Konsep Fungsi Semikontinu

JURNAL FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, 91-104 ISSN 2252-763X Kosep Fugsi Semikotiu Malahayati Program Studi Matematika, Fakultas Sais da Tekologi, UIN Sua Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Idoesia Korespodesi; Email: malahayati_01@yahoo.co.id Abstrak Makalah ii membahas kosep dasar da beberapa fugsi semicotiuous, dimulai dega megealka kosep upper limit da lower limit. Kata Kuci: Abstract This paper discusses the basic cocepts ad some of the semicotiuous fuctios, begis by itroducig the cocept of upper limit ad lower limit. Keywords Pedahulua Kosep fugsi semikotiu didefiisika dega memafaatka pegertia limit atas da limit bawah, atau yag biasa dikeal dega limit superior da limit iferior. Kosep fugsi semikotiu bayak dimafaatka oleh peeliti diataraya dalam medefiisika ruag Baire-1 da subruag laiya. Pada paper ii fugsi fugsi yag dibicaraka berilai real da didefiisika pada E, dega E himpua bagia dari ruag metrik X. Sebelumya disepakati terlebih dahulu bahwa setiap pegambila ifimum da supremum dari suatu himpua pada paper ii, himpua yag dimaksud merupaka himpua bagia dari R (real exteded) dega R = R {, }. Dalam medefiisika fugsi semikotiu diperluka kosep limit atas da limit bawah, oleh karea itu, berikut dimulai dega mejelaska kosep limit atas da limit bawah beserta sifat-sifatya. Defiisi 1.1. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E. 1) Limit atas (upper limit) fugsi f ketika x medekati x 0 ditulis dega lim f(x) da didefiisika lim f(x) = if {M ε (f, x 0 ): ε > 0}, dega M ε (f, x 0 ) = sup{f(x): x N ε (x 0 ) E}. 2) Limit bawah (lower limit) fugsi f ketika x medekati x 0 ditulis dega lim f(x) da didefiisika dega m ε (f, x 0 ) = if {f(x): x N ε (x 0 ) E}. lim f(x) = sup {m ε (f, x 0 ): ε > 0}, Pada Defiisi 1.1 diatas, ilai limitya selalu ada da dapat berilai berhigga, +, atau. Selajutya aka dibahas sifat-sifat yag terkait dega limit atas da limit bawah. 2014 JURNAL FOURIER Versi olie via www.fourier.or.id

92 Malahayati Lemma 1.2. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E. 1) Jika h > lim f(x), maka terdapat ε > 0 sehigga utuk setiap 0 < α ε berlaku lim f(x) M α (f, x 0 ) M ε (f, x 0 ) < h. 2) Jika h < lim f(x), maka terdapat ε > 0 sehigga utuk setiap 0 < δ ε berlaku lim f(x) m δ (f, x 0 ) m ε (f, x 0 ) > h. 3) Jika h < M ε (f, x 0 ) maka terdapat x N ε (x 0 ) E sehigga berlaku h < f(x) M ε (f, x 0 ). 4) Jika h > m ε (f, x 0 ) maka terdapat x N ε (x 0 ) E sehigga berlaku m ε (f, x 0 ) f(x) < h. Bukti: Cukup dibuktika bagia (1) da (2), utuk bagia (3) da (4) bukti dilakuka dega cara serupa. 1) Diketahui h > lim f(x) = if {M ε (f, x 0 ): ε > 0}, berarti terdapat ε > 0 sehigga M ε (f, x 0 ) < h. Selajutya utuk sebarag α, dega 0 < α ε diperoleh N α (x 0 ) E N ε (x 0 ) E. Oleh karea itu, diperoleh sup{f(x): x N α (x 0 ) E} sup{f(x): x N ε (x 0 ) E}. Akibatya, M α (f, x 0 ) M ε (f, x 0 ). Dega kata lai diperoleh lim f(x) M α (f, x 0 ) M ε (f, x 0 ) < h. 2) Diketahui h < lim f(x) = sup {m ε (f, x 0 ): ε > 0}, berarti terdapat ε > 0 sehigga m ε (f, x 0 ) > h. Selajutya utuk sebarag δ, dega 0 < δ ε diperoleh N δ (x 0 ) E N ε (x 0 ) E. Oleh karea itu, diperoleh if {f(x): x N δ (x 0 ) E} if {f(x): x N ε (x 0 ) E}. Akibatya, m δ (f, x 0 ) m ε (f, x 0 ). Dega kata lai diperoleh lim f(x) m δ (f, x 0 ) m ε (f, x 0 ) > h. Lemma 1.3. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E. Jika < c < 0 maka berlaku 1) lim cf(x) = c lim f(x) x x 0 2) lim cf(x) = c lim f(x). Selajutya, jika 0 c < maka berlaku 1) lim cf(x) = c lim f(x) 2) lim cf(x) = c lim f(x). JURNAL FOURIER (2014) 3 91-104 www.fourier.or.id

