dengan probabilitas laju kelahiran dengan probabilitas laju kematian

Transkripsi

1 6.5 Proses Kelahiran(kemunculan) dan Kematian(kehilangan) dengan State Absorpsi Proses kelahiran dan kematian dimana 0 (kondisi awal laju kelahiran sama dengan nol, atau dapat dikatakan bahwa tidak ada kelahiran dari state nol ke state satu) sering kali muncul dan mempunyai hubungan yang penting. Untuk proses ini, state 0 adalah state absorpsi. Contohnya mengenai proses pertumbuhan kelahiran dan kematian tanpa imigrasi (6.3.3). Pada dijelaskan bahwa : n=0,1 n=0,1 0 : laju kelahiran 0 : laju kematian 0 : laju immigrasi Jadi, ketika 0 terjadi kelahiran tanpa immigrasi artinya, pertumbuhan populasi berasal dari populasi yang ada. Pada kasus ini, dan (tidak ada immigrasi). Ketika pertumbuhan populasi berasal dari populasi yang ada, jelas bahwa ketika populasi bernilai 0 selanjutnya akan tetap 0:i, e, 0 adalah state absorbsi Probabilitas dari State Absorpsi menuju State 0 Hal yang penting untuk menghitung probabilitas absorpsi dari state 1 sampai ke state 0. Hal ini tidak terjadi, yang lebih penting, kejadian tertentu ketika partikel yang disusun (i.e..state variabel) yang mungkin akan selalu memutar sepanjang state (1,2, ) atau mungkin penyimpangan yang tidak pernah berakhir. Andaikan 1,2, merupakan probabilitas terabsorpsi menuju state 0 dari state awal. Kita dapat menuliskan rumus berulang untuk dengan mempertimbangkan state yang mungkin setelah transisi pertama. Kita mengetahui bahwa transisi pertama membutuhkan perpindahan, 1 dengan probabilitas laju kelahiran 1 dengan probabilitas laju kematian Memasukkan dalam bentuk yang lebih umum yaitu analisis step pertama, sehingga kita peroleh, 1, 6.37

2 dimana 1. Pembuktian : 1,2,. 0 1 probabilitas laju kelahiran 1 probabilitas laju kematian dimana 1 Misal, artinya probabilitas absorpsi dari state awal 5 menuju state 0 Ada dua cara untuk mencapai state nol (0) yaitu: 1. Melalui state ke enam lalu baru ke state nol State lain yang mungkin, melalui state ke empat, baru ke state nol. 5 4 Kemungkinan 4 0 Metode lain untuk menurunkan persamaan (6.37) adalah dengan menganggap embedded random walk yang dihubungkan dengan proses kelahiran dan kematian. Terutama, kita menguji proses kelahiran dan kematian hanya pada waktu transisi. Waktu diskrit Markov chain dihasilkan dalam cara ini yang ditunjukkan oleh, dimana adalah state awal dan 1 adalah state untuk transisi ke-. Secara jelas, matriks probabilitas transisi mempunyai bentuk dimana Karena 1 Probabilitas laju kelahiran , 1

3 Probabilitas laju kematian Probabilitas absorpsi menuju state 0 untuk embedded random walk adalah sama seperti proses kelahiran dan kematian ketika kedua proses melakukan transisi yang sama. Sebuah pendekatan masalah yang berhubungan (gambler s ruin) untuk random walk telah dipelajari pada bagian Selanjutnya kita menyelesaikan (6.37) subjek untuk kondisi 1 dan Penulisan ulang persamaan 6.37 Diketahui, kita memperoleh Maka diperoleh, 1., 1. Iterasi dari hasil relasi terakhir dengan rumus, dimana Dan dengan, selanjutnya 1, 1. 1, 1. Kesimpulan dari persamaan terakhir dari 1 1 kita memperoleh 1, Ketika, sangat berarti, dibatasi dengan 1, kita lihat bahwa jika

