Statistika. Probabilitas. Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi S2 Teknik Sipil.

Transkripsi

1 Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi S2 Teknik Sipil Statistika Probabilitas 1

2 Probabilitas Probabilitas Peluang Kemungkinan Mengapa probabilitas? Orang 7dak dapat memas7kan nilai suatu proses (misal erupsi gunung berapi) berdasarkan data erupsi selama waktu yang lalu sampai saat ini. Sifat stokas7k ataupun ke7dak-pas7an merupakan sifat yang melekat pada proses (yang melibatkan) alam. 2

3 Probabilitas, Peluang Kejadian No urut Jumlah hari terjadinya kemacetan pasokan air per bulan Frekuensi Jumlah 30 Jumlah hari saat terjadi kemacetan pasokan air PDAM selama 30 bulan terakhir. Dapatkah Saudara memas7kan jumlah hari akan terjadi kemacetan pasokan air PDAM pada bulan depan? 3

4 Probabilitas, Peluang Kejadian, Risiko Debit puncak suatu Sungai XYZ selama 66 tahun Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Dapatkah Saudara memas7kan debit maksimum pada tahun ke-67? 4

5 Probabilitas Definisi #1 Andaikata suatu peris7wa random dapat terjadi dalam n cara yang masing-masing memiliki kemungkinan yang sama, dan apabila sejumlah n a cara memberikan hasil A, maka probabilitas terjadinya peris7wa dengan hasil A adalah n a /n prob( A) = n a n Dalam definisi di atas, n adalah himpunan semua yang mungkin terjadi. Definisi di atas berasumsi bahwa n diketahui, padahal himpunan semua cara yang mungkin pada kenyataannya 7dak selalu diketahui atau 7dak terjadi atau 7dak diama7 atau 7dak dihitung. 5

6 Probabilitas Definisi #2 Andaikata suatu peris7wa random terjadi berkali-kali dalam jumlah yang sangat besar, n kali, dan sejumlah n a kali memiliki hasil A, maka probabilitas peris7wa dengan hasil A adalah prob( A) = lim n a n n Definisi di atas berbeda dengan definisi #1 dalam hal-hal berikut: Probabilitas suatu kejadian diperkirakan (can be es)mated) berdasarkan observasi sejumlah n kali. n di sini 7dak/bukan merupakan himpunan semua kejadian yang mungkin; dalam hal ini, 7dak diperlukan untuk mengetahui atau melakukan observasi terhadap semua kemungkinan Se7ap cara yang mungkin terjadi (dalam n tersebut) 7dak harus memiliki kemungkinan yang sama untuk terjadi. 6

7 Probabilitas Definisi 2: butuh berapa n? Contoh Pada 2 set pengamatan (sampel) yang 7dak saling terkait/ tergantung, perkiraan probabilitas kejadian A dapat ditetapkan berdasarkan masing-masing sampel tersebut. Kedua nilai probabilitas 7dak selalu sama satu dengan yang lain. Kedua nilai probabilitas 7dak selalu sama dengan perkiraan probabilitas A yang ditetapkan dengan pengamatan sejumlah takberhingga kali. Problem: berapa jumlah pengamatan n yang diperlukan untuk mendapatkan es7masi probabilitas A yang dapat diterima? 7

8 Probabilitas Kisaran (range) probabilitas Dari kedua definisi, kisaran probabilitas adalah 0 s.d. 1. prob(a) = 0 hampir 7dak mungkin terjadi (nearly impossible) prob(a) = 1 hampir pas7 terjadi (almost certain) 8

9 Probabilitas Misal suatu eksperimen (proses) menghasilkan sejumlah output yang berupa variable random Himpunan semua hasil yang mungkin didapat disebut sample space. Se7ap elemen di dalam sample space disebut sample points (element) Se7ap elemen di dalam sample space memiliki faktor/bobot/ weight (posi7f) sedemikian hingga jumlah weight seluruh elemen bernilai 1. Nilai bobot berbanding lurus dengan kemungkinan eksperimen akan memberikan hasil elemen tersebut. Bobot 7dak lain adalah probabilitas. 9

10 Organisasi Data: Tabel dan Grafik PROBABILITAS 10

11 Organisasi Data Koleksi data sta7s7k perlu disusun (diorganisir) sedemikian hingga dapat dibaca dengan jelas. Salah satu pengorganisasian data sta7s7k adalah dengan: tabel grafik 11

