BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDER 1

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDER 1 Persamaan diferensial adalah hubungan antara variabel bebas x, variabel tak bebas y dan satu atau lebih koefisien diferensial y terhadap x, misalnya: x + y sin x = 0 xy d y + y + e3x = 0 Orde suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut. x + y sin x = 0 adalah persamaan diferensial orde satu xy d y + y + e3x = 0 adalah persamaan diferensial orde dua Pembentukan persamaan diferensial Contoh: y = A sin x + B cos x dimana A dan B = konstanta sembarang Maka bentuk diferensialnya adalah = A cos x B sin x d y d = A sin x B cos x x Contoh. Bentuk persamaan diferensial dari fungsi y = x + A x Catatan: = 1 Ax bentuk dapat ditulis sebagai y dan bentuk d y d x dapat ditulis sebagai y Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Order 1 1. Dengan Integrasi langsung Jika persamaannya dapat disusun dalam bentuk = f(x), maka persamaan tersebut dapat dipecahkan dengan integrasi sederhana. Matematika Teknik Kimia II 1

Contoh 1. = 3x 6x + 5 y = (3x 6x + 5) = x 3 3x + 5x+C y = x 3 3x + 5x+C Contoh = 5x + 4 x y = 5x3 3 + 4lnx + C x = 5x3 + 4 Harga C tidak dapat ditentukan kecuali bila diberi tambahan keternagan tentang fungsi tersebut. Dalam bentuknya yang masih menampilkan konstanta C, fungsi disebut sebagai jawab umum/persamaan umum. Jika diberikan sebuah harga y untuk sebuah harga x tertentu, maka harga C dapat dihitung dan hasilnya disebut sebagai harga khusus. x Contoh 3. Tentukan jawab khusus bagi persamaan e bahwa y=3 untuk x=0 = 4 = 4e x ex maka y = 4e x = 4e x + C = 4 jika diberikan Dengan mengetahui bahwa y=3 untuk x=0, kita dapat menghitung C. y = 4e x = 4e x + C 3 = 4e 0 + C C=7 Sehingga y = 4e x + 7. Dengan pemisahan variabel Jika persamaan yang diberikan berbentuk = f(x, y), maka variabel y yang muncul di ruas kanan mencegah kita memecahkannya dengan integrasi langsung. Karena itu kita harus mencari pemecahan yang lain. Matematika Teknik Kimia II

Misalkan kita tinjau persamaan dalam bentuk = f x. F(y) dan dalam bentuk = f(x), yaitu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan F(y) sebagai perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y. Untuk lebih jelas, bisa dilihat dari beberapa contoh berikut: Contoh 1. = x y+1 Kita dapat menuliskannya sebagai:(y + 1) = x Dengan mengintegrasikan kedua ruas terhadap x maka akan kita peroleh hasil: y (y + 1) = x (y + 1) = x + y = x + C Contoh. = 1 + x (1 + y) Maka pemecahannya adalah sebagai berikut: 1 (1+y) = 1 + x Integrasikan kedua ruasnya terhadap x 1 (1+y) = 1 + x 1 (1+y) = 1 + x ln 1 + y = x + x + C Cara ini bergantung pada kejelian kita untuk dapat menyatakan persamaan dalam bentuk F y. = f(x). Jika hal tersebut berhasil kita lakukan maka proses selanjutnya akan mudah, karena kita akan mendapatkan: F y. = f(x) F y. = f(x) Matematika Teknik Kimia II 3

Contoh 3. = 1+y +x 1 1+y = 1 +x Integrasikan kedua ruasnya dengan x 1 = 1 1+y +x 1 1+y = 1 +x ln (1 + y) = ln ( + x) + C Jika konstanta C kita tuliskan sebagai logaritma konstanta lain yakni A maka: ln (1 + y) = ln ( + x) + ln A 1 + y = A. ( + x) Latihan. Selesaikan persamaan berikut: 1. = y + xy x y x 5. = y x. = y 1 x 3. 4. xy = x + 1 y + 1 x = y + xy 6. = y + (x + 1) 7. = xy y 3. Persamaan Homogen-dengan subtitusi y=vx Tinjaulah persamaan = x+3y x, nampaknya cukup sederhana, tetapi ternyata kita tidak dapat menyatakannya dalam bentuk faktor x dan faktor y. Sehingga kita tidak dapat menyelesaikannya menggunakan metode pemisahan variabel. Oleh karenanya kita lakukan substitusi y=vx, dengan v adalah fungsi x. Jadi y = vx Diferensiasikan terhadap x menggunakan kaidah perkalian. dv = v + x dv dv = v. 1 + x = v + x Matematika Teknik Kimia II 4

