Kapita Selekta Matematika

Transkripsi

1 7// Sudryto Sudirh Kpit Selekt Mtetik Mtriks Mtriks Siste Pers iier ilg Kopleks Perutsi d Koisi rittik Itervl Mtrik dlh susu tertur ilg-ilg dl ris d kolo yg eetuk sutu susu persegi pjg yg kit perlkuk segi sutu kestu. otoh: Notsi: otoh: ris kolo N triks: huruf esr cetk tel, ilg ii is erup ilg yt tu kopleks. Kit k eliht triks erisi ilg yt. Elee Mtriks otoh: Isi sutu triks diseut elee triks Ukur Mtriks,, d,, dlh elee-eee triks yg eetuk ris, d,, d, dlh elee-elee triks yg eetuk kolo Secr uu sutu trik terdiri dri ris d k kolo, sehigg sutu trik k terdiri dri k elee-elee Ukur triks diytk segi k otoh: dlh triks erukur

2 7// N Khusus Mtriks deg k diseut triks ujur sgkr. Mtriks deg k diseut triks kolo tu vektor kolo. Mtriks deg diseut triks ris tu vektor ris. Mtriks deg k diseut trik segi pjg Notsi vektor: huruf kecil cetk tel otoh: k triks ujur sgkr, k triks segi pjg Digol Ut Secr uu, triks dpt kit tulisk segi [ ] elee-elee diseut digol ut k p k vektor kolo [ ] q vektor ris 6 Mtriks Segitig otoh: d du c triks segitig yitu triks segitig wh d triks segitig ts Mtriks segitig wh dlh triks yg elee-elee di ts digol uty erili ol. Mtriks segitig ts dlh triks yg elee-elee di wh digol uty erili ol. Mtriks Digol Mtriks digol dlh triks yg elee-elee di ts upu di wh digol uty erili ol. otoh: D Mtriks segitig wh : Mtriks segitig ts : 7

3 7// Mtriks Stu Jik seu elee pd digol ut dlh, sedg elee yg li dlh, triks itu diseut triks stu. otoh: I Mtriks Nol Mtriks ol,, yg erukur dlh triks yg erukur deg seu eleey erili ol. 9 k triks tu su-triks [ ] [ ] - Du k triks, yitu: - ig k triks, yitu: - E k triks yitu: [], [], [], [], [], []; - E k triks yitu: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] - ig k triks yitu: otoh: Mtriks eiliki: Mtriks dpt dipdg segi tersusu dri k-k triks yg erup vektor-vektor dpt kit pdg segi triks deg k-k triks erup vektor ris [ ] [ ] [ ] dpt kit pdg segi triks [ ] deg k-k triks yg erup vektor kolo otoh: otoh yg li: Kes Mtriks Du triks d diktk s jik d hy jik erukur s d elee-elee pd posisi yg s jug s. Jik k hruslh. otoh:

4 7// Mtriks Negtif Negtif dri triks erukur dlh triks erukur yg diperoleh deg eglik seluruh eleey deg fktor ().. otoh: Pejulh Pejulh du triks hy didefiisik utuk triks yg erukur s Julh dri du triks d yg sig-sig erukur dlh seuh triks erukur yg eleeeleey erupk julh dri elee-elee triks d yg posisiy s ( ) ( ) Jik 7 k Sift-sift pejulh triks: otoh: Pegurg Mtriks Pegurg triks dpt dipdg segi pejulh deg triks egtif ) ( otoh: Perkli Mtriks 6 pq p q q Jdi jik triks erukur d erukur pq k perkli hy dpt dilkuk jik p. Hsil kli triks erup triks erukur q deg ili elee pd ris ke kolo ke k erupk hsil kli iterl (dot product) vektor ris ke dri triks d vektor kolo ke k dri triks Perkli tr du triks d yitu hy terdefiisik jik yk kolo triks s deg yk ris triks. Dl perkli triks, urut htus diperhtik. Perkli triks tidk kouttif.

5 7// Perkli Mtriks deg ilg Sklr Hsil kli sutu ilg sklr deg triks erukur dlh triks erukur yg seluruh eleey erili kli Perkli triks deg ilg sklr ii epuyi sift-sift segi erikut ( ) ( ) [ ] ( ) otoh: 7 Perkli Iterl Vektor (dot product) [ ] vektor ris: vektor kolo:. otoh: kolo ris Perkli iterl tr du vektor d yitu c hy terdefiisik jik yk kolo vektor s deg yk ris vektor. Dl perkli iterl vektor, urut perkli hrus diperhtik. [ ] [ ] [ ] 7 c Jik urut dilik, : kolo, : ris, perkli jug dpt dilkuk tetpi eerik hsil yg ered [ ] 9 6 d perkli iterl dpt dilkuk Perkli triks tidk kouttif. Perkli Mtriks Deg Vektor Mislk d dpt diklik kolo ris 7 Jik urut perkli dilik, perkli tidk dpt dilkuk kre terdiri dri stu kolo sedgk terdiri dri du ris. otoh: 9 Perkli Du Mtriks ujur Sgkr d otoh: dpt diklik kolo ris Mtriks kit pdg segi Mtriks kit pdg segi [ ] [ ] 7

6 7// Perkli du triks persegi pjg otoh: d ris kolo dpt diklik 7 7 Peryt triks deg k triks pd cotoh di ts dlh [ ] sehigg [ ] Dl opersi perkli triks: triks yg pert kit susu dri k triks yg erup vektor ris. triks yg kedu kit susu dri k triks yg erup vektor kolo Jdi perkli triks dlh perkli dri ris ke kolo, Sift-sift perkli triks. sositif d distriutif terhdp pejulh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). idk kouttif. Jik perkli upu terdefiisik, k pd uuy Putr triks tu trsposisi dri triks erukur dlh sutu triks yg erukur deg kolokolo triks segi ris-risy yg errti pul hw ris-ris triks ejdi kolo-kolo triks Jik [ ] k c. Huku petl tidk sellu erlku. Jik tidk sellu erkit tu. k [ ] pq 6

7 7// 7 Putr Vektor ris D Vektor Kolo Putr vektor ris k ejdi vektor kolo. Seliky putr vektor kolo k ejdi vektor ris. [ ] [ ] otoh: Putr Julh Du Vektor ris Putr julh du vektor ris s deg julh putr sig-sig vektor [ ] [ ] d [ ] 7 ( ) 7 ( ) Jik k Secr uu : otoh: 6 Putr Hsil Kli Vektor ris D Vektor Kolo Putr hsil kli vektor ris deg vektor kolo tu vektor kolo deg vektor ris, s deg hsil kli putr sig-sig deg urut dilik [ ] d [ ] Jik k otoh: [ ] [ ] 7 otoh: Jik [ ] d k ( ) [ ] Secr uu : ( )

8 7// otoh: Putr Mtriks Persegi Pjg Jik k [ ] Jik triks diytk segi susu dri vektor ris k [ ] Jik triks diytk deg vektor kolo k 9 Putr Julh Mtriks Putr julh du triks s deg julh putr sigsig triks. Hl ii telh kit liht pd putr julh vektor ris. ( ) [ ] [ ] [ ] Jik Deg deiki d k ( ) ( ) ( ) Putr Hsil Kli Mtriks Putr hsilkli du triks s deg hsil kli putr sig-sig deg urut yg dilik. Hl ii telh kit liht pd putr hsil kli vektor ris d vektor kolo. ( ) [ ] Jik d k [ ] Deg deiki k Mtriks Sietris Jik diktk hw triks dlh sietris irig. Mtriks sietris dlh triks yg putry s deg triksy sediri. Jdi triks diktk sietris pil Kre dl setip putr triks ili elee-elee digol ut tidk eruh, k triks sietris irig dpt terjdi jik elee digol uty erili ol. erkit deg putr triks, kit egel kesietris pd triks yt.

