BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang sudah lama ada dan berkembang sangat pesat di setiap zaman. Perkembangan ilmu matematika tidak lepas dari ilmu pengetahuan yang lain. Hal ini dikarenakan matematika sering diterapkan pada bidang-bidang ilmu pengetahuan yang lain. Salah satu penerapan matematika yaitu, teori sistem dan teori kendali, khususnya pada model state space. Model state dikembangkan pada akhir 1950-an dan awal 1960-an, memiliki keuntungan tidak hanya menyediakan metode yang efisien untuk analisis sistem kontrol tetapi juga memberikan pemahaman tentang berbagai sifat sistem. Untuk mendapatkan model state space diperlukan beberapa pendekatan variabel seperti kecepatan, suhu, percepatan atau yang lainnya untuk mengkarakteristik sistem. Kemudian, dari variabel-variabel tersebut dibentuk persamaan model matematika. Persamaan-persamaan yang dibentuk biasanya merupakan persamaan diferensial atau yang disebut dengan persamaan sistem state space. Adanya persamaan aljabar dalam persamaan sistem state space yang mengakibatkan persamaan sistem state space tidak dapat dinyatakan dalam persamaan sistem state space biasa dan hanya dapat dinyatakan dalam suatu persamaan sistem state space yang disebut dengan persamaan sistem deskriptor. Dengan mendefinisikan vektor state x(t) dan vektor input u(t) diperoleh persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut. f (ẋ(t), x(t), u(t), t) = 0 (1.1) yang disebut dengan persamaan state. Kemudian, dengan mendefinisikan vektor state x(t) dan vektor output y(t) diperoleh persamaan yang mempunyai bentuk 1
2 umum sebagai berikut. g (x(t), u(t), y(t), t) = 0 (1.2) yang disebut dengan persamaan output. Fungsi f dan g pada persamaan (1.1) dan (1.2) merupakan fungsi vektor dari ẋ(t), x(t), u(t), y(t), dan t. Berdasarkan persamaan (1.1) dan (1.2) diperoleh E(t)ẋ(t) = H (x(t), u(t), t) y(t) = J (x(t), u(t), t) (1.3) dengan t t 0, H dan J merupakan fungsi vektor, x(t) R n, u(t) R r, dan y(t) R m yang masing-masing merupakan vektor state, vektor input, dan vektor output. Matriks E(t) R n n adalah matriks singular untuk t t 0. Jika H dan J pada persamaan (1.3) merupakan fungsi linear dari x(t) dan u(t) maka persamaan sistem (1.3) menjadi E(t)ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) (1.4) dengan E(t), A(t) R n n, B(t) R n r, C(t) R m n, dan D(t) R m r yang merupakan matriks koefisien dari sistem (1.4). Persamaan (1.4) disebut dengan persamaan sistem deskriptor linear. Salah satu yang dibahas dalam sistem deskriptor linear adalah state observer. State observer adalah sistem dinamik yang dibangun oleh output secara asimtotik yang mendekati state sistem yang diberikan. State observer dari sistem deskriptor linear bertujuan untuk menentukan matriks koefisien yang terlibat dalam sistem yang dibangun secara asimtotik sedemikian hingga output dari sistem yang dibangun mendekati vektor state dari sistem deskriptor linear yang diberikan. State observer berkaitan erat dengan konsep keterobservasian. Oleh karena itu, untuk mencari state observer dari sistem deskriptor linear dibutuhkan state feedback. State feedback ini memungkinkan untuk menempatkan struktur eigen dari sistem sedemikian hingga sistem closed loop. Dalam prakteknya, state feedback
3 tidak tersedia langsung, yang ada hanya input kontrol u(t) dan output y(t), sehingga state feedback tidak dapat direalisasikan secara langsung. Ada beberapa pendekatan untuk mengatasi masalah ini, salah satunya yaitu dengan cara memperkirakan secara asimtotik vektor state x(t) dari input kontrol u(t) dan output y(t). Kemudian dengan mengestimasi state x(t) untuk membentuk state feedback terkendali. Beberapa uraian yang telah disampaikan yang melatarbelakangi penulisan skripsi mengenai state observer dari sistem deskriptor linear. 1.2. Rumusan Masalah Permasalahan yang dirumuskan dalam skripsi ini adalah : 1. Bagaimana menentukan solusi umum dari sistem deksriptor linear. 2. Bagaimana menentukan keterobservasian dari sistem deskriptor linear. 3. Bagaimana menentukan state observer dari sistem deskriptor linear. 1.3. Tujuan dan Manfaat Selain bertujuan untuk memenuhi syarat kelulusan program Stara-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada (UGM), penyusunan skripsi ini juga bertujuan untuk mencari solusi dari sistem deskriptor linear, menentukan apakah sistem deskriptor linear mempunyai sifat keterobservasian, dan menentukan state observer yang terlibat dalam sistem deskriptor linear. Di samping itu, skripsi ini bertujuan untuk memberikan wawasan kepada pembaca mengenai sistem deskriptor linear, khususnya tentang keterobservasian dan state observer. Dengan demikian, penelitian ini dapat menjadi referensi dalam mengembangkan matematika, khususnya sistem deskriptor linear.
