8/3/2013. Kapita Selekta Matematika. Matriks. Matriks. Sistem Persamaan Linier Bilangan Kompleks Permutasi dan Kombinasi Aritmatika Interval

Transkripsi

1 // Sudryt Sudirh Kpit Selekt Mtetik Mtriks Mtriks Siste Pers iier ilg Kpleks Perutsi d Kisi rittik Itervl Mtrik dlh susu tertur ilg-ilg dl ris d kl yg eetuk sutu susu persegi pjg yg kit perlkuk segi sutu kestu. Ntsi: ris kl N triks: huruf esr cetk tel, ilg ii is erup ilg yt tu kpleks. Kit k eliht triks erisi ilg yt. Elee Mtriks Isi sutu triks diseut elee triks Ukur Mtriks,, d,, dlh elee-eee triks yg eetuk ris, d,, d, dlh elee-elee triks yg eetuk kl Secr uu sutu trik terdiri dri ris d k kl, sehigg sutu trik k terdiri dri k elee-elee Ukur triks diytk segi k dlh triks erukur N Khusus Mtriks deg k diseut triks ujur sgkr. Mtriks deg k diseut triks kl tu vektr kl. Mtriks deg diseut triks ris tu vektr ris. Mtriks deg k diseut trik segi pjg Ntsi vektr: huruf kecil cetk tel k triks ujur sgkr, k triks segi pjg Digl Ut Secr uu, triks dpt kit tulisk segi k [ ] elee-elee diseut digl ut p k vektr kl [ ] q vektr ris

2 // Mtriks Segitig Mtriks segitig wh : Mtriks segitig ts : d du c triks segitig yitu triks segitig wh d triks segitig ts Mtriks segitig wh dlh triks yg elee-elee di ts digl uty erili l. Mtriks segitig ts dlh triks yg elee-elee di wh digl uty erili l. 7 Mtriks Digl Mtriks digl dlh triks yg elee-elee di ts upu di wh digl uty erili l. D Mtriks Stu Jik seu elee pd digl ut dlh, sedg elee yg li dlh, triks itu diseut triks stu. I Mtriks Nl Mtriks l,, yg erukur dlh triks yg erukur deg seu eleey erili l. 9 k triks tu su-triks - Du k triks, yitu: - ig k triks, yitu: - E k triks yitu: [], [], [], [], [], []; - E k triks yitu: - ig k triks yitu: Mtriks eiliki: Mtriks dpt dipdg segi tersusu dri k-k triks yg erup vektr-vektr dpt kit pdg segi triks deg k-k triks erup vektr ris dpt kit pdg segi triks deg k-k triks yg erup vektr kl th yg li: Kes Mtriks Du triks d diktk s jik d hy jik erukur s d elee-elee pd psisi yg s jug s. Jik k hruslh.

3 // Mtriks Negtif Negtif dri triks erukur dlh triks erukur yg diperleh deg eglik seluruh eleey deg fktr (.. Pejulh Pejulh du triks hy didefiisik utuk triks yg erukur s Julh dri du triks d yg sig-sig erukur dlh seuh triks erukur yg eleeeleey erupk julh dri elee-elee triks d yg psisiy s ( ( Jik 7 k Sift-sift pejulh triks: Pegurg Mtriks Pegurg triks dpt dipdg segi pejulh deg triks egtif ( Perkli Mtriks pq p q q Jdi jik triks erukur d erukur pq k perkli hy dpt dilkuk jik p. Hsil kli triks erup triks erukur q deg ili elee pd ris ke kl ke k erupk hsil kli iterl (dt prduct vektr ris ke dri triks d vektr kl ke k dri triks Perkli tr du triks d yitu hy terdefiisik jik yk kl triks s deg yk ris triks. Dl perkli triks, urut htus diperhtik. Perkli triks tidk kuttif. Perkli Mtriks deg ilg Sklr Hsil kli sutu ilg sklr deg triks erukur dlh triks erukur yg seluruh eleey erili kli. Perkli triks deg ilg sklr ii epuyi sift-sift segi erikut ( ( ( 7 Perkli Iterl Vektr (dt prduct vektr ris: vektr kl:. kl ris Perkli iterl tr du vektr d yitu c hy terdefiisik jik yk kl vektr s deg yk ris vektr. Dl perkli iterl vektr, urut perkli hrus diperhtik. 7 c Jik urut dilik, : kl, : ris, perkli jug dpt dilkuk tetpi eerik hsil yg ered 9 d perkli iterl dpt dilkuk Perkli triks tidk kuttif.

4 // Perkli Mtriks Deg Vektr Mislk d dpt diklik kl ris 7 Jik urut perkli dilik, perkli tidk dpt dilkuk kre terdiri dri stu kl sedgk terdiri dri du ris. 9 Perkli Du Mtriks ujur Sgkr d dpt diklik kl ris Mtriks kit pdg segi Mtriks kit pdg segi 7 Perkli du triks persegi pjg d dpt diklik kl ris 7 7 Peryt triks deg k triks pd cth di ts dlh, sehigg. Dl persi perkli triks: triks yg pert kit susu dri k triks yg erup vektr ris triks yg kedu kit susu dri k triks yg erup vektr kl Jdi perkli triks dlh perkli dri ris ke kl ( ( ( ( ( ( ( Sift-sift perkli triks. idk kuttif. Jik perkli upu terdefiisik, k pd uuy. ssitif d distriutif terhdp pejulh Jik tidk sellu erkit tu. c. Huku petl tidk sellu erlku. Putr triks tu trspsisi dri triks erukur dlh sutu triks yg erukur deg klkl triks segi ris-risy yg errti pul hw ris-ris triks ejdi kl-kl triks k pq Jik k

5 // Putr Vektr ris D Vektr Kl Putr vektr ris k ejdi vektr kl. Seliky putr vektr kl k ejdi vektr ris. Putr Julh Du Vektr ris Putr julh du vektr ris s deg julh putr sig-sig vektr d 7 ( 7 ( Jik k Secr uu : Putr Hsil Kli Vektr ris D Vektr Kl Putr hsil kli vektr ris deg vektr kl tu vektr kl deg vektr ris, s deg hsil kli putr sig-sig deg urut dilik d Jik k 7 Jik d k ( Secr uu : ( Putr Mtriks Persegi Pjg Jik k Jik triks diytk segi susu dri vektr ris k Jik triks diytk deg vektr kl k 9 Putr Julh Mtriks Putr julh du triks s deg julh putr sigsig triks. Hl ii telh kit liht pd putr julh vektr ris. ( Jik Deg deiki d k ( ( (

