Penusun : Afifatuz Zahro, S.Pd. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. Pendahuluan Modul ini menajikan standart kompetensi Memecahkan Masalah Yang Berkaitan Dengan Persamaan Dan Pertidaksamaan Linier Dan Kuadrat. Didalamna dibahas tentang menentukan himpunan penelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier, menentukan himpunan penelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, dan menelesaikan sistem persamaan linier. I. Persamaan dan pertidaksamaan linier. a. Persamaan linier dengan satu variabel. Persamaan linier dengan satu variabel didefinisikan sebagai suatu persamaan ang peubah (variabel) dari persamaan tersebut pangkat tertinggina adalah satu. Bentuk umum persamaan linier dengan satu variabel dinatakan dengan : a + b ; a,b R ; a Dengan : a koefisien dari variabel b konstanta Nilai ang memenuhi persamaan linier tersebut disebut penelesaian dari persamaan linier. Beberapa sifat ang perlu diperhatikan dalam menelesaikan persamaan linier satu variabel, aitu :. Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan negatif atau bilangan positif ang sama.. Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif atau bilangan positif ang sama. Contoh : Tentukan nilai dari : a. 8 b. + - Jawab : a. 8 b. + 8
Latihan Soal Tentukan nilai variabel tiap persamaan berikut :.. 7 b b + 9. +. t ( t ) ( t ) +.. ( m ) ( m + ) 7. + + 8. ( p + ) ( p ) 9. q + q r. ( r + ) b. Pertidaksamaan linier dengan satu variabel Pertidaksamaan linier adalah kalimat terbuka ang variabelna berderajat satu dengan menggunakan tanda hubung ", <,,, > ". Bentuk umum dari pertidaksamaan linier satu variabel dinatakan dengan : a + b < atau a + b atau a + b > atau a + b Himpunan penelesaian pertidaksamaan biasana dinatakan dengan himpunan atau dituliskan dalam bentuk interval atau selang pada garis bilangan. Beberapa bentuk atau jenis interval disajikan sebagai berikut : Pertidaksamaan Grafik a b a < < a < b b a < b a < b < a atau b a b a b a b a b a b a b Beberapa sifat ang perlu diperhatikan dalam menelesaikan pertidaksamaan :. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan positif atau bilangan negatif ang sama.. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif ang sama.. Tanda pertidaksamaan berubah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif ang sama.
Contoh. www.matematika-pas.blogspot.com Tentukan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan dibawah ini ( R) a. < 8 c. b. 9 + < : a. < 8 < 8 8 < 8 < Jadi HP { <, R} b. 9 + 9 Jadi HP {, R} c. + < + < ( ) ( ) + 8 < 8 < < 8 8 < < Jadi HP <, R Latihan soal. Tentukan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan berikut ini ( R) :. 7 > + +.. + 8 7 +. 7. > dengan + 7. < 8. + dengan +. + 9. Sebuah pabrik ang memproduksi pensil membutuhkan biaa Rp..,- untuk memproduksi tiap unit pensil. Biaa operasionalna Rp..,-. Jika pensil akan dijual Rp..,- per unit, tentukan banakna pensil ang harus diproduksi agar memperoleh untung paling sedikit Rp.8.,-.. Berat astronot dan pesawatna ketika mendarat di bulan tidak boleh melebihi kg. Jika berat pesawat di bumi 9 kg dan berat benda di bulan seperenam dari berat benda di bumu. Tentukan berat maksimum astronot di bumi.
II. Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat. a. Persamaan Kuadrat. Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka ang menatakan hubungan sama dengan () dengan pangkat tertinggi dari peubahna (variabelna) adalah dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah : a + b + c ; dengan a, b, c R ; a. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Sama seperti pada persamaan linier, nilai-nilai ang memenuhi persamaan kuadrat disebut penelesaian dari persamaan kuadrat tersebut dan dikenal juga dengan istilah akar-akar persamaan kuadrat. Ada tiga cara ang dapat difgunakan untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, aitu dengan faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna dan rumus kuadrat (rumus abc). Faktorisasi (memfaktorkan). Untuk menelesaikan persamaan a + b + c dengan faktorisasi terlebih dahulu cari dua bilangan (misalna dan ) ang memenuhi sarat sebagai berikut :. a. c dan + b. Prinsip dasar ang digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan faktorisasi adalah sifat perkalian, aitu : jika ab maka a atau b. Contoh. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan cara faktorisasi : a. + 8 c. 9 b. a. + 8, dengan a, b, dan c 8 Untuk a berlaku : Cari dua bilangan ang hasil kalina.( 8) 8 + 8 dan jumlahna. Bilangan ang dimaksud adalah 7 dan 7, sehingga : 8 + 8 ( )( + 7) ( + 7) ( ) ( ) atau ( + 7) + 7 V atau 7 7 b., dengan a, b -, dan c - Cari dua bilangan ang hasil kalina.( ) Untuk a berlaku : dan jumlahna. Bilangan ang dimaksud adalah - dan, sehingga : ( ) ( )( + ) + ( ) + ( ) atau + ( ) ( + ) atau V + atau
c. 9 ( + )( ) ( + ) atau ( ) atau www.matematika-pas.blogspot.com Melengkapkan kuadrat sempurna. Persamaan kuadrat a + b + c dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna dengan cara sebagai berikut :. Pastikan bahwa koefisien adalah, jika belum bernilai bagilah dengan suatu bilangan sehingga koefisienna menjadi.. Tambahkah ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari, kemudian kuadratkan.. Buatlah ruas kiri menjadi kuadrat sempurna, sedangkan ruas kanan sederhanakan. Contoh. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna : a. + b. 9 a. + b. 9 + + +. +. +.( ).( ) + + + + ( + ) + ± 9 + atau + atau 9 ± atau 8 + atau + atau Rumus kuadrat (rumus abc). Jika dan adalah akar-akar dari persamaan kuadrat a + b + c, maka : b ± b ac, a Rumus diatas disebut rumus abc. Contoh. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan cara faktorisasi : a. + 8 b.
a. + 8, dengan a,b, c 8 b ± b ac, a ±... ± 9 + ( 8) ± + atau atau 7 b.,dengan a,b,c b ±, ± ( ) ± ( ).. ( ) + ± + 8 atau atau b ac a. 8. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat. Jika diperhatikan cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat, maka jenis akar-akar tersebut akan bergantung pada nilai diskriminan (D), aitu D b ac. Beberapa jenis akar berdasarkan nilai diskriminan adalah : a. Jika D >, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real ang berbeda. b. Jika D, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real ang sama (dua akar kembar). c. Jika D <, maka persamaan kuadrat memiliki akar-akar ang tidak real (imajiner). d. Jika D, maka persamaan kuadrat memiliki akar-akar real e. Jika D k, k,,, maka persamaan kuadrat memiliki akar-akar rasional. Contoh. Tanpa menentukan nilai akar-akarna terlebih dahulu, selidiki jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut : a. + + b. c. Tentukan harga k agar persamaan kuadrat + + k memiliki dua akar kembar. a. + + D b ac D.. D D 9 < Jadi persamaan kuadrat + + memiliki akar-akar imajiner.
