BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aka dibahas beberapa teori dasar yag diperluka pada bab bab selajutya, diataraya defiisi Persamaa Diferesial Stokastik, proses Wieer, itegral stokastik, order strog covergece da order weak covergece, ekspasi stokastik Taylor yag terdiri dari skema Euler Maruyama, skema Milstei, beserta skema Taylor dega order strog covergece,5, da pada akhir bab ii, aka dibahas megeai model pergeraka harga saham yag terdiri dari model pergeraka harga saham tapa pembayara divide, model pergeraka harga saham yag dipegaruhi pembayara divide, beserta estimasi parameter yag diperluka dalam model.. STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION / PERSAMAAN DIFERENSIAL STOKASTIK Berdasarka [5], sebuah PDS memiliki betuk sebagai berikut: dx ( t) f ( X ( t)) dt g( X ( t)) dw ( t), X(0) X0, 0 t T. () Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008 6
7 Pada betuk PDS (), f X t merupaka suku determiistik yag serig kali disebut sebagai koefisie drift sedagka g X t merupaka suku stokastik yag serig kali disebut sebagai koefisie diffusio dega X 0 = X(0) adalah ilai awal, W(t) merupaka sebuah proses Wieer yag memiliki karakteristik tertetu yag aka dibahas pada subbab berikutya. Berdasarka [4], koefisie drift memodelka kecederuga domia pada grafik solusi suatu PDS atau sebagai peetu arah dari solusi suatu PDS, koefisie diffusio merepresetasika fluktuasi dari kurva, sedagka proses Wieer merepresetasika oise / gaggua pada sistem. Berdasarka [3], PDS () bersifat owhere differetiable, yag artiya X t h X t lim h 0 ( ) ( ) h tidak ada utuk setiap t 0, T itegral sebagai berikut :, da berdasarka [5] memiliki solusi dalam betuk 0 t, 0 t T X t X f X s ds g X s dw s 0 0 t. () Solusi X t = X(t) dapat direpresetasika sebagai sample path / litasa. Betuk itegral dari suku stokastik pada (), hayalah dapat diselesaika megguaka itegral stokastik atas suatu proses Wieer. Pada subbab berikutya, aka dibahas beberapa karakteristik dari suatu proses Wieer atau yag disebut juga dega gerak Brow. Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
8. PROSES WIENER Proses Wieer atau gerak Brow, yag merupaka geraka partikel yag tidak beratura, pertama kali ditemuka pada tahu 88 oleh R. Brow []. Gerak Brow ii sagat bergua dalam memodelka pergeraka harga saham. Berdasarka [5], proses Wieer pada [0,T] adalah variabel radom W(t) yag bergatug secara kotiu pada t 0, T berikut :. W(0) = 0. Utuk 0 s t T, W ( t) W ( s) t sn(0,) da memeuhi ke-3 sifat 3. Utuk 0 s t T da 0 u v T, W ( t) W ( s) da W( v) W( u) salig bebas. Utuk kebutuha komputasi, W(t) terdefiisi secara diskrit pada tiap t. W j dapat dibagu dega megguaka sebuah geerator ilai radom. Selajutya t=t/n utuk ilai N positif. N merupaka bayakya titik diskritisasi yag diigika pada iterval [0,T]. W j melambagka W(t j ) dimaa t j ialah j. t. Kodisi mejelaska bahwa W 0 = 0, sedagka kodisi da 3 mejelaska bahwa dw j adalah variabel radom yag idepede da berdistribusi tn0,, dega W W dw, j,,... N. (3) j j j Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
