EKSPERIMEN ACAK & PELUANG. MA3181 Teori Peluang Utriweni Mukhaiyar 1 September 2014

Transkripsi

1 EKSPERIMEN ACAK & PELUANG MA3181 Teori Peluang Utriweni Mukhaiyar 1 September 2014

2 2012 by UM Jenis-jenis Observasi OBSERVASI / DATA KUALITATIF KUANTITATIF Nominal Ordinal/Rank Diskrit Kontinu Tidak mengenal urutan dan operasi aritmatika Mengenal urutan dan operasi aritmatika Berhubungan dengan proses menghitung, dan pengamatan atas himpunan terhitung. Didasarkan pada suatu selang/interval sehingga meliputi semua bilangan riil Jenis asuransi ( umum dan jiwa atau kendaraan, rumah, dll ) Pengelompokan risiko dari nasabah asuransi kendaraan bermotor (kecil, menengah, besar) Banyak klaim yang diajukan seorang nasabah setiap tahun. Besar klaim yang diajukan seorang nasabah pada 2 suatu tahun

3 Eksperimen Acak Ciri-ciri eksperimen acak (Statistik): O Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri maupun orang lain. O Proporsi keberhasilan dapat diketahui dari hasil-hasil sebelumnya. O Bisa diukur (diamati). O Hasilnya tidak bisa ditebak (tidak ada pola) karena adanya galat/error (acak murni / purely random).

4 Sifat Keacakan O Konsep pada hal yang belum terjadi (a priori concept). O Tak dapat dibuktikan (a negative property). O Bukan sifat fisik" sebuah percobaan (not a physical property" of an experiment).

5 Ruang Sampel & Kejadian (Event) O Ruang sampel S, yaitu himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak (statistik). O Kejadian (event), yaitu himpunan bagian (subset) dari suatu ruang sampel S. Notasi untuk even (kejadian) umumnya huruf kapital, misal A, B, dan lain-lain. Jika kejadiannya banyak, bisa ditulis sebagai barisan, misal E 1, E 2,...dst.

6 Ruang Sampel Diskrit O Diskrit : banyaknya (number) anggota pada S tsb dapat dihitung/dicacah (countable). Hasil pencacahannya mungkin saja berhingga atau tidak berhingga. O Contoh 1 : S pada (percobaan) pemeriksaan nasabah bank AAA pemegang kartu kredit. Setiap nasabah dipilih (secara acak), diperiksa, lalu digolongkan sebagai kredit macet atau lancar.

7 Ruang Sampel Kontinu O Kontinu: anggota dari S tsb adalah bagian dari suatu interval. O Contoh 2 : S pada pengamatan besar klaim (dalam juta rupiah) setiap tahun yang diajukan oleh seorang nasabah, misalnya S = {x: 2 < x < 4}. Jika kita pilih tahun-tahun secara acak, maka mungkin ditemukan tahun-tahun dengan besar klaim 2,1 juta atau 3,5 juta atau 2,75 juta atau nilai lainnya yang berkisar antara 2 < x < 4.

8 Ruang Sampel dan Kejadian O Ruang sampel, dinotasikan S Ruang Sampel Diskrit Ruang Sampel Kontinu S = {,,..., } Event (kejadian) E = {,, } 8 8

9 Populasi dan Sampel O Pada Contoh 1: Semua nasabah yang terdaftar di bank AAA tersebut disebut populasi, sedangkan beberapa nasabah yang diambil disebut sampel. Ruang sampel pada contoh ini adalah dua kategori nasabah pemegang kartu kredit yang mungkin, yaitu {macet, tidak macet} dan termasuk jenis diskrit, karena banyaknya elemen pada S ini dapat dihitung, yaitu ada 2 buah, n(s) = 2.

