KNM alemang ORTOGONALTAS D RUANG NORM- Sumanang Muhtar Goali UNERSTAS ENDDKAN NDONESA. endahuluan Salah satu konsep penting di ruang vektor adalah ortogonalitas antara dua vektor. Sisi penting dari ortogonalitas ini dapat dilihat dari kaitanna dengan konsep proeksi ortonormalitas serta aproksimasi di ruang vektor. Dalam suatu ruang hasil kali dalam ( <> ortogonalitas dua vektor dan didefinisikan melalui huungan 0. Seagai implikasi dari sifat-sifat hasil kali dalam maka dengan mudah dapat diperiksa ahwa ortogonalitas di ruang hasil kali dalam memenuhi sifat-sifat utama erikut ini:. Nondegenerasi: 0. Simetris: 3. Homogenitas: α β α β R 4. Aditifitas: 5. Resolvailitas: Untuk ( 0 di a a R.C. James memandang ahwa sifat terakhir ini merupakan ang terpenting ang menjadikan ortogonalitas tidak hampa. Dengan kata lain sifat terakhir ini merupakan perumuman dari fakta ahwa untuk setiap vektor di idang senantiasa ada vektor lain ang orthogonal terhadap vektor terseut.(lihat [3] Dalam suatu ruang norm (. dikenal eerapa rumusan ortogonalitas antara dua vektor diantarana ang cukup terkenal adalah: a. Ortogonalitas- (htagorean:
KNM alemang. Ortogonalitas- (sosceles: c. Ortogonalitas- (Birkhoff-James: α α R Dapat diperiksa ahwa dalam suatu ruang hasil kali dalam ( <> serta dengan mengacu pada norm / ketiga definisi ortogonalitas di atas ekuivalen dengan 0. mplikasi selanjutna adalah ahwa ketiga konsep ortogonalitas di atas juga memenuhi kelima sifat utama ang diseutkan di atas. Adapun dalam ruang norm ang umum ketiga definisi di atas secara umum tidaklah ekuivalen (lihat [] [3]. Di samping itu di antara sekian sifat ortogonalitas di ruang hasil kali dalam hana eerapa sifat saja ang dapat dipenuhi oleh masing-masing rumusan ortogonalitas di atas. Huungan ekuivalensi antara eragai definisi ortogonalitas di ruang norm serta sifat utama masing-masing dapat dilihat di [] dan [].. Ortogonalitas di ruang norm- ada agian ini akan diperkenalkan konsep ruang norm- serta eerapa rumusan ortogonalitas di dalamna. Definisi. Misalkan suatu ruang vektor erdimensi atau leih. Suatu fungsi.. : R diseut norm- jika memenuhi semua sifat erikut: (N 0 untuk semua dan 0 jika dan hana jika dan ergantung linear. (N (N3 (N4 untuk semua α α untuk semua α R untuk semua Selanjutna kita meneut (.. seagai ruang norm-.
KNM alemang 3 Jika suatu ruang hasil kali dalam dengan dimensi paling kecil kita dapat mendefinisikan norm- seagai erikut: / ni ang dikenal seagai norm- aku dan terhadap norm- ini kita meneut (.. seagai ruang norm- aku. Untuk selanjutna pada makalah ini diasumsikan 3 kecuali jika dinatakan lain. Seagaimana halna di ruang norm di ruang norm- juga dikenal eragai rumusan ortogonalitas antara dua vektor. Seagai entuk analogi dari ortogonalitas- - dan Khan dan Siddiqui merumuskan ortogonalitas di ruang norm- seagai erikut: R α α Kemudian H. Gunawan dll (lihat [5] mendiskusikan kekurangan mendasar dari semua definisi ini dan memperaikina dengan rumusan erikut ini: Definisi dengan co suruang H ( dengan co suruang H ( R dengan co suruang H α α 3 ( Sementara itu rumusan agak ereda dierikan oleh Maaheri (lihat [4] ang memperkenalkan konsep ortogonalitas- aitu: R dan α α 0 Nanti kita akan melihat konsekuensi dari semua definisi ini.
KNM alemang 3. Ekuivalensi dan eerapa sifat utama Fakta 3. Misalkan ( <> suatu ruang hasil kali dalam dengan 3 dan dilengkapi dengan norm- aku. Maka erlaku Bukti:. Leih lanjut dapat ditunjukkan ahwa ketiga definisi ang adalah ekuivalen dengan 0. Adapun di ruang norm- ang umum ketiga definisi ang dierikan H. Gunawan tidaklah ekuivalen seagaimana ditunjukkan contoh erikut ini. Contoh 4:???????? Jika kita perhatikan definisi ang dikemukakan Maahaeri jelas tidak ekuivalen dengan ang ditawarkan H. Gunawan ahkan di ruang norm- sekalipun. Hal ini dapat dilihat dari contoh erikut ini. Contoh 5: 3.. Sifat-sifat utama Terkait dengan sifat-sifat ortogonalitas di ruang norm- eerapa fakta erikut. Fakta 6. Di ruang norm- aku semua definisi ang dikemukakan H. Gunawan memenuhi sifatsifat ortogonalitas di ruang hasil kali dalam. 4
KNM alemang Fakta 7. Di ruang norm- umum erlaku:. Ketiga definisi ang dierikan H. Gunawan memenuhi sifat nondegenerasi. Ortogonalitas- dan memenuhi sifat simetris Adapun tiga sifat lainna aitu homogenitas aditifitas dan resolvailitas cukup sulit diperiksa namun dugaan sementara secara umum tidak dipenuhi. Hal ini erdasarkan pengamatan ahwa di ruang norm umum juga tidak erlaku. 4. Kesimpulan Rumusan ang eragam dapat dikemukakan untuk definisi ortogonalitas di ruang norm-. Namun demikian pengkajian terhadap sifat-sifat serta konsekuensi penting dari masing-masing definisi terseut dapat memperjelas esensi masing-masing rumusan. Leih lanjut kita perlu memeriksa ekuivalensi semua rumusan ang ada. Karena ortogonalitas di ruang norm- itu seagai entuk generalisasi konsep ortogonalitas di ruang norm dan ruang hasil kali dalam maka sejatina rumusan ang ada itu cocok dengan ortogonalitas iasa. 5
KNM alemang Referensi. J. ALONSO C. BENTEZ Orthogonalit in Normed Linear Spaces: A Surve. art : Main roperties. Etracta Mathematicae 3 n. -5 (988. J. ALONSO C. BENTEZ Orthogonalit in Normed Linear Spaces: A Surve. art : Relations Between Main Orthogonalities. Etracta Mathematicae 4 n.3-3 (989 3. R.C. JAMES Orthogonalit in Normed Linear Spaces. (945 4. H. MAZAHER S. GOLESTAN NEZHAD. Some Results on -Orthogonalit in -Normed Linear Spaces. nt. Journal of Math. Analsis ol. 007 no 4 68-687 5 H. GUNAWAN MASHAD SR GEMAWAT NURSUAMN DHA SHWANNGRUM. Orthogonalit in -Normed Spaces Revisited. Univ. Beograd ul. Elektrotehn. Fak Ser. Mat. 7 (006-6