Kosep Fugsi Semikotiu 93 Bukti: Utuk < c < 0, diperoleh 1) Diambil ε > 0 sebarag, maka diperoleh m ε (cf, x 0 ) = if {cf(x): x N ε (x 0 ) E} = c sup{f(x): x N ε (x 0 ) E} = c M ε (f, x 0 ). Oleh karea itu, diperoleh lim cf(x) = sup {m ε (cf, x 0 ): ε > 0} = sup {c M ε (f, x 0 ): ε > 0} = c if {M ε (f, x 0 ): ε > 0} = c lim f(x). 2) lim cf(x) = c. 1. lim c f(x) = c. lim c. 1 c c Selajutya, utuk 0 c <, diperoleh f(x) = c lim f(x). 3) lim cf(x) = lim ( 1)( c) f(x) = ( 1) lim ( c)f(x) = ( 1)( c) lim f(x) = c lim f(x). 4) lim cf(x) = lim ( 1)( c) f(x) = ( 1) lim ( c)f(x) x x 0 = ( 1)( c) lim f(x) = c lim f(x). Sebelum membahas sifat-sifat limit atas da limit bawah lebih lajut, berikut ii aka didefiisika terlebih dahulu beberapa pegertia agar mudah dalam memahami pembuktia sifat-sifat selajutya. Persekitara di dega jari-jari ε > 0 sembarag, ditulis N ε ( ) da didefiisika N ε ( ) = {x x > 1 ε }. Sedagka persekitara di dega jari-jari ε > 0 sembarag, ditulis N ε ( ) da didefiisika N ε ( ) = {x x < 1 ε }. Selajutya, diberika barisa bilaga {x }. Barisa {x } dikataka koverge apabila terdapat bilaga k sehigga utuk ε > 0 sembarag, terdapat ε > 0 akibatya utuk setiap > ε berlaku x N ε (k). Teorema 1.4. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E. 1) Jika h = lim f(x) atau h = lim f(x) maka terdapat barisa {x } di E sehigga {x } koverge ke x 0 da lim f(x ) = h. 2) Jika h > lim f(x) atau h < lim f(x) maka tidak ada barisa {x } di E sehigga {x } koverge ke x 0 da lim f(x ) = h. www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (2014) 3 91-104

94 Malahayati Bukti: 1) Misalka h = lim f(x). Diambil sembarag x 0 E. Apabila x 0 E\E, maka diperoleh h = lim f(x) = if {M ε (f, x 0 ): ε > 0} = f(x 0 ). Oleh karea itu, terdapat barisa {x } di E dega x = x 0 utuk setiap N, sehigga {x } koverge ke x 0 da lim f(x ) = f(x 0 ) = h. Selajutya, ditijau utuk x 0 E E. Diambil sembarag N. Aka ditujukka terlebih dahulu bahwa terdapat α > 0 dega α 1 sehigga M α (f, x 0 ) N1(h). Apabila h =, maka terdapat α > 0 dega α 1 sehigga berlaku M α (f, x 0 ) lim f(x) = h =. Dega demikia diperoleh M α (f, x 0 ) = da jelas M α (f, x 0 ) N1( ). Apabila h <, maka N1(h) memuat bilaga k sehigga k > h = lim f(x). berdasarka Lemma 1.2 bagia (1), terdapat ε > 0 sehigga utuk setiap 0 < β ε berlaku h M β (f, x 0 ) M ε (f, x 0 ) < k. Dipilih α = mi { 1, ε}, sehigga diperoleh h M α(f, x 0 ) < k. Akibatya M α (f, x 0 ) N1(h). Dega demikia terbukti bahwa terdapat α > 0 dega α 1 sehigga M α (f, x 0 ) N1(h). Selajutya aka ditujukka terdapat x N α (x 0 ) E sehigga berlaku f(x ) N1(M α (f, x 0 )). Apabila M α (f, x 0 ) > maka terdapat bilaga k sehigga < k < M α (f, x 0 ) da k N1 (M α (f, x 0 )). Berdasarka Lemma 1.2 bagia (3), terdapat x N α (x 0 ) E sehigga k < f(x ) M α (f, x 0 ). Dega kata lai diperoleh f(x ) N1(M α (f, x 0 )). Jadi utuk setiap N terdapat 0 < α 1 sehigga terdapat x N α (x 0 ) E. Dega kata lai, terdapat barisa {x } sehigga barisa {x } koverge ke x 0. Selajutya, karea utuk setiap N, f(x ) N1(M α (f, x 0 )) da M α (f, x 0 ) N1(h) maka diperoleh f(x ) N2 (h) utuk 2. Dega kata lai f(x ) h. Utuk kasus h = lim f(x) dapat dibuktika dega cara yag sama. 2) Misalka h > lim f(x). Diambil sembarag x 0 E. Apabila x 0 E\E, maka diperoleh h > lim f(x) = f(x 0 ). Adaika ada barisa {x } di E sehigga {x } koverge ke x 0 da lim f(x ) = h. Dega demikia, barisa yag koverge ke x 0 haya barisa {x } dega x = x 0 utuk setiap. Oleh karea itu diperoleh lim f(x ) = f(x 0 ) < h. Kotradiksi dega lim f(x ) = h. Berarti tidak ada barisa {x } di E dega {x } koverge ke x 0 da lim f(x ) = h. Selajutya, ditijau utuk x 0 E E. Adaika ada barisa {x } di E sehigga {x } koverge ke x 0 da lim f(x ) = h. Karea h > lim f(x) maka ada bilaga k sehigga JURNAL FOURIER (2014) 3 91-104 www.fourier.or.id