10 Contoh 3 Menentukan Ruang Sampel & Kejadian O Dua lokasi eksplorasi memulai aktifitas pengeboran. Sukses atau tidaknya pengeboran untuk tiap lokasi dilihat apabila ditemukannya minyak setelah satu bulan di lokasi yang bersangkutan. Tentukan ruang sampelnya dan berilah contoh kejadian/eventnya. Jawab: Ruang sampelnya adalah S = {SS,ST,TS,TT}, dimana S = Sukses; T = Tidak sukses (nominal) Contoh kejadian, mis kejadian E 1 dimana dua aktifitas pengeboran tersebut sukses, maka E 1 ={SS}; dan E 2 dimana salah satu lokasi masih belum menemukan minyak, maka E 2 ={ST,TS}.

11 Contoh 4 O Dilakukan survey dan pencatatan tingkat curah hujan setiap hari yang terjadi di suatu daerah pegunungan. Jawab: Misalkan X : tingkat curah hujan (mm), ruang sampel S = { x 0 x 600, x R} dan E 2 adalah kejadian tingkat curah hujan lebih dari 200 mm, maka E 2 = {x 200 < x 600, x R} Perhatikan bahwa E 2 S

12 Gabungan (Union) O Union dua peristiwa E 1 dan E 2 ditulis E 1 E 2, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E 1 atau di dalam E 2 (termasuk di dalam keduanya jika ada). Contoh 5. Perhatikan Contoh 3. Misal E 1 adalah kejadian salah satu lokasi berhasil menemukan minyak, dan E 2 adalah kejadian tidak ada lokasi yang berhasil. Maka E 1 E 2 = {ST,TS,TT}.

13 Irisan O Irisan dua peristiwa E 1 dan E 2, ditulis E 1 E 2, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E 1 dan di dalam E 2. Contoh 6. Perhatikan Contoh 2. Misalkan E 1 : himpunan besar klaim lebih dari 2,65 juta, dan E 2 : himpunan besar klaim kurang dari 3,70 juta. Maka E 1 E 2 = {x 2,65 < x < 3,70}.

14 Komplemen O Komplemen suatu peristiwa E 1, ditulis E 1 c, adalah himpunan semua elemen yang tidak di dalam E 1. Contoh 7. Perhatikan Contoh 4. E 2 c = {0 x 200}, yaitu himpunan tingkat curah hujan 0 sampai dengan 200.

15 Peluang O Peluang adalah cara matematis untuk mengkarakterisir/menggambarkan ketidakpastian (to characterize uncertainty). O "Probability is not just a number, it's a structure of reasoning"

16 Peluang Suatu Kejadian O Prinsip dasar : frekuensi relatif O Jika suatu ruang sampel mempunyai n(s ) elemen, dan suatu event E mempunyai n(e) elemen, maka probabilitas E adalah: PE ( ) ne ( ) ns ( )

17 Contoh 8 Seorang pengusaha sukses merencanakan untuk berlibur keliling Indonesia 1 bulan penuh (terhitung tanggal 1 sampai tanggal terakhir bulan ybs) tahun Perusahaannya mewajibkan setiap anggotanya membuat surat izin tertulis dengan menyertakan lama waktu izin (dalam hari). Kantor tempat pengusaha tersebut bekerja 7 hari dalam 1 minggu. Berapa peluang bahwa pengusaha sukses tersebut mengajukan izin 31 hari? Jawab: n(s) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn). Misal E : kejadian bulan dengan 31 hari, maka n(e) = 7 yaitu E = {Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des} PE ( ) ne ( ) 7 ns ( ) 12 17

18 Konsep Peluang Permutasi dan Kombinasi Banyak cara untuk menghitung anggota ruang sampel atau kejadian. O Permutasi adalah cara menyusun suatu objek dengan memperhatikan urutan penyusunan. n P n( n 1)...( n ( k 1)) k n! ( n k)! O Kombinasi adalah cara menyusun suatu objek tanpa memperhatikan urutan penyusunan. C n k n n! k k!( n k)!