9 Dega megetahui karakteristik dari suatu proses Wieer, pada subbab berikutya aka dibahas jeis-jeis itegral stokastik utuk meyelesaika suatu Persamaa Diferesial Stokastik..3 INTEGRAL STOKASTIK T 0 Jika diberika sebuah fugsi g x t, maka berdasarka [5], itegral g x t dt dapat diaproksimasi dega megguaka jumlah Riema sebagai berikut dega t j N j0 j j j g x t t t, (4) j t merupaka titik titik diskritisasi. Nilai dari T 0 g x t dt dapat didefiisika sebagai limit t 0 dari jumlah Riema pada (4) di atas. Secara aalog, itegral T 0 dw t g x t juga dapat diaproksimasi dega megguaka jumlah Riema sebagai berikut N j0 j j j g x t W t W t, (5) Pada kasus ii, fugsi g x t diitegralka atas sebuah proses Wieer. Ekspresi (4) juga dapat direpresetasika sebagai Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
0 j xt j j j N x t g t t, (6) j0 yag juga merupaka jumlah Riema utuk aproksimasi ilai itegral T 0 g x t dt. Secara aalog, itegral g x t j T 0 dw () t juga dapat diaproksimasi dega megguaka jumlah Riema sebagai berikut j xt j N x t g W t j W t j. (7) j0 Sebagai catata, jumlah Riema stokastik pada (5) da (7) aka memberika ilai yag berbeda. Berdasarka [5] perbedaa ilai tersebut tidak aka berkurag walaupu utuk ilai t yag kecil sekalipu. Hal ii merupaka salah satu ciri yag membedaka jumlah Riema utuk fugsi determiistik dega jumlah Riema utuk fugsi stokastik. Dalam perkataa lai hal ii memberika karakter yag berbeda atara itegral determiistik dega itegral stokastik. Seperti yag telah dijelaska sebelumya, bahwa terdapat (dua) buah alteratif mecari aproksimasi dari sebuah itegral stokastik, yaitu dega megguaka limit t 0dari jumlah Riema stokastik pada (5) atau dega megguaka limit t 0dari jumlah Riema stokastik pada (7). (dua) buah alteratif ii, dibedaka berdasarka bagaimaa jumlah Riema stokastik ii dibetuk. Jumlah Riema stokastik left-had seperti Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
pada ekspresi (5) diguaka dalam megaproksimasi Itegral Îto, sedagka jumlah Riema stokastik midpoit seperti pada ekspresi (7) diguaka dalam megaproksimasi Itegral Stratoovich. Pembahasa lebih lajut megeai (dua) jeis itegral ii dapat dilihat di [8]. Itegral stokastik ii diguaka dalam peetua metode umerik utuk meyelesaika PDS. Salah satu kriteria yag diperhatika pada metode umerik adalah masalah order kovergesi. Pada subbab berikut aka dibahas order kovergesi dari metode umerik..4 ORDER STRONG CONVERGENCE DAN WEAK CONVERGENCE Order kovergesi dari suatu metode umerik yag diguaka utuk meyelesaika suatu masalah PDS mejadi salah satu peetu apakah metode tersebut layak diguaka. Berikut diberika defiisi dari (dua) buah jeis order kovergesi, yaitu Strog Covergece da Weak Covergece berdasarka [3].. Defiisi Strog Covergece Suatu metode aka dikataka memiliki strog covergece order γ jika terdapat C sedemikia sehigga X t j X j C t. Dimaa Xt j adalah solusi umerik da X j adalah solusi eksplisit pada titik diskritisasi ke-j dari sebuah Persamaa Diferesial Stokastik. Berdasarka subbab., Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
solusi umerik maupu solusi eksplisit ii merupaka suatu sample path / litasa.. Defiisi Weak Covergece Suatu metode aka dikataka memiliki weak covergece order β jika terdapat C sedemikia sehigga j Xt j adalah solusi umerik da X j j p X t p X C t. Dimaa adalah solusi eksplisit pada titik diskritisasi ke-j dari sebuah Persamaa Diferesial Stokastik. Secara umum dapat dijelaska bahwa defiisi strog covergece ditujuka utuk melihat kovergesi dari sebuah litasa, sedagka defiisi weak covergece ditujuka utuk melihat kovergesi dari rata rata litasa.. Berdasarka [6] diperluka metode umerik dega tigkat kovergesi yag lebih tiggi utuk medapatka hasil aproksimasi solusi yag lebih baik. Utuk medapatka metode umerik dega tigkat kovergesi yag lebih tiggi, dibutuhka ekspasi stokastik Taylor yag aka dijelaska pada subbab berikut ii..5 EKSPANSI STOKASTIK TAYLOR Ekspasi Stokastik Taylor dari solusi sebuah PDS pada X 0 dapat dijabarka sebagai berikut [5] : Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
