Bab 2. Tinjauan Pustaka. 2.1 Pendahuluan. 2.2 Bunga Majemuk

Transkripsi

1 Bab 2 Tinjauan Pustaka 2.1 Pendahuluan Sebelum melakukan penganalisisan untuk pemodelan matematika aktuaria yang mengarah ke reversionary anuities maka kita perlu memperkaya diri dengan teoriteori pendukungnya sehingga apa yang kita hendak tuju dalam penulisan tesis ini dapat diperoleh. 2.2 Bunga Majemuk Jenis bunga yang digunakan adalah bunga majemuk. Didefinisikan sebagai suatu perhitungan bunga yang besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah dengan besar bunga yang diperoleh. Besarnya pendapatan bunga tergantung pada besar pokok, jangka waktu investasi dan tingkat bunga. Dalam bunga majemuk didefinisikan fungsi sebagai faktor diskonto (v) : v 1 1+i (2.1) Sedangkan untuk tingkat diskonto (d) didefinisikan, sebagai berikut : d 1 v 4 i 1+i i.v (2.2)

2 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 5 Definisi (the force of interest) : The force of interest didefinisikan oleh δ lim m i(m) lim (1 + i) (2.3) m maka diperoleh e δ (1+i) atau δ ln(1+i) (2.4) 2.3 Mortalitas Mortalitas diungkapkan dengan variabel acak T (x). Misalkan seseorang berusia x tahun, dinotasikan sebagai (x), makasisaumurnya(future lifetime), T (x) X x X > x, artinya variabel acak yang menyatakan (x) akan meninggal sesudah mencapai usia x tahun, bila diketahui ia masih hidup pada usia x tahun. Dapat dituliskan variabel acak dari sisa kehidupan (x) adalah X x T (x). Dengan demikian X T (x)+x. JadiT (x) adalah periode (x) akan meninggal. Fungsi distribusi (d.f.) dari variabel acak T (x) X x X > xyang kontinu adalah F (t) Pr((x) akan meninggal dalam periode t tahun) Pr(T (x) t X >x), t 0 F (t) t q x (2.5) dan fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak T (x) dinyatakan dengan f (t) Pr(t<T(x) <t+ t) d dt F (t). Dari persamaan (2.10) akan diperoleh hubungan sebagai berikut tp x + t q x 1 dimana notasi t p x menyatakan peluang bahwa (x) hidup paling sedikit t tahun lagi atau akan meninggal setelah t tahun, yang biasanya disebut sebagai fungsi survival dari variabel acak T (x), yaitu s (t) Pr(T (x) >t X >x).

3 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 6 Bila x 0maka t p 0 menyatakan peluang bayi yang baru lahir bisa mencapai usia t tahun, yaitu suatu fungsi survival yang dinyatakan dengan notasi s (t) t p 0. Bila t x maka diperoleh peluang bayi baru lahir bisa mencapai usia x. s (x) x p 0. Misalkan l x menyatakan banyaknya orang berusia x tahun yang hidup dari sejumlah l 0 yang lahir, maka akan diperoleh beberapa hubungan sebagai berikut l x l 0.s (x) l 0. x p 0 (2.6) tp x l x+t l x tq x 1 t p x 1 l x+t l x l x l x+t l x d x l x dimana d x menyatakan banyaknya orang berusia x tahun yang mati sebelum mencapai usia (x +1)tahun. Definisi (the force of mortality) : The force of mortality dari (x) pada usia x + t didefinisikan dengan μ x+t f (t) 1 F (t). (2.7) Definisi diatas dapat diturunkan lagi menjadi μ x+t d tp x dt. 1 d tp x dt ln ( tp x ) (2.8) dan Z t tp x exp μ x+s ds (2.9) sehingga diperoleh fungsi kepadatan peluang dari T (x), yaitu 0 f (t) t p x.μ x+t (2.10) sedangkan fungsi distribusi dari T (x) adalah F (t) t q x 1 t p x 1 exp Z t μ x+s ds. (2.11) Di dalam matematika aktuaria terdapat berbagai notasi yang sering digunakan untuk menyatakan peluang (bersyarat), antara lain 0

