BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BB LNSN TEORI. Siste Pers Liier d Mtriks.. Siste Pers Liier Slh stu slh yg sellu dihdpi dl epeljri tu eechk prole dl idg tetik dlh eyelesik siste pers liier. Betuk uu pers liier dlh:... (.) di erupk fktor yg eghuugk peuh-peuh,,,..., d,,,..., erupk koefisie peuh dri pers (.). Kejdi yg ugki terjdi dri pers (.) dlh segi erikut:. Slh stu koefisie i (i,,,..., ) isly i, sehigg pers dpt ditulis deg: eg eerik hrg-hrg serg utuk,, 4,...,, k hrg i dpt dikethui yg erupk peyelesi dri pers itu. Kejdi khusus dri pers ii dlh:, deg peyelesi: - (uique solutio).. Seu koefisie i (i,,,..., ) sedgk koefisie. eg deiki pers (.) ejdi:,. l hl ii pers tidk epuyi peyelesi (o solutio).. Seu koefisie i (i,,,..., ) d. eg deiki pers ul-ul ejdi. rtiy uh ilg di dl R erupk peyelesi dri siste pers (ifiite uer of solutio). Uiversits Suter Utr

2 Cotoh di wh ii eujukk hw siste pers liier dpt epuyi uique solutio, o solutio, ifiite uer of solutio. Pdg siste pers liier deg du pers deg du peuh di wh ii: (.) uique solutio Gr. Gris erpotog pd seuh titik persekutu o solutio Gr. Gris sejjr; tidk d titik persekutu Uiversits Suter Utr

3 ifiite uer of solutio Gr. Gris eripit; tidk dpt ditetuk yky julh titik persekutu Siste pers (.) diselesik deg eglik pers pert deg d pers kedu deg, sehigg diperoleh: (.) Bil pers pert dikurg pers kedu, k diperoleh: ( ) (.4) Jik, k hrg dpt ditetuk yitu: (.5) eg diperolehy ili dpt ditetuk ili dri pers (.) yg erupk uique solutio. eteri pers (.) didefiisik deg: (.6) ri hsil ii dpt ditetuk solusi pers (.) segi erikut:. Mepuyi uique solutio jik d hy jik deteri.. Tidk epuyi peyelesi tu epuyi yk peyelesi jik d hy jik deteri. Uiversits Suter Utr

4 Sutu siste pers liier ( ) dlh kupul dri uh siste pers deg peuh yg disjik secr seretk. Secr uu siste pers liier terseut eretuk: (.7) di:,,,..., ij,..., erupk kostt dri siste pers, sedgk,,,..., erupk peuh d,,,..., erupk ili sig-sig siste pers deg i,,,..., d j,,,...,. Cotoh: (.7) Jik seu kostt i, (i,,,..., ), k siste pers diseut siste pers liier hooge. dik i k i, (i,,,..., ) eeuhi siste pers (.7), k hipu hrg i k i, ditulis deg (,,,..., ) diseut peyelesi prtikulir dri siste pers itu. Hipu dri seu peyelesi diseut deg peyelesi uu. Sutu siste pers liier hooge deg orde, etuk uuy dpt ditulis segi erikut: (.8) di: ij erupk kostt deg i, j sedgk i segi peuh ( i ). Uiversits Suter Utr

5 Cotoh: 5 (.8) Bil siste pers liier disjik secr seretk di julh peuh s deg julh pers, k etuk uuy dlh: (.9) di: ij segi koefisie d i kostt dri siste pers liier deg peuh j j i j ij i.,,,...,,, i j,,,...,. l etuk li siste pers liier ii dpt disjik segi erikut:.. Mtriks Peggu opersi triks eerik proses yg tertur d logis yg dpt diteri utuk peyelesi koputer dl siste pers-pers siult. Pdg siste pers liier deg tig pers, tig peuh segi erikut: 5 4 (.9) Uiversits Suter Utr

