SISTEM KONTROL LINIER

Transkripsi

1 SISTEM KONTROL LINIER Silabus : 1. SISTEM KONTROL 2. TRANSFORMASI LAPLACE 3. PEMODELAN MATEMATIKA DARI SISTEM DINAMIK 4. ANALISIS SISTEM KONTROL DALAM RUANG KEADAAN 5. DESAIN SISTEM KONTROL DALAM RUANG KEADAAN

2 Referensi : Katsuhiko Ogata, 2002, Modern Control Engineering, Edisi Keempat Penilaian : UTS : 30 UAS : 30 Tugas : 40 Absen : 10

3 Representasi Ruang Keadaan dari Sistem Fungsi Transfer

4 Bentuk Kanonik Terkontrol

5 Bentuk Kanonik Terobservasi

6 Bentuk Kanonik Diagonal

7

8 Bentuk Kanonik Jordan

9

10

11

12

13 Diagonalisasi Matriks Berukuran nxn

14

15

16

17

18 SISTEM KONTROL LINIER - FMIPA - UNAND December 4, 2012

19 Silabus 1 2 3

20 Referensi Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Fourth Edition, 2002.

21 Penilaian 1 Tugas : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 50 3 Absensi : 20

22 Definisi Definisi Suatu sistem dikatakan terkontrol pada saat t = t 0 apabila terdapat suatu kontrol tanpa konstrain yang mentransfer sistem tersebut dari state awal x(t 0 ) ke suatu state yang diinginkan.

23 State Terkontrol Lengkap Misalkan diberikan sistem kontinu berikut: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), (1) dimana: x R n, u R, A R nxn, dan B R nx1.

24 State Terkontrol Lengkap Sistem (1) dikatakan state terkontrol pada t = t 0 jika terdapat suatu kontrol tanpa konstrain u yang akan mentransfer state awal ke sebarang state akhir dalam interval waktu hingga t 0 t t 1. Jika setiap state terkontrol, maka sistem (1) dikatakan state terkontrol lengkap.

25 Syarat untuk state terkontrol lengkap Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan bahwa state akhir adalah 0 dan waktu awal t 0 = 0. Solusi persamaan (1) adalah x(t) = e At x(0) + t 0 e A(t τ) Bu(τ)dτ. Dengan menggunakan definisi state terkontrol lengkap, maka atau x(t 1 ) = 0 = e At 1 x(0) + t1 0 e A(t 1 τ) Bu(τ)dτ, t x(0) = e Aτ Bu(τ)dτ. (2) 0

26 Syarat untuk state terkontrol lengkap Tulis n 1 e Aτ = α k (τ)a k. (3) k=0 Dengan mensubstitusi persamaan (3) ke persamaan (2), diperoleh n 1 x(0) = A k B k=0 t1 0 α k (τ)u(τ)dτ. (4)

27 Syarat untuk state terkontrol lengkap Misalkan t1 0 α k (τ)u(τ)dτ = β k, maka persamaan (4) dapat ditulis menjadi n 1 x(0) = A k Bβ k k=0 = [ B AB A n 1 B ] β 0 β 1. β n 1 (5)

28 Syarat untuk state terkontrol lengkap Jika sistem state terkontrol lengkap, maka persamaan (5) terpenuhi untuk sebarang state awal x 0, dimana rank dari matriks Rank [ B AB A n 1 B ] = n. Sistem pada persamaan (1) adalah state terkontrol lengkap jika dan hanya jika vektor-vektor B, AB,..., A n 1 B adalah bebas linier atau Rank [ B AB A n 1 B ] = n. Matriks [ B AB A n 1 B ] disebut matriks keterkontrolan.

29 Contoh Diberikan sistem sebagai berikut: ( x1 x ( 2 x1 x 2 ) ( ) ( ) 1 1 x1 = 0 1 x ) ( ) ( x1 = 2 1 x 2 ( ) + ( 0 1 ) u ) u Selidiki apakah sistem tersebut state terkontrol lengkap atau tidak.

30 Bentuk Lain State Diberikan sistem MIMO berikut: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x 0 (6) dimana: x R n, u R l, A R nxn, dan B R nxl.

31 Bentuk Lain State 1. Semua nilai eigen A berbeda Misalkan x(t) = Pz(t) ẋ(t) = Pż(t) (7) Substitusi persamaan (7) ke persamaan (6), diperoleh Pż(t) = APz(t) + Bu(t) ż(t) = P 1 APz(t) + P 1 Bu(t) (8)

32 Bentuk Lain State P 1 AP = D = Misalkan P 1 B = (f ij ) = λ 1 0 λ λ n f 11 f il..... f n1 f nl

33 Bentuk Lain State maka persamaan (8) dapat ditulis menjadi ż 1 (t) ż 2 (t). ż n (t) λ 1 z 1 (t) + f 11 u 1 + f 12 u f 1l u l λ 2 z 2 (t) + f 21 u 1 + f 22 u f 2l u l =. λ n z n (t) + f n1 u 1 + f n2 u f nl u l Sistem dapat dikontrol jika tidak ada baris P 1 B yang semua unsurnya nol.

