HOME STANDAR KOMPETENSI PETA KONSEP MATERI CONTOH SOAL LATIHAN SOAL PROFIL
STANDAR KOMPETENSI Menentukan persamaan lingkaran Menentukan persamaan garis singgung lingkaran
Peta konsep lingkaran persamaan lingkaran persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya Diketahui Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui
Lingkaran tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak yang sama itu disebut jari-jari dan titik tetap itu disebut pusat lingkaran Sumber: www.psb-sma.org
PERSAMAAN LINGKARAN Persamaan Lingkaran yang berpusat di o(0,0) dan berjari-jari r Y P(x,y) r y O x P X Persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r adalah Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
Persamaan lingkaran yang berpusat di A(a, b)dan berjari-jari di r Y P (x,y) r y-b Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah A (a,b) x - a P g X Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya Diketahui Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA.DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
Posisi suatu titik terhadap lingkaran a. Posisi kedudukan titik P(a,b) terhadap lingkaran L dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Titik P(a,b) terletak di dalam lingkaran L a 2 + b 2 < r 2 Y r O P(a,b) X Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
2. Titik P(a,b) terletak pada lingkaran L a 2 + b 2 = r 2 P(a,b) Y r O X Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
3. Titik P(a,b) terletak di luar lingkaran L a 2 + b 2 > r 2 Y P(a,b) r O X Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
b. Posisi suatu kedudukan titik P(h,k) terhadap lingkaran L sebagai berikut: 1. Titik P(a,b) terletak di dalam lingkaran L (xa) 2 + (k-b) 2 < r 2 Y A(a,b) P(h,k) r O X 2. Titik P(a,b) terletak pada lingkaran L (xa) 2 + (k-b) 2 = r 2 Y P(h,k) A(a,b) r O X Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
3. Titik P(a,b) terletak di luar lingkaran L (xa) 2 + (k-b) 2 > r 2 Y P(h,k) A(a,b) r O X Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
Posisi garis y=mx + n terhadap suatu lingkaran Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA.DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
(a,b) k y= mx + n k (a,b) y= mx + n Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA.DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
(a,b) k y= mx + n Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA.DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran Misalkan titik P(x 1,y 1 ) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2. Gradien garis OP adalah m OP =. Jika P merupakan titik singgung, dan l merupakan garis singgungnya, maka gradien garis singgung lingkaran tersebut adalah karena m OP. m l = -1. Dengan demikian, garis yang melalui titik P dan bergradien adalah y y 1 = m l (x x 1 ) y y 1 = (x x 1 ) y 1 (y y 1 ) = -x 1 (x x 1 ) y 1 y y 1 2 = -x 1 x + x 1 2 x 1 x + y 1 y = x 12 + y 1 2 x 1 x + y 1 y = r 2 Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA.DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x 1,y 1 ) pada Lingkaran (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 - Gradien garis AP adalah m AP = - Garis singgung l tegak lurus garis AP, sehingga gradien f=garis singgung g adalah m l = - = - - Persamaan garis singgung g adalah: Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA.DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
Untuk P(x 1, y 1 ) terletak pada lingkaran (x a) 2 + (y b) 2 = r 2, maka: Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA.DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
Berikut gambar lingkarannya A(a,b) Q (x 1 - a) P(x 1, y 1 ) (y 1 - b) Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA.DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q(x 1,y 1 ) pada Lingkaran Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA.DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m Sebuah garis yang mempunyai gradien m dan melalui titik (0,c) dinyatakan dengan rumus y = mx + c. Jika garis tersebut menyinggung lingkaran x 2 + y 2 = r 2, maka nilai c dapat diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut. Substitusikan y = mx + c x 2 + y 2 = r 2 x 2 + (mx-c) 2 = r 2 x 2 +m 2 x 2 + 2mcx + c 2 = r 2 x 2 +m 2 x 2 + 2mcx + c 2 - r 2 = 0 (1+m 2 )x 2 + 2mcx + c 2 - r 2 = 0 Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