9 7// Siste Pers iier Sutu siste pers liier (tu hipu pers liier siult) dlh stu set pers dri sejulh usur yg tk dikethui. etuk uu: Siste ii egdug pers deg usur yg tk dikethui yitu.. ilg.. diseut koefisie dri siste itu, yg isy erupk ilg-ilg yg dikethui. ilg-ilg. jug erupk ilg-ilg yg dikethui, is erili tidk ol upu erili ol Jik seluruh erili ol k siste pers terseut diseut siste pers hooge Dri siste pers liier dihrpk dy solusi yitu stu set ili dri yg eeuhi siste pers terseut. Jik siste ii hooge, i egdug solusi trivil (solusi tk petig) yitu,.,. Perty-perty yg tiul tetg solusi dri siste pers ii dlh: ). er dkh solusi dri siste ii? ). gikh cr utuk eperoleh solusi? c). Klu siste ii epuyi leih dri stu solusi, gikh hipu solusi terseut? d). Dl ked gikh siste ii tept epuyi stu solusi? Opersi ris Pdsisteiikit dpt elkuk opersi-opersi yg diseut opersi rissegi erikut: ). Rus kiri d rus k dri setip pers dpt diklik deg fktor uk ol yg s,tp epegruhi hipu siste pers terseut. ). Rus kiri dri setip pers dpt dijulhk ke rus kiri pers yg li sl rus ky jug dijulhk. Opersi ii tidk eggggu keseluruh siste pers terseut. c). Mepertukrk tept (urut) pers tidklh eggggu hipu siste pers. 6 9

10 7// Siste pers liierdpt ditulisk dl etuk triks deg eftk pegerti perkli triks. etuk itu dlh Peulis Pers iier Dl etuk Mtriks tu secr sigkt ; ; deg 7 Dri crpeulisterseutdi ts,kit dpt egu sutu triks ru yg kit seut triks gdeg, yitu deg eggdegk triks deg ejdi ~ Mtriks gdeg ii eytk siste pers liiersecr legkp. Opersi-opersi rispd siste pers liierkit terjehk ke dl triks gdeg ejdi segi erikut ). Setip elee dri ris yg s dpt diklik deg fktor uk ol yg s. ). Stu ris oleh dijulhk ke ris yg li. c). ept ris (urut ris) dpt dipertukrk. Setip opersi ris k eghsilk triks gdeg ru. Opersi ris dpt kit lkuk lgi pd triks gdeg ru d eghsilk triks gdeg yg leih ru lgi d yg terkhir iipu setr ris deg triks gdeg yg l. Mtriks gdeg ru ii diseut segi setr ris deg triks gdeg yg l. Deg sigkt kit ktk hw opersi ris eghsilk triks gdeg yg setr ris deg triks gdeg sly. Hl ii errti hw triks gdeg ru eytk siste pers liier yg s deg triks gdeg sly. 9 Eliisi Guss Eliisi Guss erupk lgkh-lgkh sistetis utuk eechk siste pers liier. Kre triks gdeg erupk peryt legkp dri sutu siste pers liier, k eliisi Guss cukup dilkuk pd triks gdeg ii. Sutu siste pers liier: otoh: D D Kit tulisk pers ii dl etuk triks: D

11 7// Mtriks gdegy dlh: gkh-: gkh pert pd eliisi Guss pd triks gdeg dlh eperthk ris ke-(diseut egil ris ke- segi pivot) d eutsuku pertris-ris erikutyejdieriliol. ris) ( ris) ( ris) ( pivot Pdtriksyg dierikii, lgkhpertii dilksk deg ehk ris ke- ke ris ke-, egurgk ris ke- dri ris ke- d ehk ris ke- ke ris ke-. Hsil opersi ii dlh gkh-: gkh kedu dlh egil ris ke- dri triks gdeg yg ru sj kit perolehsegipivot,d eutsuku kedu ris-ris erikutyejdiol. Ii kit lkuk deg eglik ris ke- deg / keudi ehky ke ris ke-, d egurgk ris ke- dri ris ke-. Hsil opersi ii dlh (-ris ) / ris ) ( (pivot) 6 / / Klikriske deg gr diperoleh ilg ult 6 / / gkh-: gkh ketig dlh egil ris ke- segi pivot d eutsuku ke- dri ris ke-ejdiol. Ii dpt kit lkuk deg eglik ris ke- deg keudi ehk kepdy ris ke-. Hsily dlh: ris pivot

12 7// Mtriks gdeg terkhir ii eytk etuk triks: D D yg deg sustitusi udur k eerik: ; ; ; D Hsil terkhir lgkh ketig dlh: Mtriks terkhir ii eytk siste pers liier: D Siste-siste ertetu D idk ertetu Siste tertetu dlhsiste yg eerik tept stu solusi. Siste tertetu terjdi jik usur yg tk dikethui s yk deg persy,d pers-pers ii tidk slig ergtug. Jik pers leih yk driusur yg tk dikethui, siste ejdi tertetu erleih. Jik usur yg tk dikethui leih ykdripersy, k siste itu ejdi kurg tertetu. Siste yg kurg tertetu eerik tidk hy stu solusi k tetpi yk solusi. Siste yg kurg tertetu sellu epuyi solusi (d yk) sedgk siste tertetu d tertetu erleih is eerik solusi is jug tidk eerik solusi. 6 otoh Siste Pers Yg Meerik yk Solusi Mtriks gdeg: Eliisi Guss: otoh: 7 Mtriks gdeg ii eytk siste pers : ) / ( Dri pers ke- kit edptk ) / ( yg keudi eerik Kre tetp serg k kit edptk yk solusi. Kit hy k eperoleh ili d jik kit eetuk ili leih dulu

13 7// otoh Siste Yg idk Meerik Solusi Mtriks gdeg d eliisi Guss eerik otoh: 9 Siste pers dri triks gdeg terkhir ii dlh Kit liht di sii hw peerp eliisi Guss pd khiry eghsilk sutu kotrdiksi yg dpt kit liht pd ris terkhir. Hl Ii eujukk hw siste pers yg sedg kit tiju tidk eerik solusi. etuk Eselo etuk triks pd lgkh terkhir eliisi Guss, diseut etuk eselo. d Secr uu etuk eselo triks gdeg dlh r r r rr k k c c M M Dri cotohdi ts, etuk eselo triks koefisie d triks gdegy dlh d siste yg telh tereduksi pd lgkh khir eliisi Guss k eretuk r r r r rr k k c M M deg,, rr k, d r ). Jik d s deg ol tu tidk d, k siste pers ii k eerik tept stu solusi. ). Jik d s deg ol tu tidk d, k siste pers ii k eerik yk solusi. c). Jik tupu d tidk s deg ol tu epuyi ili, k siste pers ii tidk eerik solusi. r r,, K r < r,, K r r < r,, K Perhtik etuk ii:

14 7// es iier D k-es iier Vektor-vektor Jdi sutu siste pers k eerik solusi jik r, K, s deg ol tu tidk d. Pd sutu siste pers yg eerik solusi, ketuggl solusi terjdi jik r. Jik r < pers k eerik yk solusi. Nili ryg diiliki oleh triks gdeg ditetuk oleh yky vektor ris yg es liierdl triks gdeg. Pegerti tetg kees liier vektor-vektor kit hs erikut ii. Mislk,, dlh vektor-vektor ris dri sutu triks [ k ]. Kit tiju sutu pers vektor c c c pilpers vektor ii terpeuhi hy jikseu koefisie (c c )erili ol, kvektor-vektor ris terseut dlh es liier. Jik pers vektor terseut dpt dipeuhi deg koefisie yg tidk seuy erili ol (rtiy setidk-tidky d stu koefisie yg tidk erili ol) k vektor-vektor itu tidk es liier. otoh: Du vektor ris [ ] d [ 6 ] Jik stu hipu vektor terdiri dri vektor-vektor yg es liier, k tk stupu dri vektor-vektor itu dpt diytk dl koisi liier dri vektor yg li. Hl ii dpt diegerti kre dl pers terseut di ts seu koefisie erili ol utuk dptdipeuhi. Jik vektor-vektor tidk es liier k ili koefisie pd pers terseutdi ts(tu setidk-tidky segi tidk erili ol) k stu vektor dpt diytk segi koisi liier dri vektor yg li. Vektor isly,dpt diytk segi c c c c kre koefisie-koefisie ii tidk seluruhy erili ol Vektor d dlh es liier kre [ ] [ 6 ] c c c c hy k terjdi jik c c il vektor ketig [ 6 ] Vektor d tidk es liier kre kit dpt eytk segi [ ] [ 6 ] Vektor, d jug tidk es liier kre kit dpt eytk segi [ ] [ 6 ] [ 6 ] k tetpi jik kit hy eliht d sj, erek dlh es liier. 6

15 7// Rk Mtriks Deg pegerti tetg vektor yg es liier, didefiisik rk triks. ykyvektor ris yg es liier dl sutu triks [ k ] diseut rktriks disigkt rk. Jiktrik k rk dlh ol. gi eetuk rk sutu triks? Opersi ris pdsututrikseghsilk triks yg setr ris deg triks sly. Hl ii errti pul hw rk triks ru s deg rk triks sly. Deg perkt li opersi ris tidk eguh rktriks. Jdi rksutu triks dpt diperoleh ellui opersi ris, yitu s deg rktriks yg dihsilk pd lgkh terkhir eliisi Guss. etuk eselo triks yg diperoleh pd lgkh terkhir eliisi Guss, egdug vektor-vektor ris yg es liier kre vektor yg tk es liier telh tereliisi. otoh: etuk eselo triks koefisie d triks gdegy dri siste pers yg eerik solusi tuggl dl cotoh, dlh 6 6 d Dl ksus ii rktriks koefisie s deg rktriks gdeg, yitu. Seli dri pd itu rktriks s deg yky usur yg tk dikethui yitu 7 otoh: etuk eselo triks koefisie d triks gdegy dri siste pers yg eerik yk solusi, dlh d Dl ksus ii rk triks koefisie s deg rk triks gdeg, yitu. k tetpi rktriks ii leih kecil dri yky usur yg tk dikethui. otoh: etuk eselo triks koefisie d triks gdegy dri siste pers yg tidk eerik solusi, dlh d Dl ksus ii rk triks koefisie tidk s deg rktriks gdeg. Rk triks koefisie dlh sedgk rk triks gdegy dlh. Ketidk s rkdri kedu triks ii eujukk tidk dy solusi. 9 6

16 7// 6 p yg kit ti dl cotoh-cotoh di ts teryt erlku uu. c). jik rk triks koefisie leih kecil dri yky usur yg tk dikethui k k diperoleh yk solusi. ). gr sutu siste pers eerik solusi k rk triks koefisie hrus s deg rk triks gdegy; ). gr siste pers eerik solusi tuggl k rk triks koefisie hrus s deg yky usur yg tk dikethui; 6 Siste Pers Hooge Siste pers diseut hooge pil ili di rus k dri perssiste erili ol. Jik tidk deiki k siste itu diseut tk hooge. Siste pers hooge eretuk etuk triks gdeg siste ii dlh ~ 6 Eliisi Guss pd siste deiki ii k eghsilk ~ Jik rktriks gdeg terkhir ii s deg yky usur yg tk dikethui, r, siste pers khiry k eretuk M Dri siiterliht hw d sustitusi udur khiry eerik seu erili ol. Ii erupk solusi trivil d solusi trivil ii dikitk oleh keyt hw r. Solusi tk trivil hy k diperoleh jik. r < 6 Siste Pers Hooge Yg Hy Meerik Solusi rivil D D Mtriks gdeg siste ii d hsil eliisi Guss-y dlh 6 6 Rk trik koefisie dlh; yky usur yg tk dikethui jug. Siste pers liiery ejdi 6 6 D D D yg khiry eerik Iilh solusi trivil yg dihsilk jik terjdi ked r otoh: 6

17 7// Siste Pers Yg Meerik Solusi k rivil otoh: D 6D Mtriks gdeg d hsil eliisiy dlh eliisi Guss: 6 Siste pers ejdi 6D 6 6 Jik kit egil ili D Solusi ii eetuk vektor solusi k k diperoleh 6 ; ; / / 6/ yg jik triks koefisiey digdwlk k eghsilk vektor ol. / / 6 6/ 66 Jik kit eetpk ili D yg li, isly D k diperoleh vektor solusi yg li, yitu Peggdwl triks koefisiey jug k eghsilk vektor ol Vektor solusi ii erupk perkli solusi seeluy deg ilg sklr (dl hl ii ), yg sesugguhy is erili serg. Secr uu vektor solusi eretuk c c deg c dlh sklr serg Vektor solusi yg li lgi dpt kit peroleh deg ejulhk vektor-vektor solusi, isly d. / / 6 / Jels hw jug erupk solusi kre jik digdwlk k eerik hsil vektor ol. Jdi secr uu vektor solusi dpt jug diperoleh deg ejulhk vektor solusi yg kit ytk segi j c

18 7// Jik kit perhtik leih ljut rug vektor yg teretuk oleh vektor solusi k erdiesi ( r), yitu selisih tr yky usur yg tk dikethui deg rktriks koefisie. Dl ksus yg sedg kit tiju ii, yky usur yg tk dikethui dlh sedgk rktriks koefisie dlh. otoh di ts eperlihtk hw solusi dri siste pers hooge eetuk vektor-vektor yg seluruhy dpt diperoleh ellui perkli slh stu vektor solusi deg sklr sertpejulh vektor-vektor solusi. Kit ktk hw solusi dri siste pers hooge eetuk sutu rug vektor. Dl siste pers hooge yg sedg kit tiju ii, rug vektor yg teretuk dlh er-diesistu. Perhtik hw setip vektor solusi erupk hsilkli sklr deg vektor. 69 Siste Pers Deg Vektor Solusi erdiesi 7 D D D otoh: Mtriks gdeg d hsil eliisi Guss dlh 7 Rk triks ii dlh sedgk yky usur tk dikethui. Siste pers ejdi D 7 d D / ; / Jik kit eeri ili kit k edptk. / / dlh slh stu vektor solusi Gd-wl triks koefisie deg vektor ii k eerik vektor / / / / 7 Jik, k perkli deg sklr kk eerik k k, d ) ( c k k k k Deg kt li, jik dlh vektor solusi, k ) (,, k k k k dlh jug vektor-vektor solusi d segi kit thu vektorvektor ii kit peroleh deg eeri ili. d D 7