6 // Putr Hsil Kli Mtriks Putr hsilkli du triks s deg hsil kli putr sig-sig deg urut yg dilik. Hl ii telh kit liht pd putr hsil kli vektr ris d vektr kl. ( Jik d [ ] k Deg deiki k [ ] Mtriks Sietris erkit deg putr triks, kit egel kesietris pd triks yt. Mtriks sietris dlh triks yg putry s deg triksy sediri. Jdi triks diktk sietris pil Jik diktk hw triks dlh sietris irig. Kre dl setip putr triks ili elee-elee digl ut tidk eruh, k triks sietris irig dpt terjdi jik elee digl uty erili l. Siste Pers iier Sutu siste pers liier (tu hipu pers liier siult dlh stu set pers dri sejulh usur yg tk dikethui. etuk uu: Siste ii egdug pers deg usur yg tk dikethui yitu.. ilg.. diseut kefisie dri siste itu, yg isy erupk ilg-ilg yg dikethui. ilg-ilg. jug erupk ilg-ilg yg dikethui, is erili tidk l upu erili l Jik seluruh erili l k siste pers terseut diseut siste pers hge Dri siste pers liier dihrpk dy slusi yitu stu set ili dri yg eeuhi siste pers terseut. Jik siste ii hge, i egdug slusi trivil (slusi tk petig yitu,.,. Perty-perty yg tiul tetg slusi dri siste pers ii dlh:. er dkh slusi dri siste ii?. gikh cr utuk eperleh slusi? c. Klu siste ii epuyi leih dri stu slusi, gikh hipu slusi terseut? d. Dl ked gikh siste ii tept epuyi stu slusi? Opersi ris Pdsisteiikit dpt elkuk persi-persi yg diseut persi rissegi erikut:. Rus kiri d rus k dri setip pers dpt diklik deg fktr uk l yg s,tp epegruhi hipu siste pers terseut.. Rus kiri dri setip pers dpt dijulhk ke rus kiri pers yg li sl rus ky jug dijulhk. Opersi ii tidk eggggu keseluruh siste pers terseut. c. Mepertukrk tept (urut pers tidklh eggggu hipu siste pers.

7 // 7 Siste pers liierdpt ditulisk dl etuk triks deg eftk pegerti perkli triks. etuk itu dlh Peulis Pers iier Dl etuk Mtriks tu secr sigkt ; ; deg 7 Dri crpeulisterseutdi ts,kit dpt egu sutu triks ru yg kit seut triks gdeg, yitu deg eggdegk triks deg ejdi ~ Mtriks gdeg ii eytk siste pers liiersecr legkp. Opersi-persi rispd siste pers liierkit terjehk ke dl triks gdeg ejdi segi erikut. Setip elee dri ris yg s dpt diklik deg fktr uk l yg s.. Stu ris leh dijulhk ke ris yg li. c. ept ris (urut ris dpt dipertukrk. Setip persi ris k eghsilk triks gdeg ru. Opersi ris dpt kit lkuk lgi pd triks gdeg ru d eghsilk triks gdeg yg leih ru lgi d yg terkhir iipu setr ris deg triks gdeg yg l. Mtriks gdeg ru ii diseut segi setr ris deg triks gdeg yg l. Deg sigkt kit ktk hw persi ris eghsilk triks gdeg yg setr ris deg triks gdeg sly. Hl ii errti hw triks gdeg ru eytk siste pers liier yg s deg triks gdeg sly. 9 Eliisi Guss Eliisi Guss erupk lgkh-lgkh sistetis utuk eechk siste pers liier. Kre triks gdeg erupk peryt legkp dri sutu siste pers liier, k eliisi Guss cukup dilkuk pd triks gdeg ii. Sutu siste pers liier: D D Kit tulisk pers ii dl etuk triks: D Mtriks gdegy dlh: gkh-: gkh pert pd eliisi Guss pd triks gdeg dlh eperthk ris ke-(diseut egil ris ke- segi pivt d eutsuku pertris-ris erikutyejdierili l. ris ( ris ( ris ( pivt Pdtriksyg dierikii, lgkhpertii dilksk deg ehk ris ke- ke ris ke-, egurgk ris ke- dri ris ke- d ehk ris ke- ke ris ke-. Hsil persi ii dlh gkh-: gkh kedu dlh egil ris ke- dri triks gdeg yg ru sj kit perleh segipivt, d eutsuku kedu ris-ris erikutyejdil. Ii kit lkuk deg eglik ris ke- deg / keudi ehky ke ris ke-, d egurgk ris ke- dri ris ke-. Hsil persi ii dlh (-ris /ris ( (pivt / /

8 // Klikriske deg gr diperleh ilg ult / / gkh-: gkh ketig dlh egil ris ke- segi pivt d eutsuku ke- dri ris ke-ejdil. Ii dpt kit lkuk deg eglik ris ke- deg keudi ehk kepdy ris ke-. Hsily dlh: ris pivt Mtriks gdeg terkhir ii eytk etuk triks: D D yg deg sustitusi udur k eerik: ; ; ; D Hsil terkhir lgkh ketig dlh: Mtriks terkhir ii eytk siste pers liier: D Siste-siste ertetu D idk ertetu Siste tertetu dlhsiste yg eerik tept stu slusi. Siste tertetu terjdi jik usur yg tk dikethui s yk deg persy,d pers-pers ii tidk slig ergtug. Jik pers leih yk driusur yg tk dikethui, siste ejdi tertetu erleih. Jik usur yg tk dikethui leih ykdripersy, k siste itu ejdi kurg tertetu. Siste yg kurg tertetu eerik tidk hy stu slusi k tetpi yk slusi. Siste yg kurg tertetu sellu epuyi slusi (d yk sedgk siste tertetu d tertetu erleih is eerik slusi is jug tidk eerik slusi. th Siste Pers Yg Meerik yk Slusi Mtriks gdeg: Eliisi Guss: 7 Mtriks gdeg ii eytk siste pers : / ( Dri pers ke- kit edptk / ( yg keudi eerik Kre tetp serg k kit edptk yk slusi. Kit hy k eperleh ili d jik kit eetuk ili leih dulu

