PENDAHULUAN Pada bagian ini akan dibahas perluasan integral tertentu ke bentuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah Akan dibahas bentukbentuk integral lipat dalam koordinat kartesius koordinat kutub maupun dalam koordinat ang lebih umum Penerapan integral lipat diantarana untuk menghitung volume pusat massa dan momen inersia Setelah mempelajari bab ini saudara akan dapat: Menghitung integral lipat dua dalam koordinat kartesius Menghitung integral lipat dua dalam koordinat kutub Menghitung integral lipat dua dalam koordinat ang lebih umum melalui penggantian peubah INTEGAL LIPAT ATAS DAEAH SEGIEMPAT Pada pembahasan turunan parsial ketika menurunkan fungsi f( terhadap maka dianggap konstanta dan sebalikna Hal demikian juga berlaku untk integral Misal diketahui fungsi dua variabel f ( Fungsi ini akan kita cari hasil integrasina terhadap variabel dan aitu: ( dd Pada integral diatas dalam mencari penelesaianna pertama diintegralkan terlebih dahulu terhadap kemudian diintegralkan lagi terhadap Ketika kita mengintegral kan terhadap variabel maka kita menganggap variabel lain sebagai konstanta Begitu juga sebalikna bila kita integralkan terlebih dahulu terhadap variabel maka variabel ang lain dianggap sebagi konstanta Dengan demikian untuk persoalan diatas misalkan kita integralkan terlebih dahulu terhadap maka 6
( dd { ( d}d { d d}d { } d d d ( Berikutna akan dibahas integral lipat atas daerah segiempat Misalkan z f ( terdefinisi pada suatu daerah persegi panjang tertutup aitu : [ab] [cd] {( : a b c d} di bidang XY Tujuan kita adalah menentukan volume benda ang dibatasi oleh z f di atas daerah di bidang XY ( Volume ini nantina akan dinatakan sebagai integral lipat dua f da Untuk ( 6
memperolehna serupa dengan ketika kita mencari luas daerah ang dibatasi oleh f( di atas sumbu X Bentuk partisi [ab] menjadi m bagian dan [cd] menjadi n bagian Pilih ( ij ij pada setiap sub interval pada [ i i ] dan [ i i ] f A Volume ( ij ij Bentuk jumlah iemann 65
m n i j ( ij ij f da Jika mn ( P diperoleh integral lipat dua f pada sebagai limit jumlah iemann aitu m n ( ( ij ij f da lim f A m n i j Jika limit ada maka z f( terintegralkan iemann pada Integrasi dari fungsi dengan dua peubah dinatakan dengan Grafik fungsi dengan dua peubah berupa luasan permukaan dalam dimensi tiga dan integrasina pada suatu daerah adalah volume antara grafik dengan daerah tersebut Sifat integral: ( ( ( ( f g da f da g da Jika c konstanta ( ( c f da c f da 66
Jika f ( g ( untuk setiap ( f ( da g ( da di dalam maka Jika f ( maka nilai dari volume sama dengan luas daerah Jika f ( kontinu pada suatu daerah segiempat maka b d a c {( : a b c d} d b c a f ( dd f ( dd b a d c d c b a Contoh :Selesaikan integral f ( dd f ( dd ( dd Penelesaian Menggunakan denfinisi diperoleh: ( dd [ ] {[ ( ( ] [ ( ( ]} 6 d [ ] d ( ( d 67
Gaudio Fubini ( 879 9 menunjukkan bahwa integral ganda dari suatu fungsi kontinu dapat ditentukan dengan integral berulang Selanjutna teknik ini dikenal dengan Teorema Fubini Teorema Fubini pada daerah segiempat Jika f kontinu pada daerah segi empat {( : a b c d} d c a b maka d b b d ( da f ( dd f f ( dd c a a c Contoh : Selesaikan Penelesiaan: ( da dengan [] [] ( da ( dd d ( d d 68
Atau ( da ( dd d d d ( [ ] Terlihat dengan urutan intergral berbeda diperoleh hasil ang sama b d Pada kasus f ( g ( h( maka ( ( ( ( dengan [ a b] [ c d ] a c g h da g d h d π π Contoh : Jika tentukan sin cos da Penelesaian: Teorema Fubini untuk daerah sembarang Ada dua tipe seperti pada dua gambar berikut: 69