19 7// Jik d D k kit peroleh / d / yg eetuk vektor solusi / / Deg sklr lserg kit k eperoleh vektor-vektor solusi yg li seperti l, l, ( l l) Dri du cotoh terkhir ii terukti teore yg eytk hw solusi siste pers liier hooge deg usur tk dikethui d rk triks koefisie r k eetuk rug vektor erdiesi ( r). Secr keseluruh k vektor-vektor solusi kit dlh k l Iilh vektor-vektor solusi yg eetuk rug vektor erdiesi. 7 7 Kelik Mtriks D Metod Eliisi Guss-Jord Pegerti tetg kelik triks (iversi triks) ert kity deg peech siste pers liier. Nu deiki pegerti ii khusus ditujuk utuk triks ujur sgkr. Kelik triks (iversi triks ) didefiisik segi triks yg jik digdwlk ke triks k eghsilk triks idetits. Kelik triks ditulisk segi sehigg defiisi ii eerik relsi I Jik erukur k jug erukur d deiki pul triks idetitsy. idk seu triks ujur sgkr eiliki kelik; jik eiliki kelik k diseut triks tk sigulr d jik tk eiliki kelik diseut triks sigulr. Jik dlh triks tk sigulr k hy d stukelik ; deg kt li kelik triks dlh uik tu ersift tuggl. Hl ii udh diegerti se jik epuyi du kelik, isly Pd Q, k P I P d jug Q I Q, d hl ii hy ugki terjdi jik P Q. P IP ( Q) P QP Q( P) QI Q

20 7// erekl pegerti kelik triks, kit k eiju pers triks dri sutu siste pers liier tk hooge, yitu Jik kit eggdwlk kelik triks ke rus kiri d k pers ii, k kit peroleh I Pers iieujukk hw kit dpt eperoleh vektor solusi dri siste pers liier jik kelik triks koefisie d, tu jik triks tk sigulr. Jdi persol kit sekrg dlh gi egethui pkh triks sigulr tu tk sigulr d gi ecri kelik triks jik i tk sigulr. Dri pehs seeluy kit egethui hw jik triks koefisie dlh triks ujur sgkr, k solusi tuggl k kit peroleh jik rk s deg. Hl ii errti hw vektor pd persdi tsdpt kit peroleh jik rk s deg. Deg perkt li triks yg erukur tk sigulr jik rk d k sigulr jik rk <. Mecri kelik triks dpt kit lkuk deg cr eliisi Guss-Jord. Metod ii didsri oleh pers. Jik X dlh kelik triks k X I 77 7 Utuk ecri X kit etuk triks gdeg ~ [ I] Jikkit lkuk eliisi Guss pd ~ triks gdeg ii eruh ejdi [ U H] deg Ueretuk triks segitig ts. Eliisi Guss-Jord seljuty eropersi pd [ U H] yitu deg egeliisi usur-usur segitig ts pd U sehigg Ueretuk triks idetits I. gkh khir ii k eghsilk [ I X] otoh: Kit k ecri kelik dri triks Kit etuk triks gdeg [ I] [ I] Kit lkuk eliisi Guss pd triks gdeg ii pivot ris ris 79

21 7// ris pivot Keudi kit lkuk eliisi Guss-Jord /) ( / / / ris. ris / / 7 / ris / / 7 / 6 / / Hsil terkhir ii eerik kelik triks, yitu / / 7 / 6/ / Deg deiki utuk sutu siste pers liier tk hooge yg pers triksy vektor solusiy dlh 7 / / 7 / 6 / / Kelik Mtriks Digol Kelik triks digol dpt deg udh kit peroleh. / / Kelik Dri Kelik Mtriks Kelik dri kelik triks dlh triks itu sediri. ( ) Kelik Dri Perkli Mtriks Kelik dri perkli du triks dlh perkli dri kelik sig-sig triks deg urut dilik. ( ) Hl ii dpt diuktik segi erikut ( )( ) I ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I I I

22 7// Defiisi Dl uku Erwi Kreyszig kit c defiisi ilg ilg kopleks segi erikut ilg Kopleks ilg kopleks zilh sutu psg terurut (,y) dri ilg yt, y, yg kit tulisk giyt(rel prt) dri z z (, y) gikhyl(igiry prt) dri z kit tulisk Re z I z y Kit kecoehidefiisiiisecrgrfis, uli dri pegerti tetg ilg yt. 6 ilg Nyt Kit egelilgytultseperti,, dseterusy; ilg yt pech ¼, ½, ¾ d seterusy, sert ilg yt yg hy dpt di gk seperti π. Wlupu hy dpt digk, ilg ii tetp yt, iliy dlh,., deg gkdesilyg tkdikethuiujugy. Secr grfis, ilg yt dpt digrk posisiy di sutu suu yg diseut suu yt, - - ijulh sutu fugsi. y... y tidk dili y yg yt utuk egtif u utuk yg egtif dpt didefiisik sutu ilg ijier(khyl) j 7

23 7// Jikilgyt ejdistudriilgyt, isly d seterusy k ilg ijier j ejdi stu dri ilg ijier, isly ijier j ijier j ijier 9 j9 d seterusy Peryt ilg Kopleks Stu ilg kopleks z erupk julh dri kopoe yt d kopoe ijier d ditulisk ilg kopleks z j gi yt gi ijier 9 9 ilgkopleksdptdigrkdi idg kopleks yg ditsi oleh suu yt(dieri td Re) d suu ijier(dieri td I) yg slig tegklurus stu s li setip titik di idg kopleks eujukk posisi ilg-kopleks (,,y) deg dlh kopoe yt d y dlh kopoe ijier-y diseut odulus odulus z ρ diseut rgue rg z θ t Digr rgd I z j j ρ ρsi θ θ Re ρcosθ z ρ(cos θ j si θ) z (cos θ j si θ) 9 9

24 7// ONOH Sutu ilg kopleks diytk segi z j Sudut deg suu yt dlh o θ t ( / ), Peryt z dptkittulisk z o o ( cos, j si, ) o o ( j si, ) cos, ONOH Sutu ilg kopleks diytk segi o o ( cos si ) z j Peryt ii dpt kit tulisk o o ( jsi ) z cos (,9 j,) 9, j, 9 9 Kes ilg Kopleks Modulus ρ erupk ili utlk Dutuleihilgkopleksissjeilikiili ρyg s k tetpi deg sudut θ yg ered; tu seliky epuyiili θsktetpieiliki ρyg ered. Du ilg kopleks diktk s esr jik erek epuyi ik ρ upu θ yg s esr. Deg kt li, erek eiliki gi yt d gi ijier yg s esr.. Negtif dri ilg Kopleks Nili egtif dri sutu ilg kopleks dlh ili egtive dri kedu kopoey Jik z j k z j z j I j o θ ρ ρ θ z j Re 9 96