4 6.39 selanjutnya, diperlukan 1 dan 1 untuk semua 2. Dengan kata lain, jika persamaan (6.39) digunakan maka absorpsi terakhir menuju state 0 pasti dari state awal. Andaikata 0 1; maka tentu saja Bukti : untuk 1 dan 1 untuk semua 2 Untuk Untuk 1 maka Ternyata, menurun pada ketika melewati state menuju state 0 yang mengikuti masuknya state pertengahan pada waktu terhalang (intervening time). Secara lebih jauh, hal itu dapat ditunjukkan bahwa 0 sebagaimana. Sekarang andaikan pada persamaan (6.38) mengizinkan kita untuk menyelesaikan, sehingga Bukti : 1

5 dan kemudian dari persamaan (6.38) kita memperoleh Waktu rata-rata (mean time) hingga absorpsi, 1. Anggap masalah perhitungan waktu rata-rata hingga absorpsi dimulai dari state m. Kita asumsikan bahwa kondisi (6.39) tetap jadi absorpsi pasti terjadi. Perlu diperhatikan bahwa kita tidak dapat menganggap remeh masalah kita untuk consideration dari embedded random walk ketika menghabiskan waktu sebenarnya dalam setiap state yang relevan untuk menghitung ratarata waktu absorpsi. Diberikan adalah rata-rata waktu absorpsi dimulai dari state. Anggap state yang mungkin terjadi pada transisi pertama, ada pada analisis langkah pertama, dan digunakan kembali fakta bahwa rata-rata waktu tunggu dalam state ke adalah (distibusi Eksponensial dengan parameter ), dapat diambil kesimpulan : 1 waktu rata-rata absorpsi dari state ke-i, ketika 0. Lalu diberikan dan menyusun kembali persamaan (6.40) diperoleh

6 Sehingga diperoleh 1 1 (Hasil dianggap 1) menggunakan notasi 1 dan 1 Sehingga persamaan menjadi

7 Terbukti bahwa 1 Karena dan, maka Jika , kemudian dari (6.42) dinyatakan bahwa. Jelas bahwa untuk semua dan sifat ini tidak berlaku untuk besar jika diasumsikan terbatas. Sekarang anggap dengan maka persamaan (6.42) dihasilkan 1 lim 1

8 Didownload dari Ini lebih sulit tetapi masih mungkin dibuktikan bahwa Maka 1 lim 0 1 Kita menyimpulkan diskusi dari bagian ini kedalam teorema dibawah ini Teorema 6.1 Proses kelahiran dan kematian dengan parameter kelahiran, dan parameter kematian,, 1 0 sehingga 0 adalah state absorbsi. Probabilitas absorbsi ke state 0 dari state awal m Waktu rata-rata absorpsi adalah Dimana 1 dan 6.44 Example Proses Populasi anggap proses pertumbuhan kelahiran dan kematian tanpa perpindahan (cf.section 6.3.3) dimana, 0,1, selama suatu interval waktu pendek/singkat dengan panjangnya, individu tunggal di dalam populasi mati dengan probabilitas, dan 0 0 mewakili angka kelahiran dan kematian individu, yang berturut-turut. Subsitusikan 0 dan dalam persamaan (6.25), untuk menentukan rata-rata ukuran populasi pada waktu untuk populasi awal dengan 0 individu. Ukuran rata-rata populasi adalah memperlihatkan kehilangan atau pertumbuhan bersifat exponensial ketika

9 Didownload dari Lalu kita uji gejala kematian dan ditentukan kemungkinan bahwa populasi akhirnya mati. Gejala ini sesuai dengan penyerapan di state 0 untuk proses kelahiran dan kematian ketika suatu perhitungan langsung menghasilkan / dan kemudian / / 1 / Dari theorem 6.1 probabilitas tentang kepunahan (extinction) dimulai dengan individual adalah Pr 0 / 1 Ketika, akhirnya proses hilang. Pada kasus ini ukuran rata-rata populasi konstan di awal tingkatan populasi. Situasi serupa dimana nilai rata-rata tidak cukup mendeskripsikan perilaku populasi yang sering muncul ketika ada unsur-unsur stocastik. Perhatikan bahwa rata-rata waktu menuju kepunahan diasumsikan kepunahan itu pasti, untuk itu,ketika. Untuk populasi awal dengan individu tunggal, kemudian dari (6.44) dengan m=1 kita menentukan waktu rata-rata Ketika laju kelahiran melebihi laju kematian kelahiran dan kematian dapat digambarkan sebagai proses pertumbuhan linear, dengan probabilitas positif kuat, pertumbuhan

