Probabilitas dan Statistika Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu. Adam Hendra Brata

Transkripsi

1 Probabilitas dan Statistika Adam Hendra Brata

2 Himpunan nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak X merupakan himpunan tak terhitung yaitu tidak dapat dinyatakan sebagai {,, 3,., n } atau {,, 3,.} tetapi berupa interval atau gabungan beberapa interval misalnya {R a < < b, a,br} atau {R a b, a,br} atau {R a < b, a, br}, dan sebagainya Suatu variabel yang memiliki nilai pecahan didalam range tertentu

3 acak kontinyu mempunyai nilai-nilai pada sumbu real dalam lingkup kontinyu Sumber eksperimen untuk variabel acak bukanlah kejadian diskrit, sebab sumbu real yang kontinyu terdiri dari titik-titik yang kontinyu yang seharusnya juga memiliki hubungan dengan kejadian pemetaan haruslah single valued dari semua kejadian pada setiap titik Dalam praktiknya, peubah acak kontinyu ini digunakan untuk data yang diukur misalnya, tinggi, berat, suhu atau jarak

4 acak kontinyu dinyatakan dengan fungsi f() dan sering disebut dengan (density function) atau fungsi kepadatan probabilitas dan bukan fungsi probabilitas Nilai f() bisa lebih besar dari

5 variabel acak kontinyu tidak dapat disusun dalam tabel yang menyatakan nilai probabilitas Nilai distribusi kontinyu dinyatakan dalam bentuk fungsi matematis dan digambarkan dalam bentuk kurva f() f() (a) (b)

6 Contoh Probabilitas menemukan orang dengan tingginya tepat 65.0 cm mungkin bisa jadi nilainya 0 Tapi probabilitas menemukan orang dengan tinggi antara 60.0 cm s/d 65.0 cm tentunya ada Catatan - Probabilitas sebuah variabel random memiliki nilai dalam sebuah selang interval, e.g. P(a<X<b) - Probabilitas menemukan nilai X dalam sebuah selang diberikan oleh luas di bawah kurva f() vs

7 Misalkan X peubah acak kontinyu dan suatu fungsi f dengan nilai f() yang didefinisikan pada R merupakan fungsi kerapatan peluang atau fungsi padat peluang dari X jika dan hanya jika P(a X b ) = b a f ( ) d untuk setiap konstanta real a dan b dengan a b

8 Jika X peubah acak kontinyu dan a, b adalah dua konstanta real dengan a b

9 nilai-nilai peubah acak kontinyu X, dapat digambarkan sebagai suatu kurva kontinyu Contoh grafik fungsi kerapatan peluang yang mempunyai penerapan praktis dalam analisis data statistik bersifat kontinyu untuk semua nilai X adalah sebagai berikut f() f() f() (a) f() (b) (c) (d)

10 Luas bidang di bawah f() antara =a dan =b memberikan probabilitas menemukan nilai X antara a dan b, atau P(a<X<b) P ( a X b) f ( ) d b a

11 Ciri f() merupakan fungsi kerapatan peluang dari peubah acak kontinyu X jika nilai fungsi f() memenuhi :. f() 0. f ( ) d

12 Contoh Soal Contoh Soal Misalkan ada kesalahan dalam pencatatan temperatur di sebuah percobaan adalah sebuah variabel random X yang memiliki fungsi rapat probabilitas sebagai berikut : f ( ) 3 0 lainnya a. Periksalah apakah f() memenuhi syarat sebagai fungsi rapat probabilitas! b. Berapakah probabilitas menemukan kesalahan pencatatan antara 0 dan?

13 Contoh Soal Contoh Soal a. Syarat fungsi rapat probabilitas f() = f ( ) d 3 d 9 3 b. Probabilitas menemukan kesalahan pencatatan antara 0 dan P(0 X ) 0 f ( ) d 0 3 d

14 Analog dengan kasus diskrit, maka fungsi distribusi probabilitas kontinyu kumulatif F() dari fungsi rapat probabilitas f() didefinisikan sebagai : Dari definisi di atas tentu akan berlaku :. f() = df() / d F ( ) P( X ) f ( t) dt. P(a < X < b) = F(b) - F(a)

15 Contoh Soal Contoh Soal Misalkan ada kesalahan dalam pencatatan temperatur di sebuah percobaan adalah sebuah variabel random X yang memiliki fungsi rapat probabilitas sebagai berikut : f ( ) 3 0 lainnya a. Tentukan fungsi distribusi kumulatifnya! b. Gunakan untuk menghitung P ( 0 < < )!

16 Contoh Soal Contoh Soal a. kumulatif b. P ( 0 < < ) 9 3 ) ( 3 d d f ) ( ) ( d d f X P

17 Terimakasih dan Semoga Bermanfaat v^^