TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL

Jural UJMC, Volume 3, Nomor, Hal. - 6 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Guawa Uiversitas Muhammadiyah Purwokerto, gu.oge@gmail.com Abstract This paper aims at describig the atures of Hypoormal operator to secure the existece of Weyl s theorem. The discussio o Weyl s theorem requires defiitios of compact, Fredhlom, ad Weyl s operator. I additio, samples ad atures of compact ad Fredhlom operator i Hilbert space will also be observed. Keywords: compact operator, Fredhlom operator, Hypoormal operator, Weyl s theorem Abstrak Pada artikel ii aka dibahas megeai sifat operator hypoormal utuk mejami keberadaaa teorema Weyl. Pembahasa megeai teorema Weyl memerluka defiisi operator kompak, operator Fredhlom, da Operator Weyl. Selai itu, aka dibahas cotoh da sifat- sifat operator kompak da operator Fredhlom pada ruag Hilbert. Kata kuci: operator kompak, operator Fredhlom, operator hypoormal, da teorema Weyl Pedahulua Diberika ruag Hilbert H atas lapaga, himpua semua operator liear terbatas B H, da T B( H ). Ruag ull T da rage T masig- masig dari H ke H ditulis dituliska N( T) da R( T ). Operator T dikataka Fredholm jika RT ( ) tertutup, NT ( ), RT ( ) masig- masig berdimesi higga. Ideks operator Freedholm T didefiisika i( T) dim( N( T)) dim( R( T) ). Operator T dikataka Weyl jika ideks (T) = 0 da T operator Fredhlom. Operator T dikataka memeuhi teorema Weyl jika ( T) \ ( T) ( T) dega T T I 00, T T ( ) : tidak ada ( T ) iso (T):0 ( T ) ( ) : ( ) tidak Weyl, da. 00 Selajutya, operator T dikataka hypoormal jika T T TT dega dega T adjoit operator T. Pembahasa megeai sifat operator hypoormal utuk teorema Weyl pada tulisa ii, lebih ditekaka pada meetuka da membuktika teoremateorema yag berkaita dega topik. Pembahasa megeai teorema Weyl memerluka defiisi operator kompak, operator Fredhlom, da operator Weyl. Rumusa masalah yag dibuat adalah bagaimaa sifat teorema Weyl utuk operator hypoormal. Dalam peelitia ii haya dibatasi pada ruag Hilbert. Tujua peelitia ii adalah utuk memberika pemahama da pegetahua megeai sifat teorema Weyl utuk operator hypoormal. Pembahasa megeai operator teorema Weyl da

Uisda Joural of Mathematics ad Computer Sciece Jurusa Matematika, UNISDA, Lamoga operator hypoormal pada ruag Hilbert bermafaat membatu megembagka ilmu matematika da aplikasiya, khususya aalisis fugsioal. Pembahasa megeai teorema Weyl utuk operator hypoormal pada ruag Hilbert diawali dega pedefiisia operator Weyl. Dalam pedefiisia operator Fredhlom, operator Weyl, da teorema Weyl diacu dari [], [4], da [6]. Utuk pedefiisia tetag operator hypoormal da operator kompak pada ruag Hilbert diacu dari [] da [5]. Selajutya, dalam pembahasa megeai sifat-sifat teorema Weyl utuk operator hypoormal pada ruag Hilbert diacu dari [3]. Hasil da Pembahasa Pada bab ii dibahas tetag defiisi operator kompak, operator Fredhlom, operator Weyl, teorema Weyl, da operator hypoormal pada ruag Hilbert serta cotoh da teorema yag berkaita dega topik peelitia. Terlebih dahulu aka disampaika megeai defiisi operator kompak pada ruag Hilbert.. Operator Kompak Pada Ruag Hilbert Defiisi. Diberika H ruag Hilbert da W H. Himpua W dikataka kompak jika utuk setiap barisa x W, terdapat barisa bagia yag koverge di W. [] Defiisi. Diberika H ruag Hilbert da T B( H ). T disebut operator kompak jika utuk setiap himpua M H terbatas, berlaku TM ( ) kompak. TM ( ) meyataka himpua semua titik klosur T(M). [] Cotoh. Didefiisika operator T : dega utuk setiap x, x j T( x) y, x xj da y, j,,3,.... Selajutmya, utuk setiap didefiisika j x x3 x operator T : dega utuk setiap x, T ( x) x,,,...,,0,0,... 3. [5] Aka ditujukka T terbatas da koverge. Jelas, T terbatas karea T ( ),. x x Lebih lajut, utuk setiap x : T T ( x) x x j j j j j ( ) x sup T T ( x) : x sup : x ( ) T T. Meurut sifat Archimedes, utuk setiap bilaga 0 berakibat: T T. Jadi, T T,. Dega demikia, barisa ( T ) koverge. Hal ii meujukka T ( ) kompak. Dega demikia, T merupaka operator kompak. x

