SKRIPSI. Oleh. Moza Gandhi Prakoso NIM PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

Transkripsi

1 ANALISA KESTABILAN MODEL SIRS 0 I 0 V 0 PADA PENYEBARAN VIRUS FLU BURUNG (AVIAN INFLUENZA) DARI UNGGAS KE MANUSIA DENGAN PENGARUH VAKSINASI PADA UNGGAS SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains Oleh Moza Gandhi Prakoso NIM PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2017

2

3

4

5 MOTTO Barangsiapa menempuh jalan untuk menuntut ilmu, niscaya Allah memudahkan baginya jalan menuju surga. (HR. Muslim). Sampaikanlah dariku meski hanya satu ayat, dan boleh saja kalian menceritakan dari kaum Bani Israil. Dan barangsiapa mendustakan aku dengan sengaja, sebaiknya ia siapkan tempat duduknya di neraka. (HR. Bukhari). Kalau kalian benar-benar bertawakal kepada Allah niscaya Dia akan memberi kalian rezeki sebagaimana Ia memberi rezeki kepada seekor burung yang ketika pergi pada pagi hari dengan perut kosong dan pulang pada sore hari dengan perut kenyang.(hr. Tirmidzi). Wahai orang-orang beriman, jika kamu menolong (Agama) Allah, niscaya Dia akan menolongmu dan meneguhkan kedudukanmu. (QS. Muhammad:07). Hendaklah kamu berpegang kepada kebenaran, karena sesungguhnya kebenaran itu memimpin kepada kebaktian, dan kebaktian itu membawa ke surga (kebahagiaan); dan hendaklah tetap seseorang itu bersifat benar dan memilih kebenaran hingga dia tertulis di sisi Allah sebagai orang yang sangat benar; dan hendaklah kamu jauhi kedustaan, karena sesungguhnya kedustaan itu memimpin pada kedurhakaan, dan kedurhakaan membawa ke neraka (kehancuran); dan janganlah seseorang tetap berdusta dan memilih kedustaan hingga tertulis di sisi Allah sebagai pendusta. (HR. Bukhari dan Muslim). v

6 HALAMAN PERSEMBAHAN...Alhamdulillahirabbil alamin Tulisan skripsi ini saya persembahkan untuk Kedua orang tua saya, Bapak Hasto Nuryatno dan Ibu Mulyani, Yang senantiasa memotivasi dan memberikan ridlo nya serta kasih sayang yang tak terkira dan naungan doa yang mengalir kepada anaknya, Untuk adikku tercinta, Sukma Ayu Firanty Khasanah yang selalu manja, nyebelin, dan ngangenin, yang selalu setia berusaha menggapai mimpi bersama untuk bahagiakan kedua orang tua, Teruntuk sahabat ku yang istimewa, Susi Septiana yang selalu memotivasi dan memberikan dukungan hingga terselesaikannya skripsi ini, Keluarga ku di MATEMATIKA B 2013 yang selalu memberikan semangatnya dan pembelajarannya dari semester 1 sampai semester 8, Keluarga KESRAVO HIMATIKA 2014 yang baik hati, selalu memberikan dukungan kepada saya dalam hal apapun, Serta kepada teladan saya di kampus biru, Ibu Dwi Lestari, Ibu Husna Arifah, Bapak Agus Maman Abadi, dan seluruh civitas akademika FMIPA UNY yang telah membimbing untuk menjadi orang yang lebih baik. vi