4 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 7 1. u p x+t adalah peluang bersyarat (x) akan mencapai usia x + t + u tahun atau akan meninggal setelah x+t+u tahun bila ia bisa mencapai usia x+t tahun, yang dinyatakan dengan up x+t Pr(T (x) >t+ u T (x) >t) t+u p x up x (2.12) dimana t+u p x adalah peluang tidak bersyarat bahwa (x) akan mencapai usia x + t + u. 2. u q x+t adalah peluang bersyarat bahwa (x) akan meninggal sebelum usia x + t + u tahun bila ia bisa mencapai usia x + t tahun, yang dinyatakan dengan uq x+t 1 u p x t+u q x t q x tp x. (2.13) 3. t u q x adalah peluang bahwa (x) akan meninggal antara usia x + t tahun dan x + t + u tahun, yang dinyatakan dengan t uq x Pr(t<T(x) t + u) Pr(T (x) t + u) Pr (T (x) t) t uq x t+u q x t q x (2.14) (1 t+u p x ) (1 t p x ) t p x t+u p x t p x (1 u p x+t ) t uq x t p x. u q x+t (2.15) untuk u 1,maka t q x t p x.q x+t. (2.16) Pada kasus diskrit, sisa umur seseorang dinyatakan oleh variabel acak K (x) yang didefinisikan dengan K (x) [T (x)] dengan notasi [T (x)] menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari T (x). Fungsi distribusi (d.f.) dari variabel

5 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 8 acak K (x) adalah F (k) Pr(K (x) k) Pr(T (x) k +1) k+1 q x. Sedangkan fungsi kepadatan peluang dari K (x) adalah f (k) Pr(K (x) k), k 0, 1, 2,... Pr([T (x)] k) Pr(k<T(x) k +1) k p x k+1 p x k p x.q x+k k q x. (2.17) Beberapa ilmuan telah melakukan penelitian untuk mencari distribusi T (x) yang pada akhirnya menghasilkan beberapa macam hukum mortalitas, yaitu Hukum De Moivre, Hukum Gompertz, dan Hukum Makeham. Gompertz akan dipakai untuk menentukan distribusi dari T (x). Dalam tesis ini, Hukum Bila the force of mortality mengikuti Hukum Gompertz maka μ x+t dapat dituliskan dengan μ x+t Bc x+t, B > 0,c>0,t>0 jika nilai B dan C sudah tertentu maka t p x dapat dituliskan sebagai fungsi dari B, C, x, dant tp x exp Z t 0 Bc x+s ds µ exp Bc x 1. c t 1 ln c exp mc x c t 1 (2.18) dimana m B ln c jika t x dan x 0diperoleh fungsi survival bagi (x) sebagai berikut : s (x) x p 0 exp( m (c x 1)). (2.19)

6 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA Anuitas (Annuity) Anuitas didefinisikan sebagai suatu rangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu, yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu secara berkelanjutan. Suatu anuitas yang pasti dilakukan dalam jangka pembayaran disebut anuitas pasti Anuitas Pasti (Pembayaran Tahunan) Anuitas yang dibayarkan di awal jangka waktu pembayaran anuitas disebut anuitas awal (annuity-due) sedang bila di akhir jangka waktu pembayaran disebut anuitas akhir (annuity-immediate). Total nilai sekarang dari anuitas akhir yang dapat dinotasikan sebagai a ne (annuity-immediate) adalah : PV a ne v + v 2 + v v n 1 + v n dengan menggunakan rumus deret geometri, maka : a ne v 1+v 2 + v v n 2 + v n 1 µ 1 v n v, dari persamaan (2.2),maka 1 v µ 1 v n v iv a ne 1 vn i Sedangkan anuitas awal yang dinotasikan sebagai ä ne (annuity-due) : ä ne 1+v 2 + v v n 2 + v n 1 µ 1 v n v, 1 v ä ne 1 vn d (2.20) (2.21) Anuitas Pasti (Pembayaran m-kali setahun) Suatu anuitas pasti yang pembayarannya dilakukan m-kali dalam setahun dengan selang pembayaran setiap 1/m tahun dan total pembayarannya dalam satu tahun