3 T T T t x x f ( x ) dt g( x ) dw g( x ) g '( x ) dw dw R. (8) t 0 0 0 t 0 0 s t 0 0 0 0 Dega megguaka defiisi dari Itegral Stokastik Îto pada subbab.3, betuk itegral stokastik pada (8) dapat diubah mejadi da T 0 dw W t W t W, t j j j0 T t T dw dw W dw W W t W t s t t j j 0 0 0 j0 W t W t W t W t W t j0 j j j j j W t W t W t j j j j0 dega betuk W t j W t j j0 berdasarka [5] memiliki ilai ekspektasi t, maka dapat disimpulka T t dw dw s t W t. 00 Sehigga persamaa (8) dapat diyataka secara iteratif mejadi persamaa (9) di bawah ii x x f x t g x W g x g ' x W t R. (9) Dega perkataa lai, persamaa (9) juga merupaka solusi sebuah PDS yag disebut dega solusi iteratif, dimaa t 0, T da R adalah suku sisa., Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
4 Selajutya, ekspasi stokastik Taylor ii diguaka sebagai metode umerik dalam peyelesaia suatu Persamaa Diferesial Stokastik. Pada subbab berikut ii, aka dibahas beberapa cotoh dari metode umerik yag dituruka berdasarka ekspasi stokastik Taylor utuk meyelesaika PDS dega order strog covergece 0,5,, da,5..5. Skema Euler-Maruyama Dega megguaka 3 (tiga) buah suku pertama pada ekspasi stokastik Taylor (8), yaitu T T x x f ( x ) dt g( x ) dw t 0 0 0 t, (0) 0 0 maka aka didapat skema Euler-Maruyama (955) yag memiliki order strog covergece 0,5 [5]. Skema Euler-Maruyama memiliki betuk sebagai berikut : x x f ( x ) t g( x ) W, () dega 0,,..., N, ilai awal X 0, da perubaha proses Wieer W W W. W adalah sebuah variabel radom berdistribusi Gaussia dega rataa ol da variasi. Skema Euler Maruyama merupaka represetasi dari skema Taylor dega order strog covergece 0,5. Pembahasa lebih dalam megeai skema ii dapat dilihat pada [9]. Pada Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
5 subbab berikut aka dibahas Skema Milstei yag merupaka represetasi dari skema Taylor dega strog order kovergesi..5. Skema Milstei Dega meambahka satu buah suku pada (0) dari ekspasi stokastik Taylor (8), sehigga didapat T T T t x x f ( x ) dt g( x ) dw g( x ) g '( x ) dw dw, () t 0 0 0 t 0 0 s t 0 0 0 0 maka aka didapat skema Millstei (974) yag memiliki order strog covergece [5]. Skema Millstei memiliki betuk sebagai berikut : x x f x t g x W g x g ' x W t. (3) Pembahasa lebih dalam megeai skema ii dapat dilihat pada [9]. Seperti yag telah dibahas sebelumya, diperluka metode umerik dega tigkat kovergesi yag lebih tiggi utuk medapatka hasil aproksimasi solusi yag lebih baik. Maka dari itu, pada subbab berikutya aka dibahas skema Taylor dega order strog covergece,5. Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
