Asuransi Jiwa

Transkripsi

1 Bab 1: Tabel Mortalitas dan Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Pendahuluan Asuransi Jiwa Asuransi Jiwa

3 Asuransi Jiwa Asuransi Jiwa

4 Asuransi Jiwa Asuransi Jiwa

5 Asuransi Jiwa Asuransi Jiwa

6 Asuransi Jiwa Asuransi Jiwa

7 Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas Tabel mortalitas merupakan tabel yang berisi peluang seseorang meninggal menurut umurnya dari kelompok orang yang diasuransikan (pemegang polis asuransi). Di bawah adalah potongan tabel mortalitas (CSO 1960) yang berasal dari Amerika Serikat.

8 Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas.

9 Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas x menyatakan usia yang dicapai. l x menyatakan jumlah orang yang tepat berusia x. Kelompok orang seperti ini mempunyai ciri yang sama (di sini sama saat lahirnya) disebut kohort. l 0 pada tabel dipilih agak sembarang dan disebut radix. d x menyatakan jumlah orang yang meninggal antara usia x dan x + 1. Banyaknya d x diperoleh dari d x = l x l x+1 Contoh: d 0 = l 0 l 1 = 10, 000, 000 9, 916, 800 = 83, 200

10 Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas q x menyatakan peluang seseorang berusia x akan meninggal antara usia x dan x + 1 tahun lagi. Nilai q x diperoleh dari q x = l x l x+1 l x = d x l x Contoh: q 4 = d 4 l 4 = 16,272 9,861,567 = e x menyatakan harapan hidup pada usia x (rata-rata usia yang akan ditempuh oleh anggota kohort yang berusia x). e 0 = tahun berarti bahwa menurut tabel CSO 1960, seseorang yang baru lahir, pada rata-ratanya dapat mengharapkan akan mencapai usia tahun.

11 Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas Contoh: Misalkan diketahui l 6 = 9, 829, 641 orang dan q 5 = Hitunglah l 5 dan d 5! Jawab: q 5 = d 5 l 5 = l 5 l 6 l 5 q 5 l 5 = l 5 l l 5 = l 5 9, 829, l 5 = 9, 829, 641 l 5 = 9, 845, 295 Sehingga diperoleh d 5 yaitu d 5 = l 5 l 6 = 9, 845, 295 9, 829, 641 = 15, 654

12 Tabel Mortalitas Cara Membuat Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas Misalkan suatu perusahaan asuransi memiliki data yang mencakup usia antara 43 tahun sampai 47 tahun sebagai berikut: Usia Banyaknya yang Diamati Banyaknya yang Meninggal

13 Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas Hitung peluang meninggal selama setahun Usia Peluang Meninggal Setahun

14 Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas Pilih radix (sembarang), misalkan dipilih l 43 = , maka x l x d x q x Perhitungan: d 43 = l 43 q 43 = (100000)( ) = 750 l 44 = l 43 d 43 = = d 44 = l 44 q 44 = (99250)( ) = l 45 = l 44 d 44 = = dst.

15 Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup Seseorang Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang Misalkan terdapat seseorang yang berusia x, maka t p x menyatakan peluang seseorang yang berusia x tersebut akan hidup selama t tahun lagi. tp x = l x+t l x

16 Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang Contoh: Berdasarkan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa peluang orang yang berumur 43 tahun akan hidup sampai umur 44 tahun?

17 Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang Contoh: Berdasarkan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa peluang orang yang berumur 43 tahun akan hidup sampai umur 44 tahun? Penyelesaian: p 43 = l 44 l 43 = = atau p 43 = 1 q 43 = =

18 Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang Peluang Meninggal Seseorang Sedangkan t q x menyatakan peluang seseorang yang berusia x akan meninggal dalam t tahun, atau dengan kata lain peluang seseorang berusia x akan meninggal antara waktu x dan x + t. tq x = 1 t p x = 1 l x+t l x = l x l x+t l x = t d x l x

19 Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang s/tq x menyatakan peluang seseorang yang berusia x akan hidup s tahun dan meninggal dalam t tahun kemudian, yaitu meninggal antara usia x + s dan x + s + t tahun. Maka s/tq x = l x+s l x+s+t l x = t d x+s l x

20 Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang Contoh: Dengan menggunakan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa peluang seseorang yang berusia 43 tahun akan meninggal antara usia 45 dan 47 tahun?

21 Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang Contoh: Dengan menggunakan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa peluang seseorang yang berusia 43 tahun akan meninggal antara usia 45 dan 47 tahun? Penyelesaian: 2/2q 43 = l 45 l 47 l = =

22 Contoh Soal Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang 1. Misalkan keluarga mempunyai dua orang anak, masing-masing berusia 6 dan 10 tahun. Hitunglah peluang tepat seorang anak akan meninggal sebelum usia 40 tahun!

23 Contoh Soal Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang 1. Misalkan keluarga mempunyai dua orang anak, masing-masing berusia 6 dan 10 tahun. Hitunglah peluang tepat seorang anak akan meninggal sebelum usia 40 tahun! Penyelesaian: Terdapat dua kemungkinan pada kasus tersebut: a. Anak pertama meninggal, maka anak kedua hidup b. Anak pertama hidup, maka anak kedua meninggal Sehingga solusinya adalah = 30 q p q 6 30 p 10 = l 10 l 40 l 10 = l 40(l 10 + l 6 2 l 40 ) l 6 l 10 l40 + l 6 l 40 l40 l 6 l 6 l 10

24 Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang 2. Buktikan bahwa: a. s/t q x = s p x. t q x+s

25 Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang 2. Buktikan bahwa: a. s/t q x = s p x. t q x+s Solusi: sp x. t q x+s = l x+s l x = l x+s l x+s+t l x = s/t q x ( ) lx+s l x+s+t l x+s

26 Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang b. s+t p x = s p x s/t q x

27 Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang b. s+t p x = s p x s/t q x Solusi: sp x s/t q x = l x+s l x = l x+s+t l x = s+t p x ( ) lx+s l x+s+t l x

28 Latihan Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Latihan 1 Selesaikan tabel berikut x q x l x d x