7 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 10 sebesar 1. Maka total nilai sekarang dari anuitas tersebut yang dinotasikan, a (m) ne adalah : a (m) ne 1 v 1/m + v 2/m + v 3/m v n 1/m + v n m 1 µ v 1/m v n+1/m m 1 v 1/m 1 v n h i, m (1 + i) 1/m 1 a (m) ne 1 vn i (m) (2.22) Sedangkan untuk anuitas awal yang dinotasikan ä (m) ne : ä (m) ne 1 1+v 1/m + v 2/m + v 3/m v n 1/m m 1 µ 1 v n m 1 v 1/m 1 v n m h1 (1 d) 1/mi, ä (m) ne 1 vn d (m) (2.23) Anuitas Pasti (Pembayaran Kontinu) Suatu anuitas pasti yang pembayarannya dilakukan m kali dalam setahun dengan m, atau dengan kata lain pembayarannya dilakukan setiap saat. anuitas tersebut adalah ā ne Notasi 1 v n ā ne lim m ā(m) ne lim m i (m) 1 vn δ (2.24) 2.5 Anuitas Hidup (Life Annuity) Anuitas hidup (Life Annuity) adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan selama seseorang tertentu masih hidup. Besarnya pembayaran bisa tetap atau berubah-ubah.

8 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 11 Jenis anuitas yang digunakan adalah anuitas seumur hidup (Whole Life Insurance) Anuitas Hidup Kontinu (Continuous Life Annuities) Anuitas seumur hidup sebesar 1 perakhirtahundenganpembayarankontinuatau setiap saat. adalah Nilai sekarang dari pembayaran anuitas tersebut variabel acak Y dari persamaan (2.24) didapat Y ā T e, T 0 ā T e 1 vt δ Actuarial Present Value (AP V ) dari anuitas tersebut adalah ā x E [Y ]E ā T e Z ā te.g (t) dt dengan menggunakan pengintegralan parsial integral tentu : Z b Zb udv[uv] a b vdu a Andaikan : u ā T e du dt d µ 1 v t d µ vt 1 dv t dt δ dt δ δ dt 1 δ.vt. ln v 1 δ.vt. ln (1 + i) 1 1 δ.vt.δ dv g (t) dt 0 v t du v t.dt a dv t p x.μ x+t dt v t p x sehingga : ā x Z ā te.g (t) dt 0 ā te. t p x 0 Z 0 t p x.v t dt

9 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 12 jika : t t p x 0 ; ā te 1 v 1 δ δ t 0 t p x 1 ; ā te 1 v0 0 δ Maka : ā x E Z a T e v t. t p x dt (2.25) Hubungan antara anuitas seumur hidup dengan asuransi seumur hidup yang kontinu : maka : E 1 v T Z ā T e E δ 1 δ 1 δ Z v t.g (t) dt 1 v T.g (t) dt δ ā x 1 δ 1 δ Āx 1 Ā x δ δā x 1 Ā x Ā x + δā x 1 (2.26) Anuitas Hidup Diskrit (Discrete Life Annuities) Anuitas hidup diskrit menggunakan anuitas awal (annuity-due) yang pembayarannya setiap awal tahun. Nilai sekarang dari pembayaran anuitas tersebut yang merupakan variabel acak dari Y adalah : Y ä K+1, K 0 dari persamaan (2.21) akan didapat : ä K+1 1 vk+1 d

