (a, d) H-antimagic super, maka d (p G p H )p H +(q G q H )q H s 1 untuk s = H, H G yang

3 Irma, et.al: Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut 63 isomorfik dengan H, p G = V (G), q G = E(G), p H = V (H), q H = E(H). Dari teorema 1 di atas, maka batas atas d untuk penelitian ini adalah : d (p G p H )p H + (q G q H )q H s 1 (3n + 2 5)5 + (6n + 1 7)7 n 1 (3n 3)5 + (6n 6)7 n 1 57n 57 n 1 57(n 1) n 1 57 Hasil dan Pembahasan Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui pelabelan selimut (a, d)-hantimagic dengan H=F 4 yang berupa teorema, sedangkan hasil pelabelannya digunakan untuk pengembangan ciphertexts. Adapun teorema-teorema yang ditemukan dari penelitian ini yakni: Teorema 0.2 Ada pelabelan selimut (21n+120, 8) F 4 -antimagic super pada graf Triangular Cycle Ladder (T CL n ) untuk n 4. Bukti. Labeli titik T CL n dengan fungsi bijektif f 1 dengan label sebagai berikut: f 1 (x i ) = i, untuk 1 i n f 1 (x i+1 ) = i + 1, untuk 1 i n f 1 (y i ) = i + 11, untuk 1 i n f 1 (y i+1 ) = i + 10, untuk 1 i n f 1 (z i ) = i + 10, untuk 1 i n f 1 adalah fungsi bijektif yang memetakan T CL n ke himpunan bilangan bulat {1, 2,..., 3n + 2}. Jika w f1 didefinisikan sebagai bobot titik selimut dari pelabelan selimut total pada T CL n dimana bobot titik selimut tersebut diperoleh dari penjumlahan 5 label titik dari F 4 yang menjadi selimut pada T CL n, maka fungsi bijektif w f1 dapat ditentukan sebagai berikut: w f1 = f 1 (x i ) + f 1 (x i+1 ) + f 1 (y i ) + f 1 (y i+1 ) + f 1 (z i ) = (i) + (i + 1) + ( i + 11) + ( i + 10) + (i + 10) = i + 32

4 Irma, et.al: Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut 64 Himpunan bobot titik selimut di atas adalah w f1 = {33, 34, 35,..., n+32} membentuk barisan aritmatika dengan d = 1. Karena U n = a + (n 1)b = 33 + (n 1)1 = n Selanjutnya untuk membentuk selimut total, diperlukan label sisi. sebagai berikut: Labeli sisi T CL n dengan fungsi bijektif f 1 yang dapat dituliskan f 1 (x i y i ) = 3n + i + 2, untuk 1 i n f 1 (x i+1 y i+1 ) = 3n + i + 3, untuk 1 i n f 1 (x i z i ) = 3n + i + 7, untuk 1 i n f 1 (y i z i ) = 3n + i + 11, untuk 1 i n f 1 (y i y i+1 ) = 3n + i + 15, untuk 1 i n f 1 (x i+1 z i ) = 3n + i + 19, untuk 1 i n f 1 (y i+1 z i ) = 3n + i + 23, untuk 1 i n Jika W f1 didefinisikan sebagai bobot selimut total pada T CL n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W f1 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w f1 dan rumus label sisi f 1 dengan syarat batas i yang bersesuaian, sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut: W f1 = w f1 + f 1 (x i y i ) + f 1 (x i+1 y i+1 ) + f 1 (x i z i ) + f 1 (y i z i ) + f 1 (y i y i+1 ) + f 1 (x i+1 z i ) + f 1 (y i+1 z i ) = (i + 32) + (3n + i + 2) + (3n + i + 3) + (3n + i + 7) + (3n + i + 11) +(3n + i + 15) + (3n + i + 19) + (3n i + 23) = 21n + 8i Dengan demikian barisan aritmatika dari W f1 = {21n+120, 21n+128,..., 29n+112}. Karena U n = a+(n 1)b = 21n+120+(n 1)(8) = 29n+112 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (21n + 120, 8) F 4 -antimagic super pada graf Triangular Cycle Ladder yang dinotasikan dengan T CL n untuk n 4. Teorema 0.3 Ada pelabelan selimut (21n+117, 10) F 4 -antimagic super pada graf Triangular Cycle Ladder yang dinotasikan dengan T CL n untuk n 4.