9 // th Siste Yg idk Meerik Slusi Siste pers dri triks gdeg terkhir ii dlh Mtriks gdeg d eliisi Guss eerik Kit liht di sii hw peerp eliisi Guss pd khiry eghsilk sutu ktrdiksi yg dpt kit liht pd ris terkhir. Hl Ii eujukk hw siste pers yg sedg kit tiju tidk eerik slusi. 9 etuk Esel etuk triks pd lgkh terkhir eliisi Guss, diseut etuk esel. Dri cth di ts, etuk esel triks kefisie d triks gdegy dlh d Secr uu etuk esel triks gdeg dlh c c M krr kr M r r d siste yg telh tereduksi pd lgkh khir eliisi Guss k eretuk c M krr r kr r r M deg,, krr, d r Perhtik etuk ii:. Jik r d r, K, s deg l tu tidk d, k siste pers ii k eerik tept stu slusi.. Jik r < d r, K, s deg l tu tidk d, k siste pers ii k eerik yk slusi. c. Jik r tupu r < d r, K, tidk s deg l tu epuyi ili, k siste pers ii tidk eerik slusi. Jdi sutu siste pers k eerik slusi jik r, K, s deg l tu tidk d. Pd sutu siste pers yg eerik slusi, ketuggl slusi terjdi jik r. Jik r < pers k eerik yk slusi. Nili ryg diiliki leh triks gdeg ditetuk leh yky vektr ris yg es liierdl triks gdeg. Pegerti tetg kees liier vektr-vektr kit hs erikut ii. es iier D k-es iier Vektr-vektr Mislk,, dlh vektr-vektr ris dri sutu triks [ k ]. Kit tiju sutu pers vektr c c c pilpers vektr ii terpeuhi hy jikseu kefisie (c c erili l, kvektr-vektr ris terseut dlh es liier. Jik pers vektr terseut dpt dipeuhi deg kefisie yg tidk seuy erili l (rtiy setidk-tidky d stu kefisie yg tidk erili l k vektr-vektr itu tidk es liier. 9

10 // Du vektr ris [ ] d [ ] Jik stu hipu vektr terdiri dri vektr-vektr yg es liier, k tk stupu dri vektr-vektr itu dpt diytk dl kisi liier dri vektr yg li. Hl ii dpt diegerti kre dl pers terseut di ts seu kefisie erili l utuk dptdipeuhi. Jik vektr-vektr tidk es liier k ili kefisie pd pers terseutdi ts(tu setidk-tidky segi tidk erili l k stu vektr dpt diytk segi kisi liier dri vektr yg li. Vektr isly,dpt diytk segi c c c c kre kefisie-kefisie ii tidk seluruhy erili l Vektr d dlh es liier kre [ ] [ ] c c c c hy k terjdi jik c c il vektr ketig [ ] Vektr d tidk es liier kre kit dpt eytk segi [ ] [ ] Vektr, d jug tidk es liier kre kit dpt eytk segi [ ] [ ] [ ] k tetpi jik kit hy eliht d sj, erek dlh es liier. Rk Mtriks Deg pegerti tetg vektr yg es liier, didefiisik rk triks. ykyvektr ris yg es liier dl sutu triks [ k ] diseut rktriks disigkt rk. Jiktrik k rk dlh l. gi eetuk rk sutu triks? Opersi ris pdsututrikseghsilk triks yg setr ris deg triks sly. Hl ii errti pul hw rk triks ru s deg rk triks sly. Deg perkt li persi ris tidk eguh rktriks. Jdi rksutu triks dpt diperleh ellui persi ris, yitu s deg rktriks yg dihsilk pd lgkh terkhir eliisi Guss. etuk esel triks yg diperleh pd lgkh terkhir eliisi Guss, egdug vektr-vektr ris yg es liier kre vektr yg tk es liier telh tereliisi. etuk esel triks kefisie d triks gdegy dri siste pers yg eerik slusi tuggl dl cth, dlh d Dl ksus ii rktriks kefisie s deg rktriks gdeg, yitu. Seli dri pd itu rktriks s deg yky usur yg tk dikethui yitu 7 etuk esel triks kefisie d triks gdegy dri siste pers yg eerik yk slusi, dlh d Dl ksus ii rk triks kefisie s deg rk triks gdeg, yitu. k tetpi rktriks ii leih kecil dri yky usur yg tk dikethui. etuk esel triks kefisie d triks gdegy dri siste pers yg tidk eerik slusi, dlh d Dl ksus ii rk triks kefisie tidk s deg rktriks gdeg. Rk triks kefisie dlh sedgk rk triks gdegy dlh. Ketidk s rkdri kedu triks ii eujukk tidk dy slusi. 9

11 // p yg kit ti dl cth-cth di ts teryt erlku uu. c. jik rk triks kefisie leih kecil dri yky usur yg tk dikethui k k diperleh yk slusi.. gr sutu siste pers eerik slusi k rk triks kefisie hrus s deg rk triks gdegy;. gr siste pers eerik slusi tuggl k rk triks kefisie hrus s deg yky usur yg tk dikethui; Siste Pers Hge Siste pers diseut hge pil ili di rus k dri perssiste erili l. Jik tidk deiki k siste itu diseut tk hge. Siste pers hge eretuk etuk triks gdeg siste ii dlh ~ Eliisi Guss pd siste deiki ii k eghsilk ~ Jik rktriks gdeg terkhir ii s deg yky usur yg tk dikethui, r, siste pers khiry k eretuk M Dri siiterliht hw d sustitusi udur khiry eerik seu erili l. Ii erupk slusi trivil d slusi trivil ii dikitk leh keyt hw r. Slusi tk trivil hy k diperleh jik. r < Siste Pers Hge Yg Hy Meerik Slusi rivil D D Mtriks gdeg siste ii d hsil eliisi Guss-y dlh Rk trik kefisie dlh; yky usur yg tk dikethui jug. Siste pers liiery ejdi D D D yg khiry eerik Iilh slusi trivil yg dihsilk jik terjdi ked r Siste Pers Yg Meerik Slusi k rivil D D Mtriks gdeg d hsil eliisiy dlh eliisi Guss: Siste pers ejdi D D ; ; Jik kit egil ili k k diperleh. Slusi ii eetuk vektr slusi / / / yg jik triks kefisiey digdwlk k eghsilk vektr l / / /

12 // Jik kit eetpk ili D yg li, isly D diperleh vektr slusi yg li, yitu k Peggdwl triks kefisiey jug k eghsilk vektr l Vektr slusi ii erupk perkli slusi seeluy deg ilg sklr (dl hl ii, yg sesugguhy is erili serg. Secr uu vektr slusi eretuk c c deg c dlh sklr serg Vektr slusi yg li lgi dpt kit perleh deg ejulhk vektr-vektr slusi, isly d. / / / Jels hw jug erupk slusi kre jik digdwlk k eerik hsil vektr l. Jdi secr uu vektr slusi dpt jug diperleh deg ejulhk vektr slusi yg kit ytk segi j c 7 th di ts eperlihtk hw slusi dri siste pers hge eetuk vektr-vektr yg seluruhy dpt diperleh ellui perkli slh stu vektr slusi deg sklr sertpejulh vektr-vektr slusi. Kit ktk hw slusi dri siste pers hge eetuk sutu rug vektr. Dl siste pers hge yg sedg kit tiju ii, rug vektr yg teretuk dlh er-diesi stu. Perhtik hw setip vektr slusi erupk hsilkli sklr deg vektr. Jik kit perhtik leih ljut rug vektr yg teretuk leh vektr slusi k erdiesi ( r, yitu selisih tr yky usur yg tk dikethui deg rktriks kefisie. Dl ksus yg sedg kit tiju ii, yky usur yg tk dikethui dlh sedgk rktriks kefisie dlh. 9 Siste Pers Deg Vektr Slusi erdiesi D D 7 D Mtriks gdeg d hsil eliisi Guss dlh 7 Rk triks ii dlh sedgk yky usur tk dikethui. Siste pers ejdi D 7 Jik kit eeri ili d D / / kit k edptk / ; / dlh slh stu vektr slusi Gd-wl triks kefisie deg vektr ii k eerikvektr. / / / /, Jik, k perkli deg sklr kk eerik k k d k k ( k k c Deg kt li, jik dlh vektr slusi, k k, k, ( k k dlh jug vektr-vektr slusi d segi kit thu vektrvektr ii kit perleh deg eeri ili d D. 7 7