10 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 13 AP V dari anuitas tersebut, ä x : i ä x E [Y ]E hä K+1 X ä k+1. Pr (K k) k0 X ä k+1. k p x.q x+k k0 X v k. k p x (2.27) k0 Hubungan anuitas dengan asuransi adalah : i 1 v K+1 ä x E hä K+1 E d maka akan didapat : ä x 1 E v K+1 d 1 A x d Anuitas Hidup dengan m-kali Pembayaran (2.28) AP V dari anuitas hidup sebesar 1 pertahun, yang dibayarkan 1/m pada awal setiap 1/m tahun selama orang berusia (x) tersebut hidup hingga K +(J +1)/m. Variabel acak Y adalah : AP V dari anuitas : ä (m) Y mk+j X j0 1 m vj/m ä (m) K+(J+1)/m x E [Y ]E X 1 vk+(j+1)/m d (m) (2.29) k0 1 m h i ä (m) K+(J+1)/m ä (m). Pr (K k) k+(j+1)/m X v k/m. k/m p x (2.30) k0

11 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 14 Hubungan anuitas dengan asuransi adalah : h i ä x (m) E ä (m) K+(J+1)/m 1 v K+(J+1)/m E d (m) (2.31) maka akan didapat : ä (m) x 1 E v K+(J+1)/m d (m) 1 A(m) x (2.32) d (m) 2.6 Anuitas Survivor, Anuitas Reversionary Anuitas yang dibayarkan kepada istri pada waktu suaminya meninggal disebut Anuitas Janda, jika anuitas dibayarkan dengan syarat orangtuanya meninggal disebut anuitas yatim (orphans annuity). Dalam istilah umum disebut Survivor Annuity, dalam bagian ini dibahas perhitungan-perhitungannya. Pada anuitas ini dimulai pada waktu suami atau orangtuanya meninggal kepada isteri atau anak akan dibayarkan sejumlah anuitas, pada anuitas yang jatuh waktu, nilai sekarang pembayaran anuitas di waktu yang akan datang pada waktu kontrak dimulai perhitungan premi tunggalnya bisa dilakukan (nilai sekarang dari survivor annuity). Dari (x), (y), pada waktu (x) meninggal dunia dimulai pada akhir tahun polis setiap tahun dilakukan pembayaran anuitas hidup sebesar 1 sejauh (y) hidup, pembayaran terakhir dilakukan pada akhir tahun ke n, nilai sekarang anuitas tersebut dinyatakan dalam a x y:n dengan menggunakan nilai kemungkinan, maka

12 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 15 a x y:ne q x p y v ä y+1:ne + 1 q x 2 p y v 2 ä y+2:n q x 3 p y v 3 ä y+3:n n 1 q x n p y v n ä y+n:1 (2.33) q x (p y v) 1+p y+1 v n 1 p y+1 v n q x 2p y v 2 1+p y+2 v n 2 p y+2 v n q x 3p y v 3 1+p y+3 v n 3 p y+3 v n n 1 q x ( n p y v n ) (p y v) q x + 2p y v 2 q x + 1 q x + 3p y v 3 q x + 1 q x + 2 q x ( n p y v n ) q x + 1 q x n 1 q x tp y v t tq x v t (1 t p x ) t p y (2.34) Rumus pada (2.34) bisa diinterpretasikan sebagai syarat berikut. Pada saat pembayaran anuitas satu demi satu, pada saat itu syarat pembayarannya adalah digambarkan pada nilai kemungkinannya, pada saat itu nilai sekarang pembayarannya anuitas dikalikan dengan v t jumlah totalnya digambarkan pada (2.34). Dalam hal pembuatan formula reversionary annuity seperti dijelaskan dalam bagian ini, untuk memperkenalkan akan lebih mudah bila menggunakan cara berpikir yang demikian. Dari ruas kanan (2.34) dari bentuk P P didapatkan a x y:n a y:n a xy:n (2.35) ruas kanan menggambarkan pembayaran anuitas hidup dari (y), dikurangi pembayaran anuitas hidup (x), (y), sesudah (x) meninggal menggambarkan besarnya pembayaran anuitas hidup kepada (y). Perhitungan menggunakan (2.35), menjadi sederhana. Benefit anuitas seumur hidup kepada (y) dinyatakan untuk n, seperti rumus berikut ini: a x y a y a xy (2.36)