b. D b ac D D + ( ).. ( ) www.matematika-pas.blogspot.com 7 D > Jadi persamaan kuadrat memiliki dua akar real ang berbeda. c. + + k, dengan a, b, dan c k Sarat dua akar kembar D, sehingga : D b ac 8k + 8k 8k k.. ( k ). Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Jika suatu persamaan kuadrat a + b + c memiliki akar-akar persamaan kuadrat dan maka berlaku : b + b ac b b ac atau a a Jika kedua akar-akar tersebut dijumlahkan atau dikalikan maka diperoleh rumus jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat sebagai berikut : b a. Jumlah akar + a c b. Hasil kali akar a Contoh.. Jika dan adalah akar akar dari persamaan kuadrat +, tentukanlah : a. + b. c. + Dari persamaan + diperoleh a, b -, dan c b a. + a c b. a c. ( ) + +
8. Hitunglah nilai k agar persamaan + ( k ) + k + ang saling berlawanan. Dari persamaan kuadrat + ( k ) + k + mempunai akar-akar diperoleh : a, b k, dan c k +. Karena akar-akarna berlawanan maka, sehingga : b + a k + k k + k. Menusun persamaan kuadrat. Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat a + b + c, maka dapat disusun suatu persamaan kuadrat dengan rumus : ( )( ) atau ( + ) + ( ) Contoh.. Tentukan persamaan kuadrat ang akar-akarna - dan. dan, maka : ( )( ) ( ( ) )( ) ( + )( ). Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat + 8, maka tentukan persamaan kuadrat baru ang akar-akarna dua kali akar-akar semula. Dari persamaan kuadrat + 8 diperoleh 8 α + β dan α β 8 Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β, sehingga : + α + β α β ( α + β ) α β ( ) ( 8)
Jadi persamaan kuadratna adalah : ( + ) ( ) ( ) + + www.matematika-pas.blogspot.com 9 Latihan soal.. Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan faktorisasi. a. 7 + d. + b. + 7 + e. c.. Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna. a. + b. + c. 8. Gunakan rumus abc untuk menelesaikan persamaan kuadrat berikut. a. 7 b. c. +. Selidikilah jenis-jenis akar dari persamaan kuadrat berikut. a. + b. + c. ( ). Jika dan adalah akar-akar dari persamaan kuadrat + +, tentukan : a. + e. + b. f. + c. +. Tentukan persamaan kuadrat ang akar-akarna - dan. 7. Jika m dan n adalah akar-akar dari persamaan kuadrat +, maka tentukan persamaan kuadrat baru ang akar-akarna (m ) dan (n ). 8. Salah satu akar persamaan kuadrat + 7 + c adalah. Tentukan nilai c dan akar ang lainna. 9. Diketahui memenuhi persamaan ( k ) + ( k ) k. Tentukan nilai k dan akar-akar persamaan tersebut.. Tentukan nilai p agar persamaan p p + memilik akar kembar.
b. Pertidaksamaan Kuadrat Bentuk umum : a + b + c < atau a + b + c atau a + b + c > atau a + b + c Pertidaksamaan adalah suatu pertidaksamaan ang mempunai variabel dengan pangkat tertinggina dua. Himpunan penelesaian dari pewrtidaksamaan kuadrat dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau garis bilangan. Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah :. Natakan pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk persamaan kuadrat.. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut.. Buatlah garis bilangan ang memuat akar-akar tersebut, kemudian tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval.. Himpunan penelesaian diperoleh dari interval ang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Contoh. Tentukan himpunan penelesaian dari pertidaksaman berikut ini : a. + < b. + a. + < b. + + + ( + 7)( ) ( )( ) + 7 atau atau 7 + + + + + + + + + + + + -7 Jadi HP { 7 < < } atau Jadi HP { } Latihan soal Tentukan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan berikut :. + 9 >.. + 7. + <. > +. Sebuah industri rumah tangga memproduksi suatu jenis barang dan menjualna seharga Rp.7.,- per unit. Biaa pembuatan unit barang tersebut diperoleh menurut persamaan B +.. Berapa unit barang harus diproduksi dan kemudian dijual agar mendapatkan laba paling banak Rp...,-? 7. Tentukan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan ( ) ( )! 8. Gambarkan interval grafik penelesaian dari pertidaksamaan + 9!
