BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perkembangan teknologi yang begitu pesat mengakibatkan perkembangan pengetahuan tentang sistem dinamik juga pesat. Salah satu pengembangan sistem dinamik dalam kehidupan adalah pada bidang Ekologi yaitu cabang Biologi yang mempelajari ekosistem. Salah satu model yang merupakan sistem dinamika dalam bidang ini adalah model interaksi populasi, yaitu interaksi antara dua spesies atau lebih. Contoh model interaksi populasi adalah model sistem mangsa pemangsa. Karena model ini mempunyai peranan yang penting dalam perputaran dinamika populasi, maka hal ini merupakan sesuatu yang sangat menarik untuk dipelajari. Model mangsa pemangsa pertama kali dikemukakan oleh Lotka-Voltera (1926). Model dasar mangsa pemangsa LotkaVoltera dimodifikasi oleh banyak ilmuwan, salah satu modifikasi model dasar mangsa pemangsa Lotka-Voltera dikembangkan oleh Freedman (1980). Unsur penting dalam model ini adalah Fungsi Respon Holling (1959), fungsi yang menggambarkan banyak mangsa yang dikonsumsi oleh pemangsa per satuan waktu, dan fungsi logistik oleh Verhulst (1830) pada sistem mangsa. Kemudian model ini lebih dikenal dengan model mangsa pemangsa bergantung mangsa dalam interaksi populasi. Akan tetapi, ekosistem tidak hanya bergantung pada respon mangsa semata, melainkan juga ada faktor lain yang ada pada pemangsa itu sendiri. Selain itu, kebanyakan dari model yang ada belum memperhitungkan faktor faktor yang berkaitan dengan gender, seperti perkawinan, yang merupakan realitas kehidupan sebuah populasi. Oleh karena itu, sewajarnya penambahan fungsi logistik oleh Verhulst (1830) pada sistem pemangsa dan pemisahan gambaran perubahan populasi jantan dan populasi betina menjadi sangat penting. Masalah pemodelan yang berkaitan dengan pembentukan pasangan ini telah dikenalkan oleh A.H Pollard 1

2 (1948) (dalam Z.Tianran dan W.Wang (2005)) yang disebut juga dengan twosex problem. Berdasarkan uraian tersebut, penulisan tesis ini akan mengkaji model mangsa pemangsa dengan membedakan jenis kelamin. Namun, dalam penelitian ini pemisahan populasi berdasarkan jenis kelamin belum dilakukan untuk kedua obyek, melainkan hanya dibatasi pada populasi mangsa. Fokus dari penelitian ini adalah untuk membuat formula dan menganalisis model mangsa-pemangsa dimana populasi mangsa jantan dan populasi mangsa betina dipisah. Model mangsa-pemangsa dalam tesis ini telah dikemukakan oleh Zhang, dkk (2005) dalam jurnalnya yang berjudul Mathematical Models of Two-Sex Population Dynamics. Kontribusi penulis antara lain : menjelaskan konstruksi model dengan fungsi logistik dan fungsi respon Holling tipe II, melengkapi teorema, memberikan teorema, dan menuliskan kembali dengan bahasa sendiri. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut : 1) Bagaimana mengkonstruksi model mangsa-pemangsa dengan membedakan jenis kelamin pada populasi mangsa 2) Bagaimana kestabilan titik ekuilibrium dari model mangsa-pemangsa dengan 3) Bagaimana kepermanenan sistem model mangsa-pemangsa dengan 2

3 1.3 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk : 1) Mengkonstruksi model mangsa-pemangsa dengan membedakan jenis kelamin pada populasi mangsa. 2) Menentukan titik ekuilibrium dari model mangsa-pemangsa dengan 3) Menganalisis sifat kestabilan titik ekuilibrium model mangsa-pemangsa dengan 4) Menyelidiki kepermanenan model mangsa-pemangsa dengan membedakan jenis kelamin pada populasi mangsa. 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : 1) Secara umum diharapkan dapat memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan serta untuk menambah wawasan pengetahuan dalam bidang matematika terapan, terutama dalam bidang pemodelan matematika serta ilmu ekologi. 2) Secara khusus memberikan gambaran tentang kestabilan titik ekuilibrium dari model mangsa-pemangsa dengan membedakan jenis kelamin pada populasi mangsa. 1.5 Tinjauan Pustaka Model mangsa-pemangsa dari Lotka-Volterra banyak dikembangkan oleh para ilmuan untuk mendapatkan model yang lebih relevan, diantaranya adalah Freedman (1980) menambahkan fungsi respon Holling (1959). Beberapa tipe dan hasil penelitian tentang mengenai fungsi respon Holling ini dijelaskan sangat baik oleh Dewi Anggraini (2012) dan Nelly, dkk (2000). Fungsi pertumbuhan logistik Verhulst (1830) pada mangsa menjadikan model mangsa pemangsa bergantung terhadap pertumbuhan mangsa. Sementara, A.H Pollard (1948) dalam 3