7 ANALISA KESTABILAN MODEL SIRS 0 I 0 V 0 PADA PENYEBARAN VIRUS FLU BURUNG (AVIAN INFLUENZA) DARI UNGGAS KE MANUSIA DENGAN PENGARUH VAKSINASI PADA UNGGAS Oleh Moza Gandhi Prakoso NIM ABSTRAK Flu burung (Avian Influenza) merupakan penyakit yang disebabkan oleh virus influenza tipe A. Proses penularan virus flu burung dapat terjadi melalui kontak langsung maupun kontak tidak langsung antara unggas dengan manusia. Penelitian ini bertujuan (1) untuk membentuk model SIRS 0 I 0 V 0 (Susceptible pada manusia Infected pada manusia Recovered pada manusia Susceptible pada unggas Infected pada unggas Vaccination pada unggas), (2) menganalisa kestabilan titik ekuilibrium, dan (3) menjelaskan simulasi model penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas. Tahapan untuk menganalisis model SIRS 0 I 0 V 0 pada penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) adalah membentuk model SIRS 0 I 0 V 0, mentransformasikan model, menentukan titik ekuilibrium, menentukan bilangan reproduksi dasar, menganalisis kestabilan tititk ekuilibrium dan melakukan simulasi dengan menggunakan software Maple 17. Hasil yang diperoleh yaitu dapat dibentuk model SIRS 0 I 0 V 0 dengan 6 kelas populasi yaitu kelas Susceptible pada manusia, kelas Infected pada manusia, kelas Recovered pada manusia, kelas Susceptiblen pada unggas, kelas Infected pada unggas, dan kelas Vaccination pada unggas. Model yang diperoleh berupa sistem persamaan differensial non linear. Model penyebaran virus flu burung disederhanakan menjadi siri 0 v 0 dengan pemberian vaksin hanya untuk unggas. Kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit akan stabil asimtotik lokal saat bilangan reproduksi kurang dari satu dan tidak stabil saat bilangan reproduksi lebih dari satu. Selain itu untuk kestabilan titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik lokal saat bilangan reproduksi lebih dari satu. Laju kontak antara unggas sehat dan unggas sakit sangat berpengaruh dalam menentukan kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit maupun endemik, semakin tinggi laju kontak maka penyakit akan menyebar. Berdasarkan simulasi model, semakin tinggi tingkat pemberian vaksinasi maka kelas Infected pada manusia dan kelas Infected pada unggas akan menurun menuju nol. Jadi program vaksinasi dapat digunakan untuk mengendalikan penyebaran virus flu burung. Kata kunci: Flu burung(avian Influenza), kestabilan, titik ekuilibrium, vaksinasi. vii

8 STABILITY ANALYSIS OF SIRS 0 I 0 V 0 MODEL ON DISTRIBUTION OF BIRD FLU VIRUS FROM POLICY TO HUMAN WITH EFFECT OF VACCINATION IN PASS By Moza Gandhi Prakoso NIM ABSTRACT Avian influenza is a disease caused by influenza type A virus. The process of avian influenza virus transmission occur through direct or indirect contact between birds with humans. The purpose of this study are (1) to establish a model of SIRS 0 I 0 V 0 (Susceptible in humans - Infected in humans - Recovered in humans - Susceptible in poultry - Infected in poultry - Vaccination in poultry), (2) analyzes stability of equilibrium point, (3) and explains the simulation model of avian influenza from birds to humans with the effect of vaccination on poultry. The stages for analyzing the SIRS 0 I 0 V 0 model on avian influenza virus are forming the SIRS 0 I 0 V 0 model, transforming the model, determining equilibrium point, determining the basic reproduction number, analyzing stability of equilibrium tititk and performing simulation using Maple 17 software. The results of this study obtained are SIRS 0 I 0 V 0 model with 6 classes of population which are, class Susceptible in humans, Infected class in humans, Recovered class in humans, Susceptible class in poultry, Infected class in poultry, and Vaccination class on poultry. The model obtained is a system of non linear differential equations. The model of the transmission of the Avian influenza virus is simplified into siri 0 v 0 by administering the vaccine only to poultry. The stability of the disease-free equilibrium point will stable asymptotically local when the reproduction number is less than one and unstable when the reproduction number is more than one. In addition to the stability of the local asymptotic stable endemic equilibrium point when the reproduction number is more than one. The contact rate between healthy birds and sick poultry is very influential in determining the stability of the disease-free or endemic equilibrium point, the higher the contact rate the disease will spread. Based on the model simulation, the higher the level of vaccination then the Infected class on humans and Infected class in poultry will decrease to zero. So the vaccination program can be used to control the transmission of Avian influenza virus. Keywords: Avian Influenza, stability, equilibrium point, vaccination.. viii

9

10

11 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i PERSETUJUAN... ii SURAT PERNYATAAN... iii PENGESAHAN... iv MOTTO... v HALAMAN PERSEMBAHAN... vi ABSTRAK... vii KATA PENGANTAR... ix DAFTAR ISI... xi DAFTAR TABEL... xiii DAFTAR GAMBAR... xiv DAFTAR LAMPIRAN... xv DAFTAR SIMBOL... xvi BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang... 1 B. Identifikasi Masalah... 5 C. Rumusan Masalah... 5 D. Tujuan Penulisan... 6 E. Manfaat Penulisan... 6 BAB II LANDASAN TEORI... 8 A. Pemodelan Matematika... 8 B. Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Persamaan Diferensial Parsial (PDP) C. Solusi Persamaan Diferensial D. Sistem persamaan Diferensial Sistem Persamaan Diferensial Linear xi