25 7// ONOH Jik z j6 k z z j6 Sudut deg suu yt o θ t (6 / ) 6, o o o θ 6, 6, z dptdiytksegi z o o 6 ( cos 6, j si 6, ) o o ( j si 6, ) o o o o ( ) j si(6, )) 7, cos 6, z 7, cos(6, 7, (, j,),96 j6 Kojugt ilg Kopleks Kojugtdrisutuilgkopleks zdlhilgkopleks z * yg eiliki kopoe yt s deg z tetpi kopoe ijiery dlh egtif dri kopoe ijier z. Jik z j I j j ρ k θ θ z z j Re j z j 97 9 ONOH: Jik z j6 k z j6 Sudut deg suu yt I z j6 ONOH: Jik z j6 k z j6 I z j6 Re o θ t (6 / ), o θ, Re z j6 z dpt diytk segi z o o 6 ( cos, j si, ) o o ( j si, ) 7, cos, o o ( si, ) z 7, cos, j z* j6 Jik z j6 k z j6 I z j6 Re z j6 99

26 7// Pejulh d Pegurg ilg Kopleks Opersi-Opersi ljr Hsil pejulh du ilg kopleks erupk ilg kopleks yg kopoe yty erupk julh kopoe yt d kopoe ijiery jug erupk julh kopoe ijier. z z ( j ) ( j ) ( ) j( ) Hsilselisihduilgkopleksdlhilgkopleksyg kopoe yty erupk selisih kopoe yt d kopoe ijiery jug erupk selisih kopoe ijier. z z ( j ) ( j ) ( ) j( ) Dikethui ONOH: s j d s j Perkli ilg Kopleks Perkli du ilg kopleks dilksk seperti hly kit elkuk perkli julh du ilg, yitu deg lkuk perkli kopoe per kopoe s s ( j) ( j) j7 s s ( j) ( j) j Jik z z ( z)( z ) ( j )( j ) j j j z z ( j)( j) j j Perhtik: z z z j ( ) 6

27 7// Pegi ilg Kopleks ONOH: z j d z j ( z )( z ) ( j)( j) 6 j j9 6 j7 ONOH: z j d z z j ( z )( z ) ( j)( j) j6 j6 9 9 ( ) 9 z z z Hsil gi sutu pegi tidk k eruh jik pegi itu diklik deg z j j z j j ( ) j( ) ONOH: z j d z j j j z j j (6 ) j( 9) j z j j 6 Fugsi Ekspoesil Kopleks Jik dlh ilg yt k fugsi ekpoesil y e erupkfugsiekpoesilyt; y eiliki ili yt Peryt ilg Kopleks etuk Polr Jik z dlh ilg kopleks z σ jθ fugsi ekspoesil kopleks didefiisik 7 z ( σ jθ) σ e e e (cos θ j si θ) ; σ deg e dlh fugsi ekspoesil riil` θ Mellui idetits Euler e j cos θ j si θ fugsi epoesil kopleks dpt kit tulisk z σ jθ e e e 7

28 7// etuk Polr Represetsi ilg kopleks dl etuk polr dlh jθ z ρe I jθ z ρe ρ rg z z θ ONOH: Mislk sutu ilg kopleks z e j, θ Modulusilg kopleks ii dlh z d rguey z, rd I etuk sudut sikuy dlh: z (cos, j si,) (, j,), j, Re z e j,, rd Re ONOH: Mislk sutu ilg kopleks z j Modulus rgue z ρ z θ t,9 rd Represetsi polr z e j,9 I,9 rd z e j,9 Re 9 Mislk z j ONOH: Modulus z ρ t rgue θ ( / ) ± π tidk erili tuggl Di sii kit hrus eilih θ πrd krekopoeijier sedgk kopoe yt. Mislk z j ONOH Modulus z ρ t rgue θ ( / ) π / kopoeyt: kopoe ijier: jπ z e I Re Represetsi polr dlh jπ / z e I jπ / j z e Re

29 7// Perkli d Pegi ilg Kopleks Represetsi polr dri ilg kopleks eperudh opersi perkli d pegi. Mft etuk Polr jθ jθ jθ z )( z) ρe ρe z ρe ρ j( θθ ) e jθ j( θ θ ) ρρ e z ρe ρ ( ONOH: Mislk z e j, d z e j, j, j, j,9 z z e e e j, z e j, e z j, e Kojugt Kopleks rgue kojugt erlw deg rgue ilg kopleks sly Mislk ONOH: j, j, z e d z e I ( z)( z*) z [ ] ( * * )( * z z z z ) * z * z z * z jθ z ρe θ Re θ jθ z ρe Relsi-relsi tr sutu ilg kopleks deg kojugt ilg kopleks liy dlh segi erikut tu z s s * j, j, zz e e zz j, j, j,9 [ z z ] [ e e ] [ e ] j, j, j,9 e e e j, [ e ] j, z e j, z e j, e j, e j, e j,9 e j, e 6 9

30 7// Perutsi d Koisi Perutsi 7 Perutsi dlh yky pegelopok sejulh tertetu kopoe yg diil dri sejulh kopoe yg tersedi; dl setip kelopok urut kopoe diperhtik Mislk tersedi huruf yitu d d kit diit utuk eut kelopok yg setip kelopoky terdiri dri huruf Kelopok yg yg is kit etuk dlh d diperoleh kelopok d du keugki huruf yg is eepti posisi pert yitu tu Jik sudh eepti posisi pert, k hy stu keugki yg is eepti posisi kedu yitu Jik sudh eepti posisi pert, k hy stu keugki yg is eepti posisi kedu yitu 9 Mislk tersedi huruf yitu,, d Kelopok yg setip kelopoky terdiri dri huruf dlh: diperoleh 6 kelopok Jik slh stu kopoe sudh eepti posisi pert tiggl keugki kopoe yg dpt eepti posisi kedu Jik slh stu kopoe sudh eepti posisi pert d slh stu dri yg tersis sudh eepti posisi kedu k hy tiggl keugki kopoe yg dpt eepti posisi terkhir yitu posisi ketig Julh keugki kopoe yg eepti posisi pert Jdi julh kelopok yg is diperoleh dlh 6 Julh keugki kopoe yg eepti posisi kedu Julh keugki kopoe yg eepti posisi ketig

31 7// Dri huruf yitu,, d D kit dpt eut kelopok yg setip kelopoky terdiri dri huruf Keugki peept posisi pert : Keugki peept posisi kedu : Keugki peept posisi ketig : Keugki peept posisi keept : julh kelopok yg ugki dietuk kelopok yitu: D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D d kelopok Secr uu julh kelopok yg dpt kit gu dri kopoe yg setip kelopok terdiri dri kopoe dlh ( ) ( )... Kit ktk hw perutsi dri kopoe dlh! d kit tulisk P! Kit c : fkultet Nu dri kopoe tidk hy dpt dikelopokk deg setip kelopok terdiri dri kopoe, tetpi jug dpt dikelopokk dl kelopok yg sigsig kelopok terdiri dri k kopoe di k < Kit seut perutsi k dri kopoe d kit tulisk! P k otoh: Perutsi du-du dri ept kopoe dlh P Di sii kit hy eglik keugki peept pd posisi pert d ketig sj yitu d. idk d kopoe yg eepti posisi erikuty. Peghitug P dl cotoh di ts dpt kit tulisk P otoh: otoh: Secr Uu: P k! ( k)! 6! 6 6 P 6 (6 )! 6! 6 6 P 6 6 (6 )!