6.5.3 Skema Taylor dega Order Strog Covergece.5 Berikut adalah sebuah skema stokastik Taylor dega order,5 yag dapat diguaka utuk meyelesaika suatu PDS Îto [8]., 0, Gg xt I t,, t Fg xt I 0, t, t Gf xt I t, t G gxt I t, t R t, h x t x t g x t I t t f x t I t t,0,,, (4) dega F da G merupaka operator differesial yag didefiisika pada [8] sebagai berikut d d j j k x xx j x j j, k x jxk, (5), F f g g f g g G g g d j. (6) x j x j Pada skema stokastik Taylor di atas, ditetapka bahwa t = h dimaa h = Δt da ilai itegral itegral dega tipe I( j, j,..., j )( t, ) m t dapat dihitug sebagai berikut I ( t, t ) W, I ( t, t ) h, () (0) I(,) ( t, t ) W h, I ( t, t ) W h I ( t, t ), (0,) (,0) I t t W W h 6 3 (,,) (, ) 3, (7) dega W sebagai perubaha dari proses Wieer dimesi satu yag merupaka simulasi dari ilai sampel dari ilai radom yag berdistribusi Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
7 ormal atau dega kata lai jika N 0,, maka W = h. Berdasarka [8], itegral I(0,) ( t, t ) da I(,0) ( t, t ) ditetapka sebagai berikut h I(0,) ( t, t ) W W, 3 h I(,0) ( t, t ) W W, 3 (8) dimaa W = h, N 0,, da ilai radom da salig bebas. Maka, dega mesubstitusi (7) da (8) ke persamaa (4), skema ekspasi Taylor dega order,5 dapat dijabarka sebagai berikut x t x t g x t W f x t h Gg x t W Fg xt Gf xt h h Gf xt Fg xt W 3 W 3W h 6 3 G g x t R t h, W h Skema Taylor tersebut memiliki suku sisa R da suku suku yag. (9) merupaka perubaha dari (dua) buah proses Wieer, da W. W Dega megguaka defiisi dari F da G sebagai operator differesial pada (5) da (6), maka akhirya didapat pejabara dari Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
8 skema Taylor (9) sebagai berikut W h xt xt g x t W f x t h g g x t x W g f xt g g, g x t f g x t x xx x h.(0) h f g xt g f x t g g, g x t x x xx W 3 3 W 3Wh g g, g xt gx g x g x t R t, h xx 6 Dapat disimpulka dega membadigka skema Taylor 0,5,, da,5 pada persamaa (), (3) da (0), dega meaikka order strog covergece dari metode umerik, dibutuhka turua tigkat yag semaki tiggi yag meyebabka kompleksitas perhituga bertambah, hal ii sesuai dega peryataa pada []. Maka dari itu diperluka suatu alteratif metode umerik utuk meyelesaika Persamaa Diferesial Stokastik dega order kovergesi yag tiggi tapa memerluka turua tigkat tiggi. Pada lagkah selajutya, metode metode umerik ii aka diimplemetasika pada suatu model pergeraka harga saham yag dimodelka dalam betuk Persamaa Diferesial Stokastik. Pada subbab berikut ii, aka dibahas model harga saham yag dimaksud..6 MODEL PERGERAKAN HARGA SAHAM Pada subbab ii aka dibahas bagaimaa permodela dari harga saham dapat dibetuk dalam Persamaa Diferesial Stokastik [7]. Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
9 Berdasarka [6], dalam duia fiasial, terdapat (dua) buah jeis saham, diataraya adalah commo stock da preferred stock. Pada dasarya setiap pemegag saham aka medapatka suatu imbal hasil berdasarka besarya saham yag dimilikiya. Pemegag saham berjeis commo stock memiliki hak suara pada pegambila keputusa suatu rapat pemegag saham yag aka mempegaruhi perusahaa tersebut. Sedagka pemegag saham berjeis preferred stock tidak memiliki hak suara dalam pegambila keputusa, melaika pemegag saham bertipe ii aka medapatka suatu pembayara divide dega tigkat tertetu, sebelum divide perusahaa dibagika ke pemegag saham laiya. Pemegag saham terbesar aka diutamaka dalam hal pegambila suara ataupu pembagia divide. Pergeraka harga saham dipegaruhi oleh besar kecilya permitaa da peawara. Sama halya dega pergeraka harga pasar suatu komoditas, harga saham sebadig dega permitaa da berbadig terbalik dega peawara. Maka dari itu, dalam duia fiasial pemodela harga saham memiliki peraa petig yag dapat diguaka utuk memprediksi harga saham di kemudia hari. Karakteristik ilai harga saham yag berubah ubah terhadap waktu dega pola yag tidak terduga, meyebabka pergeraka harga saham biasa dimodelka sebagai proses stokastik, atara lai dalam suatu betuk Persamaa Diferesial Stokastik. Betuk umum dari Persamaa Diferesial Stokastik telah dijelaska pada subbab.. Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