6 Jik koefisie siste pers liier terseut ditulis dl etuk rry ept persegi pjg (rectgulr rry), k diperoleh: 5 yg eggrk tetg iforsi seelh kiri ketig pers terseut. Sutu rry ept persegi pjg yg diurutk diseut triks. Secr uu perhtik triks uh pers liier deg peuh di wh ii: (.7) Siste pers liier di ts dpt ditulis dl etuk rry ept persegi pjg d dik triks yitu: Susu rry yg eretuk persegi pjg yg terdiri dri ris d kolo diseut triks tu triks erorde. Kopoe ke-ij triks diotsik deg ij, yg erupk ris ke-i d kolo ke-j dri triks. l etuk li, triks dpt ditulis ( ij ). Bil dlh triks di, k triks diseut triks ujur sgkr (squre triks). Uiversits Suter Utr

7 efiisi dik ( ij ) triks erorde. Trspose dri ditulis t, dlh triks erorde yg diperoleh deg epertukrk ris d kolo dri. Jelsy dpt ditulis: t ( ij ). l etuk li: Jik k t Jelsy, letk ris ke-i dri dlh kolo ke-i pd t d kolo ke-j dri dlh ris ke-j pd t. efiisi Mtriks ujursgkr eorde diseut sietrik jik t. Sutu triks ujursgkr diseut upper trigulr il seu kopoe di wh digol ol dl etuk li ditulis: ( ij ) upper trigulr jik ij, i > j. Sutu triks ujursgkr diseut lower trigulr il seu elee di ts digol ol dl etuk li ditulis: ( ij ) jik ij, i < j. ( ij ) triks digol jik ij, i j. efiisi dik ( ij ) d B ( ij ) dlh triks erorde. Julh d B dlh triks B deg orde yg diytk deg: B ( ij ) ij Uiversits Suter Utr

8 efiisi 4 Jik ( ij ij α α α α α α α α α α α ) ( ) triks erorde d jik α dlh sklr, k triks α erorde yg diytk deg: efiisi 5 dik ( ij ) triks erorde deg elee ris ke-i diotsik deg i. dik B ( ij ) triks erorde p di elee kolo ke-j diotsik deg j. Mk product (perkli) d B dlh triks C (c ij ) deg orde p di c ij i j. Elee ke-ij d B dlh perkli sklr ris ke-i dri ( i ) d kolo ke-j dri B( j j i j i j i ij C... ). Hl ii diytk deg: Cotoh: Jik [ ij ] koefisie triks erorde d (,,,..., ) dlh triks kolo erorde, sehigg product triks dlh triks erorde yitu: Uiversits Suter Utr

9 Bil siste pers di ts disk deg yg erupk vektor kolo, k yg diytk deg: efiisi 6 Idetits triks ujursgkr erorde dlh triks erorde di seu elee digol dlh (stu) d elee yg li (ol) d dpt diotsik deg: I ( ij jik i j ) di ij ; i j,,,..., (.) jik i j Teore dik triks ujursgkr erukur, k: I I Ctt: Fugsi I pd triks s deg fugsi ilg (stu) dl ilg riel (se:.., ε R). Bukti: dik c ij elee ke-ij dri I, k dpt ditulis: c ij i i i i... ij ij... i dri pers (.) julh cij ij, sehigg I. eg cr yg s dpt diperlihtk I. Jels terukti. i Notsi: Utuk leih sigkty idetits ditulis I. efiisi 7 Mislk d B triks erukur. dik hw: B B I. B diseut ivers dri riks diotsik deg -, utuk leih jelsy ditulis: - - Uiversits Suter Utr