13 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 16 Berikut ini anuitas dalam setahun dibayarkan sebanyak k kali, setelah (x) meninggal, pembayaran anuitasnya berikutnya kepada (y) yang berupa anuitas hidup besarnya adalah 1 nya, n tahun kemudian pembayaran anuitas selesai, nilai sekarangnya k adalah a (k) Xnk x y:n ³ t 1 p x t p x k k t p y v t k k äy+ t t 1 (2.37) :n k k bentuk ini adalah similar dengan (2.33), atau menggunakan cara yang pada (2.34). a (k) x y:n a(k) y:n a(k) xy:n (2.38) Jika k, didapatkan a x y:n a y:n a xy:n (2.39) (2.33) atau (2.36), single life x atau y diganti dengan xy atau yang paling akhir hidup xy dimasukkan pada rumus tersebut akan didapatkan suatu formula. Jika persyaratan anuitasnya ditambahkan beberapa kondisi, aplikasi menjadi lebih luas dari pada survivor annuity. Berikut ini diperlihatkan reversionary annuity (dan juga survivor annuity). 1. (y) diganti dengan (y) dan (z) yang hidup bersamaan dimulai pada akhir tahun polis pada waktu (x) meninggal, yang masih hidup (y) dan (z), sampai pada akhir tahun polis ke n, setiap tahun dibayarkan anuitas hidup sebesar 1, similar dengan (2.33) nilai sekarangnya adalah: a x yz:n dalam bentuk lain menjadi t 1 q x v t tp yz ä y+t,z+t:n t+1 (2.40) a x yz:n v t tq x t p yz v t (1 t p x ) t p yz (2.41) atau juga a x yz:n a yz:n a xyz:n (2.42)

14 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 17 Jika dalam 1 tahun anuitasnya dibayarkan k kali, maka a diganti dengan a (k) jika dibayarkan secara kontinu digunakan a, formulanya mirip dengan (2.42). 2. (x) diganti dengan (x) dan (y) yang hidup bersamaan, penerimaan anuitasnya adalah (z), jika di antara (x) dan (y) ada yang meninggal (yang manapun juga), pada akhir tahun polis tersebut jatuh tempo anuitas untuk (z), dengan menggunakan t q xy nilai sekarang anuitasnya a xy z:n t 1 q xy v t tp z ä z+t:n t+1 (2.43) Dengan menggunakan hubungan yang ada, didapatkan perubahan bentuk seperti yang ada pada (2.33) a xy z:n v t tq xy t p z v t (1 t p xy ) t p z (2.44) juga didapatkan rumus berikut ini : a xy z:n a z:n a xyz:n (2.45) 3. (y) diganti dengan yang terakhir hidup di antara (y) dan (z), dimulai pada akhir tahun polis di mana (x) meninggal, nilai sekarang anuitas yang dibayar sejauh (y) atau (z) hidup adalah: a x yz:n t 1 q x v t [ t p y t q z ä y+t:n t+1 + t q y t p z ä z+t:n t+1 + t p y t p z ä y+t,z+t:n t+1 ] (2.46) dalam hubungan ini didapatkan juga: a x yz:n a yz:n a x,yz:n (2.47) Suku ketiga ä yang terdapat dalam [...] pada (2.46) a x yz:n t 1 q x v t [ t p y ä y+t:n t+1 + t p z ä z+t:n t+1 + t p yz ä y+t,z+t:n t+1 ]

15 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 18 Dari yang ada dalam kurung, (2.33), (2.40) didapatkan a x yz:n a x y:n + a x:z:n a x yz:n (2.48) Dari hasil ini dengan menggunakan (2.35) dan (2.42) maka a x yz:n ³a y:n + a z:n a yz:n ³a xy:n + a xz:n a xyz:n Suku pertamanya sama dengan a yz:n, suku keduanya hasilnya sama dengan a x,yz:n, dari sinar (2.47) bisa dibuktikan. Jika menggunakan (2.34), maka a x yz:n v t (1 t p x ) t p yz (2.49) ruas kanannya bisa dinyatakan dalam P P, dan didapatkan (2.47). 4. (x) diganti dengan yang hidup paling akhir di antara (x) dan (y) sebagai penerima anuitas adalah (z), dimulai pada akhir tahun pada waktu yang hidup paling akhir di antara (x) dan (y) meninggal dimulai pembayaran reversionary annuity kepada (z), dengan menggunakan t 1 q xy, maka nilai sekarangnya a xy z:n t 1 q xy v t tp z ä z+t:n t+1 (2.50) Perubahan bentuk seperti (2.33) dapat dilakukan a xy z:n v t tq xy t p z v t (1 t p xy ) t p z (2.51) bisa didapatkan juga hubungan seperti di bawah ini: a xy z:n a z:n a xy,z:n (2.52) Dengan melihat pengaruh yang ada pada point 1-4, berapapun jumlah tertanggung secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut: a X Y :n a Y :n a XY :n (2.53)