Dan dari soal kita akan mendapatkan: x + 3y x Persamaannya sekarang menjadi: = x + 3vx x = 1 + 3v v + x dv = 1 + 3v x dv = 1 + 3v 1 + 3v v v = = 1 + v x dv = 1 + v Persamaan diatas selanjutnya bisa diselesaikan menggunakan metode pemisahan variabel: 1 + v dv = 1 x 1 + v dv = 1 x ln 1 + v = ln x + C = ln x + ln A 1 + v = Ax Contoh 1. Pecahkanlah: = x +y xy Penyelesaian: dv = v + x Dan x +y xy = x +v x vx = 1+v v Persamaannya sekarang menjadi v + x dv = 1 + v v x dv = 1 + v v = 1 + v v = 1 v v v v dv = x v dv = x v = ln x + C Matematika Teknik Kimia II 5

Contoh. Pecahkanlah persamaan Penyelesaian Subtitusikan y=vx = xy +3y xy +x = v + x dv dan vx + 3v x x + vx = v + 3v 1 + v v + x dv v + 3v = 1 + v x dv v + 3v = 1 + v v = v + 3v v v v + v = 1 + v 1 + v 1 + v dv = v + v x 1 + v v + v dv = x ln (v + v ) = ln x + C = ln x + ln A (v + v ) = Ax Ingat bahwa y=vx, maka v=y/x sehingga ( y x + y x) = Ax xy + y = Ax 3 Latihan soal. Selesaikan persamaan berikut: 1.. 3. x + y = xy x = x + y xy + x = xy y 4. Persamaan linier-penggunaan faktor integral Persamaan diferensial biasa orde 1 dapat diselesaikan menggunakan faktor integral apabila bentuk persamaan diferensial adalah linier. Bentuk persamaan tersebut adalah sebagai berikut: + Py = Q Matematika Teknik Kimia II 6

Dengan P,Q adalah fungsi x, P,Q=f(x), maka persamaan diselesaikan dengan mengalikan kedua ruasnya dengan faktor integral (FI). Dimana FI= e P sehingga akan diperoleh:. e P + Py. e P = Q. e P Ruas kiri merupakan koefisien diferensial dari y. e P, sehingga d (y. e P ) = Q. e P Selanjutnya kedua ruas diintegrasikan terhadap x, sehingga diperoleh: y. e P = Q. e P Jika faktor integrasinya kita nyatakan dengan FI maka hasil diatas dapat kita tuliskan sebagai: y. FI = Q. FI Catatan: beberapa bentuk penyederhanaan yang berguna dalam mencari faktor integrasi: e lnx = x Contoh 1. Pecahkanlah x + y = x3 Penyelesaian: Bentuk umum persamaan yang dapat diselesaikan menggunakan metode faktor integrasi adalah + Py = Q, maka + y x = x Maka IF = e P = e 1 x = e lnx = x x + y = x3 dengan P = 1 x dan Q = x Sehingga pemecahan untuk persamaan diferensial diatas adalah: y. FI = Q. FI y. x = x. x = x 3 y. x = x4 4 + C Matematika Teknik Kimia II 7

Contoh. Pecahkanlah persamaan bahwa y=10 bila x=4. Penyelesaian x y = (x )3 jika diberikan Bentuk umum persamaan yang dapat diselesaikan menggunakan metode faktor integrasi adalah + Py = Q, maka P = 1 x y x = (x ) dan Q = (x ) Maka IF = e P = e 1 x = e ln (x ) = 1 (x ) Sehingga pemecahan untuk persamaan diferensial diatas adalah: y. FI = Q. FI 1 y. (x ) = (x 1 ). = (x ). (x ) Untuk x=4, y=10, maka: Sehingga: 1 y. (x ) = 1 x x + C 1 10. (4 ) = 1 4.4 + C 5 = 8 8 + C C = 5 1 y. (x ) = 1 x x + 5 y = ( 1 x x + 5). (x ) Latihan soal. Selesaikan persamaan berikut: 1. x y = x3 + 3x x. (1 + x ) + 3xy = 5x jika y= saat x=1 Matematika Teknik Kimia II 8