Kosep Fugsi Semikotiu 95 h > k > lim f(x). (1) Karea lim f(x ) = h > k maka terdapat N N sehigga f(x ) > k utuk setiap N. Oleh karea itu, utuk sembarag ε > 0, N ε (x 0 ) E memuat tak higga bayak titik-titik x di E sehigga f(x ) > k. Berarti utuk sembarag ε > 0, diperoleh M ε (f, x 0 ) = sup{f(x): x N ε (x 0 ) E} > k. Sehigga berlaku lim f(x) k. Kotradiksi dega peryataa (1.1). Jadi tidak ada barisa {x } di E dega {x } koverge ke x 0 da lim f(x ) = h. Utuk kasus h < lim f(x) dapat dibuktika dega cara yag sama. Selajutya diberika suatu akibat dari Teorema 1.4, yag meyataka bahwa ilai limit bawah dari sembarag fugsi lebih kecil atau sama dega ilai limit atasya. Akibat 1.5. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E maka berlaku lim f(x) lim f(x). Bukti: Namaka h = lim f(x), maka berdasarka Teorema 1.4 bagia (1) terdapat barisa {x } di E dega sifat x x 0 sehigga f(x ) h. (1.2) Aka dibuktika h lim f(x). Adaika h < lim f(x), maka berdasarka Teorema 1.4 bagia (2), tidak ada barisa {x } di E sehigga x x 0 da f(x ) h. Kotradiksi dega peryataa (1.2). Jadi terbukti lim f(x) lim f(x). Teorema berikut meyataka hubuga limit atas da limit bawah. Apabila diperoleh ilai limit atas da limit bawah sama maka dikataka ilai limitya ada. Teorema 1.6. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 titik limit E. Jika lim f(x) = lim f(x) = k maka lim f(x) = k. x x 0 Bukti: Diketahui lim f(x) = lim f(x) = k. Diambil ε > 0 sembarag. Berdasarka Lemma 1.2 terdapat α, β > 0 sehigga berlaku k ε < m α (f, x 0 ) k M β (f, x 0 ) < k + ε. Selajutya dipilih 0 < γ < mi{α, β}, sehigga diperoleh Oleh karea itu, diperoleh k ε < m α (f, x 0 ) m γ (f, x 0 ) k M γ (f, x 0 ) M β (f, x 0 ) < k + ε. k ε < m γ (f, x 0 ) M γ (f, x 0 ) < k + ε. Jadi, utuk sembarag ε > 0 terdapat γ > 0, sehigga apabila x N γ (x 0 ) E berlaku f(x) N ε (k). Dega kata lai diperoleh lim f(x) = k. www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (2014) 3 91-104

96 Malahayati Lemma 1.7. Diberika fugsi f yag didefiisika pada (a, b), dega a < b. 1) Jika fugsi f aik mooto pada (a, b) maka f(x) = if{f(x): x (a, b)}. lim x a 2) Jika fugsi f turu mooto pada (a, b) maka f(x) = sup{f(x): x (a, b)}. lim x a Megguaka Lemma 1.7 dapat ditujukka teorema berikut ii. Teorema 1.8. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E, maka berlaku 1) lim f(x) = if {M ε (f, x 0 ): ε > 0} = lim M ε (f, x 0 ) ε 0. 2) lim f(x) = sup {m ε (f, x 0 ): ε > 0} = lim m ε (f, x 0 ). x x ε 0 0 Bukti: Diberika ε 1, ε 2 > 0 sembarag, dega ε 1 < ε 2 maka diperoleh M ε1 (f, x 0 ) M ε2 (f, x 0 ) da m ε1 (f, x 0 ) m ε2 (f, x 0 ). Dega kata lai, fugsi g(ε) = M ε (f, x 0 ) aik mooto pada (0, ) da fugsi h(ε) = m ε (f, x 0 ) turu mooto pada (0, ). Berdasarka Lemma 1.7 diperoleh 1) lim M ε (f, x 0 ) = lim g(ε) = if {g(ε): 0 < ε < } ε 0 ε 0 = if {M ε (f, x 0 ): 0 < ε < } = lim f(x). 2) lim m ε (f, x 0 ) = lim h(ε) = sup {h(ε): 0 < ε < } ε 0 ε 0 = sup {m ε (f, x 0 ): 0 < ε < } = lim f(x). Teorema 1.9. Diberika fugsi-fugsi f, g da f + g yag didefiisika pada E da x 0 E, maka berlaku 1) lim (f(x) + g(x)) lim f(x) + lim g(x). 