13 // Jik d D k kit perleh / d / yg eetuk vektr slusi / / Deg sklr lserg kit k eperleh vektr-vektr slusi yg li seperti l, l, ( l l Dri du cth terkhir ii terukti tere yg eytk hw slusi siste pers liier hge deg usur tk dikethui d rk triks kefisie r k eetuk rug vektr erdiesi ( r. Secr keseluruh k vektr-vektr slusi kit dlh k l Iilh vektr-vektr slusi yg eetuk rug vektr erdiesi. 7 7 Kelik Mtriks D Metd Eliisi Guss-Jrd Pegerti tetg kelik triks (iversi triks ert kity deg peech siste pers liier. Nu deiki pegerti ii khusus ditujuk utuk triks ujur sgkr. Kelik triks (iversi triks didefiisik segi triks yg jik digdwlk ke triks k eghsilk triks idetits. Kelik triks ditulisk segi sehigg defiisi ii eerik relsi I Jik erukur k jug erukur d deiki pul triks idetitsy. idk seu triks ujur sgkr eiliki kelik; jik eiliki kelik k diseut triks tk sigulr d jik tk eiliki kelik diseut triks sigulr. Jik dlh triks tk sigulr k hy d stukelik ; deg kt li kelik triks dlh uik tu ersift tuggl. Hl ii udh diegerti se jik epuyi du kelik, isly Pd Q, k P I P d jug Q I Q, d hl ii hy ugki terjdi jik P Q. P IP ( Q P QP Q( P QI Q 7 7 erekl pegerti kelik triks, kit k eiju pers triks dri sutu siste pers liier tk hge, yitu Jik kit eggdwlk kelik triks ke rus kiri d k pers ii, k kit perleh I Pers iieujukk hw kit dpt eperleh vektr slusi dri siste pers liier jik kelik triks kefisie d, tu jik triks tk sigulr. Jdi persl kit sekrg dlh gi egethui pkh triks sigulr tu tk sigulr d gi ecri kelik triks jik i tk sigulr. Dri pehs seeluy kit egethui hw jik triks kefisie dlh triks ujur sgkr, k slusi tuggl k kit perleh jik rk s deg. Hl ii errti hw vektr pd persdi tsdpt kit perleh jik rk s deg. Deg perkt li triks yg erukur tk sigulr jik rk d k sigulr jik rk <. Mecri kelik triks dpt kit lkuk deg cr eliisi Guss-Jrd. Metd ii didsri leh pers. Jik dlh kelik triks k I 77 7

14 // I ~ H U H U I Utuk ecri kit etuk triks gdeg ~ Jikkit lkuk eliisi Guss pd triks gdeg ii eruh ejdi deg Ueretuk triks segitig ts. yitu deg egeliisi usur-usur segitig ts pd U sehigg Ueretuk triks idetits I. Eliisi Guss-Jrd seljuty erpersi pd gkh khir ii k eghsilk 79 Kit k ecri kelik dri triks Kit etuk triks gdeg I I Kit lkuk eliisi Guss pd triks gdeg ii ris ris pivt ris pivt Keudi kit lkuk eliisi Guss-Jrd / ( / / / ris. ris / / 7 / ris / / 7 / / / Hsil terkhir ii eerik kelik triks, yitu / / 7 / / / Deg deiki utuk sutu siste pers liier tk hge yg pers triksy vektr slusiy dlh 7 / / 7 / / / Kelik Mtriks Digl Kelik triks digl dpt deg udh kit perleh. / / Kelik Dri Kelik Mtriks Kelik dri kelik triks dlh triks itu sediri. ( Kelik Dri Perkli Mtriks Kelik dri perkli du triks dlh perkli dri kelik sig-sig triks deg urut dilik. ( Hl ii dpt diuktik segi erikut ( ( I ( ( ( ( ( ( ( ( ( I I I

15 // Defiisi Dl uku Erwi Kreyszig kit c defiisi ilg ilg kpleks segi erikut ilg Kpleks ilg kpleks z ilh sutu psg terurut (,y dri ilg yt, y, yg kit tulisk giyt(rel prt dri z z (, y gikhyl(igiry prt dri z kit tulisk Re z I z y Kit kecehidefiisiiisecrgrfis, uli dri pegerti tetg ilg yt. ilg Nyt Kit egelilgytultseperti,, dseterusy; ilg yt pech ¼, ½, ¾ d seterusy, sert ilg yt yg hy dpt di gk seperti π. Wlupu hy dpt digk, ilg ii tetp yt, iliy dlh,., deg gkdesilyg tkdikethuiujugy. Secr grfis, ilg yt dpt digrk psisiy di sutu suu yg diseut suu yt, - - ijulh sutu fugsi. y... y 7 9 tidk dili y yg yt utuk egtif u utuk yg egtif dpt didefiisik sutu ilg ijier(khyl j 7 Jikilgyt ejdistudriilgyt, isly dseterusy k ilg ijier j ejdi stu dri ilg ijier, isly ijier j ijier j ijier 9 j9dseterusy Peryt ilg Kpleks Stu ilg kpleks z erupk julh dri kpe yt d kpe ijier d ditulisk ilg kpleks z j gi yt gi ijier 9 9

16 // ilgkpleksdptdigrkdi idg kpleks yg ditsi leh suu yt(dieri td Re d suu ijier(dieri td I yg slig tegklurus stu s li setip titik di idg kpleks eujukk psisi ilg-kpleks (,,y deg dlh kpe yt d y dlh kpe ijier-y diseut dulus dulus z ρ diseut rgue rg z θ t Digr rgd I z j j ρ ρsi θ θ Re ρcsθ z ρ(csθ j si θ z (cs θ j si θ 9 9 ONOH Sutu ilg kpleks diytk segi z j Sudut deg suu yt dlh θ t ( /, Peryt z dptkittulisk z ( cs, j si, (, j si, cs ONOH Sutu ilg kpleks diytk segi ( cs si z j Peryt ii dpt kit tulisk ( jsi z cs (,9 j, 9, j, 9 9 Kes ilg Kpleks Mdulus ρ erupk ili utlk Dutuleihilgkpleksissjeilikiili ρyg s k tetpi deg sudut θ yg ered; tu seliky epuyiili θsktetpieiliki ρyg ered. Du ilg kpleks diktk s esr jik erek epuyi ik ρ upu θ yg s esr. Deg kt li, erek eiliki gi yt d gi ijier yg s esr.. Negtif dri ilg Kpleks Nili egtif dri sutu ilg kpleks dlh ili egtive dri kedu kpey Jik z j k z j z j I j θ ρ ρ θ z j Re 9 9

