Asuransi Jiwa

Transkripsi

1 Bab 3: Bunga dan Anuitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Bunga Bunga Bunga

3 Macam-macam Bunga Bunga Bunga 1. Bunga Tunggal (Bunga Tidak Mendapat Bunga) Misalkan P menyatakan pokok, yaitu besarnya pinjaman atau modal pertama. Pinjaman tersebut dikenai bunga tunggal sebesar i%, maka P 1 = P + ip = P(1 + i) P 2 = P + 2iP = P(1 + 2i). P n = P + nip = P(1 + ni)

4 Bunga Bunga 2. Bunga Majemuk (Bunga Berbunga) Misalkan P menyatakan pokok, yaitu besarnya pinjaman atau modal pertama. Pinjaman tersebut dikenai bunga tunggal sebesar i%, maka P 1 = P + ip = P(1 + i) P 2 = P 1 + ip 1 = P 1 (1 + i) = P(1 + i) 2. P n = P(1 + i) n

5 Bunga P n menyatakan jumlah akhir pembayaran, sedangkan P merupakan jumlah awal atau nilai tunai atau nilai sekarang (present value), dan Bunga P = P n (1 + i) n Bentuk (1 + i) 1 dikenal dengan istilah faktor diskonto (bunga di depan) dan disimbolkan dengan notasi v, yaitu v = (1 + i) 1, sehingga P = P n v n

6 Bunga Bunga Contoh 1: Rp 1000, 00 dibungakan selama 3 tahun dengan tingkat bunga 7% setahun. Berapakah besar seluruh uang pada akhir tahun ketiga?

7 Bunga Bunga Contoh 1: Rp 1000, 00 dibungakan selama 3 tahun dengan tingkat bunga 7% setahun. Berapakah besar seluruh uang pada akhir tahun ketiga? Solusi: Bunga Tunggal Bunga Majemuk P 3 = 1000(1 + 3i) = 1000( ) = 1210 P 3 = 1000(1 + i) 3 = 1000( ) 3 =

8 Bunga Bunga Contoh 2: Seorang ayah mempunyai seorang anak berumur 8 tahun. Si ayah ingin mendepositokan uangnya di bank dan akan memberikannya pada si anak sebagai sebagai biayanya di perguruan tinggi waktu si anak tepat berusia 18 tahun. Bila bank memberi bunga majemuk 12% setahun dan si ayah ingin menyerahkan Rp 10 juta pada si anak 10 tahun kemudian, berapakah dia harus mendepositokan uangnya?

9 Bunga Bunga Contoh 2: Seorang ayah mempunyai seorang anak berumur 8 tahun. Si ayah ingin mendepositokan uangnya di bank dan akan memberikannya pada si anak sebagai sebagai biayanya di perguruan tinggi waktu si anak tepat berusia 18 tahun. Bila bank memberi bunga majemuk 12% setahun dan si ayah ingin menyerahkan Rp 10 juta pada si anak 10 tahun kemudian, berapakah dia harus mendepositokan uangnya? Solusi: P 10 = 10 juta, n = 10, i = 0.12, maka P = P 10 v 10 = ( ) 10 = ( ) =

10 Serangkaian pembayaran berkala yang dilakukan selama jangka waktu tertentu Pembayaran dilakukan tanpa syarat, jadi harus dilakukan secara berkala selama jangka waktu yang telah ditetapkan Besarnya pembayaran berkala tak perlu sama, tapi pada materi ini akan kita anggap sama Anuitas tentu dibagi menjadi dua, yaitu 1 Anuitas Akhir: pembayaran dilakukan di akhir tahun 2 Anuitas Awal: pembayaran dilakukan di awal tahun

11 Akhir Anuitas Pandang suatu anuitas tentu dengan n pembayaran sebesar P tiap akhir tahun. Maka total nilai akhirnya adalah s n = NA = P(1 + i) n 1 + P(1 + i) n P(1 + i) + P = P((1 + i) n 1 + (1 + i) n (1 + i) + 1) = P (1 + ( i)n 1 v n ) 1 = P i i

12 Sedangkan nilai tunainya adalah: Ingat! v = 1 1+i i = 1 v v a n = NT = P v + P v P v n = P(v + v v n ) ( v(1 v n ) ( ) ) 1 v n = P = P 1 v i

13 Contoh 3: Hitunglah nilai tunai dan nilai akhir dari suatu rangkaian pembayaran sebesar Rp 150 tiap akhir tahun selama 20 tahun bila tingkat bunga (majemuk) 5% setahun.