2) lim (f(x) + g(x)) lim f(x) + lim g(x). Fugsi Semikotiu Fugsi semikotiu erat kaitaya dega fugsi kotiu, oleh sebab itu berikut diberika terlebih dahulu pegertia fugsi kotiu. Defiisi 2.1. Diberika ruag metrik (X, d) da fugsi f yag didefiisika pada X. Fugsi f dikataka kotiu di x 0 X jika utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat δ > 0 sehigga utuk setiap x X dega d(x, x 0 ) < δ berlaku f(x) N ε (f(x 0 )). Selajutya, f dikataka kotiu pada X jika f kotiu disetiap titik x X. Setelah diperkealka kosep limit atas da limit bawah, berikut diberika defiisi fugsi semikotiu. Defiisi 2.2. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E. 1) Fugsi f dikataka semikotiu atas (upper semicotiuous) di x 0 apabila f(x 0 ) = lim f(x). Selajutya, fugsi f dikataka semikotiu atas pada E apabila fugsi f semikotiu atas disetiap x 0 E. JURNAL FOURIER (2014) 3 91-104 www.fourier.or.id

Kosep Fugsi Semikotiu 97 2) Fugsi f dikataka semikotiu bawah (lower semicotiuous) di x 0 apabila f(x 0 ) = lim f(x). Selajutya, fugsi f dikataka semikotiu bawah pada E apabila fugsi f semikotiu bawah disetiap x 0 E. 3) Fugsi yag semikotiu atas atau semikotiu bawah diamaka fugsi semikotiu. Teorema 2.3. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E. Fugsi f kotiu pada E jika da haya jika fugsi f semikotiu atas da semikotiu bawah pada E. Bukti: Diambil sembarag x 0 E. Apabila x 0 E\E maka berdasarka Defiisi 1.6 da Defiisi 2.2 jelas peryataa berlaku. Selajutya, ditijau utuk x 0 E E. (Syarat perlu). Diketahui fugsi f kotiu pada E, maka fugsi f kotiu di x 0, berarti berlaku f(x 0 ) = lim f(x). Utuk sembarag ε > 0 berlaku Oleh karea itu diperoleh M ε (f, x 0 ) = sup{f(x): x N ε (x 0 ) E} f(x 0 ). lim f(x) = if{m ε (f, x 0 ): ε > 0} f(x 0 ). Selajutya, diambil sembarag γ > 0. Karea f(x 0 ) = lim f(x) maka terdapat ε > 0 sehigga utuk setiap x N ε (x 0 ) E berlaku f(x) < f(x 0 ) + γ. Akibatya, diperoleh 2 Oleh karea itu diperoleh M ε (f, x 0 ) = sup{f(x): x N ε (x 0 ) E} f(x 0 ) + γ 2 < f(x 0) + γ. lim f(x) = if{m ε (f, x 0 ): ε > 0} M ε (f, x 0 ) < f(x 0 ) + γ, utuk sembarag γ > 0. Karea utuk γ > 0 sembarag selalu berlaku 0 lim f(x) f(x 0 ) < γ, maka diperoleh lim f(x) = f(x 0 ). Dega cara yag sama dapat diperoleh lim f(x) = f(x 0 ). Dega kata lai, fugsi f semikotiu atas da semikotiu bawah pada E. (Syarat cukup). Diketahui fugsi f semikotiu atas da semikotiu bawah pada E, maka fugsi f semikotiu atas da semikotiu bawah di x 0. Oleh karea itu diperoleh lim f(x) = lim f(x) = f(x 0 ). Berdasarka Teorema 1.6 diperoleh f(x 0 ) = lim f(x). Dega kata lai, fugsi f kotiu di x 0. Jadi terbukti fugsi f kotiu pada E. Selajutya aka dibahas sifat-sifat fugsi semikotiu yag sagat diperluka dalam pembahasa pada bab-bab selajutya. Lemma 2.4. Diberika fugsi fugsi f da g yag didefiisika pada E, dega f fugsi semikotiu bawah pada E da g fugsi semikotiu atas pada E. 1) Jika < c < 0 maka cf fugsi semikotiu atas pada E da cg fugsi semikotiu bawah pada E. www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (2014) 3 91-104