32 7// Koisi erupk pegelopok sejulh kopoe yg ugki dilkuk tp epedulik uruty Koisi Jik dri tig huruf,, d, dpt 6 hsil perutsi yitu,,,,, d u hy d stu koisi dri tig huruf terseut yitu kre dl koisi urut posisi ketig huruf itu tidk diperhtik 6 Oleh kre itu koisi k dri sejulh kopoe hruslh s deg julh perutsi P k digi deg perutsi k Koisi k dri sejulh kopoe ditulisk segi k otoh: erpkh koisi du-du dri ept huruf,,, d D Jw:! P! ( )!! 6 Jdi k Pk! k! ( k)! k! yitu: D D D 7

33 7// Distriusi Mwell-oltz otoh pliksi Distriusi Mwell-oltz Distriusi Feri-Dirc Eergi elektro dl pdt terdistriusi pd tigkt-tigkt eergi yg diskrit; kit seut E E E dst. Setip tigkt eergi dpt ditepti oleh elektro sj d setip elektro eiliki proilits yg s utuk eepti sutu tigkt eergi 9 Jik N dlh julh keseluruh elektro yg hrus terdistriusi dl tigkt-tigkt eergi yg d d kit islk hw distriusi yg teretuk dlh di E di E di E dst. terdpt elektro terdpt terdpt elektro elektro k julh cr peept elektro di E erupk perutsi dri N yitu Julh cr peept elektro di E erupk perutsi dri (N ) kre sejulh sudh eepti E P P( N ) ( N )! ( N )! Julh cr peept elektro di E erupk perutsi dri (N ) kre sejulh ( ) sudh eepti E d E N! P P N ( N )! P P( N ) ( N )! ( N )! dst.

34 7// Setelh eepti E k urut peept elektro di E ii sudh tidk errti lgi kre kit tidk dpt eedk tr stu elektro deg elektro yg li Jdi julh cr peept elektro di E dlh koisi dri N yitu PN N!! ( N )!! Deiki pul peept elektro di E, E, dst. P ( )! ( N ) N N- )!! ( N )!! ( P ( )! ( N ) N N )!! ( N )!! ( dst. Nu setip tigkt eergi jug eiliki proilits utuk ditepti, yg diseut itriksic proility Mislk itriksic proility tigkt E dlh g, E dlh g, dst. k proilits tigkt-tigkt eergi E ditepti elektro E dst. ditepti elektro E ditepti elektro dlh F g dst. F g F g Deg deiki k proilits utuk terjdiy distriusi elektro seperti di ts dlh: F F F F... g g g g g g !!!... Iilh proilits distriusi dl sttistik Mwell-oltz Upy seljuty dlh ecri etuk distriusi yg plig ugki terjdi Nu hl ii tidk kit hs di sii, kre cotoh ii hy igi eujukk pliksi dri pegerti perutsi d koisi Pec dpt eliht proses perhitug ljut ii di uku-e Megel Sift Mteril Segi iforsi, proilits F ii egtrk kit pd forulsi distriusi Mwell-oltz Julh elektro pd tigkt eergi E i i N Z Ei / k gie tepertur kostt oltz tigkt eergi ke-i proilits itriksik tigkt eergi ke-i fugsi prtisi β Ei Z gie i 6

35 7// Distriusi Feri-Dirc Eergi elektro dl terdistriusi pd tigkt-tigkt eergi yg diskrit, isly kit seut E E E dst. Setip tigkt eergi egdug sejulh tertetu sttus kutu d tidk leih dri du elektro erd pd sttus yg s. Jik N dlh julh keseluruh elektro yg hrus terdistriusi dl tigkt-tigkt eergi yg d, yitu di E di E di E dst. terdpt elektro terdpt elektro terdpt elektro Oleh kre itu julh sttus di tip tigkt eergi ejdi proilits itriksik tigkt eergi yg ersgkut Yg errti eujukk julh elektro yg ugki erd di sutu tigkt eergi 7 Mk yky cr peept elektro di tigkt E, E, E dst. erupk koisi,, dst N! ( N )!! ( N )! ( N )!! Sehigg proilits utuk terjdiy distriusi elektro dlh: ( N )! dst. ( N )!! Deg proilits itriksik g, g, g k julh cr utuk eeptk elektro di tigkt E, E, E dst. ejdi g! F!( g )! F ( g g! )!! gi! F F F F... Fi!( g )! i i i g! F dst. ( g )!! i Upy seljuty dlh ecri etuk distriusi yg plig ugki terjdi Nu hl ii tidk kit hs di sii, kre cotoh ii hy igi eujukk pliksi dri pegerti perutsi d koisi Pec dpt eliht proses perhitugg ljut ii di uku-e Megel Sift Mteril, -9 yg dpt diuduh di situs ii jug Iilh proilits distriusi dl sttistik Feri-Dirc u kit tidk eicrk leih ljut kre proses seljuty tidk eygkut perutsi d koisi 9

36 7// Segi iforsi, proilits F ii egtrk kit pd forulsi distriusi Feri Dirc gi i ( Ei EF )/ k e Jik kit perhtik pers ii utuk ( Ei EF ) / k li e utuk ( Ei EF ) < utuk ( Ei EF ) > rittik Itervl Jdi jik k i g i yg errti seu tigkt eergi spi E F terisi peuh d tidk terdpt elektro di ts E F E F iilh yg diseut tigkt eergi Feri. Pegtr Dl prktik rekys dijupi opersi tetik yg elitk ilg-ilg dl itervl. Dl ked deiki kit dihdpk pd opersi-opersi itervl. kup hs Pegerti-Pegerti Itervl Opersi-Opersi rittik Itervl Sift-Sift rittik Itervl 6

37 7// ilg yt yg is kit kit opersik dlh erili tuggl, ik ilg ult upu pech Dl lisis itervl, ilg yg kit opersik eiliki ili yg erd dl sutu itervl tertutup * ) Pegerti-Pegerti Itervl Deg deiki ilg yg kit hdpi sesugguhy erupk kupul ilg otoh: ilg dl itervl 9 d dlh kupul ilg yg erili tr 9 d tersuk 9 d itu sediri (itervl tertutup). * ) iht pul Fugsi d Grfik 6 Sutu kupul diytk deg td kurug { }. Secr uu, sutu kupul kit ytk segi S { : p( )} otoh S { : R, 9 } eujukk kupul yg kit tiju eujukk serg elee dri S eujukk syrt-syrt yg hrus dipeuhi utuk eetuk pkh er erupk elee dri S tu tidk p( ) R, 9 R dlh kupul dri seu ilg yt 7 7