12 Organisasi Data Tabel Di dalam tabel, se7ap raw score ( data mentah ) sejenis dikelompokkan. Pengelompokkan tersebut kemudian dirangkum dalam suatu tabel yang ringkas. 12

13 Contoh #1 Data hujan harian di suatu stasiun selama 30 bulan selama Januari 2003 s.d. Juni 2005 Hari hujan per bulan 13

14 Hari hujan dalam sebulan Bulan Bulan ke- Tanggal Jumlah Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun

15 12 10 Jumlah hari hujan per bulan Jumlah hari H + s H H H s H Jan-03 Feb-03 Mar-03 Apr-03 May-03 Jun-03 Jul-03 Aug-03 Sep-03 Oct-03 Nov-03 Dec-03 Jan-04 Feb-04 Mar-04 Apr-04 May-04 Jun-04 Jul-04 Aug-04 Sep-04 Oct-04 Nov-04 Dec-04 Jan-05 Feb-05 Mar-05 Apr-05 May-05 Jun-05 15

16 12 Jumlah hari hujan per bulan 10 Jumlah hari H + s H H H s H Bulan ke- 16

17 Tabel Frekuensi: jumlah hari hujan per bulan periode Jan-03 s.d. Jun-05 Jumlah hari hujan per bulan Frekuensi Jumlah 30 17

18 Tabel Frekuensi: jumlah hari hujan per bulan periode Jan-03 s.d. Jun-05 Jumlah hari hujan per bulan Frekuensi Jumlah 30 Jumlah hari hujan per bulan Frekuensi Jumlah 30 18

19 Bar Chart Frekuensi Jumlah hari hujan selama 30 bulan Jumlah hari 19

20 Bar Chart Jumlah hari hujan per bulan selama 30 bulan 8 Frekuensi Jumlah hari

21 Histogram Jumlah hari hujan per bulan selama 30 bulan Frekuensi Jumlah hari

22 Histogram Jumlah hari hujan per bulan selama 30 bulan Frekuensi Jumlah hari

23 Probabilitas, Peluang Kejadian Jumlah hari hujan per bulan Frekuensi Frekuensi rela7f Jumlah untuk jumlah sampel yang besar, maka nilai frekuensi rela7f dapat dipakai sebagai es7masi nilai probabiltas 23

24 Probabilitas - Histogram 0.25 Jumlah hari hujan per bulan selama 30 bulan Frekuensi rela6f Jumlah hari

25 Probabilitas - Histogram Jumlah hari hujan per bulan selama 30 bulan Frekuensi rela6f Jumlah hari

26 Contoh #2 Data debit puncak suatu sungai selama kurun 66 tahun Debit dikelompokkan ke dalam klas dengan lebar interval tertentu Frekuensi kejadian debit pada se7ap klas dihitung gunakan perintah fungsi MSExcel: =FREQUENCY(...) 26

27 Debit puncak suatu Sungai XYZ selama 66 tahun Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s)

28 Debit puncak tahunan suatu sungai selama 66 tahun Debit (m 3 /s) Tahun ke- 28

29 Tabel Frekuensi Interval Klas Klas Frekuensi Frekuensi rela6f Frek rel kumula6f Σ

30 Frekuensi rela6f Debit puncak tahunan suatu sungai selama 66 tahun Debit (m 3 /s) interval klas 100 m 3 /s 30

31 Tabel Frekuensi Interval Klas Klas Jumlah Frekuensi rela6f Frek rel kumula6f Σ

32 Frekuensi rela6f Debit puncak tahunan suatu sungai selama 66 tahun Debit (m 3 /s) interval klas 150 m 3 /s 32

33 Klas vs Nilai Parameter Statistika Adakah pengaruh pengelompokan data terhadap nilai-nilai parameter sta7s7ka? Rata-rata Simpangan baku 33

34 Sample Space Sample Elements PROBABILITAS 34

35 Sample Space dan Sample Elements Contoh #1: Suatu DAS memiliki 3 stasiun: Sta-1, Sta-2, Sta-3. Eksperimen: meneli7 se7ap stasiun perlu/7dak kalibrasi Output: (y,n,y) Sta-1 perlu kalibrasi (y = yes) Sta-2 tak perlu kalibrasi (n = no) Sta-3 perlu kalibrasi (y = yes) 35