98 Malahayati 2) Jika 0 c < maka cf fugsi semikotiu bawah pada E da cg fugsi semikotiu atas pada E. Bukti: Diambil sembarag x 0 E. Apabila x 0 E\E maka berdasarka Lemma 1.3 peryataa (1) da (2) berlaku. Selajutya, ditijau utuk x 0 E E. 1) Diambil sembarag bilaga c, dega < c < 0. Diketahui fugsi f semikotiu bawah pada E, berarti fugsi f semikotiu bawah di x 0, sehigga diperoleh lim f(x) = f(x 0 ). Karea < c < 0 maka diperoleh cf(x 0 ) = c lim f(x) = lim cf(x) x x 0 Dega kata lai, cf fugsi semikotiu atas di x 0. Oleh karea itu, cf fugsi semikotiu atas pada E. Disisi lai, diketahui g fugsi semikotiu atas pada E, berarti g fugsi semikotiu atas di x 0. Sehigga diperoleh Karea < c < 0, maka diperoleh lim g(x) = g(x 0 ). lim cg(x) = c lim g(x) = cg(x 0 ).e x x 0 Dega kata lai cg fugsi semikotiu bawah di x 0. Oleh karea itu, cg fugsi semikotiu bawah pada E. 2) Diambil sembarag bilaga c, dega 0 c <. Diketahui f fugsi semikotiu bawah pada E, berarti f fugsi semikotiu bawah di x 0. Berdasarka peryataa 1, diperoleh cf fugsi semikotiu atas di x 0, sehigga diperoleh ( 1)( cf) fugsi semikotiu bawah di x 0. Dega kata lai, cf fugsi semikotiu bawah di x 0. Oleh karea itu, cf fugsi semikotiu bawah pada E. Disisi lai, diketahui g fugsi semikotiu atas pada E, berarti g fugsi semikotiu atas di x 0. Oleh karea itu, cg fugsi semikotiu bawah di x 0, sehigga ( 1)( cg) fugsi semikotiu atas di x 0. Dega kata lai, cg fugsi semikotiu atas di x 0. Jadi, cg fugsi semikotiu atas pada E. Teorema 2.5. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E. 1) Fugsi f semikotiu bawah di x 0 jika da haya jika utuk setiap bilaga h, dega h < f(x 0 ) terdapat bilaga ε > 0 sehigga f(x) > h utuk setiap x N ε (x 0 ) E. 2) Fugsi f semikotiu atas di x 0 jika da haya jika utuk setiap bilaga h, dega h > f(x 0 ) terdapat bilaga ε > 0 sehigga f(x) < h utuk setiap x N ε (x 0 ) E. Bukti: Cukup dibuktika bagia (1), utuk bagia (2) bukti dilakuka dega cara serupa. Diambil sembarag x 0 E. Utuk x 0 E\E diambil sembarag bilaga h, dega h < f(x 0 ). Terdapat ε > 0 sehigga N ε (x 0 ) E = {x 0 }. Akibatya diperoleh f(x) > h utuk setiap x N ε (x 0 ) E. Sebalikya, berdasarka Defiisi 2.2 jelas fugsi f semikotiu bawah di x 0. Selajutya ditijau utuk x 0 E E. (Syarat perlu). Diambil sembarag bilaga h, dega h < f(x 0 ). Karea fugsi f semikotiu bawah di x 0, maka lim f(x) = f(x 0 ) sehigga diperoleh lim f(x) > h. Berdasarka Lemma 1.2 bagia (1), maka terdapat ε > 0 sehigga m ε (f, x 0 ) > h. Oleh karea itu, diperoleh JURNAL FOURIER (2014) 3 91-104 www.fourier.or.id

Akibatya f(x) > h, utuk setiap x N ε (x 0 ) E. m ε (f, x 0 ) = if{f(x): x N ε (x 0 ) E} > h. Kosep Fugsi Semikotiu 99 (Syarat cukup). Diberika sembarag bilaga h, dega f(x 0 ) > h. Berdasarka hipotesa, ada bilaga ε > 0 sehigga f(x) > h, utuk setiap x N ε (x 0 ) E. Oleh karea itu, berlaku Akibatya diperoleh m ε (f, x 0 ) = if{f(x): x N ε (x 0 ) E} h. lim f(x) = sup{m ε (f, x 0 ): ε > 0} m ε (f, x 0 ) h. Karea lim f(x) h, utuk setiap h < f(x 0 ), maka lim f(x) f(x 0 ). Sebalikya, karea utuk sembarag ε > 0 berlaku f(x 0 ) m ε (f, x 0 ) = if{f(x): x N ε (x 0 ) E}, maka diperoleh f(x 0 ) sup{m ε (f, x 0 ): ε > 0} = lim f(x). Jadi terbukti lim f(x) = f(x 0 ). Dega kata lai fugsi f semikotiu bawah di x 0. Dega memafaatka teorema sebelumya, berikut ii diberika syarat perlu da cukup utuk fugsi semikotiu bawah da semikotiu atas. Teorema 2.6. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E. 1) Fugsi f semikotiu bawah pada E jika da haya jika utuk setiap h R {x E: f(x) > h} merupaka himpua terbuka. 