16 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 19 sedang yang dimaksud dengan X adalah xyz... atau xyz..., Y adalah abc... atau abc... Pada reversionary annuity, premi tahunan dibayar sampai tahun di mana pembayaran anuitasnya dimulai pada akhir tahun, (x), (y), (z) meninggal secara berurutan, benefitnya jatuh tempo secara berurutan, atau sebelum jatuh tempo kontraknya putus, akan diperhitungkan besar pendapatan premi. Sebagai contoh premi tahunan untuk anuitas sebesar 1. a x y:n ä xy:n, a x yz:n ä xyz:n, a x yz:n ä x,yz:n Terakhir, bentuk dasar reversionary annuity, bentuknya dapat diubah dalam 2 macam seperti pada (1). 5. m<n,dalam jangka waktu m tahun yang dimulai pada saat kontrak dibuat (x) meninggal dunia, dari akhir tahun polis tersebut, atau m tahun kemudian (x) tetap hidup, dari akhir tahun polis tersebut, setiap tahun dibayarkan kepada (y) anuitas sebesar 1, anuitas tersebut dibayarkan sampai akhir tahun polis ke n, nilai sekarangnya dinotasikan dengan a x:m y:n Dari (2.34) pembayaran masing-masing anuitas dilakukan sampai akhir tahun polis ke m 1, sampai saat pembayaran masing-masing (x) meninggal dunia, pada saat tersebut (y) tetap hidup, pada dan sesudah akhir tahun polis ke-m tidak ada lagi hubungannya dengan kematian (x) karena (y) tetap hidup a x:m y:n m 1 X v t (1 t p x ) t p y + m 1 X v t tp y v t tp xy v t tp y tm a y:n a xy:m 1 (2.54) Untuk mendapatkan premi tahunan dibagi dengan ä xy:m. 6. Dewasa ini persoalan yang ada pada reversionary annuity, tanpa menunggu akhir tahun polis kematian (x), jika pada waktu (x) meninggal, (y) tetap

17 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 20 hidup, pada saat itu anuitasnya dimulai reversionary annuity yang dibayarkan segera dinotasikan dengan ba x y. Sekarang anuitasnya terhadap (y), dan anuitasnya sampai tahun polis ke n. Kematian(x) rata-rata terjadi pada pertengahan tahun polis, sebagai ganti (2.33), didapatkan â x y:n t 1 q 1 xy v t 1 2 äy+t 1 2 :n t+1 (2.55) maka â x y:n t 1 q x t 1 2 p y v t 1 2 äy+t 1 2 :n t+1 (2.56) Perhitungan menjadi ä y+t 1 2 :n t+1 äy+t 1:n t+1 +ä y+t:n t+1 2 Jadi, kita bisa sedikit ambil penjelasan anuitas reversionary itu anuitas yang dialihkan. Sebagai contoh jika status x jatuh, dialihkan ke y. Dan lagi jika status x dan y jatuh maka dialihkan ke z itu jg dengan persyaratan yang telah diatur/ditentukan. Untuk kasus pensiun, anuitas reversionary di jelaskan pada penetapan anutias janda dan anuitas yatim. Sehingga kelak jika dilibatkan dalam perhitungan normal cost, anuitas reversionary berperan dalam perhitungan PV (present value) untuk pensiun janda dan pensiun yatim. 2.7 Compound Survivorship Annuity Sebagai contoh a xy z:n dan a xy z:n persoalannya adalah (x) dan (y) dalam keadaan hidup bersamaan atau yang paling akhir hidup, sebagai contoh anuitasnya dimulai pada saat (x) meninggal paling awal, atau anuitasnya dimulai pada waktu (y) meninggal pada urutan ke-2, jika persoalannya adalah urutan kematian disebut Compound Survivorship Annuity. Pada permasalahan ini digunakan Compound Contingent Function tersebut di pembahasan Probabilitas Joint Conditional Life. Berikut ini diberikan 2 hal yang mendasar.