36 Sample Space dan Sample Elements Sample space: Alterna7f 1 S 1 ={(y,y,y),(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y), (y,n,n),(n,y,n),(n,n,y),(n,n,n)} S 1 adalah discrete sample space: jumlah elemen di dalam S 1 dapat dihitung. Apabila eksperimen dilakukan satu kali saja, maka salah satu elemen S 1 pas7 terjadi. Sample space: Alterna7f 2 S 2 ={0,1,2,3} S 2 adalah discrete sample space. Hanya ingin diketahui jumlah stasiun yang perlu dikalibrasi. Tidak diperlukan untuk mengetahui stasiun mana yang perlu dikalibrasi. Informasi yang diperoleh lebih sedikit daripada S 1. 36

37 Sample Space dan Sample Elements Contoh #2: Pengukuran angin: kecepatan (km/jam) dan arah ( o ). Output: (x,y) x = kecepatan (km/jam) y = arah ( o ) 37

38 Sample Space dan Sample Elements Sample space: Alterna7f 1 Ω 1 = ( x, y) : x 0, 0 y 360 y ( o ) 360 { } 0 x (km/jam) Sample space: Alterna7f 2 Ω 2 = { +, } discrete sample space + = kecepatan > 60 (km/jam) = kecepatan < 60 (km/jam) continuous sample space 38

39 Events Event adalah suatu himpunan bagian (subset) dari sample space Suatu event terjadi jika dan hanya jika hasil dari eksperimen adalah anggota event tersebut Contoh: Kalibrasi Sta-1, Sta-2, Sta-3 Event A: paling sedikit 2 stasiun perlu dikalibrasi A={(y,y,y),(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y)} Event B: tak ada stasiun yang perlu dikalibrasi B={(n,n,n)} Event C: 2 stasiun perlu dikalibrasi C={(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y)} 39

40 Diagram Venn Notasi: S = sample space E i = elemen di dalam S A,B = events di dalam S prob(e i ) = probabilitas elemen E i S o E 1 o E 2 o E 3 A 0 prob( E i ) 1 S = i E i prob S ( ) = prob( E i ) =1 A B B A B o E n S o E 1 o E 2 o E 3 o E n 40

41 Probabilitas Suatu Event Event A A = n E i=m i 0 prob A Event A dan B n ( ) = prob( E i ) i=m 1 prob( A B) = prob( A) +prob( B) prob( A B) Apabila A dan B tak bergantung satu dengan yang lainnya (independent), maka ( ) = prob( A) +prob( B) prob A B 41

42 Probabilitas Suatu Event Event A c (= komplemen event A) A A c = S prob( A A c ) = prob( A) + prob( A c ) =1 prob( A) =1 prob( A c ) 42

43 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Probabilitas suatu event (event B) bergantung pada terjadinya event lain (event A). S A A B prob( B A) = B ( ) prob( A) prob A B prob( A B) = prob A prob(b A) = prob(b) dengan syarat event A terjadi» sample space berubah dari S menjadi A,» event diwakili oleh A B, prob( A) 0 ( )prob B A ( ) 43

44 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Apabila event B tak bergantung pada event A (keduanya merupakan independent events), maka prob( B A) = prob( B) prob( A B) = prob( A) prob( B) 44

45 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Contoh Data pengamatan hari hujan di suatu wilayah menunjukkan probabilitas hari hujan sbb. hari hujan setelah hari hujan = hari tak hujan setelah hari hujan = hari tak hujan setelah hari tak hujan = hari hujan setelah hari tak hujan = Apabila dijumpai bahwa suatu hari terjadi hujan, berapakah probabilitas bahwa 2 hari berikutnya juga hujan? 45

46 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Penyelesaian Misal hari hujan (h) terjadi sbb. hari ke-0 hari ke-1 hari ke-2 h h h event A event B Event A = hari ke-1 hujan setelah hari ke-0 hujan Event B = hari ke-2 hujan setelah hari ke-0 hujan Yang dicari adalah 3 hari hujan berturut-turut: ( ) = prob( A) prob B A prob A B ( ) Diketahui prob(a) = (hari hujan setelah hari hujan) prob B A ( ) = ( ) = = prob A B 46

47 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Cara penyelesaian yang lain Probabilitas hari hujan setelah hari hujan adalah p = Suatu hari (hari ke-0) terjadi hujan hari ke-0 hari ke-1 hari ke-2 h h h p = p = p = th p = th 47