5 Irma, et.al: Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut 65 Bukti. Labeli titik T CL n dengan fungsi bijektif f 1 dengan label sebagai berikut: f 2 (x i ) = i, untuk 1 i n f 2 (x i+1 ) = i + 1, untuk 1 i n f 2 (y i ) = i + 5, untuk 1 i n f 2 (y i+1 ) = i + 6, untuk 1 i n f 2 (z i ) = i + 15, untuk 1 i n f 2 adalah fungsi bijektif yang memetakan T CL n ke himpunan bilangan bulat {1, 2,..., 3n + 2}. Jika w f2 didefinisikan sebagai bobot titik selimut dari pelabelan selimut total pada T CL n dimana bobot titik selimut tersebut diperoleh dari penjumlahan 5 label titik dari F 4 yang menjadi selimut pada T CL n, maka fungsi bijektif w f2 dapat ditentukan sebagai berikut: w f2 = f 2 (x i ) + f 2 (x i+1 ) + f 2 (y i ) + f 2 (y i+1 ) + f 2 (z i ) = (i) + (i + 1) + (i + 5) + (i + 6) + ( i + 15) = 3i + 27 Himpunan bobot titik selimut di atas adalah w f2 = {30, 33, 36,..., n+32} membentuk barisan aritmatika dengan d = 3. Karena U n = a + (n 1)b = 30+(n 1)3 = 3n+27. Selanjutnya untuk membentuk selimut total, diperlukan label sisi. Labeli sisi T CL n seperti label sisi f 1 dengan fungsi bijektif f 2 yang dapat dituliskan f 2 (x i y i ) = f 1 (x i y i ), f 2 (x i+1 y i+1 ) = f 1 (x i+1 y i+1 ), f 2 (x i z i ) = f 1 (x i z i ), f 2 (y i z i ) = f 1 (y i z i ), f 2 (y i y i+1 ) = f 1 (y i y i+1 ), f 2 (x i+1 z i ) = f 1 (x i+1 z i ), f 2 (y i+1 z i ) = f 1 (y i+1 z i ). Jika W f2 didefinisikan sebagai bobot selimut total pada T CL n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W f2 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w f2 dan rumus label sisi f 2 dengan syarat batas i yang bersesuaian, sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut: W f2 = w f2 + f 2 (x i y i ) + f 2 (x i+1 y i+1 ) + f 2 (x i z i ) + f 2 (y i z i ) + f 2 (y i y i+1 ) + f 2 (x i+1 z i ) + f 2 (y i+1 z i ) = (3i + 27) + (3n + i + 2) + (3n + i + 3) + (3n + i + 7) + (3n + i + 11) +(3n + i + 15) + (3n + i + 19) + (3n i + 23) = 21n + 10i Dengan demikian barisan aritmatika dari W f2 = {21n+117, 21n+127,..., 31n + 107}. Karena U n = a + (n 1)b = 21n (n 1)(10) = 31n + 107

6 Irma, et.al: Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut 66 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (21n + 117, 10) F 4 -antimagic super pada graf Triangular Cycle Ladder yang dinotasikan dengan T CL n untuk n 4. Teorema 0.4 Ada pelabelan selimut (21n+114, 12) F 4 -antimagic super pada graf Triangular Cycle Ladder yang dinotasikan dengan T CL n untuk n 4. Bukti. Labeli titik T CL n dengan fungsi bijektif f 3 dengan label sebagai berikut: f 3 (x i ) = i, untuk 1 i n f 3 (x i+1 ) = i + 1, untuk 1 i n f 3 (y i ) = i + 5, untuk 1 i n f 3 (y i+1 ) = i + 6, untuk 1 i n f 3 (z i ) = i + 10, untuk 1 i n f 3 adalah fungsi bijektif yang memetakan T CL n ke himpunan bilangan bulat {1, 2,..., 3n + 2}. Jika w f3 didefinisikan sebagai bobot titik selimut dari pelabelan selimut total pada T CL n dimana bobot titik selimut tersebut diperoleh dari penjumlahan 5 label titik dari F 4 yang menjadi selimut pada T CL n, maka fungsi bijektif w f3 dapat ditentukan sebagai berikut: w f3 = f 3 (x i ) + f 3 (x i+1 ) + f 3 (y i ) + f 3 (y i+1 ) + f 3 (z i ) = (i) + (i + 1) + (i + 5) + (i + 6) + (i + 10) = 5i + 22 Himpunan bobot titik selimut di atas adalah w f3 = {27, 32, 37,..., 5n+22} membentuk barisan aritmatika dengan d = 5. Karena U n = a + (n 1)b = 27 + (n 1)5 = 5n+22. Selanjutnya untuk membentuk selimut total, diperlukan label sisi. Labeli sisi T CL n dengan fungsi bijektif f 3 yang dapat dituliskan f 3 (x i y i ) = f 1 (x i y i ), f 3 (x i y i ) = f 1 (x i y i ), f 3 (x i z i ) = f 1 (x i z i ), f 3 (y i z i ) = f 1 (y i z i ), f 3 (y i y i+1 ) = f 1 (y i y i+1 ), f 3 (x i+1 z i ) = f 1 (x i+1 z i ), f 3 (y i+1 z i ) = f 1 (y i+1 z i ). Jika W f3 didefinisikan sebagai bobot selimut total pada T CL n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W f3 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w f3 dan rumus label sisi f 3 dengan syarat batas i yang bersesuaian, sehingga dapat dirumuskan sebagai