Uisda Joural of Mathematics ad Computer Sciece Jurusa Matematika, UNISDA, Lamoga. Operator Fredhlom, Operator Weyl, da Teorema Weyl Defiisi 3. Diberika H ruag Hilbert da T B( H ). Operator T dikataka Fredholm jika R(T) tertutup, dim( N( T)), da dim( R( T) ).[6] Cotoh. Didefiisika operator T : dega utuk setiap T( x) T x, x, x,... 0, x, x, x,..., x x, x, x,.... Aka ditujukka: 3 3 3 x,. R(T) tertutup. dim N(T)< 3. dim( RT ( ) ) Peyelesaia:. Jelas bahwa R( T) R( T). Diambil sebarag y R( T) berarti utuk setiap bilaga r 0 berlaku B( y, r) R( T ). Berarti terdapat p B( y, r) da p R( T ). Hal ii berarti p = y. Dega demikia, y R( T ). Jadi, R(T) tertutup NT ( ) 0. Jadi, dim N(T) = <. Diperoleh 3. Diperoleh RT ( ) 0. Jadi, dim N(T) = < Berdasarka,, da 3, T merupaka operator Fredhlom. [6] Selajutya, aka dibahas beberapa teorema operator kompak da operator Fredhlom. Teorema. Jika T B( H ) Fredhlom, maka Im (T) tertutup. [4] Bukti: Dibetuk Tˆ T. Artiya ˆ T T : N( T) H. Karea T terbatas maka T ˆ NT ( ) terbatas. Karea T Fredhlom, maka dimisalka dim( R( T) ). Dibetuk operator liier S: H. Selajutya, didefiisika : ( ( ) T ) N T H dega ˆ T ( x y) T( x) S( y), ( x, y) N( T). Diperoleh T Nbijektif da kotiu. Meurut teorema graph tertutup, terbatas da kotiu. Dega demikia, Im T T ( N( T) 0) tertutup. T Teorema. Jika T bijektif da K B( H) kompak, maka T + K operator Fredhlom. [4] Selajutya, aka disampaika megeai defiisi operator kompak da teorema Weyl. Defiisi 4. Diberika H ruag Hilbert da T B( H ). Operator T dikataka Weyl jika ideks (T) = 0 da T operator Fredhlom. [4] Defiisi 5. Diberika H ruag Hilbert da T B( H ). Operator T dikataka memeuhi teorema Weyl jika ( T) \ ( T) ( T) dega T T I oo ( ) : tidak ada, T, da ( ) iso (T) : 0 ( T ) ( T) : ( ) tidak Weyl oo T. [] 3