18 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA (x) meninggal duluan dari (y) dimulai pada akhir tahun polis kepada (z) dibayarkan anuitas tahunan sebesar 1 sampai akhir tahun polis ke n, nilai sekarangnya dituliskan dalam bentuk a 1 xy z:n. Penggambaran x ini menyatakan dimulainya anuitas setelah x meninggal. Dengan menggunakan t q 1 xy,maka a 1 xy z:n t 1 q 1 xy v t tp z ä z+t:n t+1 (2.57) Pembuktian menggunakan proses yang sama seperti pada (2.34), maka a 1 xy z:n v t tq 1 xy tp z (2.58) Dari (2.34), memperlihatkan saat pembayaran masing-masing, dan juga memperhatikan fungsi kondisi pembayaran, dari rumus tersebut bisa dituliskan ruas kanannya. Perhatikan anuitasnya dihitung t qxy, 1 dihitung t qxy, 1 dimasukkan pada ruas kanannya. Jika dimasukkan pada 2.43 didapatkan rumus berikut ini: a xy z:n a 1 xy z:n + a 1 xy z:n (2.59) 2. (y) meninggal duluan dari (y) dimulai pada akhir tahun polis pada waktu (x) meninggal, dimulai anuitasnya (z), menggunakan t q 2 xy, maka a 2 xy z:n t 1 q 2 xy v t tp z ä z+t:n t+1 (2.60) Pembuktiannya menggunakan proses yang ada pada (2.34), maka a 2 xy z:n v t tq 2 xy tp z (2.61) Menggunakan hubungan yang ada pada (2.60), maka a 1 xy z:n + a2 xy z:n a x z:n (2.62) Membandingkan a 1 dan a 2 dengan kondisi (x) yang lebih cepat xy z:n xy z:n meninggal daripada (y), perbedaannya adapadadimulainya anuitasjatuh

19 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 22 tempo, yang pertama setelah kematian (x), yang lain setelah kematian (y). Dengan menggunakan (2.62) dan (2.59) perbedaan keduanya ³ a 1 a 2 a 1 a xy z:n xy z:n xy z:n y z:n a 1 xy z:n a xy z:n a y z:n (2.63) Dengan menggunakan (2.45) dan (2.35) didapatkan a 1 xy z:n a 2 xy z:n a yz:n a xyz:n dari ruas kanan (2.42) didapatkan rumus berikut ini a 1 xy z:n a 2 xy z:n a x yz:n (2.64) Compound Survivorship Annuity, premi tahunan, benefitnya dimulai pada akhir tahun polis. Keadaannya sama dengan survivor annuity, benefitnya dimulai berdasarkan urutan yang mati, dalam hubungannya dengan pemutusan kontrak, sampai kapan pembayarannya dilakukan. Besarnya anuitas 1, premi tahunan, dinyatakan dalam rumus berikut ini. a 1 a 2 xy z:n xy z:n, ä xyz:n ä xz:n Pada Compound Survivorship Annuity, anuitasnya dimulai pada akhir tahun polis, ada juga dimulainya pada saat kejadian. Perhitungannya menggunakan dan berdasarkan rumus (2.55), (2.56). Sebagai contoh dalam keadaan (2.57), didapatkan rumus berikut ini: â 1 xy z:n t 1 qxy 1 v t 1 2 t 1 p z ä 2 z+t 1 2 :n t+1 (2.65)