2) Fugsi f semikotiu atas pada E jika da haya jika utuk setiap l R {x E: f(x) < l} merupaka himpua terbuka. Bukti: Cukup dibuktika bagia (1), utuk bagia (2) bukti dilakuka dega cara serupa. (Syarat perlu). Diambil sembarag h R. Namaka A = {x E: f(x) > h}, aka dibuktika A terbuka. Diambil sembarag c titik limit A c da α R dega α < f(c). Berdasarka Teorema 2.5 bagia (1), terdapat ε > 0 sehigga berlaku f(x) > α utuk setiap x N ε (c) E. Selajutya, karea c titik limit A c, maka terdapat z N ε (c) A c \{c} sehigga α < f(z) h. Karea h > α utuk setiap α < f(c), maka diperoleh f(c) h. Dega kata lai, c A c. Oleh karea itu A c tertutup. Jadi terbukti A terbuka. (Syarat cukup). Diambil sembarag c E da bilaga h, dega h < f(c). Namaka A = {x E: f(x) > h}. Berdasarka hipotesa himpua A c tertutup. Karea A c tertutup da tidak memuat titik c, berarti c buka titik limit A c. Oleh karea itu, terdapat bilaga δ > 0 sehigga f(x) > h utuk setiap x N δ (c) E. Berdasarka Teorema 2.5 diperoleh fugsi f semikotiu bawah di c. Karea berlaku utuk sembarag c E maka fugsi f semikotiu bawah pada E. Teorema 2.7. Diberika fugsi f yag terbatas pada ruag metrik (E, d). Fugsi f semikotiu bawah pada E jika da haya jika terdapat barisa aik mooto fugsi fugsi kotiu {f } pada E sehigga {f } koverge titik demi titik ke f pada E. www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (2014) 3 91-104

100 Malahayati Bukti: (Syarat perlu). Utuk setiap N, didefiisika f : E R, dega f (x) = if{f(t) + d(x, t): t E}. Aka ditujukka {f } aik mooto. Utuk setiap N, berlaku f(t) + d(x, t) f(t) + ( + 1) d(x, t), utuk setiap x, t E. Oleh karea itu, diperoleh f (x) f +1 (x), utuk setiap N. Dega kata lai barisa {f } aik mooto. Selajutya aka dibuktika utuk setiap N, f kotiu pada E. Diambil sembarag x, y E, diperoleh f (x) = if{f(t) + d(x, t) t E} if{f(t) + d(y, t) + d(x, y) t E} = if{f(t) + d(y, t): t E} + d(x, y) = f (y) + d(x, y). Dega kata lai, diperoleh Dega cara yag sama, diperoleh Oleh karea itu, berdasarka (2) da (3) diperoleh f (x) f (y) d(x, y) (2) f (y) f (x) d(x, y) (3) f (y) f (x) d(x, y). Selajutya, diberika ε > 0 sembarag, dipilih δ = ε +1 sehigga utuk setiap x, y E dega d(x, y) < δ, berlaku f (y) f (x) d(x, y) < δ < ε. Dega kata lai, terbukti bahwa f kotiu pada E. Selajutya aka dibuktika lim f (x) = f(x), utuk setiap x E. Karea fugsi f terbatas pada E maka f terbatas kebawah pada E. Oleh karea itu terdapat bilaga M, sehigga M f(x) utuk setiap x E. Diambil sembarag x 0 E, maka utuk setiap N berlaku f (x 0 ) = if{f(t) + d(x 0, t) t E}. Oleh karea itu, diperoleh f (x 0 ) f(x 0 ) + d(x 0, x 0 ) = f(x 0 ). Akibatya, lim f (x 0 ) f(x 0 ). (4) Sebalikya, diambil sembarag bilaga h, dega h < f(x 0 ). Berdasarka Teorema 2.5, terdapat bilaga ε > 0 sehigga f(x) > h, utuk setiap x N ε (x 0 ) E. Karea h, M, ε R maka h M R, meurut Archimedes terdapat 0 N sehigga 0 > h M. Dega kata lai, terdapat 0 N sehigga M + ε 0 > h. Utuk setiap bilaga > 0, apabila t N ε (x 0 ) E, maka berlaku ε ε JURNAL FOURIER (2014) 3 91-104 www.fourier.or.id

Kosep Fugsi Semikotiu 101 f (x 0 ) = if{f(t) + d(x 0, t) t N ε (x 0 ) E} if{f(t) t N ε (x 0 ) E} h. Sedagka utuk ilai-ilai t yag lai, f (x 0 ) = if{f(t) + d(x 0, t) t E\N ε (x 0 )} if{m + ε t E\N ε (x 0 )} = M + ε > M + ε 0 > h. Dega demikia, utuk setiap > 0, karea f (x 0 ) h utuk setiap h < f(x 0 ) maka diperoleh f (x 0 ) f(x 0 ). Oleh karea itu, diperoleh lim f (x 0 ) f(x 0 ). (5) Berdasarka (4) da (5) diperoleh lim f (x 0 ) = f(x 0 ). (Syarat cukup). Diambil sembarag α R. Aka dibuktika bahwa himpua {x E: f(x) > α} terbuka. Aka ditujukka terlebih dahulu bahwa {x E: f(x) > α} = {x E: f (x) > α} =1. Diambil sembarag x {x E: f(x) > α}, maka berlaku f(x) > α. Adaika f (x) α, utuk setiap N, maka berlaku, f (x) α < f(x). Karea f(x) > α maka f(x) α > 0. Oleh karea itu, diambil ε = 1 (f(x) α) > 0. Utuk setiap N, diperoleh 2 f (x) f(x) f(x) α = f(x) α > 1 (f(x) α) = ε. 2 