BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Aryati dkk.(2003) menyatakan bahwa persamaan diferensial adalah formulasi matematis dari masalah di berbagai bidang kehidupan. Persamaan diferensial sering digunakan untuk pemodelan matematika dalam bidang sains dan teknik (Mathews dan Fink, 1999). Sebagian besar permasalahan tersebut membutuhkan solusi masalah nilai awal (MNA), yaitu solusi persamaan diferensial yang memenuhi kondisi masalah nilai awal (MNA) yang diberikan (Burden dan Faires, 2010). Terkadang persamaan diferensial bisa berbentuk rumit akibatnya sulit untuk diselesaikan secara eksak, sehingga dibutuhkan metode yang lebih mudah yaitu dengan metode numerik. Metode numerik digunakan untuk menghitung nilai pendekatan solusi persamaan diferensial. Metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal (MNA) dibagi menjadi 2, yaitu metode satu langkah dan metode banyak langkah. Metode satu langkah hanya membutuhkan 1 nilai awal untuk mendapatkan nilai sekarang, dengan kata lain hanya dibutuhkan y n untuk mendapatkan nilai y n+1 (Kreyszig, 2011). Sedangkan metode banyak langkah membutuhkan 2 atau lebih nilai sebelumnya untuk mendapatkan nilai sekarang, dengan kata lain dibutuhkan y 0, y 1,... y n dengan n = 0, 1,..., m 1 untuk menghitung nilai y n+1 (Burden dan Faires, 2010). Nilai-nilai awal tersebut didapatkan dari metode 1 langkah. Gabungan dari 2 metode banyak langkah disebut dengan metode prediktor korektor. Dari kedua metode banyak langkah tersebut, kedua metode saling berbagi peran sebagai prediktor dan korektor dilihat dari besar galatnya. Metode yang memiliki galat lebih besar berperan sebagai prediktor, sedangkan metode yang memiliki galat lebih kecil berperan sebagai korektor. Prediktor untuk mencari nilai 1

2 2 pendekatan y n+1, selanjutnya oleh korektor nilai y n+1 tersebut akan dikoreksi lagi untuk mendapat hasil yang lebih mendekati nilai eksaknya. Metode Adams Bashforth Moulton adalah salah satu metode prediktor korektor. Adams Bashforth sebagai prediktor sedangkan Adams Moulton berperan sebagai korektornya. Penulis tertarik untuk membahas metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah, untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2 disertai nilai awal, karena metode tersebut lebih mendekati nilai eksak dibandingkan dengan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 4 langkah yang keduanya menggunakan analisis langkah h dengan lebar langkah h yang sama, serta membahas kekonvergenan, kestabilan dan kekonsistenan metode prediktor-korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah Rumusan Masalah Rumusan masalah yang akan dibahas adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana algoritma penggabungan metode Adams Bashforth dan Adams Moulton menjadi metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton dengan menggunakan analisis langkah h? 2. Bagaimanakah kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan dari metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah? 3. Lebih baik manakah antara metode Adams Bahsforth dan Adams Moulton 5 langkah dan lebih baik manakah antara metode Adams Bashforth Moulton 5 langkah dengan metode Adams Bashforth Moulton 4 langkah? 4. Bagaimana membuat program MATLAB untuk mencari nilai pendekatan dari pemecahan masalah nilai awal pada persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2 menggunakan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah dengan analisis langkah h?

3 Batasan Masalah Masalah yang dibahas pada skripsi ini dibatasi pada penyelesaian persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2 disertai nilai awal menggunakan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah, dengan nilai-nilai awalnya didapatkan dari metode Runge Kutta orde 4, dibantu dengan program MATLAB. Serta perbandingan keakuratan antara metode Adams Bashforth Moulton 5 langkah dengan metode Adams Bashforth Moulton 4 langkah, yang keduanya menggunakan analisis langkah h dengan lebar langkah h yang sama Maksud dan Tujuan Penelitian Maksud penulisan skripsi ini adalah untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada. Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut: 1. Mengetahui penggabungan metode Adams Bashforth dan Adams Moulton menjadi metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton dengan menggunakan analisis langkah h. 2. Mengetahui kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan dari metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah. 3. Membandingkan keakuratan pendekatan antara metode Adams Bahsforth dan Adams Moulton 5 langkah dan keakuratan antara metode Adams Bashforth Moulton 5 langkah dengan metode Adams Bashforth Moulton 4 langkah. 4. Memanfaatkan program MATLAB untuk mencari nilai pendekatan dari pemecahan masalah nilai awal pada persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2 menggunakan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah dengan analisis langkah h.

