PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA MA 208 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyar 0 Februari 20
Pemetaan (Fungsi) Suatu pemetaan / fungsi Kategori fungsi:. Fungsi titik 2. Fungsi himpunan 2 A A B B
Peubah Acak Peubah acak, yaitu pemetaan X : S R 3
Contoh Percobaan pelemparan sebuah hdadud 4 S = {,,..., } X = {, 2,, 6 }
Keuntungan Peubah Acak 5 Merepresentasikan masalah ke dalam titik real. Dapat dipetakan. Lebih mudah dalam penulisan
Peubah Acak Diskrit Jenis Peubah Acak 6 himpunan terhitung x, x2,..., berhingga s : X ( s) xi E S atau tak berhingga, dan Peubah Acak Kontinu peubah acak yang fungsi distribusinya (F(x)) merupakan fungsikontinu untuk semua x є R
Contoh Peubah Acak X 7 Tipe Banyak mata kuliah yang diambil semester ganjil oleh mahasiswa FTTM tahun ke-2 X = 0, jika tidak mengambil satupun =, jikamengambil mata kuliah = 2, jika mengambil 2 mata kuliah dst Diskrit Nilai IP yang diperoleh mahasiswa FTTM tahun ke-2 di semester ganjil X = (0, ], jika 0 IP X = (, 2], jika < IP 2 X = (2, 3], jika 2 < IP 3 X = (3, 4], jika 3 < IP 4 Kontinu
Fungsi peluang P(X = x) dan f(x) 8 Diskrit P(X = x), Sering juga disebut sebagai fungsi massa peluang (f.m.p). Kontinu f(x), Sering juga disebut sebagai fungsi kepadatan peluang (f.k.p).
X : S R Diskrit 9 Kontinu. P(X=x) 0. f(x), xr 2. x x P X 3. P(a< X b)= 4. P(Xb) - P(Xa) f t F x P X x tx 2. f xdx 3. P(a<Xb) = b a f x dx 4. F x P X x f t dt x Contoh: X: banyaknya mahasiswa yang DO setiap tahun X: banyaknya lebah yang ada per pohon di suatu area Contoh: X: waktu menunggu di sebuah teller Bank X: tinggi gedung kuliah yang ada di ITB
Contoh Grafik Fungsi Peluang P(X=x) Diskrit 0 f(x) ) Kontinu 0,5 04 0,4 0,3 0,2 0 0, 0 2 3 4 Jumlah peluang untuk semua titik = 0., x 03 0.3, x 2 PX x0.4, x 3 0.4, x 4 0, x lainnya x Luas di bawah grafik = x, 0 x f( x) 2 x, x2 0, x lainnya x
Fungsi Distribusi Fungsi distribusi F dari peubah acak X Sifat-sifat t. F fungsi yang monoton tidak turun, 2. 3. lim F( x) x lim F ( x ) 0 x 4. F kontinu dari kanan. lim F( x) F( a) xa
Contoh 2 Dipelajari keadaan perasaan (mood) dari sepasang mahasiswa laki-laki dan perempuan. Jika perasaan tersebut diamati berdasarkan paras masing-masing mahasiswa dan dimisalkan i hanya ada dua kategori, sebut baik dan tidak. Maka pasangan mahasiswa tersebut akan memberikan ruang sampel S sebagai berikut: S = {,,, }, Dimana = baik, = tidak. Selanjutnya jika dimisalkan T : banyaknya mahasiswa yang moodnya baik, tentukan: a. Fungsi massa peluang dari peubah acak T b. Fungsi distribusi dari peubah acak T dan juga gambarkan
Ilustrasi Contoh 3 P (T = t) T 2 0 ¼ ½ Ruang Sampel
Jawab a. Misal peubah acak T = banyaknya mahasiswa yang moodnya sedang baik, maka: T = {0,, 2} dan fungsi masa peluang P(T=t) adalah: 4 /2, t PT ( t) / 4, t0, 2 0, t yang lain
b. Untuk menentukan F(t) perlu dihitung F(t) untuk semua nilai riil. 5 Ambil t < 0 sebarang, maka F(t) = P(T< t) = 0 Ambil t 0, maka F0 PT 0 PT 0 PT 0 PT 0, peluang di T0 bernilai 0 ¼ Ambil 0 t, maka Ft PT t PT 0 PT 0 P0 T t 0 ¼ 0 ¼
Ambil t =, maka F() = P(T 6) = P(T 0) + P(0<T<) + P(T=) = ¼ + 0 + ½ = ¾ Ambil t = 2, maka F(2) = P(T 2) = P(T ) + P(<T<2) + P(T = 2) = ¾ + 0 + ¼ =
Jika dituliskan sebagai fungsi keseluruhan maka fungsi distribusi ib i F(t) dapat dinyatakan sebagai 7 berikut : 0, t 0 /4, 0 t Ft () 3/4, t 2, t 2 Selanjutnya F(t) dapat digambarkan sebagai grafik di bawah ini: F(t) ¾ ½ ¼ 0 2 3 4 t
Contoh 2 8 Misalkan kesalahan dalam pengukuran volume isi botol suatu minuman soda antara - ½ ml dan ½ ml. Dianggap setiap pengisian oleh mesin tidak akan kekurangan maupun kelebihan ½ ml. Jika Y adalah peubah acak yang menyatakan kekurangan maupun kelebihan volume isi minuman soda tersebut, tentukan : a. peluang mesin melakukan kesalahan pada pengisian botol antara kekurangan 0,25 ml dan kelebihan 0,2 ml, b. peluang p kelebihan volume minuman soda tersebut lebih dari 0,2 ml, dan c. F(y) serta gambarkan.
Jawab : 9 Diketahui Y menyatakan volume kesalahan mesin mengisi botol coca cola (ml)., y f( y) 2 2 0, y yang lain a. P Y PY PY 4 5 5 4 2 4 /2 /5 0 dy dy 0 dy dy /2 2 7 0 0 0 4 28 0 8 40 40
0, 2 PY 0, 2 b. PY Fungsi distribusi : c. F y y P Y 5 20 2 5 0 dy dy 2 7 3 0 0 0 f( y) dy 0, y 2 F y y, y 2 2 2, y 2 2 y y 0 dy 2 2 dy F(y) -½ ½ y
Referensi 2 Devore, J.L. and Peck, R., Statistics The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 997. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 995. Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, g, 8th Ed., 2007. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.