17 // ONOH Jik z j k z z j Sudut deg suu yt θ t ( /, θ,, z dptdiytksegi z ( cs, j si, ( j si, ( j si(, 7, cs, z 7, cs(, 7, (, j,,9 j Kjugt ilg Kpleks Kjugtdrisutuilgkpleks zdlhilgkpleks z * yg eiliki kpe yt s deg z tetpi kpe ijiery dlh egtif dri kpe ijier z. Jik z j k I j j ρ θ θ z j z j Re z j 97 9 ONOH: Jik z j k z j Sudut deg suu yt I z j ONOH: Jik z j k z j I z j Re θ t ( /, θ, Re z j z dpt diytk segi z ( cs, j si, ( j si,,( cs, si, 7, cs, z 7 j z* j Jik z j k z j I z j Re z j 99 Pejulh d Pegurg ilg Kpleks Opersi-Opersi ljr Hsil pejulh du ilg kpleks erupk ilg kpleks yg kpe yty erupk julh kpe yt d kpe ijiery jug erupk julh kpe ijier. z z ( j ( j ( j( Hsilselisihduilgkpleksdlhilgkpleksyg kpe yty erupk selisih kpe yt d kpe ijiery jug erupk selisih kpe ijier. z z ( j ( j ( j( 7

18 // Dikethui ONOH: s j d s j Perkli ilg Kpleks Perkli du ilg kpleks dilksk seperti hly kit elkuk perkli julh du ilg, yitu deg lkuk perkli kpe per kpe s s ( j ( j j7 s s ( j ( j j Jik z z ( z( z ( j ( j j j j z z ( j( j j j Perhtik: z z z j ( Pegi ilg Kpleks ONOH: z j d z j ( z( z ( j( j j j9 j7 ONOH: z j d z z j ( z ( z ( j( j j j 9 9 ( 9 z z z Hsil gi sutu pegi tidk k eruh jik pegi itu diklik deg z j j z j j ( j( ONOH: z j d z j z j j ( j( 9 j z j j j j Fugsi Ekspesil Kpleks Jik dlh ilg yt k fugsi ekpesil y e erupkfugsiekpesilyt; y eiliki ili yt Peryt ilg Kpleks etuk Plr Jik z dlh ilg kpleks z σ jθ fugsi ekspesil kpleks didefiisik z ( σ jθ σ e e e (cs θ j si θ ; σ deg e dlh fugsi ekspesil riil` θ Mellui idetits Euler e j cs θ j si θ fugsi epesil kpleks dpt kit tulisk z σ jθ e e e 7

19 // etuk Plr Represetsi ilg kpleks dl etuk plr dlh jθ z ρe I jθ z ρe ρ rg z z θ θ Re ONOH: Mislk sutu ilg kpleks z j Mdulus rgue z ρ z θ t,9 rd ONOH: Mislk sutu ilg kpleks z e j, Mdulusilg kpleks ii dlh z d rguey z, rd I etuk sudut sikuy dlh: z (cs, j si, (, j,, j, z e j,, rd Re Represetsi plr z e j,9 I,9 rd z e j,9 Re 9 Mislk z j ONOH: Mdulus z ρ rgue θ t ( / ± π tidk erili tuggl Di sii kit hrus eilih θ πrd krekpeijier sedgk kpe yt. Mislk z j ONOH Mdulus z ρ t rgue θ ( / π / kpeyt: kpe ijier: jπ z e I Re Represetsi plr dlh jπ / z e I jπ j z e / Re Perkli d Pegi ilg Kpleks Represetsi plr dri ilg kpleks eperudh persi perkli d pegi. Mft etuk Plr jθ jθ jθ z ( z ρe ρe z ρe ρ j( θ θ e jθ j( θθ ρρ e z ρe ρ ( ONOH: Mislk z e j, d z e j, j, j, j,9 z z e e e j, z e j, e z j, e 9

20 // Kjugt Kpleks rgue kjugt erlw deg rgue ilg kpleks sly I ( z( z* z [ z z ]* ( z *( z * * z * z z * z jθ z ρe θ Re θ jθ z ρe Relsi-relsi tr sutu ilg kpleks deg kjugt ilg kpleks liy dlh segi erikut tu z s s * ONOH: j, j, Mislk z e d z e j, j, zz e e zz j, j, j,9 [ z z ] [ e e ] [ e ] j,9 e j, j, j,9 e e e j, [ e ] j, z e j, z e j, e j, e j, e j, e Perutsi d Kisi Perutsi 7 Perutsi dlh yky pegelpk sejulh tertetu kpe yg diil dri sejulh kpe yg tersedi; dl setip kelpk urut kpe diperhtik Mislk tersedi huruf yitu d d kit diit utuk eut kelpk yg setip kelpky terdiri dri huruf Kelpk yg yg is kit etuk dlh d diperleh kelpk d du keugki huruf yg is eepti psisi pert yitu tu Jik sudh eepti psisi pert, k hy stu keugki yg is eepti psisi kedu yitu Jik sudh eepti psisi pert, k hy stu keugki yg is eepti psisi kedu yitu 9 Mislk tersedi huruf yitu,, d Kelpk yg setip kelpky terdiri dri huruf dlh: diperleh kelpk Jik slh stu kpe sudh eepti psisi pert tiggl keugki kpe yg dpt eepti psisi kedu Jik slh stu kpe sudh eepti psisi pert d slh stu dri yg tersis sudh eepti psisi kedu k hy tiggl keugki kpe yg dpt eepti psisi terkhir yitu psisi ketig Julh keugki kpe yg eepti psisi pert Jdi julh kelpk yg is diperleh dlh Julh keugki kpe yg eepti psisi kedu Julh keugki kpe yg eepti psisi ketig