10 tanpa batas (limit). Dalam perbedaan kontras, banyak populasi natural memperlihatkan densitas perlakuan yang saling terkait dimana laju kelahiran individu menurun atau laju kematian individu meningkat atau keduanya berubah seiring pertumbuhan populasi. Perubahan ini dianggap berasal dari faktor-faktor persediaan makanan yang terbatas, meningkatnya pemangsa, kepadatan, dan terbatasnya tempat tinggal. Karena itu, kita mengenalkan gagasan tentang hal yang berhubungan dengan lingkungan kapasitas pembawa K (carrying capacity K), sebuah batas atas dimana ukuran/jumlah populasi tidak dapat melampauinya. Karena semua individu mempunyai kesempatan untuk mati, dengan sebuah kapasitas bawaan tertentu, semua populasi pasti akan mengalami kepunahan. Ukuran kita dari kemampuan populasi akan menjadi waktu rata-rata kepunahan dan itu penting untuk para ekolog populasi yang mempelajari fenomena kolonisasi untuk memeriksa bagaimana kapasitas K., laju kelahiran, dan laju kematian mempengaruhi rata-rata waktu hidup populasi. Model harus memenuhi sifat dari pertumbuhan eksponensial (yang terletak pada rata-rata) untuk populasi kecil sama seperti melebihi batas tertinggi K yang mana populasi tidak dapat tumbuh. Ada beberapa jalan untuk mendekati ukuran populasi K dan berada di titik keseimbangan. Karena semua model-model memberikan lebih banyak atau lebih sedikit hasil kualitatif yang sama, kami menetapkan model paling sederhana yang mana parameternya kelahiran adalah 0,1,, 1 0 Teorema 6.1 menghasilkan. Waktu rata-rata untuk kepunahan populasi mulai dengan sebuah individu tunggal seperti diberikan dengan Persamaan (6.47) memisahkan faktor-faktor yang jelas mempengaruhi waktu rata-rata kepunahan populai. Faktor pertama adalah, rata-rata waktu hidup dari individu sejak adalah rata-rata individu mati. Jadi, jumlah dalam (6.47) merepresentasikan/mewakili rata-rata generasi atau rata-rata kehidupan(lifespans) menuju kepunahan populasi, hasil ukuran setidaknya kita tunjukkan dengan, (6.48)

11 Selanjutnya kita mempelajari pengaruh dari kelahiran-kematian atau ratio reproduksi dan kapasitas bawaan K pada waktu rata-rata kepunahan. Karena mewakili laju kelahiran individu dan adalah rata-rata hidup dari anggota tunggal dalam populasi, kita boleh mengartikan ratio reproduksi sebagai rata-rata jumlah dari keturunan sebarang individu dalam populasi. Jadi, kita harus menduga dengan signifikan perbedaan kelakuan ketika 1 berlawanan dengan ketika 1, dan ini adalah kasus yang nyata. Sebuah kapasitas bawaan dari K =100 adalah kecil. Ketika K adalah permintaan 100 atau lebih, kita mempunyai pendekatan yang akurat di bawah ini, turunannya di rumuskan dalam latihan 1 dan 2 di akhir bab ini: 1 1 1, , Perbedaan diantara 1 dan 1 jelas. Ketika 1, rata-rata generasi menuju kepunahan adalah hampir tidak tergantung dari kapasitas bawaan K dan pendekatan nilai asimtotik ln 1 sangat cepat. Ketika 1, rata-rata generasi menuju kepunahan tumbuh secara eksponensial dalam K. beberapa perhitungan berdasarkan (6.49) diberikan dalam table 6.1. Table 6.1. rata-rata generasi punah untuk sebuah populasi yang dimulai dari induk tunggal dimana adalah rata-rata reproduksi dan K adalah kapasitas yang berhubungan dengan lingkungan. K 0,8 1 1,2 10 1,96 2,88 3, ,01 5, ,01 7,48 7,59 10 Contoh Pengendalian sterilisasi (pemandulan) serangga jantan lalat screwworm, hama ternak di iklim hangat, telah dimusnahkan dari AS bagian tenggara dengan dilepaskan lalat screwworm