48 Probabilitas Total (Total Probability) Apabila B 1, B 2,, B n adalah serangkaian events yang 7dak saling berkaitan (mutually exclusive events) dan masingmasing memiliki probabilitas 7dak sama dengan nol, prob(b i ) 0, untuk semua i: B 1 B 2 B n = S B i B j = 0, i, j ( i j) prob B i ( ) > 0, i 48

49 Probabilitas Total (Total Probability) Probabilitas suatu event A dapat dituliskan sbb. S B 2 B 1 A prob A B 3 B n ( ) = prob# $ ( A B 1 ) ( A B 2 )... ( A B n )% & = prob( A B 1 ) +prob( A B 2 ) prob( A B n ) 49

50 Probabilitas Total (Total Probability) Dari condi)onal probability: prob( A) = prob( B 1 ) prob( A B ) prob( B n ) prob( A B ) n prob A ( ) = prob( A) prob B 1 A ( ) = prob( B 1 ) prob A B 1 prob A B 1 prob B 1 A S B 2 B 1 A n ( ) = " prob( B i ) prob A B i i=1 # B 3 B n ( ) ( ) ( ) $ % 50

51 Probabilitas Total (Total Probability) Contoh Data genangan di suatu wilayah permukiman menunjukkan bahwa probabilitas terjadinya genangan adalah 0.80 saat hari hujan dan 0.25 saat tak hujan. Diketahui bahwa probabilitas hari hujan adalah Berapakah probabilitas terjadinya genangan di wilayah tersebut? 51

52 Probabilitas Total (Total Probability) Penyelesaian Jika event A = terjadi genangan event B 1 = hari hujan event B 2 = hari tak hujan ( ) +prob B 2 ( ) prob( A) = prob( B 1 ) prob A B 1 ( ) prob A B 2 = ( ) 0.25 =

53 Teorema Bayes Dari condi)onal probability ( ) = prob( A) prob B A ( ) = prob( B) prob A B prob A B prob B A ( ) ( ) Karena prob( A B) = prob( B A), maka: prob( A) prob( B A) = prob( B) prob( A B) Untuk events A dan B j, persamaan diatas menjadi prob( A) prob( B j A) = prob( B ) j prob( A B ) j (1) (2) (3) (4) 53

54 Teorema Bayes Dari total probability prob A n ( ) = " prob( B i ) prob A B i i=1 # ( ) $ % (5) Dengan (5) à (4) prob( B j A) = prob( B ) j prob( A B ) j n i=1 prob B i ( ) prob A B i ( ) (6) 54

55 Teorema Bayes Pemakaian Untuk mencari probabilitas event B j apabila diketahui event A telah terjadi. Untuk mencari (memperkirakan) probabilitas suatu event (B j ) dengan mengama7 event kedua (A). 55

56 Teorema Bayes Contoh Informasi ramalan cuaca biasa dikirimkan melalui 4 saluran: R i (i = 1,2,3,4) adalah event dimana informasi tsb dikirimkan melalui saluran i. Probabilitas masing-masing event R i adalah: 0.1, 0.2, 0.3, dan 0.4. Diketahui juga bahwa probabilitas terjadinya kesalahan pengiriman (event E) melalui masing-masing saluran adalah: 0.10, 0.15, 0.20, dan Suatu saat diketahui bahwa suatu kesalahan pengiriman telah terjadi. Berapakah probabilitas bahwa kesalahan tersebut terjadi melalui saluran ke-2? 56

57 Teorema Bayes Penyelesaian Diketahui: prob(r 1 ) = 0.1 prob(e R 1 ) = 0.10 prob(r 2 ) = 0.2 prob(e R 2 ) = 0.15 prob(r 3 ) = 0.3 prob(e R 3 ) = 0.20 prob(r 4 ) = 0.4 prob(e R 4 ) = 0.25 Probabilitas bahwa pengiriman dilakukan melalui saluran ke-2 dengan melihat kenyataan bahwa telah terjadi kesalahan adalah: ( ) = prob R 2 4 prob R 2 E 1 ( ) ( ) ( ) prob E R 2 ( ) prob E R i prob R i = =