0 Selajutya proses Wieer / gerak Brow pada subbab. aka diguaka dalam model pergeraka harga saham yag aka dijelaska pada subbab berikut..6. Model Pergeraka Harga Saham Tapa Pembayara Divide Seperti yag telah dijelaska sebelumya bahwa seorag ivestor yag memiliki saham pada suatu perusahaa, aka medapatka suatu imbal hasil. Misalka S adalah harga saham pada saat t dimaa merupaka ekspektasi tigkat imbal hasil saham per satua waktu, maka besar imbal hasil yag diharapka dari harga saham S adalah sebesar S. Oleh karea itu, utuk selag waktu t yag cukup kecil, ekpektasi perubaha harga saham S adalah S t. Atau dega perkataa lai model pergeraka harga saham adalah Utuk t medekati 0, persamaa () mejadi S St. () ds Sdt atau ds dt. () S Persamaa () dapat dicari solusiya dega megitegrasika atas t pada iterval [0,T], yaitu ST T S0e, (3) Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
dega S 0 adalah harga saham pada saat 0 da S T adalah harga saham pada saat T. Persamaa (3) meujukka bahwa harga saham meigkat secara kotiu. Pada keadaa yag sebearya, pergeraka harga saham juga dipegaruhi oleh suatu volatilitas yag meggambarka ketidakpastia imbal hasil yag diberika. Utuk selag waktu t yag cukup kecil, diasumsika perubaha tigkat imbal hasil adalah sama da tidak bergatug pada harga saham saat itu. Oleh karea itu, dapat diasumsika bahwa stadar deviasi perubaha harga saham pada selag waktu t sebadig dega harga saham. Maka model pergeraka harga saham pada () dega sebuah tigkat volatilitas dapat direpresetasika sebagai ds Sdt SdW atau ds dt dw, (4) S dega merupaka ekspektasi tigkat imbal hasil saham per satua waktu, merupaka tigkat volatilitas, S adalah harga saham pada saat t, da W adalah proses Wieer (defiisi pada subbab.). Megguaka lemma Îto [6], dari persamaa (4) juga aka diperoleh d l S dt dw. Lemma Îto [6] juga aka diguaka pada perhituga solusi eksplisit dari sebuah model Persamaa Diferesial Stokastik. Dega demikia perubaha Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
l(s) atara saat t = 0 da saat medatag t = T, berdistribusi ormal dega mea T da variasi T. Dega kata lai l ST l S0 N T, T, (5) da l ST N l S0 T, T, dega S T adalah harga saham pada saat medatag t = T, da S 0 adalah harga saham pada saat t=0. Sifat persamaa (5) aka diguaka pada estimasi volatilitas harga saham. Setelah didapatka model pergeraka harga saham (4) yag merupaka Persamaa Diferesial Stokastik, selajutya aka dibahas tetag pegaruh pembayara divide terhadap model pergeraka harga saham tersebut..6. Model Pergeraka Harga Saham yag Dipegaruhi Pembayara Divide Pada subbab ii aka dibahas megeai pegaruh pembayara divide terhadap model pergeraka harga saham. Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
