II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)]

Transkripsi

1 II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)] Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut: A adalah matriks koefisien konstan berukuran dan b vektor konstan. Sistem tersebut dinamakan SPDL orde 1 kondisi awal. Jika b=0 sistem dikatakan homogen dan dikatakan tak homogen jika. Definisi 2 [Sistem Persamaan Diferensial Tak Linear (SPDTL)] Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut: (1.2) dan diasumsikan fungsi tak linear pada. Sistem (1.2) disebut sistem persamaan diferensial tak linear. [Braun, 1983] Definisi 3 [Sistem Persamaan Diferensial Mandiri ] Misalkan suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai berikut (1.3) f merupakan fungsi kontinu bernilai riil dari x dan mempunyai turunan parsial kontinu. Persamaan (1.3) disebut persamaan diferensial mandiri (autonomous) karena tidak memuat t secara eksplisit di dalamnya. 2.2 Titik Tetap Definisi 4 [Titik Tetap] Diberikan sistem persamaan diferensial

2 4 Titik disebut titik tetap atau titik kritis atau disebut juga titik kesetimbangan jika Titik Tetap Stabil Misalkan adalah titik tetap sebuah persamaan diferensial dan x(t) adalah solusi kondisi awal x(0)=x 0, dimana x 0. Titik dikatakan titik tetap stabil, jika untuk setiap > 0, terdapat r > 0, sedemikian sehingga x 0 x r,maka x ( t ) x untuk t > 0. [Vershult, 1990] Analisis Kestabilan Titik Tetap Analisa kestabilan untuk setiap titik tetap yang berbeda untuk setiap nilai eigen yakni: 1 Sistem adalah stabil jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari bernilai negatif. 2 Sistem adalah tidak stabil jika dan hanya jika minimal satu nilai eigen dari bernilai positif. [Borrelli dan Coleman, 1998] 2.3 Pelinieran Analisis kestabilan SPDTL dilakukan melalui pelinieran.misalkan diberikan SPDTL sebagai berikut: Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk suatu titik tetap, maka persamaan (1.4) dapat ditulis senagai berikut: Persamaan tersebut merupakan SPDTL adalah matriks Jacobi,

3 5 dan suku berorde tinggi yang bersifat. Selanjutnya pada persamaan (1.5) disebut pelinearan dari sistem tak linear persamaan (1.4) yang didapat dalam bentuk. Untuk suatu sistem yang berada dalam bidang akan diperoleh,,,,, dan sehingga dapat diabaikan.. Nilai dan kecil sekali 2.4 Komunitas Multi-Spesies dan Kriteria Routh-Hurwitz Suatu model populasi k spesies yang berinteraksi dalam komunitas dapat dituliskandalam bentuk persamaan atau dapat ditulis dalam notasi vektor fungsi tak linear pada. Kestabilan sistem tersebut dapat ditentukan urutan sebagai berikut: 1. Menentukan titik tetap ) yang memenuhi. 2. Pelinearan menentukan matriks Jacobi pada titik tetap, yakni: atau

4 6 3. Menentukan nilai eigen, menyelesaikan. Nilai eigen ini akan memenuhi persamaan karakteristik berikut: Jika nilai eigen semua riil negatif, maka titik tetap adalah stabil. Jika nilai eigen tidak dapat ditentukan mudah, maka kestabilan untuk, dapat ditentukan Kriteria Routh-Hurwitz, berikut: Kriteria Routh-Hurwitz Teorema 1: Diberikan persamaan karakteristik Selanjutnya didefinisikan matriks Hurwitz sebagai berikut: dan Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian riil yang negatif (titik tetap stabil) jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Hurwitz positif, yaitu:, untuk j= 1, 2,, k. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz untuk k = 2, 3, 4 disebutkan bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika k = 2,, k = 3,,, k = 4,,,, [Edelstein-Keshet,1988]

5 7 Untuk kasus k = 3, kriteria Routh-Hurwitz disajikan dalam Teorema 2 berikut. Teorema 2 Misalkan,, bilangan riil. Bagian riil dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik adalah negatif jika dan hanya jika, dan. Bukti: di lampiran Solusi Numerik Sistem Persamaan Diferensial Suatu sistem persamaan diferensial mempunyai bentuk umum,, dimana nilai awal pada waktu, t variabel riil, y: R R n vektor nilai fungsi pada t, f:r n+1 R n, dan notasi turunan terhadap t, yaitu :. Sistem persamaan diferensial tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk sebagai berikut: Dalam tesis ini solusi numerik dari sistem persamaan diferensial akan diselesaikan menggunakan software Mathematica 6.0. [Heath, 1997]