7 Irma, et.al: Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut 67 berikut: W f3 = w f3 + f 3 (x i y i ) + f 3 (x i+1 y i+1 ) + f 3 (x i z i ) + f 3 (y i z i ) + f 3 (y i y i+1 ) + f 3 (x i+1 z i ) + f 3 (y i+1 z i ) = (5i + 22) + (3n + i + 2) + (3n + i + 3) + (3n + i + 7) + (3n + i + 11) +(3n + i + 15) + (3n + i + 19) + (3n i + 23) = 21n + 12i Dengan demikian barisan aritmatika dari W f3 = {21n+114, 21n+126,..., 33n + 102}. Karena U n = a + (n 1)b = 21n (n 1)(12) = 33n maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (21n + 114, 12) F 4 -antimagic super pada graf Triangular Cycle Ladder yang dinotasikan dengan T CL n untuk n 4. Teorema 0.5 Ada pelabelan selimut (21n+111, 14) F 4 -antimagic super pada graf Triangular Cycle Ladder yang dinotasikan dengan T CL n untuk n 4. Bukti. Labeli titik T CL n dengan fungsi bijektif f 4 dengan label sebagai berikut: f 4 (x i ) = 2i 1, untuk 1 i n f 4 (x i+1 ) = 2i + 1, untuk 1 i n f 4 (y i ) = 2i, untuk 1 i n f 4 (y i+1 ) = 2i + 2, untuk 1 i n f 4 (z i ) = i + 15, untuk 1 i n f 4 adalah fungsi bijektif yang memetakan T CL n ke himpunan bilangan bulat {1, 2,..., 3n + 2}. Jika w f4 didefinisikan sebagai bobot titik selimut dari pelabelan selimut total pada T CL n dimana bobot titik selimut tersebut diperoleh dari penjumlahan 5 label titik dari F 4 yang menjadi selimut pada T CL n, maka fungsi bijektif w f4 dapat ditentukan sebagai berikut: w f4 = f 4 (x i ) + f 4 (x i ) + f 4 (y i ) + f 4 (y i ) + f 4 (z i ) = (2i 1) + (2i + 1) + (2i) + (2i + 2) + ( i + 15) = 7i + 17 Himpunan bobot titik selimut di atas adalah w f4 = {24, 31, 38,..., 31n + 17} membentuk barisan aritmatika dengan d = 7. Karena U n = a + (n 1)b = 24 + (n 1)7 = 7n Selanjutnya untuk membentuk selimut total, diperlukan label sisi. Labeli sisi T CL n dengan fungsi bijektif f 4 yang dapat