19 Latihan (permutasi atau kombinasi?) O Calon Badan Pengurus himpunan O Calon Presiden dan Wakil Presiden O Pasangan ganda putra Thomas cup

20 Latihan O Seorang mahasiswa menjawab 7 dari 10 pertanyaan dalam suatu ujian. Berapa banyak pilihan yang dia miliki? Berapa banyak pilihan yang dia miliki jika dia harus menjawab minimal 3 pertanyaan dari 5 pertanyaanpertama? O Ada berapa carakah yang mungkin dilakukan seorang bapak saat hendak memberikan 7 hadiah kepada 3anaknya, jika anak tertua mendapatkan 3 hadiah dan 2 anak yang lain mendapatkan masing-masing 2 hadiah?

21 Aksioma Peluang Peluang atau ukuran peluang P pada lapangan-σ (σ-field) A adalah suatu pemetaan dari A terhadap selang [0, 1] yang memenuhi tiga aksioma berikut: 1. 0 P(A) 1, untuk setiap A A 2. P(S) = 1 3. Untuk himpunan terhitung (countable), kejadian saling lepas A 1, A 2,, P A i i=1 = P(A i ) i=1

22 Peluang O P(A c ) = 1 P(A) Bukti: Kejadian-kejadian A dan A c saling lepas dan A A c = S. Jadi, 1 = P(S) = P(A A c ) = P(A) + P(A c ) atau P(A c ) = 1 P(A) O Jika A B maka P(A) P(B) O P(E F) = P(E) + P(F) P(E F)

23 Definisi Lapangan-σ Misalkan A adalah koleksi dari subhimpunan dari S. A dikatakan lapangan-σ (σfield) jika: 1. S A 2. Jika A A maka A c A 3. Jika A = i=1 A i dan jika A i A untuk i=1,2,, maka A A.

24 Contoh 9. Lapangan-σ Misalkan S = {00, 01, 10, 11}. Beberapa lapanganσ yang dapat didefinisikan atas ruang sampel tersebut adalah: O A 0 = {, S} O A 1 = {, 00, 01, 10, 11, S} O A 2 = {, 00, 11, 01, 10, 11, 00, 01, 10, 00, 11, 01, 10, S} O A 3 = {Ф, {00}, {01}, {10}, {11}, {00, 01}, {00, 10}, {00, 11}, {01, 10}, {01, 11}, {10, 11}, {01, 10, 11}, {00, 10, 11}, {00, 01, 11}, {00, 01, 10}, S}

25 Ruang Peluang O (S, A, P) disebut sebagai ruang peluang. O Misalkan ruang sampel S berupa selang tutup [- 3, 3] dan hanya ada dua kejadian yang dapat dideteksi yaitu A = [0, 3] dan A c = [-3, 0). Maka lapangan-σ yang dapat dibentuk adalah: A = {Ф, [-3, 0), [0, 3], [-3, 3]} O Ukuran peluang harus memetakan anggota A ke selang unit [0, 1]. Dalam hal ini dapat didefinisikan: P(A) = P(A c ) = 1/2

26 Latihan Diketahui S = [-3, 3] dan partisi [-3, 3] = [-3, 0) [0, 1] (1, 3] maka O Bangun lapangan-σ yang mungkin? O Ukuran peuang P yang sesuai?

27 Contoh 10 O A manufacturer has five seemingly identical computer terminals available for shipping. Unknown to her, two of the five are defective. A particular order calls for two of the terminals and is filled by randomly selecting two of the five that are available. a. List the sample space for this experiment. b. Let A denote the event that the order is filled with two nondefective terminals. List the sample points in A. c. Construct a Venn diagram for the experiment that illustrates event A. d. Assign probabilities to the simple events in such a way that the information about the experiment is used and the axioms probability are met. e. Find the probability of event A.