38 7// Secr uu, kupul ilg yt X dl itervl tr d deg < d upu terletk tr d kit tulisk X { : R,,, R, < < < } Peulis ii tetu gk erepotk dl elkuk opersiopersi itervl Kit eerluk cr peulis yg leih sederh gr udh elkuk opersi itervl. Dl opersi itervl, sesugguhy kit k erhuug hy deg ts-ts itervl. Oleh kre itu kit k egguk cr peulis ilg itervl yg leih sederh, deg hy eytk tsts itervly. Sutu itervl X yg eiliki ts wh (ili iiu) d ts ts (ili ksiu) kit tulisk X [, ] kit guk td kurug [ ] utuk egkoodsi ts-ts itervl. Dl pejels seljuty kit k eggrk itervl pd gris suu yt segi erikut ( ) itervl X ts wh ts ts 9 Degeersi Sutu itervl egli degeersi jik d diseut degeerte itervl; itervl yg tidk egli degeersi diseut odegeerte. Deg pegerti ii k sutu ilg yt erili tuggl dpt diktk erupk ked khusus dri sutu itervl. tu seliky sutu itervl erupk peryt uu (geerlissi) sutu ilg yt. er Itervl er sutu itervl X dlh ilg yt w( X ) otoh: X [6, ] w( X ) 6 9 ( w(x) )

39 7// itik egh itik tegh tu id poit sutu itervl X dlh Rdius ( X ) ( ) / otoh: X {,} titik tegh ( X ) ( ) / 7 Setegh dri ler itervl diseut segi rdius itervl w(x ) / otoh: X {,} rdius itervl X dlh w(x)/ ()/. Kes Du itervl diktk s jik d hy jik epuyi tsts yg s. Urut k Jik X [, ] d Y [ y, y] X Y jik d hy jik y d y Itervl X diktk leih kecil dri Y jik d hy jik ts ksiu X leih kecil dri ts iiu Y, < y otoh X {6, } d Y {, } X < Y. ( ) ( ) X y Y y Dl cotoh ii w(x) < w(y) Nili solut Nili solut sutu itervl X didefiisik segi ksiu dri solut ts-tsy X {, } Jrk Jrk tr du itervl didefiisik segi ksiu dri selisih ts-ts keduy ρ( X, Y ) { y, y } otoh otoh X {,6}, Y {,} X X {, } {, } ρ( X, Y ) {, 6 } y y Di sii y > y ( ) X ( ) y y Y 6 9

40 7// Sietri Sutu itervl X diseut sietris jik otoh: X {, } ( ) X Itervl sietris egdug elee erili. etpi tidk errti epuyi ler. I uk degeerte itervl. Iris Kre itervl dpt dipdg segi kupul k kit egel iris itervl. Iris tr itervl X d itervl Y dlh X Y [{, y}, i{, y}] otoh: X {, 9} d Y {6, } X Y [6, 9] X ( ) ( ) y y X Y Iris du itervl jug erupk seuh itervl Iris X d Y kosog tu Ø jik X < Y tu Y < X. Y 7 Gug Gug tr itervl X d Y dlh X Y [i{, y}, ks{, y}] otoh: X [, 9], Y [6, ] X Y [, ] X Y Iklusi Itervl X erd di dl itervl Y jik d hy jik X Y X Y d w( X ) w( Y ) tu jik d hy jik y d y otoh: ). X {, } d Y {, 6} X Y Y ( ) ( ) y y ( ( ) ) y y X Y Jik iris dri X d Y tidk kosog k gug keduy jug erupk seuh itervl. k tetpi jik iris tr keduy kosog k gug du itervl itu tidk erupk seuh itervl kre sesugguhy gug itu k terdiri dri du itervl yg ered. 9 ). X {, } d Y {7, 7} X ( ( ) ) y y X Y 6

41 7// Kit dpt eedk itervl dl tig ktgori, yitu: Itervl yg seluruh eleey erili positif, yg kit seut itervl positif. Opersi-Opersi rittik Itervl yg seluruh eleey erili egtif, yg kit seut itervl egtif. Itervl yg egdug elee erili egtif upu positif tersuk ol. Degeersi itervl positif eetuk ilg positif, degeersi itervl egtif eetuk ilg egtif, sedgk degeersi itervl yg egdug ol is eetuk ilg egtif, tu positif, tu ol. 6 6 Pejulh d Pegurg Pejulh Mislk X d Y dlh du itervl. Julh dri X d Y didefiisik segi X Y { y : X, y Y} Elee dri julh itervl dlh julh elee sig-sig itervl Oleh kre itu k ts wh dri hsil pejulh dlh julh dri ts wh, d ts ts dri hsil pejulh dlh julh dri ts ts Deg deiki k pejulh du itervl hy elitk ts-ts itervl sj. X Y [ y, y] 6 6

42 7// Jik X [, ] d Y [ y, y], k X Y [ y, y] Julh itervl jug erupk itervl. X Y ( ) ( ) ( ) y y otoh: X {, 6} d Y {9, } X Y [9, 6][, ] Pejulh du itervl sellu dpt dilkuk. Jik kedu itervl yg dijulhk itu degeerte k kit edptk pejulh yg is kit lkuk deg ilg is. Pered pejulh d gug X Y tidk erupk seuh itervl kre X < Y. X d Y dlh du itervl yg terpish. y XY y Pejulh ered deg peggug. Peggug du itervl tidk sellu eghsilk sutu itervl. otoh: X [, ], Y [, 6] X Y [, 6] X Y X Y [,] ( ( ) ( ) ) y z y z X Y X Y 6 66 Negtif Sutu Itervl. Negtif dri sutu itervl didefiisik segi X {, X} yg dpt kit tulisk X [, ] [, ] otoh: ). X [, 6] X [6, ] ( X ) ( ) X ). X [, 6] X [6, ] ( X ts ts X dlh ) ( ) X ( ( ) ) X X ts wh X dlh 67 6

43 7// Pegurg Deg pegerti egtif itervl terseut di ts k pegurg itervl X oleh itervl Y ejdi pejulh itervl X deg egtif itervl Y X Y [, ] [ y, y] [ y, y] otoh: X [, 6] d Y [7, ] X Y [, 6] [7, ] [, 6 7] [, ] X Y ( ( ) ) ( ) ( ) y y y y Perkli d Pegi y XY y Dl cotoh ii X < Y d hsil pegurg X Y erupk itervl egtif Perkli Itervl Perkli du itervl X d Y didefiisik segi X Y { y : X, y Y} yg dpt ditulisk X Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Dl forulsi ii diperluk ept kli perkli ts sig-sig itervl utuk eetuk ts wh upu ts ts dri itervl hsil kli. Nu pekerj k sedikit sedikit ejdi rig jik kit eperhtik posisi elee sig-sig itervl pd suu ilg yt Pd itervl X sellu dipeuhi relsi k deg eperhtik posisi kit k egethui posisi jik k jik k tu Deiki jug pd itervl Y jik y k y jik y k y tu y 7 7