III. Sistem Persamaan Linier dengan Dua Variabel. Bentuk umum : + + q d c p b a ; a, b, c, d, p, q R Himpunan penelesaian sistem persamaan linier dapat dicari dengan cara substitusi, eliminasi atau gabungan (eliminasi dan substitusi). Contoh. Tentukan himpunan penelesaian dari sistem persamaan dengan menggunakan cara substitusi, eliminasi, dan gabungan! a. Cara substitusi Misalkan ang akan disubstitusi adalah variabel pada persamaan. Dari persamaan tersebut diperoleh +, ang kemudian disubstitusi ke persamaan berikutna, diperoleh : ( ) + + Sehingga - + - Jadi HP ( ) { }, b. Cara eliminasi. Untuk mencari variabel berarti variabel dieliminasi. Untuk mencari variabel berarti variabel dieliminasi. Jadi HP ( ) { }, c. Cara gabungan (eliminasi dan substitusi) Misalna mengeliminasi variabel.
Substitusikan nilai tersebut ke persamaan (-) + -, Jadi HP {( )} Jadi HP {(, ) } www.matematika-pas.blogspot.com Latihan soal. Tentukan himpunan penelesaian dari sistem persamaan linier berikut. + a. d. + a + b b. e. a b + 7 c. +. Tentukan himpunan penelesaian dari sistem persamaan berikut : a. c. + + + b. d. +. Selisih dua bilangan positif adalah dan jumlah kuadratna adalah. Tentukan bilangan-bilangan tersebut.. Empat tahun ang lalu umur aah delapan kali umur anakna. Enam tahun ang akan datang jumlah umur aah dan anakna adalah tahun. Tentukan umur aah dan anakna sekarang.. Jumlah siswa suatu kelas adalah anak. Jika banak murid laki-laki adalah 7 orang lebihna daripada dua kali banakna murid wanita, tentukan banakna murid wanita dan laki-laki! ooo
A. Pilihan Ganda. www.matematika-pas.blogspot.com Latihan Akhir Kompetensi. Himpunan penelesaian dari < ( ) < 9 adalah... a. { < < } d. { < < } b. { < < } e. { < < } c. { < < } +. Nilai ang memenuhi persamaan adalah... 9 a. -9 d. b. - e. 7 c. -9. Penelesaian dari persamaan ( ) + ( + ) ( ) adalah... a. - d. - b. - e. - c. -. Himpunan penelesaian dari pertidaksamaan ( ) < ( ) adalah... a. { > } d. > b. { < } e. > c. <. Persamaan kuadrat ang akar-akarna dan adalah... a. 7 + d. + b. + e. c. +. Jika + < + maka nilai ang memenuhi adalah... a. < d. > b. < e. > c. < 7. Penelesaian dari t ( + t) adalah... a. t d. t < b. t > e. t c. t
8. Agar persamaan + ( k + ) + ( + ) mempunai akar kembar, maka nilai k adalah... a. ± 8 d. ± b. ± e. ± c. ± 9. Jika persamaan a + mempunai akar-akar α dan β dengan α β maka nilai dari α + β adalah... a. -8 d. b. - e. 8 c. -. Nilai ang memenuhi pertidaksamaan 8 + > adalah... a. < atau > d. > atau < b. > atau > e. > atau > c. < atau >. Nilai ang memenuhi pertidaksamaan < 9 adalah... a. > d. < atau > b. > e. < atau > c. < < + 8. Himpunan penelesaian dari adalah... + 7 a. {-,-} d. {,} b. {-,} e. {,} c. {,-}. Jika diskriminan m adalah, maka nilai m adalah... a. - d., b. -, e. c.. Salah satu akar persamaan kuadrat + p + p + adalah, maka nilai p adalah... a. - d. b. - e. c.. Persamaan kuadrat ang akar-akarna dan - adalah... a. d. b. + e. + c. + +. Bentuk perkallian dari 8 + 8 adalah... a. ( + )( ) d. ( )( ) b. ( )( ) e. ( )( + ) c. ( + )( + ) 7. Sepuluh tahun ang lalu umur Hani dua kali umur Fani. Lima tahun darisekarang umur Hani mmenjadi satu setengah kali umur Fani. Umur Hani sekarang adalah