Tpe II Tpe I h( h( g ( d g ( c a b b f ( da f ( dd f ( da a d c f ( dd Contoh : Cari dd Penelesaian: dd [ 5 ] d (5 5 5 [ 5 ] d 5 Contoh 5 : Hitung ( da dimana {( } 7
7 Penelesaian ( d d ( (( ( dd ( da ( 5 Contoh 6 : Tentukan da f ( jika: { } and ( ( ( titik sudut dengan titik segitiga ; ( (iii sin dan oleh daerah ang dibatasi ; ( (ii : ( ; ( (i f f f π Penelesaian (i Daerah adalah sebagai berikut
7 Maka diperoleh [ ] 5 6 5 (6 ]} [( ] {[( ( ( 5 d d d dd da (ii Daerah adalah sebagai berikut: Diperoleh sin cos ( sin sin sin π π π π π π d d d dd da sin π
(iii Daerah adalah Maka da (9 dd d 5 d 5 d Catatan`: Aturan integrasi: Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi Dalam perhitunganna kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasina Oleh karena itu langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi selanjutna kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi ang sama 7
Contoh 7 : Hitung dan sumbu Penelesaian: ( e da daerah ang dibatasi oleh ( e da e ( e e ( e dd d d d e e Atau dibalik urutan integralna: ( e da ( e d d e d e e d e e e ( e e e ( e 7
LATIHAN : Untuk soal no 5 hitung f ( da jika: f ( 8 ; {( : } f ( ; daerah segiempat ang dibatasi oleh ( ( ( dan ( f ( ; {( : } f ( ( ; {( : } 5 f ( ; daerah segitiga ang dibatasi oleh ( ( and ( Untuk soal no 6 9 sketsakan daerah integrasi kemudian tulis kembali integral dengan menukar urutan integrasi 6 f ( dd 7 f ( dd e 8 f ( dd 9 f ( dd Untuk soal no hitung integral lipat : e d d da dengan [ ] [ ] ( sin d d 75
PENGGANTIAN VAIABEL DALAM INTEGAL LIPAT Dari transformasi T ang diberikan oleh g(u v dan h(u v didefinisikan jacobian : Misalkan T adalah Transformasi C satu ke satu ang Jacobianna tidak nol dan ang memetakan daerah S di bidang uv pada daerah di bidang Andaikan bahwa f kontinu pada dan bahwa serta S adalah daerahdaerah bidang jenis I atau II maka: Dalam hal ini kita mengubah dari integral dalam dan ke integral dalam u dan v dengan cara mengekspresikan dan dalam suku u dan v dan menuliskan : Sebagai ilustrasi perhatikan koordinat polar Di sini transformasi T dari bidang r ke bidang diberikan oleh: g(r r cos h(r r sin Dan geometri transformasi T memetakan persegi panjang biasa dalam bidang r ke persegi panjang polar di bidang Jacobian T adalah: Jadi diperoleh:! " # 76
' % $ $ ( & Contoh 8 : Gunakan penggantian variabel u v uv untuk menghitung integral dengan adalah daerah ang dibatasi oleh sumbu dan parabolaparabola dan Penelesaian: Pertama kita perlu menghitung Jacobain Karena itu : * * " # * * * $ $ * / 89 89 / 5 6 7 $ * : 5 ; 89 89 * Contoh 9: Hitung integral < >?@A? dengan adalah daerah trapesium dengan titik sudut ((( dan ( 77
Penelesaian: Jacobian T adalah B B * * B * B * B * # * B Jadi daerah S adalah daerah trapesium dengan titik sudut ( ( ( dan ( Sehingga: C DE FB G G * G G H >? < A? < 8 I J J I $ $ < 8@I K B * L B * $ <8@I 7 89I AI 89AI < < A 5 < <A 78
Contoh : Hitung dengan adalah daerah trapesium ang dibatasi oleh titik titik ## M# N O O P Q! NO O P dengan transformasi * Q! * Penelesaian : Untuk untuk * * * * S # # # # Untuk M untuk M * * M * * M M S M O 5 O T # G G M # G G M S * U E E U S S B* $ $* * FB*F O T O 5 79
E E O T O 5 $ $ / O T O $ * J5 # O T $ VM * B*M X VM O * W T # LATIHAN : Hitung YZ[\ jika adalah daerah ang dibatasi oleh?> * M * B * Hitung jika adalah daerah ang dibatasi oleh : # # B Gambarkan daerah integrasi berikut kemudian selesaikan menggunakan transformasi koordinat ang sesuai dd dd 8