Contoh aplikasi dalam bidang teknik kimia 1. Three tanks of 10000 galon capacity are each arranged so that when water is fed into the first an equal quantity of solution overflows from the first to the second tank, likewise from the second to the third, and from the third to some point out of the system. Agitators keep the contents of each tank uniform in concentration. To start, let each of the tanks be full of a solution of concentration C 0 lb/gal. Run water into the first tank at 50 gpm, and let the overflows function as described above. Calculate the time required to reduce the concentration in the first tank to C 0 /10. Calculate the concentration in the other two tanks at this time.. Two similar vertical cylindrical tanks 6 ft in diameter and 10 ft high are placed side by side with their bottoms at the same level. They are connected at the bottom by a tube ft long and 0,4 in ID. Tank A is full of oil, and tank B is empty. Tank A has an outlet at the bottom, consisting of a short tube 1 ft long and 0,4 in. in diameter. Both this outlet tube and the connecting tube between the tanks are horizontal. Both tubes are opened simultaneously. What is the maximum oil level reached in tank B? Matematika Teknik Kimia II 9

5. Persamaan eksak atau penyelesaian eksak Dari bentuk umum persamaan diferensial biasa orde 1, = f(x, y), PDB dapat diselesaikan dengan penyelesaian eksak jika bentuk dapat diubah menjadi: M + N = 0 Selain itu harus memenuhi persayaratan berikut: dm = dn Untuk menyelesaikan mengikuti langkah-langkah berikut. a. Misalkan penyelesaiannya adalah φ = f x, y, berdasarkan teori diferensiasi, maka: b. Ambil persamaan analog: = + = + = M x, y + N x, y maka akan diperoleh hubungan = M, = N c. Jika penyelesaian dimulai dari M, maka integrasikan M terhadap x: = M = φ = f(x, y) d. Diferensiasikan hasil yang diperoleh pada point c terhadap y untuk mendapatkan f (y) e. Analogikan f (y) dengan N untuk mendapatkan konstanta f. Jawaban akan berupa φ = f x, y + f(y) Contoh 1. x 3 ysinx + (cos x + y) = 0 Penyelesaian: Maka Uji M (x 3 ysinx) + (cos x + y) = 0 (x 3 ysinx) = M dan (cos x + y) = N Matematika Teknik Kimia II 10

dm = d (x3 ysinx) = 0 sinx = sin x Uji N dn = d (cos x + y) = sin x + 0 = sin x dm = dn = sin x eksak Asumsikan penyelesaiannya adalah: φ = f x, y Cara 1. Mulai dari M. Integrasikan M terhadap x = M = (x3 ysinx) = φ = 1 4 x4 + ycos x + f(y) Hasilnya, yakni: φ = 1 4 x4 + ycos x + f(y) didiferensiasikan terhadap y, sehingga didapatkan = 0 + cos x + f (y) Analogikan dengan N, untuk mendapatkan konstanta: Maka jawaban lengkapnya adalah: = 0 + cos x + f y = cos x + y f y = y f y = y = y + C φ = 1 4 x4 + ycos x + f(y) Cara. Mulai dari N Integrasikan N terhadap y φ = 1 4 x4 + ycos x + y + C = N = (cos x + y) = φ = cos x. y + y + f(x) Hasilnya, yakni: φ = cos x. y + y + f(x)didiferensiasikan terhadap x, sehingga didapatkan = y. sin x + f (x) Analogikan dengan M, untuk mendapatkan konstanta: Matematika Teknik Kimia II 11