12 jantan dewasa yang telah di sterilisasi ke dalam lingkungan. Ketika jantan ini disterilisasi secara buatan dengan radiasi, kawin dengan betina lokal, mereka tidak menghasilkan keturunan, dan dalam cara ini kemampuan reproduksi dari populasi alami adalah nol(telah dihapuskan) dengan adanya lalat jantan ini(yang telah disterilisasi). Jika jantan steril cukup banyak sehingga menyebabkan sedikit penurunan tingkat populasi, kemudian penurunan ini mempercepat di dalam peristiwa pergantian generasi jika jumlah jantan steril dirawat kira-kira pada tingkat yang sama, karena rasio dari jantan steril terhadap jantan subur akan meningkat seperti anjloknya populasi alami. Karena pengaruh percampuran ini jika metode kontrol jantan steril berjalan lancar, kerjanya seperti memperluas pengendalian populasi lokal menuju kepunahan di dalam area yang diterapkan. Baru-baru ini, usaha milyaran dolar dimasukkan ke dalam teknik jantan steril telah diusulkan untuk pengendalian kumbang perusak biji kapas. Dalam contoh ini telah dirasakan bahwa perlakuan awal dengan pestisida dapat mengurangi ukuran populasi alami ke tingkat yang sama seperti teknik jantan steril yang lebih efektif. Mari kita periksa asumsi ini, pertama dengan model deterministik kemudian dengan keadaan stokastik. Untuk kedua model kita menganggap bahwa jenis kelamin jumlahnya sama, bahwa jantan steril dan jantan subur saling berkompetisi/bersaing, dan bahwa jumlah konstan S dari jantan steril ada ditiap generasi. Di dalam kasus deterministik, jika jantan subur ada di generasi induk dan betina subur memilih untuk kawin seperti seluruh populasi jantan, kemudian bagian dari perkawinan ini dengan jantan subur akan menghasilkan keturunan. menunjukkan jumlah keturunan dari salah satu jenis kelamin dalam perkawinan subur, kita menghitung ukuran N generasi selanjutnya menurut : 6.50 Untuk contoh angka, anggap bahwa ada =100 jantan subur dan jumlah yang sama dari betina subur dalam generasi induk dari populasi local, dan S=100 jantan serangga steril dilepaskan. Jika =4, berarti perkawinan subur menghasilkan 4 jantan dan 4 betina untuk generasi sukses, kemudian jumlah jenis kelamin yang lain dalam generasi pertama adalah Populasi meningkat dan metode kontrol jantan steril telah gagal. Tabel 6.2 Trend dari subject populasi serangga pada pengadaan jantan mandul.

13 Jumlah serangga Jumlah serangga Perbandingan Jumlah keturunan Generasi dalam populasi alami yang mandul mandul: subur Induk :1 13,33 F1 13, ,5: 1 6,27 F2 6, :1 1,48 F3 1, ,5:1 0,09 F4 0, :1 - Disisi lain jika pestisida dapat digunakan untuk menurunkan ukuran awal populasi menjadi N 20 atau 20% dari tingkat sebelumnya,dan S=100 jantan mandul dilepaskan.lalu 20 N , Dan populasi menurun.ukuran generasi selanjutnya diberikan dalam tabel 6.2.Dengan perlakuan awal,populasi punah pada generasi keempat. Sering kali pada proses deterministic atau nilai rata-rata model akan cukup mendeskripsikan evolusi perluasan populasi. Tapi kepunahan adalah fenomena populasi kecil dan terjadi dalam hadirnya long term trend signifikan, populasi kecil yang menyebabkan fluktuasi menghasilkan kepunahan atau rekoloni yang akan terjadi. Inilah fakta yang memotivasi kita untuk menentukan model stokastik dari evolusi populasi dalam hadirnya jantan mandul. Inilah faktor- faktor modelnya λ, laju kelahiran individu µ, laju kematian individu θ=λ n, rata-rata keturunan per individu K, kapasitas bawaan dari lingkungan S, nilai konstan dari populasi jantan mandul, dan m, ukuran populasi awal Kita misalkan bahwa kedua jenis kelamin akan mewakili angka yang sama dalam populasi alami, dan X(t), angka dari jenis kelamin lain mewakili waktu t, disusun sebagai proses lahir dan mati dengan parameter