14 Contoh 3: Hitunglah nilai tunai dan nilai akhir dari suatu rangkaian pembayaran sebesar Rp 150 tiap akhir tahun selama 20 tahun bila tingkat bunga (majemuk) 5% setahun. Solusi: Diketahui: n = 20, i = 0.05, v = ( ) 1 = Jadi, ( ) ( ) 1 v n a 20 = NT = P = 150 i 0.05 ( ) = 150 = dan ( v n ) 1 s 20 = NA = P i ( ) 1 = 150 =

15 Hubungan s n dengan a n Berdasarkan pengertian sebelumnya ( v n ) 1 s n = P i ( ) 1 v n a n = P i maka a n v n = s n

16 Awal Anuitas Pandang suatu anuitas tentu dengan n pembayaran sebesar P tiap awal tahun. Anuitas yang seperti ini disebut anuitas awal dan ditulis dengan simbol ä n. ä n = P + P v + P v P v n 1 = P(1 + v + v v n 1 ( ) ( ) 1 v n 1 v n = P = P 1 v iv

17 Hubungan ä n dan a n Berdasarkan pengertian sebelumnya, ( ) 1 v n a n = P i ( ) 1 v n ä n = P iv maka a n = v ä n

18 Contoh 4: Suatu polis asuransi memberikan pilihan sebagai berikut: Bila si Ali meninggal, Ny. Ali dapat memilih menerima uang tunai sebesar Rp 1 juta atau menerima pembayaran tahunan selama 10 tahun, pembayaran dilakukan tiap permulaan tahun. Tingkat bunga diperhitungkan 6% setahun. Hitung besarnya pembayaran tahunan tersebut.

19 Contoh 4: Suatu polis asuransi memberikan pilihan sebagai berikut: Bila si Ali meninggal, Ny. Ali dapat memilih menerima uang tunai sebesar Rp 1 juta atau menerima pembayaran tahunan selama 10 tahun, pembayaran dilakukan tiap permulaan tahun. Tingkat bunga diperhitungkan 6% setahun. Hitung besarnya pembayaran tahunan tersebut. Penyelesaian: Diketahui ä 10 = 1 dan v = (1.06) 1 1 = ä 10 ( ) 1 v n 1 = P iv 1 P = ) = ( 1 v n iv (1.06) 1 = = Jadi, pembayaran tiap tahunnya adalah Rp

20 Tertunda Anuitas Pandang suatu rangkaian pembayaran sebesar P tiap tahun, pembayaran pertama dilakukan 5 tahun dari sekarang, selama 20 tahun. Jika tingkat bunga i%, maka

21 1 Pembayaran dianggap dilakukan pada setiap awal tahun (dimulai pada awal tahun ke-5) Mula-mula hitung nilai tunai pada permulaan tahun ke-5 ( ä 20 = P 1 v n iv Tarik ke awal tahun pertama ( ) 1 v v 5 ä 20 = v 5 n P iv 2 Pembayaran dianggap dilakukan pada setiap akhir tahun (dimulai pada akhir tahun ke-4) Mula-mula hitung nilai tunai pada permulaan tahun ke-4 ( a 20 = P 1 v n i Tarik ke awal tahun pertama ( ) 1 v v 4 a 20 = v 4 n P i ) ) Jadi, v 5 ä 20 = v 4 a 20.

22 Latihan Latihan 1. Seseorang akan menerima 10 kali pembayaran tahunan sebesar Rp 5 juta, pembayaran pertama dilakukan sekarang. Berapakah nilai tunai dan nilai akhir pembayaran bila: a. tingkat bunga 5% setahun? b. tingkat bunga 8% setahun? 2. Seorang ayah menaruh uang di bank untuk membiayai sekolah anaknya selama 12 tahun. Jika si anak menerima Rp 8 juta tiap akhir tahun, pembayaran pertama dilakukan pada akhir tahun ke-6 dari sekarang dan seluruh uang dan bunganya habis dibayarkan pada waktu pembayaran yang ke-12 dilakukan. Berapa banyakkah si ayah menaruh uangnya di bank bila bank memberi bunga 12% setahun? 3. Sebuah rumah dibeli dengan uang muka Rp 100 juta dan cicilan tiap akhir bulan sebesar Rp 5 juta selama 10 tahun. Bila bunga uang sebesar 3%, berapakah harga rumah tersebut bila dibeli tunai?

23 Latihan 4. Hitunglah nilai tunai dan nilai akhir suatu anuitas selama 10 tahun sebesar Rp 100 setahun, pembayaran ditunda selama 5 tahun. Tingkat bunganya 8% setahun. 5. Seseorang menabung uang Rp 1000 tiap permulaan tahun selama 10 tahun dengan bunga 5% setahun. Berapa jumlah uang seluruhnya pada akhir tahun ke-15?

24 Latihan 6. Seseorang membeli rumah seharga Rp 300 juta sudah termasuk uang muka sebesar Rp 100 juta. Dia berjanji membayar sisanya dengan cicilan yang sama tiap awal bulan selama 15 tahun. Berapa besar cicilan bulanan bila tingkat bunganya 4% setahun? 7. Suatu perusahaan membeli sebuah mesin seharga Rp 10 juta. Mesin tersebut duharapkan dapat dipakai selama 10 tahun dan akan diganti dengan mesin yang sama 10 tahun kemudian dengan harga yang sama pula. Suatu dana untuk pembelian mesin baru diadakan dengan menyetor uang tiap akhir tahun selama 10 tahun dengan bunga 2.5%. Berapa besar setoran tiap tahun?

25 Latihan 8. Daripada membayar sewa Rp pada permulaan tiap bulan selama 8 tahun, si Ali memutuskan membeli rumah. Bila bunga uang 5% setahun, berapakah harga rumah (nilai tunai) yang dapat dia beli dengan uang sewa di atas? 9. Anggap P = 1, buktikan a. a n = a n 1 + v n b. s n = s n 1 + v (n 1)