3 Seperti yag telah dijelaska pada subbab (.6) bahwa pemegag saham aka meerima divide. Divide adalah pembayara oleh perusahaa kepada para pemegag saham. Ketika sebuah perusahaa medapatka keutuga atau surplus, uag tersebut dapat diguaka dega (dua) cara, diataraya dapat diivestasika kembali (retaied earigs) atau dapat dibagika kepada para pemegag saham (divide). Pada saat dimaa pemegag saham aka dicatumka sebagai peerima divide (waktu tersebut dikeal dega istillah recordig date), para calo ivestor biasaya aka membeli saham perusahaa tersebut dega harapa mereka aka medapatka keutuga dari pembayara divide. Kodisi ii megakibatka aikya permitaa atas saham tersebut. Namu ivestor pemegag saham tidak bayak yag melepas sahamya karea juga megigika divide, sehigga peawara sedikit da harga saham aka aik. Sesaat setelah masa recordig date berakhir, dikeal dega masa ex-divided date, harga saham aka kembali turu sebesar divide yag dibayarka. Utuk pemabahasa lebih lajut, terdapat pada []. Diasumsika bahwa pembayara divide diberika secara ruti dega tigkat divide tetap sebesar D. Karea harga saham aka turu sebesar divide yag dibayarka, maka model pergeraka harga saham pada persamaa (4) mejadi ds Sdt DSdt SdW. (6) Karea S da W adalah fugsi dari t, maka (6) dapat ditulis sebagai berikut Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
4 ds( t) ( D) S( t) dt S( t) dw ( t). (7) Pada skripsi ii, diasumsika ivestor bersifat risk eutral. Seorag ivestor sebelum melakuka ivestasi, aka memperhatika (dua) hal, diataraya tigkat imbal hasil da resiko. Dalam kodisi dimaa ivestor diasumsika risk eutral, yaitu ivestor haya melihat ivestasi sebatas ekspektasi tigkat imbal hasilya. Persamaa (7) merepresetasika proses pergeraka harga saham dega satu faktor stokastik yaitu volatilitas harga saham. Persamaa ii aka diguaka utuk mesimulasika litasa harga saham pada berbagai metode umerik yag aka dibahas pada bab III. Dimaa S adalah harga saham pada saat t, merupaka ekspektasi tigkat imbal hasil saham per satua waktu, D adalah tigkat divide (divided yield), σ adalah volatilitas harga saham, da W adalah proses Wieer. Parameter parameter pada persamaa (7) haruslah terlebih dahulu diketahui. Oleh karea itu, pada subbab berikut aka dijelaska bagaimaa megestimasi parameter yag diguaka pada persamaa (7)..6.3 Estimasi Parameter Pada subbab ii aka dijelaska bagaimaa megestimasi parameter yag dibutuhka persamaa (7), yaitu ekspektasi tigkat imbal hasil saham Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
5 per satua waktu, tigkat hasil divide (divided yield) D, da volatilitas harga saham. Tigkat imbal hasil atau retur dalam setahu, didapat dega mejumlahka daily retur selama setahu. Berdasarka [6], daily retur u i S i l, dimaa S i adalah harga saham pada akhir iterval ke-i, utuk i Si =,, 3,,. Sehigga ilai imbal hasil dalam setahu ialah. (8) u i Selajutya aka dicari parameter kedua, yaitu tigkat hasil divide. Tigkat hasil divide atau disebut juga divided yield pada harga saham suatu perusahaa adalah rasio dari pembayara divide selama satu tahu dega harga saham saat ii. Tigkat hasil divide D serig direpresetasika dalam betuk perse. Misalka sebuah perusahaa membagika divide sebayak kali yag besarya d, d,, d pada taggal yag berlaia dalam jagka waktu satu tahu da misalka pula harga saham saat ii adalah S. Maka berdasarka [6], tigkat hasil devide adalah D d d d S..., (9) Pada kasus dimaa perusahaa tidak membagika divide selama satu tahu, maka D = 0. Selajutya aka dijelaska bagaimaa megestimasi ilai volatilitas harga saham. Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