Kotradiksi dega {f } koverge titik demi titik ke f. Jadi f (x) > α, utuk suatu N. Dega kata lai, terbukti x =1 {x E: f (x) > α}. Sebalikya, diambil sembarag x =1 {x E: f (x) > α}, maka terdapat N N sehigga f N (x) > α. Adaika f(x) α, maka diperoleh f N (x) > α f(x). Karea barisa {f } aik mooto, maka f m f N, utuk setiap m > N. Diambil ε = 1 2 (f N(x) f(x)) > 0. Karea f(x) < f N (x) f m (x), utuk setiap m > N, maka diperoleh f m (x) f(x) f N (x) f(x) ε. Kotradiksi dega {f } koverge titik demi titik ke f. Jadi f(x) > α. Oleh karea itu diperoleh {x E: f(x) > α} = =1 {x E: f (x) > α}. Karea himpua {x E: f (x) > α} terbuka, maka =1 {x E: f (x) > α} terbuka. Akibatya himpua {x E: f(x) > α} terbuka. Berdasarka Teorema 2.2.15 maka terbukti fugsi f semikotiu bawah pada E. Sebelum membahas teorema berikutya, aka didefiisika terlebih dahulu limit atas da limit bawah barisa bilaga real. Diberika barisa bilaga real {x }. Limit atas (upper limit) barisa {x } dituliska dega lim x da didefiisika www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (2014) 3 91-104

102 Malahayati lim x = if sup{x k k }. Sedagka, limit bawah (lower limit) barisa {x } dituliska dega lim x da didefiisika lim x = sup if{x k : k }. Teorema 2.8. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E. 1) Fugsi f semikotiu bawah pada E jika da haya jika utuk setiap x E da setiap barisa {x } di E yag koverge ke x berakibat lim f(x ) f(x). 2) Fugsi f semikotiu atas pada E jika da haya jika utuk setiap x E da setiap barisa {x } di E yag koverge ke x berakibat lim f(x ) f(x). Bukti: Cukup dibuktika bagia (1), utuk bagia (2) bukti dilakuka dega cara yag sama. (Syarat perlu). Diambil sembarag x E da barisa {x } di E dega {x } koverge ke x. Aka dibuktika f(x ) f(x). Diambil sembarag bilaga b sehigga f(x) > b. Dibetuk V = {y: f(y) > b}. lim Karea fugsi f semikotiu bawah, maka berdasarka Teorema 2.6 bagia (1) diperoleh V merupaka himpua terbuka da jelas x V. Selajutya, karea x V, dega V terbuka da barisa {x } koverge ke x, maka terdapat 0 N sehigga utuk setiap 0 diperoleh x V. Oleh karea itu, f(x ) > b. Akibatya, diperoleh lim f(x ) f(x). f(x ) b. Karea lim f(x ) b utuk sembarag b < f(x), maka diperoleh lim (Syarat cukup). Diambil sembarag a R. Namaka W = {x: f(x) > a}, aka dibuktika W terbuka. Diambil sebarag barisa c titik limit W c, maka terdapat barisa {x } W c dega {x } koverge ke c. Oleh karea itu, diperoleh f(x ) a utuk setiap. Akibatya, lim f(x ) a. Selajutya, berdasarka hipotesa, diperoleh f(c) lim berarti f(x ) a. Dega demikia diperoleh f(c) a, yag c W c. Dega kata lai W terbuka. Jadi terbukti f fugsi semikotiu bawah pada E. Teorema 2.9. Diberika fugsi-fugsi f da g yag didefiisika pada E. 1) Jika fugsi-fugsi f da g semikotiu atas pada E maka f + g juga fugsi semikotiu atas pada E. 2) Jika fugsi f da g semikotiu bawah pada E maka f + g juga semikotiu bawah pada E. Bukti: Cukup dibuktika bagia (1), utuk bagia (2) bukti dilakuka dega cara yag sama. Diambil sembarag x 0 E. Diketahui fugsi-fugsi f da g semikotiu atas pada E, maka fugsi-fugsi f da g semikotiu atas di x 0. Sehigga berlaku f(x 0 ) = lim f(x) da g(x 0 ) = lim g(x). Oleh karea itu, diperoleh f(x 0 ) + g(x 0 ) = lim f(x) + lim g(x) lim (f + g)(x). Sebalikya, karea utuk sembarag ε > 0 berlaku M ε ((f + g), x 0 ) = sup{(f + g)(x): x N ε (x 0 ) E} f(x 0 ) + g(x 0 ), JURNAL FOURIER (2014) 3 91-104 www.fourier.or.id