Maka jawaban lengkapnya adalah: = y. sin x + f (x) = x3 ysinx f x = x 3 f x = x 3 = 1 4 x4 + C φ = y cos x + y + f(x) φ = y cos x + y + 1 4 x4 + C Contoh. 6y x + y 3 + 6x y + 6y x + y = 0 Penyelesaian. Uji M Uji N M = 6y x + y 3 dan N = 6x y + 6y x + y dm = d 6y x + y 3 = 1xy + 6y dn = d 6x y + 6y x + y = 1xy + 6y dm = dn = 1xy + 6y eksak Cara 1. Mulai dari M. Integrasikan M terhadap x = M = (6y x + y 3 ) = φ = 3x y + y 3 x + f(y) Hasilnya, yakni: φ = 3x y + y 3 x + f(y) didiferensiasikan terhadap y, sehingga didapatkan = 6x y + 6y x + f (y) Analogikan dengan N, untuk mendapatkan konstanta: = 6x y + 6y x + f (y) = 6x y + 6y x + y f y = y f y = y = y + C Matematika Teknik Kimia II 1

Maka jawaban lengkapnya adalah: Cara. Mulai dari N Integrasikan N terhadap y φ = 3x y + y 3 x + f(y) φ = 3x y + y 3 x + y + C = N = (6x y + 6y x + y) = φ = 3x y + y 3 x + y + f(x) Hasilnya, yakni: φ = 3x y + y 3 x + y + f(x) didiferensiasikan terhadap x, sehingga didapatkan = 6xy + y 3 + f (x) Analogikan dengan M, untuk mendapatkan konstanta: Maka jawaban lengkapnya adalah: = 6xy + y 3 + f (x) = 6y x + y 3 f x = 0 f x = 0 = 0 + C φ = 3x y + y 3 x + y + f(x) φ = 3x y + y 3 x + y + C Latihan. 1.. Persamaan Bernouli Kelompok ini memiliki bentuk umum + Py = Qyn Dengan P dan Q, adalah fungsi x (atau konstanta) Langkah penyelesaiannya adalah: Bagi kedua ruas dengan y n. Langkah ini akan memberikan y n + Py1 n = Q Matematika Teknik Kimia II 13

Kemudian misalkan z = y 1 n, sehingga dengan mendiferensiasikan dz akan mendapatkan: dz = (1 n)y n n Jika kita kalikan y + Py1 n = Q dengan (1-n) maka kita akan mendapatkan: n (1 n)y + 1 n Py1 n = (1 n)q Dengan mengingat bahwa z = y 1 n dan dz diatas dapat kita tuliskan sebagai: dz + P 1z = Q 1 = (1 n)y n kita maka persamaan Dengan P 1 dan Q 1 adalah fungsi x. Selanjutnya kita dapat menyelesaian persamaan tersebut diatas dengan faktor integrasi. Contoh 1. + 1 y = xy x Penyelesaian: + 1 y = xy x y + 1 x y 1 = x Dalam hal ini z = y 1 n = y 1 = y 1 sehingga dz = ( 1)y Kalikan persamaan tersebut dengan (1-n) yakni (-1) agar suku pertamanya menjadi dz : Sehingga diperoleh: y + 1 x y 1 = x y 1 x y 1 = x dz 1 z = x x Bentuk ini kemudian diselesaikan dengan faktor integrasi: dimana P= 1 x dan Q=-x Matematika Teknik Kimia II 14

FI= e P = e 1 x = e lnx = e ln 1 x = 1 x z. FI = Q. FI z. 1 x = x. 1 x Karena z = y 1 maka z = = x + C x z = x + Cx y 1 = x + Cx y = ( x + Cx) 1 Contoh. y 3 = y4 e 3x Penyelesaian y 3 = y4 e 3x 3 y = y4 e 3x 3 4 y 3 y 3 = e3x 3 Misalkan z = y 1 n = y 1 4 = y 3 sehingga dz = ( 3)y 4 Dengan mengalikan kedua ruasnya dengan (1-n) yakni -3 maka persamaannya menjadi: Persamaan tersebut sama dengan: 4 3y + y 3 = e 3x dz + z = e3x Bentuk ini kemudian diselesaikan dengan faktor integrasi: dimana P= dan Q=e 3x FI= e P = e = e x z. FI = Q. FI z. e x = e 3x. e x = e 5x = e5x 5 + C Matematika Teknik Kimia II 15

Karena z = y 3 maka z. e x = e5x 5 + C y 3. e x = e5x 5 + C y 3 = e5x + 5C 5. e x y 3 = 5. ex e 5x + 5C Latihan 1. y x. 3. + y = xy3 + y = y4 e x = x(x + 1)y3 4. + y = y3 (x 1) Matematika Teknik Kimia II 16