6 Seperti yag telah dijelaska pada subbab.6., bahwa volatilitas harga saham megukur ketidakpastia imbal hasil yag diberika. Oleh karea itu volatilitas dapat diukur dega stadar deviasi dari imbal hasil yag diberika selama jagka waktu tertetu [6]. Utuk megestimasi secara empiris, harga saham diamati dalam iterval waktu yag tetap, misalya setiap hari, setiap miggu atau setiap bula. Misalka + = jumlah pegamata, S i = harga saham pada akhir iterval ke-i (i=0,,,, ), = pajag iterval waktu dalam setahu. Misalka juga S u l l S l S i i i i Si utuk i =,,,. (30a) Dapat dilihat di [6], besar estimasi stadar deviasi s dari u i ialah s u i u, (30b) i dega u adalah mea dari u i. Dari persamaa (5), stadar deviasi dari u i adalah. Sehigga s dapat megestimasi, atau s t. Dari sii dapat diperoleh bahwa volatilitas dapat diestimasika oleh ˆ dega s ˆ. (30c) Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
7 Misalka bayakya hari trasaksi harga saham sebayak T hari, maka pajag iterval waktu dalam setahu adalah volatilitas σ dapat diyataka sebagai T. Sehigga estimasi ˆ s s T. (30d) T Dega estimasi parameter parameter yag didapat, maka model pergeraka harga saham pada (7) dapat diguaka. Selajutya aka dicari solusi eksplisit dari PDS (7), dega megguaka lemma Îto [6], sebagai berikut : Misalka ilai dari variabel x merupaka proses Îto berikut ii,, ds a S t dt b S t dw, lemma Îto meujukka bahwa sebuah sembarag fugsi G, yag merupaka fugsi dari S da t, berlaku pula proses berikut : G G G G dg a b dt bdw. (3) S t S S Dega megguaka lemma Îto, persamaa (7) yaitu ds( t) ( D) S( t) dt S( t) dw ( t), aka didapat G G G G dg D S S dt SdW S t S S. (3) Dega megambil fugsi G l S, sehigga Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
8 G G G ; ; da 0, (33) S S S S t da dega mesubstitusika (33) ke (3) didapat l 0 d S D S S dt SdW S S S, atau d l S( t) D dt dw ( t), maka ls t dt l S t D dt dw ( t). Dega megekspoesialka kedua ruas maka didapat sehigga exp l S t dt ls t exp D dt dw ( t), S t exp D dt dw ( t). dt S t Dega memidahka atau St ke ruas kaa, maka didapat S t dt S texp D dt dw ( t), Si Si exp D dt dwi, i = 0,,..., -. (34a) Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
9 Persamaa (34a) ii diguaka utuk membetuk litasa harga saham S. Persamaa ii juga disebut sebagai solusi eksplisit dalam betuk iteratif dari persamaa diferetial stokastik (7) pada implemetasi di Bab IV. Solusi eksplisit (34a) dapat dijabarka secara iteratif sebagai berikut : Dari (34a), Si Si exp D dt dwi, i = 0,,..., -, maka dapat disimpulka pula S S exp D dt dw i i i, sehigga dega mesubstitusika S i ke persamaa (34a), maka didapatka Si Si exp D dt dwi exp D dt dwi. (34b) Sedagka berdasarka (34a), Si dapat dijabarka sebagai berikut : S S exp D dt dw i i i, Sehigga dega mesubstitusika Si ke persamaa (34b), maka diperoleh Si Si exp D dt dwi exp D dt dwi exp D dt dwi. Dega megalika betuk ekspoesial dari persamaa ii, maka didapat S S exp D 3dt dw dw dw i i i i i. Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008
30 Jika proses iteratif ii diteruska, maka aka didapat persamaa sebagai berikut : S S exp D. dt dw dw... dw dw dw i 0 0 i i i dega. dt 0 i t da ilai dari dw W t W t, sehigga i, (34c) W 0 0 dw dw... dw dw W t W t W t W t... W W 0 i W t W t W t Dega mesubstitusi ilai. dt da dw0 dw... dwi dwi ke persamaa (34c), maka aka diperoleh solusi eksplisit dari PDS pada (7) dalam betuk lai sebagai berikut : S( t) S0 exp D t W ( t). Suatu Kajia..., Poetri Moalia, FMIPA UI, 008