21 // Dri huruf yitu,, d D kit dpt eut kelpk yg setip kelpky terdiri dri huruf Keugki peept psisi pert : Keugki peept psisi kedu : Keugki peept psisi ketig : Keugki peept psisi keept : julh kelpk yg ugki dietuk kelpk yitu: D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D d kelpk Secr uu julh kelpk yg dpt kit gu dri kpe yg setip kelpk terdiri dri kpe dlh ( (... Kit ktk hw perutsi dri kpe dlh! d kit tulisk P! Kit c : fkultet Nu dri kpe tidk hy dpt dikelpkk deg setip kelpk terdiri dri kpe, tetpi jug dpt dikelpkk dl kelpk yg sigsig kelpk terdiri dri k kpe di k < Kit seut perutsi k dri kpe d kit tulisk P k! Perutsi du-du dri ept kpe dlh P Di sii kit hy eglik keugki peept pd psisi pert d ketig sj yitu d. idk d kpe yg eepti psisi erikuty. Peghitug P dl cth di ts dpt kit tulisk P Secr Uu: P k! ( k!! P (!! P (! Kisi erupk pegelpk sejulh kpe yg ugki dilkuk tp epedulik uruty Kisi Jik dri tig huruf,, d, dpt hsil perutsi yitu,,,,, d u hy d stu kisi dri tig huruf terseut yitu kre dl kisi urut psisi ketig huruf itu tidk diperhtik

22 // Oleh kre itu kisi k dri sejulh kpe hruslh s deg julh perutsi P k digi deg perutsi k Kisi k dri sejulh kpe ditulisk segi k erpkh kisi du-du dri ept huruf,,, d D Jw:! P! (!! Jdi k Pk! k! ( k! k! yitu: D D D 7 Distriusi Mwell-ltz th pliksi Distriusi Mwell-ltz Distriusi Feri-Dirc Eergi elektr dl pdt terdistriusi pd tigkt-tigkt eergi yg diskrit; kit seut E E E dst. Setip tigkt eergi dpt ditepti leh elektr sj d setip elektr eiliki prilits yg s utuk eepti sutu tigkt eergi 9 Jik N dlh julh keseluruh elektr yg hrus terdistriusi dl tigkt-tigkt eergi yg d d kit islk hw distriusi yg teretuk dlh di E di E di E dst. terdpt elektr terdpt elektr terdpt elektr k julh cr peept elektr di E erupk perutsi dri N yitu P N N! P ( N! Julh cr peept elektr di E erupk perutsi dri (N kre sejulh sudh eepti E P P P ( N! ( N! ( N Julh cr peept elektr di E erupk perutsi dri (N kre sejulh ( sudh eepti E d E P ( N! ( N! ( N dst.

23 // Setelh eepti E k urut peept elektr di E ii sudh tidk errti lgi kre kit tidk dpt eedk tr stu elektr deg elektr yg li Jdi julh cr peept elektr di E dlh kisi dri N yitu PN N!! ( N!! Deiki pul peept elektr di E, E, dst. P (! ( N N N-!! ( N!! ( P (! ( N N N!! ( N!! ( dst. Nu setip tigkt eergi jug eiliki prilits utuk ditepti, yg diseut itriksic prility Mislk itriksic prility tigkt E dlh g, E dlh g, dst. k prilits tigkt-tigkt eergi E ditepti elektr E ditepti elektr E ditepti elektr dst. dlh F g F g F g dst. Deg deiki k prilits utuk terjdiy distriusi elektr seperti di ts dlh: F F F F... g g g g g g !!!... Iilh prilits distriusi dl sttistik Mwell-ltz Upy seljuty dlh ecri etuk distriusi yg plig ugki terjdi Nu hl ii tidk kit hs di sii, kre cth ii hy igi eujukk pliksi dri pegerti perutsi d kisi Pec dpt eliht prses perhitug ljut ii di uku-e Megel Sift Mteril Segi ifrsi, prilits F ii egtrk kit pd frulsi distriusi Mwell-ltz N Ei / k i gie Z tepertur Julh elektr pd kstt ltz tigkt eergi E i tigkt eergi ke-i prilits itriksik tigkt eergi ke-i fugsi prtisi β Ei Z gie i Distriusi Feri-Dirc Eergi elektr dl terdistriusi pd tigkt-tigkt eergi yg diskrit, isly kit seut E E E dst. Setip tigkt eergi egdug sejulh tertetu sttus kutu d tidk leih dri du elektr erd pd sttus yg s. Jik N dlh julh keseluruh elektr yg hrus terdistriusi dl tigkt-tigkt eergi yg d, yitu di E di E di E dst. terdpt elektr terdpt elektr terdpt elektr Oleh kre itu julh sttus di tip tigkt eergi ejdi prilits itriksik tigkt eergi yg ersgkut Yg errti eujukk julh elektr yg ugki erd di sutu tigkt eergi 7

24 // Mk yky cr peept elektr di tigkt E, E, E dst. erupk kisi,, dst N! ( N!! ( N! ( N!! Sehigg prilits utuk terjdiy distriusi elektr dlh: ( N! dst. ( N!! Deg prilits itriksik g, g, g k julh cr utuk eeptk elektr di tigkt E, E, E dst. ejdi g! F!( g! g! F ( g!! gi! F F F F... Fi!( g! i i i g! F dst. ( g!! i Upy seljuty dlh ecri etuk distriusi yg plig ugki terjdi Nu hl ii tidk kit hs di sii, kre cth ii hy igi eujukk pliksi dri pegerti perutsi d kisi Pec dpt eliht prses perhitugg ljut ii di uku-e Megel Sift Mteril, -9 yg dpt diuduh di situs ii jug Iilh prilits distriusi dl sttistik Feri-Dirc u kit tidk eicrk leih ljut kre prses seljuty tidk eygkut perutsi d kisi 9 Segi ifrsi, prilits F ii egtrk kit pd frulsi distriusi Feri Dirc gi i ( Ei EF / k e Jik kit perhtik pers ii utuk ( Ei EF / k li e utuk ( Ei EF < utuk ( Ei EF > rittik Itervl Jdi jik k i g i yg errti seu tigkt eergi spi E F terisi peuh d tidk terdpt elektr di ts E F E F iilh yg diseut tigkt eergi Feri. Pegtr Dl prktik rekys dijupi persi tetik yg elitk ilg-ilg dl itervl. Dl ked deiki kit dihdpk pd persi-persi itervl. kup hs Pegerti-Pegerti Itervl Opersi-Opersi rittik Itervl Sift-Sift rittik Itervl