12 2. Sistem Persamaan Diferensial Non-Linear E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen F. Titik ekuilibrium G. Linearisasi H. Analisis Kestabilan I. Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproduction Number) J. Kriteria Routh Hurwitz BAB III PEMBAHASAN A. Permasalahan Nyata Flu Burung (Avian Influenza) B. Asumsi-asumsi Model Matematika SIRS 0 I 0 V 0 pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas C. Formulasi Model Matematika SIRS 0 I 0 V 0 pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas D. Transformasi Model E. Titik Ekuilibrium Matematika SIRS 0 I 0 V 0 pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas F. Bilangan Reproduksi Dasar G. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Kestabilan Titik Ekuilibrium Endemik H. Simulasi Model BAB IV PENUTUP A. KESIMPULAN B. SARAN DAFTAR PUSTAKA xii

13 DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Routh-Hurwitz Tabel 3.1 Variabel dan Parameter dalam Model Tabel 3.2 Tabel Routh-Hurwitz untuk menentukan nilai eigen Tabel 3.3 Simulasi dengan beberapa Parameter xiii

14 DAFTAR GAMBAR Gambar 2. 1 Proses Pemodelan Matematika... 9 Gambar 2. 2 Ilustrasi Kestabilan Gambar 3.3 Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Flu Burung (Avian Influenza) dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas Gambar 3.2 Simulasi model dengan ρρ = 0 dan β 0 = Gambar 3.3 Simulasi model dengan ρρ = 0 dan β 0 = 0.050T Gambar 3.4 Simulasi model dengan ρρ = 0.1 dan β 0 = 0.050T Gambar 3.5 Simulasi model dengan ρρ = 0.1 dan β 0 = 0.160T Gambar 3.6 Simulasi model dengan ρρ = 0.2 dan β 0 = 0.160T xiv

15 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Program Maple untuk ρ = 0 saat RR 0 < 1 dengan β 0 = Lampiran 2. Program Maple untuk ρ = 0 saat RR 0 > 1 dengan β 0 = Lampiran 3. Program Maple untuk ρ = 0.1 saat RR 0 < 1 dengan β 0 = Lampiran 4. Program Maple untuk ρ = 0.1 saat RR 0 > 1 dengan β 0 = Lampiran 5. Program Maple untuk ρ = 0.2 saat RR 0 < 1 dengan β 0 = xv

16 DAFTAR SIMBOL Simbol NN(tt) SS(tt) II(tt) RR(tt) NN 0 (tt) SS 0 (tt) II 0 (tt) VV 0 (tt) γγ ββ Makna Banyaknya populasi manusia pada waktu t Banyaknya populasi manusia yang retan terinfeksi penyakit pada waktu t Banyaknya populasi manusia yang terinfeksi penyakit pada waktu t Banyaknya populasi manusia yang sembuh dari penyakit pada waktu t Banyaknya populasi unggas pada waktu t Banyaknya populasi unggas yang retan terinfeksi penyakit pada waktu t Banyaknya populasi unggas yang terinfeksi penyakit pada waktu t Banyaknya populasi unggas yang tervaksinasi pada waktu t Laju konstan kelahiran dan imigrasi Laju kontak antara unggas sakit dengan manusia sehat ββ 0 Laju kontak antara unggas sehat dengan unggas sakit μμ 0 μμ αα Laju kematian dan kelahiran alami dalam populasi unggas tanpa pengaruh flu burung Laju kematian individu dalam populasi manusia tanpa pengaruh flu burung Laju konstan kematian manusia akibat terinfeksi flu burung xvi

17 εε ωω ρρ xx 0 xx EE CC EE R nn xx Laju kesembuhan populasi manusia yang terinfeksi Laju konstan hilangnya kekebalan pada manusia Rasio populasi unggas yang memperoleh vaksinasi Nilai awal atau kondisi awal Turunan xx terhadap tt Himpunan terbuka Himpunan semua fungsi yang mempunyai turunan pertama yang kontinu di EE Himpunan bilangan real dimensi nn Titik ekuilibrium DDDD(xx 0 ) Turunan ff di xx 0 JJJJ(xx ) λλ AA II Ree(λλ ii ) RR 0 EE 0 EE 1 ψψ ii φφ ii Matriks Jacobian di xx Nilai eigen Matriks berukuran berukuran nn xx nn Matriks Identitas Bilangan real pada nilai eigen ke ii Bilangan reproduksi dasar Titik ekuilibrium bebas penyakit Titik ekuilibrium endemik Matriks laju perkembangan penyakit, kematian dan kesembuhan yang mengurangi kelas terinfeksi Matriks laju individu baru terinfeksi penyakit xvii