8 Irma, et.al: Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut 68 dituliskan f 4 (x i y i ) = f 1 (x i y i ), f 4 (x i y i ) = f 1 (x i y i ), f 4 (x i z i ) = f 1 (x i z i ), f 4 (y i z i ) = f 1 (y i z i ), f 4 (y i y i+1 ) = f 1 (y i y i+1 ), f 4 (x i+1 z i ) = f 1 (x i+1 z i ), f 4 (y i+1 z i ) = f 1 (y i+1 z i ). Jika W f4 didefinisikan sebagai bobot selimut total pada T CL n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W f4 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w f4 dan rumus label sisi f 4 dengan syarat batas i yang bersesuaian, sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut: W f4 = w f4 + f 4 (x i y i ) + f 4 (x i+1 y i+1 ) + f 4 (x i z i ) + f 4 (y i z i ) + f 4 (y i y i+1 ) + f 4 (x i+1 z i ) + f 4 (y i+1 z i ) = (7i + 17) + (3n + i + 2) + (3n + i + 3) + (3n + i + 7) + (3n + i + 11) +(3n + i + 15) + (3n + i + 19) + (3n i + 23) = 21n + 14i + 97 Dengan demikian barisan aritmatika dari W f4 = {21n+111, 21n+125,..., 33n + 102}. Karena U n = a + (n 1)b = 21n (n 1)(14) = 33n maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (21n + 111, 14) F 4 -antimagic super pada graf Triangular Cycle Ladder yang dinotasikan dengan T CL n untuk n 4. Teorema 0.6 Ada pelabelan selimut (21n+108, 16) F 4 -antimagic super pada graf Triangular Cycle Ladder yang dinotasikan dengan T CL n untuk n 4. Bukti. Labeli titik T CL n dengan fungsi bijektif f 5 dengan label sebagai berikut: f 5 (x i ) = 2i 1, untuk 1 i n f 5 (x i+1 ) = 2i + 1, untuk 1 i n f 5 (y i ) = 2i, untuk 1 i n f 5 (y i+1 ) = 2i + 2, untuk 1 i n f 5 (z i ) = i + 10, untuk 1 i n f 5 adalah fungsi bijektif yang memetakan T CL n ke himpunan bilangan bulat {1, 2,..., 3n + 2}. Jika w f4 didefinisikan sebagai bobot titik selimut dari pelabelan selimut total pada T CL n dimana bobot titik selimut tersebut diperoleh dari penjumlahan 5 label titik dari F 4 yang menjadi selimut pada T CL n, maka fungsi bijektif w f5 dapat ditentukan sebagai berikut: w f5 = f 5 (x i ) + f 5 (x i ) + f 5 (y i ) + f 5 (y i ) + f 5 (z i ) = (2i 1) + (2i + 1) + (2i) + (2i + 2) + (i + 10) = 9i + 12

9 Irma, et.al: Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut 69 Himpunan bobot titik selimut di atas adalah w f5 = {21, 30, 39,..., 9n+12} membentuk barisan aritmatika dengan d = 9. Karena U n = a + (n 1)b = 21 + (n 1)9 = 9n+12. Selanjutnya untuk membentuk selimut total, diperlukan label sisi. Labeli sisi T CL n dengan fungsi bijektif f 5 yang dapat dituliskan f 5 (x i y i ) = f 1 (x i y i ), f 5 (x i y i ) = f 1 (x i y i ), f 5 (x i z i ) = f 1 (x i z i ), f 5 (y i z i ) = f 1 (y i z i ), f 5 (y i y i+1 ) = f 1 (y i y i+1 ), f 5 (x i+1 z i ) = f 1 (x i+1 z i ), f 5 (y i+1 z i ) = f 1 (y i+1 z i ). Jika W f5 didefinisikan sebagai bobot selimut total pada T CL n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W f5 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w f5 dan rumus label sisi f 5 dengan syarat batas i yang bersesuaian, sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut: W f5 = w f5 + f 1 (x i y i ) + f 1 (x i+1 y i+1 ) + f 1 (x i z i ) + f 1 (y i z i ) + f 1 (y i y i+1 ) + f 1 (x i+1 z i ) + f 1 (y i+1 z i ) = (9i + 12) + (3n + i + 2) + (3n + i + 3) + (3n + i + 7) + (3n + i + 11) + (3n + i + 15) + (3n + i + 19) + (3n i + 23) = 21n + 16i + 92 Dengan demikian barisan aritmatika dari W f4 = {21n+108, 21n+124,..., 37n + 95}. Karena U n = a + (n 1)b = 21n (n 1)(16) = 37n + 95 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (21n + 108, 16) F 4 -antimagic super pada graf Triangular Cycle Ladder yang dinotasikan dengan T CL n untuk n 4. Teorema 0.7 Ada pelabelan selimut (36n+54, 12) F 4 -antimagic super pada graf T CL n untuk pengembangan ciphertext dengan plaintext 26 abjad menjadi ciphertext a=s, b=d, c=y, d=i, e=n, f=t, g=z, h=j, i=e, j=u, k=a, l=k, m=o, n=f, o=v, p=b, q=l, r=p, s=g, t=w, u=c, v=m, w=q, x=h, y=x, dan z=r. Bukti. Untuk menentukan ciphertext dari huruf-huruf alfabet membutuhkan sisi sebanyak 26 karena jumlah huruf alfabet a z adalahh 26, maka perlu menggunakan graf T CL n dengan n = 5 yang memiliki 31 sisi diperoleh dengan cara menghitung size q graf T CL n tersebut. Huruf-huruf alfabet berjumlah 26, namun sisi pada graf T CL n adalah 31 sisi. Oleh karena itu, pengeliminasian sisi perlu dilakukan agar tidak ada kode yang berulang. Pengeliminasian sisi dilakukan terhadap V +banyak abjad=17+26=43 sehingga label sisi yang berlabel lebih dari 43 dieliminasi.