10 I. Jik triks epuyi ivers k triks diseut ivertile. ri defiisi di ts diperoleh hw ( - ) - il ivertile. Teore Bil triks ivertile, k iversy uique (tuggl) Bukti: dik B d C ivers dri triks. k diperlihtk B C. ri defiisi dikethui hw B B I d C C I. Mk B(C) BI B d B(C) IC C. B(C) (B)C se erlku huku ssositif dl perkli triks. eg deiki B C, sehigg peryt dits terukti. Teore dik d B triks erorde yg ivertile. Mk B ivertile d (B) B Bukti: Utuk euktiky, k dirhk ke defiisi 7. B - - (B) - jik d hy jik B - - (B) (B)(B - - ) I. (B - - )(B) B - ( - )B B - IB B - B I d (B)(B - - ) (BB - ) - I - - I Pdg siste pers (.9) deg pers d peuh, dpt diytk deg: X d dik ivertile. Mk pers dpt ditulis dl etuk: - X - (kedu rus pers dikli deg - ) IX - ; - I X - ; IX X Sehigg dpt disipulk, il ivertile, siste pes X - epuyi uique solutio: X Uiversits Suter Utr

11 . Metode Crer Seelu diurik gi etode crer diguk dl eyelesik siste pers liier o-hooge, k k diurik terleih dhulu fktor-fktor yg edukug etode crer. Teore 4 Jik ivertile det, k det - det Bukti: ri sift-sift ljr dikethui hw: det I det - det det - di hl ii ekivle deg: det - det Seelu diguk deteri utuk eghitug ivers, k didefiisik tetg djoit triks ( ij ). Mislk B ( ij ) triks kofktor dri sehigg: B efiisi 8 dik triks erorde d B triks kofktor. djoit ditulis dj dlh trspose triks B erorde yitu: dj B t Uiversits Suter Utr

12 Cotoh: 4 Mislk: 5 7 ri triks di ts diperoleh:,, -, -, 5,, -7,,. k: 7 B 5 d dj B t 5 7 Teore 5 dik triks erorde. ivertile jik d hy jik det. Jik det k: - dj det Bukti: Kre, k: () dj det Se dikethui hw jik B I det k B -. eg deiki: dj det det ( ( dj ) ) (det ) I I. Pdg siste pers liier o-hooge deg pers d peuh diwh ii: (.9) Uiversits Suter Utr

13 Siste pers liier di ts dpt ditulis dl etuk: (.) di:,, Jik det k pers (.) epuyi uique solutio yg ditetuk oleh: -. Mislk det. idefiisik triks ru yitu:,,..., i dlh triks yg diperoleh deg eeptk pd kolo ke-i dri deg triks kolo. Mislk det, det,..., det. Teore 6 (Crer s Rule) dik triks erorde d det. Peyelesi tuggl (uique solutio) dri siste pers ditetuk oleh: Uiversits Suter Utr

14 ,...,,, Bukti: Peyelesi dri dlh - ( ) dj di: Sehigg (dj ) dlh erupk -vektor yitu: ( ) j j j j j j j j. Pdg triks j j : Bil ditetuk deteri dri j. pd kolo ke-j, diperoleh: j (kofktor dri ) (kofktor dri ) (kofktor dri )... (kofktor dri. Kofktor dri ). j diperoleh deg eghilgk ris ke-i d kolo ke-j dri j (se i erd pd kolo ke-j di j ). Tetpi kolo ke-j dri j dlh, sehigg diperoleh ior ij, M ij k kofktor dri dri. i pd j ij sehigg: j j j j... j. kolo ke-j Uiversits Suter Utr

15 Kopoe ke-i dri (dj ) dlh i / / / / d diperoleh:. Metode Eliisi Guss-Jord Pdg siste pers liier o-hooge di wh ii: (.9) Pers di ts dpt diytk dl etuk koefisie triks segi erikut: Pers di ts dpt ditulis dl etuk triks yg diperesr (ugeted tri) yg etuky seperti di wh ii: Uiversits Suter Utr

16 Utuk eetuk ili-ili,,,...,, k triks yg diperesr (ugeted tri) di ts hrus diuh kedl etuk echelo deg proses pegerj segi erikut:. Guk segi pivot pert utuk egeliisi elee-elee,, 4,..., ejdi (ol). Proses segi erikut:. M (- / ): klik ris pert deg (- / ) d hsily dijulhk deg ris kedu.. M (- / ): klik ris pert deg (- / ) d hsily dijulhk deg ris ketig. c. M4 (- 4 / ): klik ris pert deg (- 4 / ) d hsily dijulhk deg ris keept. Hl ii dilkuk higg elee ke-. d. M (- / ): klik ris pert deg (- / ) d hsily dijulhk deg ris ke-. k diperoleh triks di wh ii:. diguk segi elee pivot utuk egeliisi elee-elee,, 4,..., ejdi (ol), deg opersi:. M (- / ): klik ris kedu deg (- / ) d hsily dijulhk deg ris pert. Uiversits Suter Utr