44 7// Seil situsi yg ugki terjdi dlh: Kre d tig ktgori itervl, k d seil keugki perkli itervl, yitu: ). X Y ( ) ( ) y y d y Z X Y [ y, y] itervl positif kli itervl positif itervl egdug ol kli itervl positif d seliky itervl egtif kli itervl positif d seliky ). X Y ( ) ( ) y y < < d y Z X Y [ y, y] itervl egtif kli itervl egdug ol d seliky itervl egtif kli itervl egtif perkli du itervl yg keduy egdug ol ). X Y ( ) ( ) y y d y Z X Y [ y, y] ). X Y ( ) ( ) y y d y < < y Z X Y [ y, y] 7 7 ). 6). 7). X ( ) Y ( ) y y Y X ( y ) y ( ) Y X ( y ) y ( ) d y Z X Y [ y, y] d y Z X Y [ y, y] d y < < y Z X Y [ y, y] otoh d Pejels ). X Y ( ) ( ) y y X [, ] Y [, 6] X Y [,] d y Z X Y [ y, y] Nili terkecil yg is dicpi Nili teresr yg is dicpi Forul uu: X Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} ). Y X ( ) ( ) y y < < d y Z X Y [ y, y] Perkli du itervl positif k eghsilk itervl positif. ts ts itervl hsilkli dlh hsilkli kedu ts ts sedg ts why dlh hsil kli kedu ts wh. 9). Y ( ( ) ) y y X < < d y < < y Z X Y [i{ y, y}, ks{ y, y}] Jik kedu itervl degeerte, k kit epuyi perkli ilg is: perkli du ilg positif yg eerik hsil ilg positif. 7 76

45 7// otoh d Pejels ). X Y ( ) ( ) y y X [, ] Y [, ] X Y [, 6] < < d y Z X Y [ y, y] Nili terkecil yg is dicpi Nili teresr yg is dicpi Forul uu: X Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Slh stu itervl egdug ol d eiliki ts wh egtif. Oleh kre itu ts wh itervl hsilkli dlh ts wh itervl yg egdug ol d ts ts itervl yg li (yg positif). ts ts itervl hsilkli dlh hsil kli dri kedu ts ts kre kedu ts ts terseut positif. otoh d Pejels X Y ). ( ) ( ) y y X [, ] Y [, ] X Y [, ] d y Z X Y [ y, y] Nili terkecil yg is dicpi Nili teresr yg is dicpi Forul uu: X Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Kre slh stu itervl dlh itervl egtif d yg li itervl positif, k ts wh itervl hsilkli dlh hsilkli ts wh itervl egtif d ts ts itervl positif. ts tsy dlh ksilkli ts ts itervl egtif d ts wh itervl positif 77 7 otoh d Pejels X Y ). ( ) ( ) y y X [, ] Y [, ] X Y [, ] d y < < y Z X Y [ y, y] Nili terkecil yg is dicpi Nili teresr yg is dicpi Forul uu: X Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Slh stu itervl dlh itervl egtif sedgk itervl yg li egdug ol. ts wh itervl hsilkli dlh hsil kli ts wh itervl egtif d ts ts (positif) itervl yg egdug ol. ts tsy dlh hsilkli ts wh itervl egtif d ts wh (yg erili egtif) dri itervl yg egdug ol. otoh d Pejels ). X Y ( ) ( ) y y X [ 7, ] Y [, ] X Y [, ] d y Z X Y [ y, y] Nili terkecil yg is dicpi Forul uu: X Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Kedu itervl dlh itervl egtif. ts wh itervl hsilkli dlh hsilkli kedu ts ts. ts wh itervl hsilkli dlh hsilkli kedu ts wh. Nili teresr yg is dicpi 79

46 7// otoh d Pejels 6). Y X ( y ) ( y ) X [, ] Y [, ] d y Z X Y [ y, y] otoh d Pejels 7). Y X ( y ) ( y ) X [, ] Y [,] d y < < y Z X Y [ y, y] X Y [, ] Nili terkecil yg is dicpi Nili teresr yg is dicpi Forul uu: X Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Kre slh stu itervl dlh itervl egtif d yg li itervl positif, k ts wh itervl hsilkli dlh hsilkli ts wh itervl egtif d ts ts itervl positif. ts tsy dlh ksilkli ts ts itervl egtif d ts wh itervl positif X Y [, ] Nili terkecil yg is dicpi Forul uu: X Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Slh stu itervl egdug ol d eiliki ts wh egtif. Oleh kre itu ts wh itervl hsilkli dlh ts wh itervl yg egdug ol d ts ts itervl yg li (yg positif). ts ts itervl hsilkli dlh hsil kli dri kedu ts ts kre kedu ts ts terseut positif. Nili teresr yg is dicpi otoh d Pejels ). Y X ( ) ( ) y y X [, ] Y [, ] < < d y Z X Y [ y, y] X Y [, ] Nili terkecil yg is dicpi Nili teresr yg is dicpi Forul uu: X Y [i{ y, y, y, y}, ks{ y, y, y, y} Slh stu itervl dlh itervl egtif sedgk itervl yg li egdug ol. ts wh itervl hsilkli dlh hsil kli ts wh itervl egtif d ts ts (positif) itervl yg egdug ol. ts tsy dlh hsilkli ts wh itervl egtif d ts wh (yg erili egtif) dri itervl yg egdug ol. otoh d Pejels 9). Y ( ( ) ) y y X X [, ] Y [,] < < Z X Y d y < < y [i{ y, y}, ks{ y, y}] X Y [i{, }, ks{, }] [, ] Kedu itervl egdug ol. Pd forulsi uu X Y [i{ y, y, y, y}, ks { y, y, y, y} k erili egtif sehigg tk ugki ejdi ts ksiu k erili positif sehigg tk ugki ejdi ts iiu 6

47 7// Kelik Itervl pil X dlh stu itervl yg tidk egdug, kelik dri X didefiisik segi {/ : X} X Deg eperhtik ts ts d ts why, k [/, / ] X otoh: X [, ] /X [.,.] Jik ditiju ked uu di itervl X egdug, kelik dri X k terdiri dri du itervl terpish stu s li. Ked deiki ii elu k kit liht. Pegi Itervl Pegi itervl X oleh itervl Y dlh perkli tr X deg kelik Y. X X [, ] [/,/ ] Y Y otoh: X [, ], Y [, ] X/Y [, ] [.,.] [., ] 6 Sift-Sift rittik Itervl Jik itervl-itervl egli degeersi, k opersiopersi rittik itervl eruh ejdi rittik ilg is yg sudh kit kel. Kit oleh eghrp hw sift-sift rittik ilg is yg kit kel, ucul jug dl rittik itervl. eryt eg deiki. k tetpi ucul jug pered-pered yg sgt eyolok. 7 7

48 7// Opersi pejulh d perkli itervl telh didefiisik segi X Y { y : X, y Y} X Y { y : X, y Y} Pejulh ersift sositif d perkli ersift kouttif. X ( Y Z) ( X Y) Z; X Y Y X X ( YZ ) ( XY ) Z; XY YX Nol d Stu dlh itervl yg egli degeersi: [, ] d [, ] yg ditulisk segi d Jdi X X d X X Pered eyolok deg rittik is dlh hw dl rittik itervl: X X d X / X jik w(x) > X X [, ] w( X )[,] X / X [ /, / ] X / X [ /, / ] jik jik X > X < 9 9 Sift distriutif dl rittik itervl dlh: X (Y Z) XY XZ Sift distriutif ii tetp erlku dl ksus-ksus khusus erikut: ) Jik Y d Z dlh itervl sietris; ) Jik YZ > Nu sift distriutif tidk setis erlku: [, ] (-) tetpi [, ] [, ] [, ] Kpit Selekt Mtetik Sudryto Sudirh 9 9