28 Solusi

29

30 Latihan

31 Peluang Bersyarat O Peluang bersyarat (conditional probability) dikatakan bersyarat karena eventnya sudah dibatasi. Jika event pembatas itu A dan event yang probabilitasnya ingin dihitung adalah B, maka peluang bersyaratnya adalah: P( B A) P( A B) PA ( ) 31

32 Peluang Bersyarat O 32

33 Contoh 11 Warna pasir Jenis pasir Halus Kasar Hitam 2 3 Abu-abu 2 4 Terang (putih, kuning) 1 2 P(Halus Hitam) P(Halus Hitam) = : P(Hitam)

34 Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas O Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas (independent) jika berlaku: P( EF) P( E). P( F) Dua kejadian E dan F dikatakan saling lepas jika berlaku: P( EF) 0 34

35 Contoh 12 O Sebuah kartu dipilih secara acak dari serangkai kartu bridge yang berjumlah 52 kartu. Jika E adalah kejadian terpilih kartu As dan F adalah kejadian terpilih gambar hati. Tunjukkan bahwa E dan F saling bebas. Apakah E dan F saling lepas? 35

36 Solusi: Jawab: P( EF) 1/ 52 karena hanya terdapat satu As yang bergambar hati. PE ( ) 4 / 52 karena terdapat 4 As dalam kartu bridge PF ( ) 13/ 52 karena terdapat 13 kartu bergambar hati P( E). P( F). P( EF) Jadi E dan F saling bebas, tapi tidak saling lepas. 36

37 Peluang Bersyarat Banyak kejadian B 5 B 1 A B 1 A B 5 A S A B 2 A B 3 A B 4 B 2 B 3 B 4 37

38 Peluang Bersyarat Banyak kejadian 38

39 Aturan Bayes 39

40 Contoh 13 Suatu perusahaan besar menggunakan tiga hotel sebagai tempat menginap para langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya di tempatkan di Hotel I, 50% di Hotel B, dan 30% di Hotel S. Bila 5% di Hotel I kamar mandi tidak berfungsi dengan baik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapa peluang bahwa, a. Seorang pelanggan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik. b. Seorang pelanggan mendapat kamar mandi yang tidak baik ditempatkan di Hotel S. 40

41 Solusi 41

42 Latihan 1. Perusahaan asuransi XYZ mengklasifikasikan orang menjadi 3 kelompok: risiko rendah, risiko sedang dan risiko tinggi. Perusahaan mencatat bahwa peluang orangorang berisiko rendah, sedang dan tinggi untuk mengalami kecelakaan (dalam rentang satu tahun) adalah berturut-turut 0.05, 0.15 dan Jika 20 persen dari populasi adalah orang berisiko rendah, 50 persen berisiko sedang dan 30 persen berisiko tinggi, berapa proporsi orang yang mengalami kecelakaan dalam suatu tahun tertentu? Jika seseorang tidak mengalami suatu kecelakaan, berapa peluang orang tersebut berasal dari kelompok risiko rendah? 2. Jika P(A B) = 0,3, P(B) = 0,8 dan P(A) = 0,3. Selidiki manakah pernyataan yang mungkin benar: kejadian A dan B adalah saling lepas atau kejadian A dan B adalah saling bebas. 3. Proporsi banyaknya orang di suatu komunitas yang mengidap suatu penyakit tertentu adalah 0,005. Suatu tes tersedia untuk mendiagnosis penyakit tersebut. Jika seseorang mengidap penyakit tersebut, peluang bahwa tes memberikan sinyal positif adalah 0,99. Jika seseorang tidak mengidap penyakit tersebut, peluang bahwa tes memberikan sinyal positif adalah 0,01. Jika tes memberikan sinyal positif, berapa peluang bahwa yang bersangkutan mengidap penyakit tersebut?

43 Referensi Dekking F.M., et.al., A Modern Introduction to Probability and Statistics, London : Springer, Devore, J.L. and Peck, R., Statistics The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, Hogg, et.al., Intro. to Mathematical Statistics 6 th ed., Pearson: New Jersey, Wackerly, et.al., Mathematicsl Statistics and Its Application 7 th Ed., USA: Thomson, Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc.,