4 Z.Tianran dan W.Wang (2005) telah mengenalkan Masalah pemodelan yang berkaitan dengan pembentukan pasangan yang disebut two-sex problem. Perlu diketahui bahwa model mangsa-pemangsa disusun kedalam bentuk sistem persamaan diferensial nonlinear autonomous. Oleh karena itu, terlebih dahulu perlu dijamin eksistensi dan ketunggalan solusi dari sistem persamaan diferensial nonlinear yang dibentuk. Teorema yang menjamin eksistensi dan ketunggalan solusi dari sistem persamaan diferensial diberikan oleh Perko (2001). Selanjutnya akan diselidiki eksistensi titik (solusi) ekuilibrium dari sistem persamaan diferensial kemudian akan dianalisis perilaku solusi di sekitar titik ekuilibrium dengan melihat sifat kestabilan dari titik ekuilibrium, yang dijelaskan oleh Hale dan Kocak (1994). Selanjutnya, untuk mengetahui perilaku solusi di sekitar titik ekuilibrium akan dicari sifat kestabilan lokal dari titik ekuilibrium. Penentuan sifat kestabilan lokal dari titik ekuilibrium dilakukan dengan linearisasi di titik ekuilibrium dengan menggunakan matriks Jacobian, kemudian dicari nilai eigen dari matriks Jacobian seperti yang dijelaskan oleh Perko (2001). Sifat kestabilan lokal titik ekuilibrium yang diperoleh berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobian berlaku jika titik ekuilibrium yang ditinjau adalah titik ekuilibrium hiperbolik yang teoremanya diberikan oleh Tu (2001) dan Olsder (1994). Beberapa definisi lain yang diperlukan yaitu mengenai solusi periodik, himpunan invarian dan limit set diberikan oleh Wiggins (2003), definisi mengenai sistem dinamik dan limit cycle berturut-turut diberikan oleh Perko (2001) dan Kuznetsov (1998). Selain itu, juga dibutuhkan teorema Poincar'e-Bendixson oleh Wigins (2003) dan kepermanenan sitem oleh Xianning Liu and Lansun Chen (2002) sebagai bahan pendukung untuk menyelidiki sifat kestabilan titik ekuilibrium secara global. 4

5 1.6 Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur dengan tahapan tahapan sebagai berikut : 1. Mengumpulkan bahan literatur serta studi pustaka sebagai bahan referensi model mangsa-pemangsa dengan membedakan jenis kelamin pada populasi mangsa. 2. Menentukan asumsi dan mengkonstruksi model mangsa-pemangsa dengan 3. Menentukan titik ekuilibrium, kestabilan, dan kepermanenan sistem model mangsa-pemangsa dengan 1.7 Sistematika Penelitian Sistematika penulisan dalam tesis ini terbagi menjadi empat bab yang dimulai dari bab pendahuluan dan diakhiri dengan bab penutup. BAB I PENDAHULUAN yang memuat latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan. BAB II LANDASAN TEORI yang memuat teori yang menunjang pembahasan yaitu model logistik pertumbuhan populasi, model dasar mangsapemangsa, dan hasil eksperimen Holling. Selanjutnya teori bagaimana mencari titik ekuilibrium dan analisis kestabilan lokal dan kestabilan global titik ekuilibrium. BAB III PEMBAHASAN merupakan pembahasan tentang konstruksi model mangsa-pemangsa dengan membedakan jenis kelamin pada populasi mangsa, menentukan titik ekuilibrium, analisis kestabilan titik ekuilibrium dan kepermanenan sistem model mangsa-pemangsa tersebut. 5

6 BAB IV PENUTUP meliputi kesimpulan dan saran yang merupakan hasil yang telah didapatkan. 6