a. tahun d. tahun b. tahun e. tahun c. tahun 8. Jika dan adalah akar-akar dari persamaan kuadrat +, maka nilai dari + adalah... a. -8 d. b. - e. 8 c. 9. Sepotong kawat sepanjang cm akan dibentuk menjadi persegi. Agar luasna lebih besar daripada kelilingna, maka nilai ang memenuhi adalah... a. > d. < b. > 8 e. > c. < 8 +. Nilai dari persamaan adalah... 7 a. -9 d. b. - e. 9 c. -. Nilai dari sistem persamaan adalah... + 7 7 a. - d. b. - e. c. -. Akar-akar persamaan kuadrat + adalah p dan q. Persamaan kuadrat baru ang akar-akarna q p dan p q adalah... a. + + d. + b. + e. + c. +. Jika dan adalah merupakan penelesaian dari maka nilai +... 7 a. - d. b. - e. 7 c.. Persamaan ( m + ) + + m mempunai akar-akar real. Maka batas-batas nilai m adalah... a. m atau m d. m b. m e. m c. m atau m. Jika dan adalah akar-akar dari persamaan kuadrat dengan hasil penjumlahanna adalah - dan hasil perkalianna adalah -. Maka persamaaan kuadrat tersebut adalah... a. + d. + b. e. + c.
B. Soal Essa.. Tentukan penelesaian dari persamaan ( + 7) ( + )! 7. Tentukan persamaan kuadrat baru ang akar-akarna merupakan lawan dari akarakar persamaan kuadrat +! 8. Tentukan himpunan penelesaian dari pertidaksaman 7 8! 9. Tentukan persamaan kuadrat baru ang akar-akarna dan!. Sebuah kotak terbuka akan dibuat dari bahan seluas cm. Jika tinggi kotak adalah cm dan sisi alas kotak berbentuk persegi, tentukan panjang sisi alasna!. Persamaan kuadrat p + 8 mempunai dua akar real berbeda. Tentukan nilai p ang memenuhi persamaan tersebut!. Gambarkan grafik himpunan penelesaian!. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 8!. Keliling sebuah persegipanjang adalah cm. Jika lebarna cm lebih pendek daripada panjangna, tentukan luas persegipanjang tersebut!. Perbandingan uang Andra dan Dani adalah :. Perbandingan uang Andra dan Iman adalah :. Jika jumlah uang Andra dan Dani adalah Rp..,- kurangna dari uang Iman. Tentukan jumlah uang masing-masing!
7 Permintaan Terakhir Einstein Tahun 9, Albert Einstein, fisikawan terkemuka di dunia, harus dirawat di rumah sakit karena pendarahan akibat pembuluh nadina pecah. Sejak Einstein mempublikasikan teori relativitasna, dia berhasil mendapat anugerah Nobel dan ikut berperan dalam pembuatan bom atom. Fisikawan ini telah terkenal diseluruh dunia semasa dia hidup hingga sekarang. Semasa perawatan dirumah sakit, Einstein menadari tidak memiliki banak waktu untuk tinggal didunia ini. Jadi dia meminta dua hal pada kerabat dan teman-temanna. Yakni pertama, jangan menjadikan tempat tinggalna menjadi sebuah museum peringatan untuk memuliakan dirina. Kedua, meminta untuk memberikan tempat kerjana kepada orang lain ang membutuhkanna. Meskipun Einstein telah menjadi ilmuwan ang sukses dan memiliki reputasi di masarakat internasional, permohonanna akan dua hal ini, lenap begitu saja saat dia meninggal dunia. Hingga menit-menit terakhir sebelum kepergianna, dia tak bosan-bosan mengulang perkataanna untuk tidak mengadakan upacara pemakaman bagi dirina maupun mendirikan sebuah monumen peringatan apapun. Pemakaman Einstein berlangsung dengan amat sederhana. Berdasarkan permintaan terakhirna, tubuhna dikremasi dan abu jenasahna disimpan disebuah tempat ang tidak diumumkan ke publik.