Persamaan kuadrat dalam x akan mempunyai satu akar real jika diskriminannya sama dengan nol (D=0) a = (1+m 2 ) ; b = 2mc ; c = c 2 - r 2 D = b 2 4ac = 0 (2mc) 2 4 (1+m 2 )( c 2 - r 2 ) = 0 4m 2 c 2 4 (c 2 + m 2 c 2 r 2 m 2 r 2 ) = 0 4m 2 c 2 4c 2 +4 m 2 c 2 + 4 r 2 + 4m 2 r 2 = 0 4c 2 + 4 r 2 + 4m 2 r 2 = 0 c 2 + r 2 + m 2 r 2 = 0 c 2 = r 2 + m 2 r 2 c= ±r m 2 +1 Substitusikan c= ±r m 2 +1 ke persamaan garis y=mx+c, sehingga diperoleh y=mx ±r m 2 +1 Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran Untuk menentukan garis singgung lingkaran melalui titik (x 1, y 1 ) di luar lingkaran, tidak terdapat rumus yang baku. Untuk menentukannya dapat digunakan rumus garis polar: L x 2 + y 2 = r 2 titik P(x 1, y 1 ) di luar L Garis-garis singgung di: A(x A, y A ) x A x + y A y = r 2... (1) B(x B, y B ) x B x + y B y = r 2... (2) Sehingga persamaan garis; (1): AP x A x 1 + y A y 1 = r 2... (3) (2): BP x B x 1 + y B y 1 = r 2... (4) (x A - x B )x 1 + (y A - y B )y 1 = 0 = =... (5) Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
Gradien garis AB adalah m AB = y A y B / x A - x B... (6) Dari (5) dan (6): m AB = - x 1 /y 1 Persamaan garis AB (garis polar) adalah y y A = m AB (x - x A ) y - y A = - x 1 /y 1 (x - x A ) y 1 y - y 1 y A = - x 1 x + x 1 x A x 1 x + y 1 y = x 1 x A + y 1 y A... (7) Dari (3) dan (7): x 1 x + y 1 y = r 2 Adalah persamaan garis polar lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dan titik (x 1, y 1 ) di luar lingkaran. Persamaan garis polar dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
Perhatikan gambar dibawah ini: Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
Contoh 1 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik P(-3, 1) Jawab: Lingkaran berpusat di O(0, 0), maka jari-jari r adalah r = = sehingga r 2 = = 10 Persamaan lingkarannya: x 2 + y 2 = r 2 Maka x 2 + y 2 = 10 Jadi persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 = 10 Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
Contoh 2 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2,3) dengan jari-jari 6 Jawab: Pusat (2,3) a=2, b=3 ; r = 6 (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 (x 2) 2 + (y 3) 2 = 6 2 x 2-4x + 4 + y 2-6y + 9 = 36 x 2 +y 2 4x 6y + 4 + 9 36 = 0 x 2 +y 2 4x 6y 23 = 0 Jadi persamaan lingkarannya adalah x 2 +y 2 4x 6y 23 = 0 Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran L x 2 +y 2 8x 2y + 13 = 0 Jawab: Contoh 3 L x 2 +y 2 8x 2y + 13 = 0 A = -8, B = -2, C = 13 Pusat = Jari-jari r = = = = = 2 Jadi pusat lingkarannya dan jari-jarinya adalah (-4, -1) dan 2 Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L x 2 +y 2 = 12, yang melalui titik (2,4) Jawab: Contoh 4 Titik (2,4) x 1 = 2 dan y 1 = 4, terletak pada L x 2 +y 2 = 12 Persamaan garis singgungnya: x 1 x + y 1 y = r 2 (2)x + (4)y = 12 2x + 4y = 12 Jadi persamaan garis singgung lingkaran L x 2 +y 2 = 12 yang melalui titik (2,4) adalah 2x + 4y = 12 Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
Contoh 5 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L (x-2) 2 +(y+1) 2 = 12 yang melalui titik (3,5) Jawab: Titik (3,5) x 1 = 3 dan y 1 = 5, terletak pada L (x-2) 2 +(y+1) 2 = 12 Persamaan garis singgungnya: (x 1 a)(x a) + (y 1 b)(y b) = r 2 (3-2)(x-2) + (5+1)(y+1) = 12 1(x-2) + 6(y+1) = 12 x 2 + 6y + 6 = 12 x + 6y + 4 12 = 0 x + 6y 8 = 0 Jafi persamaan garis singgungnya adalah x + 6y 8 = 0 Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
LATIHAN SOAL 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui masingmasing titik nya sebagai berikut : a. A(2,3) b. G(-3,1) c. I(4,4) d. S(7,7) e. R(6,9) 2. Tentukan persamaan tiap lingkaran berikut ini: a. Pusat P(3,4), melalui titik O(2,3) b. Pusat Z(-4,2), melalui titik I(0,2) 3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran pada masing-masing lingkaran dibawah ini: a. x 2 + y 2 6x + 2y 24 = 0 b. x 2 + y 2 + 12x - y + 17 = 0 c. x 2 + y 2-10x + 4y 31= 0 4. Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L berikut ini: a. P(2, 3) dan L x² + y² = 8 b. P(-1, 6) dan L x² + y² = 40 c. P( 3, -1) dan L x² + y² = 4 Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L x² + y² + 4x + 8y 21 = 0 melalui titik singgung A(2, 1) 6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L x ² + y ² = 9, jika mempunyai gradien 2 7. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L (x + 2)² + (y 1)² = 4 yang tegak lurus garis l -3x + 4y 1 = 0 8. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L (x 1)² + (y 4)² = 25 di titik singgung B(-3, 1) 9. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L x² + y² + 4x + 8y 21 = 0 melalui titik singgung A(2, 1) 10.Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (4, 3) dan berjari-jari 6 11.Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(5, -1), melalui titik P(-1, 7) 12.Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik A(3, 4) dan berjari-jari 3 Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
PROFIL APRIAN NURDIN Kelas : 2i NPM : 112070086 TTL : Kuningan, 16 Juni 1992 Sebagai pemateri pertama IFA SHOLIHAH Kelas : 2i NPM : 112070005 TTL : 16 April 1993 Sebagai pemateri kedua
PROFIL NURLAELA Kelas : 2i NPM : 112070187 TTL : Cirebon, 13 Maret 1995 Sebagai pemateri Ke 3 GINA PUTRI LESTARI Kelas : 2j NPM : 112070027 TTL : Cirebon, 24 April 1994 Sebagai pemateri Ke 4