25 // ilg yt yg is kit kit persik dlh erili tuggl, ik ilg ult upu pech Dl lisis itervl, ilg yg kit persik eiliki ili yg erd dl sutu itervl tertutup * Pegerti-Pegerti Itervl Deg deiki ilg yg kit hdpi sesugguhy erupk kupul ilg ilg dl itervl 9 d dlh kupul ilg yg erili tr 9 d tersuk 9 d itu sediri (itervl tertutup. * iht pul Fugsi d Grfik Sutu kupul diytk deg td kurug { }. Secr uu, sutu kupul kit ytk segi S { : p( } th S { : R, 9 } eujukk kupul yg kit tiju eujukk serg elee dri S eujukk syrt-syrt yg hrus dipeuhi utuk eetuk pkh er erupk elee dri S tu tidk p( R, 9 R dlh kupul dri seu ilg yt 7 Secr uu, kupul ilg yt dl itervl tr d deg < d upu terletk tr d kit tulisk { : R,,, R, < < < } Peulis ii tetu gk ereptk dl elkuk persipersi itervl Kit eerluk cr peulis yg leih sederh gr udh elkuk persi itervl. Dl persi itervl, sesugguhy kit k erhuug hy deg ts-ts itervl. Oleh kre itu kit k egguk cr peulis ilg itervl yg leih sederh, deg hy eytk tsts itervly. Sutu itervl yg eiliki ts wh (ili iiu d ts ts (ili ksiu kit tulisk [, ] kit guk td kurug utuk egkdsi ts-ts itervl. Dl pejels seljuty kit k eggrk itervl pd gris suu yt segi erikut ( itervl ts wh ts ts 9

26 // Degeersi Sutu itervl egli degeersi jik d diseut degeerte itervl; itervl yg tidk egli degeersi diseut degeerte. Deg pegerti ii k sutu ilg yt erili tuggl dpt diktk erupk ked khusus dri sutu itervl. tu seliky sutu itervl erupk peryt uu (geerlissi sutu ilg yt. er Itervl er sutu itervl dlh ilg yt w( [, ] w( 9 ( w( itik egh itik tegh tu id pit sutu itervl dlh Rdius ( ( / {,} titik tegh ( ( / 7 Setegh dri ler itervl diseut segi rdius itervl w( / {,} rdius itervl dlh w(/ (/. Kes Du itervl diktk s jik d hy jik epuyi tsts yg s. Urut k Jik [, ] d Y [ y, y] Y jik d hy jik y d y Itervl diktk leih kecil dri Y jik d hy jik ts ksiu leih kecil dri ts iiu Y, < y th {, } d Y {, } < Y. ( ( y Y y Dl cth ii w( < w(y Nili slut Nili slut sutu itervl didefiisik segi ksiu dri slut ts-tsy {, } Jrk Jrk tr du itervl didefiisik segi ksiu dri selisih ts-ts keduy ρ(, Y { y, y } th {, } {, } th {,}, Y {,} ρ(, Y {, } y y Di sii y > y ( ( y y Y

27 // Sietri Sutu itervl diseut sietris jik {, } ( Itervl sietris egdug elee erili. etpi tidk errti epuyi ler. I uk degeerte itervl. Iris Kre itervl dpt dipdg segi kupul k kit egel iris itervl. Iris tr itervl d itervl Y dlh Y [{, y}, i{, y}] {, 9} d Y {, } Y [, 9] ( ( y y Y Iris du itervl jug erupk seuh itervl Iris d Y ksg tu Ø jik < Y tu Y <. Y 7 Gug Gug tr itervl d Y dlh Y [i{, y}, ks{, y}] [, 9], Y [, ] Y [, ] Y Iklusi Itervl erd di dl itervl Y jik d hy jik Y Y d w( w( Y tu jik d hy jik y d y. {, } d Y {, } Y Y ( ( y y ( ( y y Y Jik iris dri d Y tidk ksg k gug keduy jug erupk seuh itervl. k tetpi jik iris tr keduy ksg k gug du itervl itu tidk erupk seuh itervl kre sesugguhy gug itu k terdiri dri du itervl yg ered. 9. {, } d Y {7, 7} ( ( y y Y Kit dpt eedk itervl dl tig ktgri, yitu: Itervl yg seluruh eleey erili psitif, yg kit seut itervl psitif. Opersi-Opersi rittik Itervl yg seluruh eleey erili egtif, yg kit seut itervl egtif. Itervl yg egdug elee erili egtif upu psitif tersuk l. Degeersi itervl psitif eetuk ilg psitif, degeersi itervl egtif eetuk ilg egtif, sedgk degeersi itervl yg egdug l is eetuk ilg egtif, tu psitif, tu l. 7

28 // Pejulh d Pegurg Pejulh Mislk d Y dlh du itervl. Julh dri d Y didefiisik segi Y { y :, y Y} Elee dri julh itervl dlh julh elee sig-sig itervl Oleh kre itu k ts wh dri hsil pejulh dlh julh dri ts wh, d ts ts dri hsil pejulh dlh julh dri ts ts Deg deiki k pejulh du itervl hy elitk ts-ts itervl sj. Y [ y, y] Jik [, ] d Y [ y, y], k Y [ y, y] Julh itervl jug erupk itervl. Y tidk erupk seuh itervl kre < Y. d Y dlh du itervl yg terpish. ( ( ( y y Y y Y y Pejulh ered deg peggug. Peggug du itervl tidk sellu eghsilk sutu itervl. {, } d Y {9, } Y [9, ][, ] Pejulh du itervl sellu dpt dilkuk. Jik kedu itervl yg dijulhk itu degeerte k kit edptk pejulh yg is kit lkuk deg ilg is. Pered pejulh d gug [, ], Y [, ] Y [, ] Y Y [,] ( ( ( y z y z Y Y Negtif Sutu Itervl. Negtif dri sutu itervl didefiisik segi {, } yg dpt kit tulisk [, ] [, ]. [, ] [, ] ( (. [, ] [, ] ( ts ts dlh ( ( ( ts wh dlh 7

29 // Pegurg Deg pegerti egtif itervl terseut di ts k pegurg itervl leh itervl Y ejdi pejulh itervl deg egtif itervl Y Y [, ] [ y, y] [ y, y] [, ] d Y [7, ] Y [, ] [7, ] [, 7] [, ] Y ( ( ( ( y y y y Perkli d Pegi y Y y Dl cth ii < Y d hsil pegurg Y erupk itervl egtif. 9 7 Perkli Itervl Perkli du itervl d Y didefiisik segi Y { y :, y Y} yg dpt ditulisk Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Dl frulsi ii diperluk ept kli perkli ts sig-sig itervl utuk eetuk ts wh upu ts ts dri itervl hsil kli. Nu pekerj k sedikit sedikit ejdi rig jik kit eperhtik psisi elee sig-sig itervl pd suu ilg yt Pd itervl sellu dipeuhi relsi k deg eperhtik psisi kit k egethui psisi jik k jik k tu Deiki jug pd itervl Y jik y k y jik y k y tu y 7 7 Seil situsi yg ugki terjdi dlh: Kre d tig ktgri itervl, k d seil keugki perkli itervl, yitu:. Y ( ( y y d y Z Y [ y, y ] itervl psitif kli itervl psitif itervl egdug l kli itervl psitif d seliky itervl egtif kli itervl psitif d seliky. Y ( ( y y < < d y Z Y [ y, y] itervl egtif kli itervl egdug l d seliky itervl egtif kli itervl egtif perkli du itervl yg keduy egdug l. Y ( ( y y d y Z Y [ y, y]. Y ( ( y y d y < < y Z Y [ y, y] 7 7 9