4 Tinjauan Pustaka Bentuk umum metode banyak langkah diberikan oleh Burden dan Faires (2010). Penurunan rumus metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah menggunakan interpolasi selisih mundur Newton diberikan oleh Gear (1971). Galat pemotongan (truncation error) metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah dengan menggunakan deret Taylor diberikan oleh Atkinson dkk.(2009). Error bounds metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah dturunkan dari teorema dan lemma yang digunakan untuk menurunkan error bounds metode Euler diberikan oleh Burden dan Faires (2010). Kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah diberikan oleh Griffiths dan Higham (2010), Atkinson dkk.(2009), Burden dan Faires (2010), Wahyuni (2001), Suli (2014), Johnson (2008), Dafik (1998), dan Purnama (2013). Hubungan ketiganya diberikan oleh Gear (1971), Atkinson (1989), dan Atkinson dkk. (2009). Algoritma analisis perubahan langkah h pada metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah diberikan oleh Mathews dan Fink (1999) dan Apriadi dkk. (2014). Berbagai definisi dari persamaan diferensial biasa diberikan oleh Ross (1984) dan Aryati dkk.(2003). Definisi masalah nilai awal dan interpolasi selisih mundur Newton yang digunakan untuk menurunkan rumus metode Adams Bashforth dan metode Adams Moulton 5 langkah diberikan oleh Kreyszig (2011). Definisi dan teorema mengenai eksistensi dan ketunggalan diberikan oleh Mathews dan Fink (1999) dan Ross (1984). Definisi polinomial karakteristik metode banyak langkah diberikan oleh Burden dan Faires (2010). Deret Taylor, Teorema sisa Taylor, definisi galat diberikan oleh Aryati (2012) dan Sari dkk.(2014). Galat pemotongan (truncation error) diberikan oleh Sutarno dan Rachmatin (2008) dan Aryati (2012). Teorema dan lemma error bounds Euler sebagai acuan mencari error bounds metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah, kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan metode numerik diberikan oleh Burden dan Faires (2010), Dafik (1998), Purnama (2013), dan Lambers (2014).

5 Metode Penelitian Metode penulisan yang digunakan dalam skripsi ini adalah studi literatur. Diawali dengan mempelajari metode banyak langkah dan metode prediktor korektor secara umum melalui literatur-literatur yang berisi topik tersebut. Menurunkan rumus metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah dengan integral dan interpolasi selisih mundur Newton. Selanjutnya menurunkan galat pemotongan (truncation error) metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah menggunakan teorema sisa Taylor. Menurunkan error bounds metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah yang berpacu pada error bounds metode Euler. Error bounds metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah ini selanjutnya digunakan untuk menganalisis kekonvergenan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah melalui kekonvergenan masing-masing metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah. Menganalisis kekonsistenan dan kestabilan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah melalui kekonsistenan dan kestabilan masing-masing metode Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah. Mempelajari hubungan antar kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan metode numerik dengan membuktikan teorema-teorema yang ada dengan berpacu pada gambar hubungan ketiganya. Mempelajari algoritma metode prediktor korektor Adams Bashfroth Moulton 5 langkah menggunakan analisis langkah h, sesuai dengan syarat yang terpenuhi. Pembuatan program sesuai algoritma metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah, dengan analisis langkah h menggunakan MATLAB. Program yang pertama dibuat untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa orde 1 disertai dengan nilai awal. Program kedua, yang berpacu pada program pertama, untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa orde 2 disertai dengan nilai awal. Berlatih menyelesaikan persoalan persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2 disertai nilai awal, menggunakan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah, dengan analisis langkah h menggunakan MATLAB. Selanjutnya

6 6 sebagai pembanding, membuat program untuk metode Adams Bashforth Moulton 4 langkah. Membandingkan keakuratan pendekatan metode Adams Bashforth Moulton 5 langkah dengan Adams Bashforth Moulton 4 langkah, dengan lebar langkah h yang sama. Berkonsultasi terus menerus dengan dosen pembimbing skripsi. Hasil studi literatur pada skripsi ini untuk mempermudah mencari penyelesaian persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2 disertai nilai awal, yang didapatkan dari pendekatan solusi dengan menggunakan metode Adams Bashforth Moulton 5 langkah, dengan analisis langkah h dibantu MATLAB. Serta perbandingannya dengan metode Adams Bashforth Moulton 4 langkah, dengan analisis langkah h dan lebar langkah h yang sama Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab ini berisi teori yang mendasari pembahasan skripsi, yang berkaitan dengan penyelesaian persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2 disertai nilai awal dengan menggunakan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah. Dasar teori meliputi persamaan diferensial biasa, masalah nilai awal (MNA), eksistensi dan ketunggalan penyelesaian masalah nilai awal (MNA), interpolasi selisih mundur Newton, metode satu langkah, metode banyak langkah, metode prediktorkorektor, polinomial karakteristik metode banyak langkah, deret Taylor, galat, big- O, error bounds, dan kekonsistenan, kestabilan, serta kekonvergenan metode satu langkah. spasi spasi

7 7 BAB III METODE PREDIKTOR-KOREKTOR: ADAMS BASHFORTH MOULTON 5 LANGKAH UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DI- FERENSIAL BIASA ORDE 1 DAN 2 DISERTAI NILAI AWAL Bab ini berisi tentang pembahasan metode prediktor-korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah, yang merupakan kombinasi dari metode banyak langkah Adams Bashforth dan Adams Moulton 5 langkah, yang nilai-nilai awalnya dicari melalui metode Runge Kutta orde 4, analisis kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan metode Adams Bashforth Moulton 5 langkah, dan aplikasi metode Adams Bashforth Moulton pada persamaan diferensial orde 1 dan 2, serta perbandingannya dengan metode Adams Bashforth Moulton 4 langkah. BAB IV PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari pembahasan penyelesaian persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2 disertai nilai awal menggunakan metode prediktor korektor Adams Bashforth Moulton 5 langkah.