17 . M (- / ): klik ris kedu deg (- / ) d hsily dijulhk deg ris ketig. c. M4 (- 4 / ): klik ris kedu deg (- 4 / ) d hsily dijulhk deg ris keept. d. M (- / ): klik ris kedu deg (- / ) d hsily dijulhk deg ris ke-. k diperoleh triks di wh ii :. diguk segi elee pivot utuk egeliisi elee-elee,, 4,..., ejdi (ol) deg opersi;. M (- / ): klik ris ketig deg (- / ) d hsily dijulhk deg ris pert.. M (- / ): klik ris ketig deg (- / ) d hsily dijulhk deg ris ketig. c. M4 (- 4 / ): klik ris ketig deg (- 4 / ) d hsily dijulhk deg ris keept. d. M(- / ): klik ris ketig deg (- / ) d hsily dijulhk deg ris ke-. k diperoleh triks di wh ii: Opersi di ts terus dilkuk higg segi elee pivot ke-, utuk egeliisi,,,..., (-) ejdi (ol) deg opersi: Uiversits Suter Utr

18 . M (- / ): klik ris ke- deg (- / ) d hsily dijulhk deg ris pert.. M (- / ): klik ris ke- deg (- / ) d hsily dijulhk deg ris kedu. c. M (- / ): klik ris ke- deg (- / ) d hsily dijulhk deg ris ketig. d. M(-) (- (-) / ): klik ris ke- deg (- (-) / ) d hsily dijulhk deg ris ke-( ). sehigg diperoleh etuk triks di wh ii: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dri triks di ts ii ili-ili,,,..., diytk deg: ( ) / ( ) / ( ), ( ) / ( ), ( ) 4 4 / ( ),..., ( ) ( ) 44 /. ( ),.4 Bhs C Bhs C erupk perkeg dri hs BCPL yg dikegk oleh Mrti Richrds pd thu 967. Seljuty hs ii eerik ide kepd Ke Thopso yg keudi egegk hs yg diseut hs B pd thu 97. Perkeg seljuty dri hs B dlh hs C oleh eis Ricthie sekitr thu 97- di Bell Telephoe Lortories Ic. (sekrg dlh T&T Bell Lortories). Bhs C pert kli diguk di koputer igitl Equipet Uiversits Suter Utr

19 Corportio PP- yg egguk syste opersi UNIX. Higg st ii peggu hs C telh ert di seluruh dui. Seli itu, yk hs perogr populer seperti PHP d Jv egguk sitks dsr yg irip hs C..4. Struktur Progr Bhs C Setip hs koputer epuyi struktur progr yg ered. Jik struktur dri progr tidk dikethui, k k sulit utuk euli eulis sutu progr deg hs yg ersgkut. Struktur dri progr eerik gr secr lus dri etuk progr. Struktur dri progr Bhs C dpt diliht dri kupul seuh tu leih fugsi-fugsi. Fugsi pert yg hrus d dl progr Bhs C sudh ditetuk y, yitu er i(). Sutu fugsi dl progr Bhs C diuk deg kurug kurwl ({) d di tutup deg kurug kurwl (}). i tr kurug-kurug kurwl dpt ditulisk sttee-sttee progr Bhs C. Berikut ii dlh struktur progr Bhs C.. Struktur Progr Bhs C i() { sttee-sttee; } fugsi ut Fugsi_Fugsi_Li() { sttee-sttee; } fugsi-fugsi li yg ditulis oleh perogr Uiversits Suter Utr