4 1.4. Tinjauan Pustaka Dalam proses penyusunan skripsi ini, penulis mengacu pada buku karya (Duan,2009) yang membahas tentang desain observer pada sistem deskriptor linear. Teori yang berkaitan dengan desain observer yaitu state observer, keterobservasian, regularitas, nilai eigen dan vektor eigen dari sistem deskriptor linear(duan, 2009), fungsi delta (Duan, 2009) (Gil fand dan Shilov, 1964), dan matriks polinomial coprime (Duan,1996). Dalam pembahasan skripsi ini terdapat beberapa dasar teori yang berkaitan seperti transformasi Laplace (Ross, 1984), rank matriks, matriks nilpoten, eigen vektor dan nilai eigen (Anton dan Rorres, 2000) dan (Hartfiel, 2000). Kemudian, dijelaskan pula sifat-sifat sistem linear, khususnya keterobservasian (Olsder, 1998) dan state observer (Chen,1999). Diberikan juga beberapa contoh dari (Duan,1992), (Duan,1995), dan (Dai,1989). 1.5. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah studi literatur. Pertama, penulis mempelajari referensi tentang state observer pada buku karya (Duan,1992). Kemudian, mempelajari tentang konsep state observer dari sistem deskriptor linear. Setelah itu, mempelajari tahapan-tahapan mencari state observer, yaitu regularitas, slow dan fast subsistem yang akan digunakan untuk menentukan keterobservasian dari sistem deskriptor linear. Selanjutnya, mempelajari tentang matriks polinomial coprime dari sistem deskriptor linear yang akan digunakan juga untuk mencari state observer. Selain yang disebutkan di atas, penulis juga melakukan konsultasi dengan dosen pembimbing skripsi pada setiap perkembangan penulisan skripsi ini. 1.6. Sistematika Penulisan Sistematika dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut. BAB I. PENDAHULUAN Pada bab ini berisi tentang latar belakang penulisan, rumusan masalah, tujuan, man-
5 faat, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II. DASAR TEORI Pada bab ini membahas tentang beberapa definisi dan teorema yang menjadi dasar pembahasan dalam desain observer pada sistem deskriptor linear BAB III. SISTEM DESKRIPTOR LINEAR Bab ini menjelaskan tentang, regularitas, slow dan fast subsistem, keterobservasian, dan matriks polinomial coprime sistem deskriptor linear. BAB IV. DISAIN OBSERVER PADA SISTEM DESKRIPTOR LINEAR Bab ini menjelaskan tentang state observer, desain state observer, dan algoritma untuk mencari state observer pada sistem deskriptor linear. Diberikan pula contoh kasus untuk mencari state observer. BAB V. KESIMPULAN Bab ini berisi tentang kesimpulan dari pembahasan state observer sistem deskriptor linear dan disertakan juga saran yang dapat dipertimbangkan untuk penelitian lebih lanjut.