58 Teorema Bayes i prob(r i ) prob(e R i ) prob(r i ).prob(e R i ) prob(r i E) Σ prob(e) 58

59 Permutasi dan Kombinasi PROBABILITAS 59

60 Permutasi dan Kombinasi Cara mendapatkan sampel yang terdiri dari r elemen dari suatu sample space yang memiliki n elemen (n r) satu elemen per pengambilan urutan elemen diperha7kan dan setelah 7ap pengambilan, elemen dikembalikan ke dalam sample space (ordered with replacement) urutan elemen diperha7kan dan 7dak dilakukan pengembalian elemen setelah 7ap pengambilan (ordered without replacement) urutan elemen 7dak diperha7kan dan 7dak dilakukan pengembalian elemen setelah 7ap pengambilan (unordered without replacement) urutan elemen 7dak diperha7kan dan dlakukan pengembalian elemen setelah 7ap pengambilan (unordered with replacement) 60

61 Permutasi dan Kombinasi Contoh ilustrasi Dilakukan pemilihan dua stasiun AWLR dari empat stasiun yang ada (A, B, C, D) untuk diberi dana. Berapa jumlah pasang stasiun yang mungkin mendapatkan dana? 61

62 Permutasi dan Kombinasi Dipilih 2 stasiun dari 4 stasiun (r = 2, n = 4) dengan urutan diperha7kan memberikan dana kepada Stasiun A kemudian B berbeda dengan memberikan dana kepada Stasiun B kemudian A dengan pengembalian suatu stasiun dapat memperoleh dana 2x Pasangan 2 stasiun yang mendapatkan dana (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 16 n r = 4 2 =16 62

63 Permutasi dan Kombinasi Dipilih 2 stasiun dari 4 stasiun (r = 2, n = 4) dengan urutan diperha7kan memberikan dana kepada Stasiun A kemudian B berbeda dengan memberikan dana kepada Stasiun B kemudian A tanpa pengembalian suatu stasiun hanya dapat memperoleh dana 1x Kemungkinan stasiun yang mendapatkan dana (A,B) (A,C) (A,D) (B,A) (B,C) (B,D) (C,A) (C,B) (C,D) (D,A) (D,B) (D,C) Iden7k dengan pengambilan 2 elemen sekaligus dari 4 elemen dalam sample space ( n) r = = n! n r ( )! 4! ( 4 2)! =12 permutasi 63

64 Permutasi dan Kombinasi Dipilih 2 stasiun dari 4 stasiun (r = 2, n = 4) dengan urutan 7dak diperha7kan memberikan dana kepada Stasiun A kemudian B sama dengan memberikan dana kepada Stasiun B kemudian A tanpa pengembalian suatu stasiun hanya dapat memperoleh dana 1x Kemungkinan stasiun yang mendapatkan dana (A,B) (A,C) (A,D) (B,C) (B,D) (C,D) Iden7k dengan pengambilan 2 elemen sekaligus dari 4 elemen dalam sample space! # " n r $ & = % = n! n r ( )!r! 4! ( 4 2)!2! = 6 kombinasi koefisien binomial 64

65 Permutasi dan Kombinasi Dipilih 2 stasiun dari 4 stasiun (r = 2, n = 4) dengan urutan 7dak diperha7kan memberikan dana kepada Stasiun A kemudian B sama dengan memberikan dana kepada Stasiun B kemudian A dengan pengembalian suatu stasiun hanya dapat memperoleh dana 2x Kemungkinan stasiun yang mendapatkan dana (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) (B,B) (B,C) (B,D) (C,C) (C,D) (D,D) Memilih r elemen dari n elemen dengan pengembalian adalah sama dengan memilih r elemen dari n elemen tanpa pengembalian " $ # n + r 1 r % ( & ' = n + r 1 )! ( n 1)! r! ( )! = =10 ( 4 1)! 2! 65

66 Resume Dengan pengembalian Tanpa pengembalian Urutan diperha7kan Urutan 7dak diperha7kan " $ # n + r 1 r n r % ( & ' = n + r 1 )! ( n 1)! r!! # " ( n r ) = n r $ & = % n! n r ( )! n! n r ( )! r! Persamaan Sterling: n! = 2π e n n n

67 Perintah (Fungsi) MSExcel FACT(n) menghitung faktorial, n! n bilangan posi7f (bilangan cacah) PERMUT(n,r) menghitung permutasi, n dan r integer, n r COMBIN(n,r) menghitung kombinasi, n dan r integer, n r 67

68 68