Kosep Fugsi Semikotiu 103 maka, diperoleh lim (f + g)(x) = if{m ε ((f + g), x 0 ): ε > 0} f(x 0 ) + g(x 0 ). Dega demikia diperoleh f(x 0 ) + g(x 0 ) = lim (f + g)(x). Dega kata lai, terbukti f + g fugsi semikotiu atas pada E. Teorema 2.20. Diberika fugsi-fugsi f da g yag didefiisika pada E. Jika fugsi-fugsi f da g oegatif da semikotiu bawah pada E maka f. g juga fugsi semikotiu bawah pada E. Selajutya aka diberika defiisi fugsi evelope semikotiu atas da fugsi evelope semikotiu bawah dega megguaka kosep limit atas da limit bawah seperti yag telah dibahas sebelumya. Defiisi 2.21. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E. 1) Fugsi evelope semikotiu atas dari f (upper semicotiuous evelope) ditulis dega Uf, da didefiisika Uf(x ) = lim f(y), y x utuk setiap x E. 2) Fugsi evelope semikotiu bawah dari f (lower semicotiuous evelope) ditulis dega Lf, da didefiisika Lf(x) = limf(y), y x utuk setiap x E. Selajutya aka dibahas beberapa sifat fugsi evelope semikotiu atas da semikotiu bawah, yag aka diguaka pada bab-bab berikutya. Lemma 2.22. Diberika fugsi-fugsi f da g yag didefiisika pada E, maka berlaku 1) f Uf 2) Lf f 3) Jika f g maka Uf Ug. 4) U(f + g) Uf + Ug. 5) Uf = f jika da haya jika fugsi f semikotiu atas pada E. Lemma 2.23. Diberika fugsi-fugsi f da g yag didefiisika pada E, maka berlaku U(f Ug) = U(Uf Ug) U(f g). Bukti: Berdasarka Teorema 1.9 bagia (1), diperoleh Uf Ug U(f g). Oleh karea itu, diperoleh Selajutya, karea f Ug Uf Ug, maka diperoleh U(Uf Ug) U(f g). (6) U(f Ug) U(Uf Ug). (7) Disisi lai, karea Uf Ug = Uf U(Ug) U(f Ug), maka diperoleh U(Uf Ug) U(f Ug). (8) www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (2014) 3 91-104

104 Malahayati Berdasarka (6), (7), da (8) terbukti bahwa U(f Ug) = U(Uf Ug) U(f g). Lemma 2.24. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E. Jika fugsi f o egatif da terbatas pada E maka berlaku Uf = f. Bukti: Diambil sebarag x E. Karea Uf(x) f(x) da fugsi f o egatif maka berlaku Oleh karea itu, diperoleh Uf(x) f(x). Uf f. Sebalikya, diambil ε > 0 sembarag. Karea N ε (x) E E, maka berlaku M ε (f, x) = sup{f(y): y N ε (x) E} sup{f(y): y E}. Oleh karea itu, diperoleh Uf(x) f. Akibatya diperoleh Uf f. Dega demikia terbukti bahwa Uf = f. Kesimpula Pedefiisia fugsi semikotiu megguaka kosep limit atas da limit bawah. Pembuktia sifatsifat fugsi semikotiu bayak memafaatka sifat limit atas da limit bawah, oleh karea itu petig terlebih dahulu memahami kosep da sifat-sifat limit atas da limit bawah. Referesi [1] Ash, R.B., 2007, Real Variables with Basic Metric Space Topology, Departmet of Mathematics Uiversity of Illiois at Urbaa-Champaig. [2] Dugudji, J., 1966, Topology, Ally ad Baco, Ic., Bosto. [3] Farmaki, V., 1996, O Baire- 1 4 Fuctios, Tras. Amer. Math. Soc, 348, 10. [4] Gordo, R. A., 1994, The Itegral of Lebesgue, Dejoy, Perro ad Hestock, America Mathematical Society, USA. [5] Haydo, R., Odell, E. da Rosethal, H.P., 1991, O Certai Classes of Baire-1 Fuctios with Applicatios to Baach Space Theory, Lecture Notes i Math., 1470, Spriger, New York. [6] Kreyszig, E., 1978, Itroductory Fuctioal Aalysis with Applicatios, Joh Wiley ad Sos, Ic., Caada [7] McShae, E.J., 1944, Itegratio, Priceto Uiversity Press, Priceto. [8] Rosethal, H.P., 1994, A Characterizatio of Baach Spaces Cotaiig C0, J. Amer. Math. Soc, 7, 3, 707-748. [9] Rosethal, H.P., 1994, Differeces of Bouded Semi-Cotiuous Fuctios I, http://www.arxiv.org/abs/math/9406217, 20 Jui 1994, diakses pada taggal 27 Agustus 2009. [10] Royde, H.L., 1989, Real Aalysis, Macmilla Publishig Compay, New York. JURNAL FOURIER (2014) 3 91-104 www.fourier.or.id