30 //.. 7. ( Y ( y y Y ( y ( y Y ( y y ( d y Z Y [ y, y] d y Z Y [ y, y] d y < < y Z Y [ y, y] th d Pejels. Y ( ( y y [, ] Y [, ] Y [,] d y Z Y [ y, y Nili terkecil yg is dicpi Frul uu: Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} ] Nili teresr yg is dicpi. Y ( ( y y < < d y Z Y [ y, y] Perkli du itervl psitif k eghsilk itervl psitif. ts ts itervl hsilkli dlh hsilkli kedu ts ts sedg ts why dlh hsil kli kedu ts wh. 9. Y ( ( y y < < d y < < y Z Y [i{ y, y}, ks{ y, y}] Jik kedu itervl degeerte, k kit epuyi perkli ilg is: perkli du ilg psitif yg eerik hsil ilg psitif. 7 7 th d Pejels. Y ( ( y y [, ] Y [, ] Y [, ] < < d y Z Y [ y, y] Nili terkecil yg is dicpi Nili teresr yg is dicpi Frul uu: Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Slh stu itervl egdug l d eiliki ts wh egtif. Oleh kre itu ts wh itervl hsilkli dlh ts wh itervl yg egdug l d ts ts itervl yg li (yg psitif. ts ts itervl hsilkli dlh hsil kli dri kedu ts ts kre kedu ts ts terseut psitif. th d Pejels Y. ( ( y y [, ] Y [, ] Y [, ] d y Z Y [ y, y] Nili terkecil yg is dicpi Nili teresr yg is dicpi Frul uu: Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Kre slh stu itervl dlh itervl egtif d yg li itervl psitif, k ts wh itervl hsilkli dlh hsilkli ts wh itervl egtif d ts ts itervl psitif. ts tsy dlh ksilkli ts ts itervl egtif d ts wh itervl psitif 77 7 th d Pejels Y. ( ( y y [, ] Y [, ] Y [, ] d y < < y Z Y [ y, y] Nili terkecil yg is dicpi Nili teresr yg is dicpi Frul uu: Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Slh stu itervl dlh itervl egtif sedgk itervl yg li egdug l. ts wh itervl hsilkli dlh hsil kli ts wh itervl egtif d ts ts (psitif itervl yg egdug l. ts tsy dlh hsilkli ts wh itervl egtif d ts wh (yg erili egtif dri itervl yg egdug l. th d Pejels Y. ( ( y y [ 7, ] Y [, ] Y [, ] d y Z Y [ y, y] Nili terkecil yg is dicpi Frul uu: Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Kedu itervl dlh itervl egtif. ts wh itervl hsilkli dlh hsilkli kedu ts ts. ts wh itervl hsilkli dlh hsilkli kedu ts wh. Nili teresr yg is dicpi 79

31 // th d Pejels. Y ( y y ( [, ] Y [, ] Y [, ] d y Z Y [ y, y] Nili terkecil yg is dicpi Nili teresr yg is dicpi Frul uu: Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Kre slh stu itervl dlh itervl egtif d yg li itervl psitif, k ts wh itervl hsilkli dlh hsilkli ts wh itervl egtif d ts ts itervl psitif. ts tsy dlh ksilkli ts ts itervl egtif d ts wh itervl psitif th d Pejels Y 7. ( y ( y [, ] Y [,] Y [, ] d y < < y Z Y [ y, y] Nili terkecil yg is dicpi Frul uu: Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Slh stu itervl egdug l d eiliki ts wh egtif. Oleh kre itu ts wh itervl hsilkli dlh ts wh itervl yg egdug l d ts ts itervl yg li (yg psitif. ts ts itervl hsilkli dlh hsil kli dri kedu ts ts kre kedu ts ts terseut psitif. Nili teresr yg is dicpi th d Pejels. Y ( ( y y [, ] Y [, ] < < d y Z Y [ y, y] Y [, ] Nili terkecil yg is dicpi Nili teresr yg is dicpi Frul uu: Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Slh stu itervl dlh itervl egtif sedgk itervl yg li egdug l. ts wh itervl hsilkli dlh hsil kli ts wh itervl egtif d ts ts (psitif itervl yg egdug l. ts tsy dlh hsilkli ts wh itervl egtif d ts wh (yg erili egtif dri itervl yg egdug l. th d Pejels 9. Y ( ( y y [, ] Y [,] < < d y < < y Z Y [i{ y, y}, ks{ y, y}] Y [i{, }, ks{, }] [, ] Kedu itervl egdug l. Pd frulsi uu Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} k erili egtif sehigg tk ugki ejdi ts ksiu k erili psitif sehigg tk ugki ejdi ts iiu Kelik Itervl pil dlh stu itervl yg tidk egdug, kelik dri didefiisik segi {/ : } Deg eperhtik ts ts d ts why, k [/, / ] [, ] / [.,.] Jik ditiju ked uu di itervl egdug, kelik dri k terdiri dri du itervl terpish stu s li. Ked deiki ii elu k kit liht. Pegi Itervl Pegi itervl leh itervl Y dlh perkli tr deg kelik Y. [, ] [/,/ ] Y Y [, ], Y [, ] /Y [, ] [.,.] [., ]

32 // Sift-Sift rittik Itervl Jik itervl-itervl egli degeersi, k persipersi rittik itervl eruh ejdi rittik ilg is yg sudh kit kel. Kit leh eghrp hw sift-sift rittik ilg is yg kit kel, ucul jug dl rittik itervl. eryt eg deiki. k tetpi ucul jug pered-pered yg sgt eylk. 7 Opersi pejulh d perkli itervl telh didefiisik segi Y { y :, y Y} Y { y :, y Y} Pejulh ersift ssitif d perkli ersift kuttif. ( Y Z ( Y Z; Y Y ( YZ ( Y Z; Y Y Nl d Stu dlh itervl yg egli degeersi: [, ] d [, ] yg ditulisk segi d Jdi d Pered eylk deg rittik is dlh hw dl rittik itervl: d / jik w( > [, ] w( [,] / [ /, / ] / [ /, / ] jik jik > < 9 9 Sift distriutif dl rittik itervl dlh: (Y Z Y Z Sift distriutif ii tetp erlku dl ksus-ksus khusus erikut: Jik Y d Z dlh itervl sietris; Jik YZ > Nu sift distriutif tidk setis erlku: [, ] (- tetpi [, ] [, ] [, ] Kpit S e l e k t Mtetik S u d r y t S u d i r h 9 9