Uisda Joural of Mathematics ad Computer Sciece Jurusa Matematika, UNISDA, Lamoga.3 Operator Hypoormal Berikut ii aka disampaika defiisi operator hypoormal beserta cotohya pada ruag Hlbert. Defiisi 6. Diberika H ruag Hilbert da T B( H ). Operator T dikataka hypoormal jika T T TT dega dega T adjoit operator T.[] Cotoh 3. Didefiisika operator T : R R degat ( x) x x,x x utuk setiap x R. [] Diperhatika bahwa: x T( x) x x,x x x. Jadi diperoleht. Dega demikia, diperoleh pula T. 5 0 ) TT 0 5. 5 0 ) TT 0 5. Diperoleh T T TT. Artiya, T T TT. Dega demikia, T merupaka operator hypoormal..4 Sifat Teorema Weyl utuk Operator Hypoormal Teorema 3. Diberika T B( H ). Jika T hypoormal maka ( T) ada pada ( T) kecuali di ilai eige terasig pada ( T). [3] Bukti : Karea T hyopoormal maka T operator Fredholm. Karea ideks (T) = dim N(T) dim N(T )= 0 da T operator Fredhlom, maka meurut Defiisi 4, T merupaka operator Weyl. Karea T operator Fredhlom, maka meurut Defiisi 3, R(T) tertutup, dim( N( T)),dim( R( T) ). Perhatika bahwa. Karea T hypoormal maka utuk setiap x H T ( x) T ( x) Diambil sebarag x N( T) berarti T (x) = 0. Karea T hypoormal maka T( x) T ( x). Jadi, T ( x) 0. Artiya, x N( T ). Selajutya, aka ditujuka N( T ) R( T). Diambil sebarag x N T ( ) berarti x, y x, T ( x) x, T ( x) x,0 0. T ( x) 0. Utuk sebarag y R( T ), Dega demikia, x R( T). Diambil sebarag x R( T), x, y 0, y R( T). Diperoleh, x 0 atau y 0. Utuk y 0, terdapat x H, sehigga T( x) y 0. Diperoleh, T (x) = 0. Karea T hypoormal maka Dega demikia, x N T ( ). Jadi, T x T x ( ) ( ) N( T) N( T ) R( T). Jadi, T ( x) 0.. Selajutya, aka ditujukka N( T) R( T). Diambil sebarag x N( T ) berarti T (x) = 0. Utuk 4

Uisda Joural of Mathematics ad Computer Sciece Jurusa Matematika, UNISDA, Lamoga sebarag y R( T ), x, y x, T( x) x,0 0. Dega demikia, x R( T). Selajutya, Diambil sebarag x R( T), x, y 0, y R( T). Diperoleh, x 0 atau y 0. Utuk y = 0, terdapat x H, sehigga T( x) y 0. Diperoleh, T (x) = 0. Dega demikia, x N( T). Jadi, terbukti bahwa N( T) R( T). Diambil 0, T I T 0I T. Jadi, 0 merupaka ilai eige terasig yag meyebabkab T Weyl. Dega demikia, dapat disimpulka bahwa ( T) ada, kecuali di ilai eige terasig pada ( T). 3 Kesimpula Berdasarka pembahasa di atas, kesimpula yag dapat diambil adalah utuk sebarag operator hypoormal pada ruag Hilbert memberika sifatya utuk keberadaa teorema Weyl. Hubuga atara operator kompak, operator hypoormal, operator Fredhlom, operator Weyl, da teorema Weyl dapat dituliska sebagai berikut: Operator Kompak da Hypoormal Operator Fredhlom Operator Weyl Teorema Weyl Dalam tulisaii, peulis haya membahas megeai sifat-sifat teorema Weyl utuk operator hypoormal pada ruag Hilbert. Utuk peelitia selajutya, diharapka dapat meyelidiki sifat- sifat teorema Weyl pada operator lai misalya pada operator hypoormal-p, utuk p >0 pada ruag Hilbert. Daftar Pustaka [] Berberia, S.K.96. Itroductio to Hilbert Spaces. Oxford Uiversity Press. New York. [] Berberia, S.K. 970. The Weyl Spectrum of a Operators. Idia Uiv. Math J. 0: 59-544. [3] Cobur, L.A.966. Weyl s Theorem for Noormal Operators. Michiga Math. J. 3: 85-88 [4] Fratze, C. 0. Fredholm Operators. [5] Kreyszig, E.978. Itroductory Fuctioal Aalysis with Applicatios.Joh Wiley ad Sos. New York. [6] Siamo, C. 009. A oe Lecture Itroductio to Fredhlom Operators. 5

Uisda Joural of Mathematics ad Computer Sciece Jurusa Matematika, UNISDA, Lamoga 6