20 . Progr Bhs C yg Sederh sttee-sttee dl progr Bhs C eretuk kt kuci koetr /* Progr Bhs C Yg Sederh */ #iclude<stdio.h> i() fugsi { flot Celcius, Fhreheit; pritf( Msukk Nili Celcius? ); scf( %f,&celcius); pedeklrsi vriel /* Meghitug Koversi */ Fhreheit Celcius *.8 ; } pritf( %f celcius dlh %f fhreheit\, Celcius, Fhreheit); gi sutu fugsi Jik progr ii dijlk k didptk hsil: Msukk Nili Celcius?. celcius dlh 5. fhreheit cotoh perith.4. Fugsi Iput/Output. pritf() Uiversits Suter Utr

21 Fugsi : Mecetk output ke lyr Iclude : #iclude<stdio.h> Hsil : Meghsilk julh yte dri output terseut, il ggl prit eghsilk ed of file Cotoh : pritf( SUKSES SELLU ); Tel. Kode-Kode Fort utuk Fugsi pritf() Kode Fort Kegu %c Mepilk seuh krkter %s Mepilk ili strig %d Mepilk ili desil iteger %i Mepilk ili desil iteger %f Mepilk ili pech. scf() Fugsi : Mec dt dri stdi Iclude : #iclude<stdio.h> Hsil : t terseut, il slh tu ejupi ed of file k hsily dlh NULL Cotoh : pritf( Jri-Jri Ligkr: ); scf( %f, & jri); c. getch() Fugsi : Mec krkter dri keyord, hsily tidk ditpilk dilyr Iclude : #iclude<coio.h> Hsil : Krkter yg diketikk Cotoh : pritf( Ketikk sutu huruf (-Z) ); getch(); d. getche() Fugsi : Mec krkter dri keyord, hsily tidk ditpilk dilyr Uiversits Suter Utr

22 Iclude : #iclude<coio.h> Hsil : Krkter yg dic dri lyr Cotoh : pritf( Tek Serg Tool ); getche(); e. putch() Fugsi : Mecetk krkter di lyr Iclude : #iclude<coio.h> Hsil : Krkter yg dicetk, il terjdi keslh fugsi ii eeri ili ed of file Cotoh : putch(krkter); f. puts() Fugsi : Mecetk strig ke stdout Iclude : #iclude<stdio.h> Hsil : Bil erhsil k eerik ili o-egtif, il ggl k eghsilk ed of file Cotoh : chr teks[ ] Selt ; puts(teks);.4. Jeis-Jeis Vriel dl Bhs C Vriel-vriel dl Bhs C digologk ejdi du gi yitu vriel uerik d vriel teks.. Vriel uerik digologk ts:. Bilg Bult tu Iteger Iteger pu epug ilg ult yg erkisr tr spi deg.786. Uiversits Suter Utr

23 . Flotig Poit l etuk ilg erpgkt, flotig poit dpt epug dt dri -8 spi deg 8, sedg dl etuk desil dpt epug higg e desil. Cotoh : ili_.4567 hsil.4566e c. oule Precisio l etuk ilg erpgkt, doule precisio dpt egolh gk erkisr -8 spi deg 8, sedg dl etuk desil dpt epug 5 digit. Cotoh : teliti std_dev.4567e. Vriel teks diedk ts:. Krkter (Tuggl) Vriel ii diguk utuk epug seuh krkter tupu vriel yg dikoversik dl etuk ilg (SCII code).. Strig Strig erupk rgki dri eerp krkter yg dikhiri deg krkter NULL ( \ ). Utuk egguk vriel-vriel di ts dl Bhs C k vriel hruslh diperkelk kepd Bhs C yg dikel deg istilh deklrsi vriel. Cotoh: it gji type vriel vriel Bil dideklrsik vriel totl segi iteger, vriel ili_khir segi flotig poit, vriel julh segi doule precisio, ii diytk deg: it totl; flot ili_khir; doule julh; Tel. Tipe Vriel Uiversits Suter Utr

24 Tipe Vriel Siol eklrsi Fort Specifier Iteger Flotig Poit oule Precisio Krkter it flot doule chr % d % f % lf % c Uiversits Suter Utr