14 Didownload dari Dan 0 0 0,1,. Ini adalah model kolonisasi dari contoh proses populasi, dikembangkan dalam analogi dengan (6.50) yang termasuk laju kelahiran, faktor untuk mewakili probabilitas terjadi perkawinan subur. Untuk menghitung rata- rata waktu kepunahan yang diberikan dalam (6.44),mulamula kita gunakan persamaan (6.51) untuk menghasilkan 1 dan, 0....!.!!, 1,., 1 Selanjutnya substitusi persamaan-persamaan ini untuk ke dalam persamaan (6.44) agar menghasilkan pers.(6.52) w !!!! Karena dari faktorial, persamaan 6.52 menunjukkan kesulitan nilai saat perhitungan secara langsung diusahakan. Iterasi sederhana mudah bekerja untuk meningkatkan keakuratan dan pengaruh perhitungan, sedemikian sehingga didapatkan 1 1!!!! Sehingga. Tetapi secara mudah dibuktikan bahwa 1

15 Mulai dengan 0, berturut-turut dihitung,,, dan kemudian. Menggunakan metode ini, kita telah menghitung rata-rata generasi punah di dalam model stokastik untuk membandingkan dengan model deterministik sebagaimana diberikan dalam tabel 6.2. Tabel 6.3 adalah daftar rata-rata generasi punah untuk macam ukuran populasi awal bila 100,λ 4, dan 1 sehingga 4. Dari empat generasi kepunahan diramalkan dengan model deterministik ketika 20, kita sekarang memperkirakan bahwa populasi akan terus ada untuk 8 milyar generasi berikutnya! Tabel 6.3 rata-rata lifespan kepunahan pada satu model kelahiran dan kematian dari satu populasi yang mengandung satu angka tetap S=100 dengan laki-laki steril. Ukuran awal populasi Lifespan kepunahan 20 8,101,227, ,306, , Jelaskan hubungan perbedaan antara model prediksi deterministik dan model prediksi stokastik? Model stokastik memberikan nilai yang kecil tetapi probabilitas positif yang populasinya tidak akan mati tetapi akan mengalami rekoloni dan kembali ke level tertinggi mendekati kapasitas lingkungan K dan bertahan untuk waktu yang sangat lama. Sementara kedua model adalah kualitatif, implikasi praktis tidak bisa dihilangkan. Suatu usaha kendali dengan skala besar, tempat tinggal yang luas dan untuk lingkungan mikro mengalami pembatasan. Model stokastik mengusulkan suatu kemungkinan bahwa beberapa subpopulasi dalam beberapa lingkungan bisa bertahan dan selanjutnya mengalami recolonize di seluruh daerah. Program jantan mandul yang tergantung percobaan awal dengan insektisida adalah keuntungan yang terbaik.

16 Didownload dari PEMBAHASAN SOAL 4. anggap proses kelahiran dan kematian di state 0,1...,5. Dengan parameter 0 1, 2, 3, 4 4, 3, 2, 1 catatan bahwa 0 dan 5 adalah state absorbsi. Anggap bahwa proses dimulai pada X(0)=2 (a) Berapa probabilitas absorpsi terakhir di state 0? (b) Berapa waktu rata-rata untuk absorpsi? Penyelesaian : a. Menurut Dicari terlebih dahulu karena λ pada saat state ke-2 maka sehingga 1. b. Mean time to arbsorpsi Menurut Akan dicari terlebih dahulu. Lihat 6.46, karena λ untuk state 2 maka: 1 1 0,05 1 1

17 0,05 1 0, , , , ,

18 PROSES KELAHIRAN (KEMUNCULAN) DAN KEMATIAN (KEHILANGAN) DENGAN STATE ABSORPSI Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Pengantar Proses Stokastik Oleh : Nurul kustinah Eka Hely Jayanti Nanda Putri Monalisa Nanda Hidayati Novi Amalia Nugrahaeni Yurista M M M M M M JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2010