10 Irma, et.al: Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut 70 Agar sebuah pesan tidak dibaca oleh pihak yang tidak bertanggungjawab, maka akan diubah ke ciphertext. Kemudian didata semua huruf (26 abjad) dengan mengabaikan spasi dan tanda baca. Setelah itu, dibangun diagram pohon (tree diagram) yang berakar di label titik 1 dengan dilengkapi label sisinya. Letakkan huruf alfabet a z pada cabang diagram pohon atau label sisi yang telah dibangun. Penempatan alfabet ini harus berurutan dari kiri ke kanan dimulai dari layer pertama yaitu dimulai dari label sisi 18, 29, 24, dst sampai label sisi kanan paling bawah yaitu label sisi 43. Setelah penempatan alfabet pada cabang diagram pohon, pesan rahasia dipecahkan dengan menerapkan teknik modulo 26. Kemudian pesan rahasia dipecahkan dengan menerapkan teknik modulo 26 terhadap masing-masing huruf yaitu menghitung nilai modulo dari setiap cabang atau label sisi sesuai letak alfabet. Sehingga didapatkan chipertext huruf alfabet dari super (a, d) Graf T CL n dengan d = 12 yaitu a=s, b=d, c=y, d=i, e=n, f=t, g=j, h=j, i=e, j=u, k=a, l=k, m=o, n=f, o=v, p=b, q=l, r=p, s=g, t=w, u=c, v=m, w=q, x=h, y=x, dan z=r. Kesimpulan Pada makalah ini telah terbukti bahwa Graf Triangular Cycle Ladder (T CL n ) memiliki pelabelan selimut (a, d) F 4 -anti ajaib super untuk d = {0, 1, 2,..., 57}. Hasil penelitian ini dibuktikan pada teorema bahwa T CL n terdapat fungsi bijektif pelabelan selimut yaitu (21n + 120, 8), (21n + 117, 10), (21n + 114, 12), (21n + 111, 14), (21n + 108, 16) F 4 -anti ajaib super untuk n 4. Pengembangan ciphertext dengan menggunakan akar label 1 pada T CL n yaitu pelabelan selimut (36n + 54, 12) F 4 -antimagic super ciphertext a-z yaitu a=s, b=d, c=y, d=i, e=n, f=t, g=z, h=j, i=e, j=u, k=a, l=k, m=o, n=f, o=v, p=b, q=l, r=p, s=g, t=w, u=c, v=m, w=q, x=h, y=x, dan z=r. References [1] Baca, Martin dan M. Miller Super Edge-Antimagic Graphs: A Wealth of Problem and Some Solutions. United Stated of America: Brown Walker Press.

11 Irma, et.al: Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut 71 [2] Dafik, M. Miller, J. Ryan, M. Bača Discrete Mathematics, On Super (a, d) edge Antimagic Total Labeling of Disconnected Graphs, 309, [3] Liado, A Super (a,d) Antimagic total Covering of G. Combin, Vol.55: [4] M. Bača, Yoquing Lin, dan Andrea Note on Super Antimagicness of Disconnection Graphs (Fan), AKCE J. Graphs. Combin., 6, [5] Miladiyah, Kunti Pelabelan Total Super Sisi Graf Tangga Tiga Siklus Konektif dan Diskonektif. Tidak dipublikasikan (Skripsi).Jember: Universitas Jember. [6] Muktyas, I.B. dan Sugeng, Kiki. A Pemanfaatan Pelabelan Graceful pada Symmetric Tree untuk Kriptografi Polyalphabetic. [7] Sugeng, Kiki Ariyanti Magic and Antimagic Labeling of Graphs, Diss., University of Ballarat. [8] Baca, M., Dafik, Miller, M., and Ryan, J. Antimagic labeling of disjoint union of s-crowns. Utilitas Mathematica, 2009, 79,