34 Bentuk Lain State 2. Tidak semua nilai eigen A berbeda Transformasi A ke dalam bentuk kanonik Jordan. Misal λi A = (λ λ 1 ) 3 + (λ λ 2 ) 2, λ 3,..., λ n. A mempunyai n 3 vektor eigen yang berbeda, maka bentuk kanonik Jordan dari A adalah

35 Bentuk Lain State J = S 1 AS λ λ λ 1 λ 2 1 = 0 λ 2 λ λ n

36 Bentuk Lain State Definisikan state baru x(t) = Sz(t) ẋ(t) = Sż(t) (9) Substitusi persamaan (9) ke dalam persamaan (6), diperoleh: ż(t) = S 1 ASz(t) + S 1 Bu(t) = Jz(t) + S 1 Bu(t) (10)

37 Bentuk Lain State Syarat keterkontrolan untuk sistem pada persamaan (6): Baris matriks S 1 B yang berkaitan dengan nilai eigen yang berbeda tidak semua unsurnya nol. Hanya ada satu block Jordan untuk suatu nilai eigen yag berulang. Baris matriks S 1 B yang berkaitan dengan baris terakhir dari block Jordan tidak semua unsurnya nol.

38 State dalam Bidang 1 Dinyatakan dalam bentuk fungsi transfer atau matriks transfer. 2 Syarat perlu dan syarat cukup adalah tidak ada cancellation yang terjadi dalam fungsi transfer atau matriks transfer. Contoh: 1. Diberikan fungsi transfer X (s) U(s) = s+2.5 (s+2.5)(s 1) Karena cancellation terjadi pada fungsi transfer (satu derajat bebas hilang), maka sistem tidak terkontrol.

39 State dalam Bidang 2. Diberikan persamaan state dari fungsi transfer sebelumnya, [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ1 0 1 x1 1 = + u Karena ẋ 2 x 2 [ B AB ] = [ ] rank dari matriks [ B terkontrol. AB ] adalah 1, jadi sistem tidak

40 Output 1 Dapat mengontrol output dari state sistem. 2 state bukan merupakan syarat perlu dan syarat cukup untuk mengontrol output sistem. Diberikan sistem ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), (11) y(t) = Cx(t) + Du(t) (12) dimana x(0) = x 0, x R m, y R m. Sistem dikatakan output terkontrol jika terdapat suatu vektor kontrol tanpa konstrain u(t) yang akan mentransfer output awal ke sebarang output akhir dalam interval waktu hingga t 0 t t 1.

41 Output Sistem dikatakan output terkontrol jika rank dari matriks Rank [ CB CAB CA n 1 B ] = m.

42 Definisi Misalkan diberikan sistem berikut: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (13) y = Cx(t) + Du(t), x(0) = x 0 (14) Sistem dikatakan terobservasi (teramati) jika setiap state x(t 0 ) dapat ditentukan dari observasi y(t) dalam interval waktu hingga t 0 t t 1.

43 Pandang sistem berikut: ẋ(t) = Ax(t) (15) y = Cx(t) (16) dimana: x R n, y R m, A R nxn, dan C R mxn. x(t) = e At x 0 y(t) = Ce At x 0 n 1 = C α k (t)a k x 0 k=0

44 = [α 0 (t)c + α 1 (t)ca α n 1 (t)ca n 1 ]x 0 C = [ α 0 (t) α 1 (t) α n 1 (t) ] CA. x 0 CA n 1 Sistem terobservasi jika rank dari matriks C CA. = n CA n 1

45 Pole Placement (Penempatan Pole) Metode untuk merancang state space (ruang keadaan) berdasarkan metode pole placement. Tujuan : mengubah karakteristik close-loop system (sistem loop-tertutup) agar sesuai dengan yang diinginkan. Asumsikan semua variable state (variabel keadaan) terukur dan ada untuk feedback (umpan balik).

46 Pole Placement (Penempatan Pole) Pole adalah akar persamaan karakteristik/persamaan yang menjadi penyebut dari suatu fungsi transfer. Pole menentukan karakteristik suatu sistem, persamaan yang dibentuknya disebut persamaan karakteristik. Dalam bidang s (untuk kontrol kontinu), letak pole yang disebelah kiri sumbu imajiner menunjukkan sistem stabil, sebaliknya letak disebelah kanan menunjukkan sistem tidak stabil. Dalam bidang z (pengaturan diskrit), letak pole dalam lingkaran satuan menunjukkan sistem stabil, sebaliknya letak di luar lingkaran satuan menunjukkan sistem tidak stabil.

47 Pole Placement (Penempatan Pole)

48 Pole Placement (Penempatan Pole) Diberikan persamaan state space untuk waktu kontinu berbentuk: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), (17) Bila dipilih suatu kontrol u = Kx(t), dimana K adalah state feedback gain matrix (matriks umpan balik), dan di substitusi ke persamaan (17) menghasilkan persamaan Solusi dari (18) adalah ẋ(t) = (A BK)x(t), (18) ẋ(t) = e (A BK)t x(0). (19)

49 Pole Placement (Penempatan Pole) Nilai eigen dari (A BK) adalah pole-pole yang diinginkan. Masalah penempatan pole adalah memilih matriks umpan balik K sedemikian sehingga bagian real dari nilai eigen matriks (A BK) berada di sebelah kiri sumbu imajiner bidang s.

50 Syarat Perlu dan Cukup Jika setiap state terkontrol, maka sistem dikatakan terkontrol secara lengkap. Syarat suatu sistem terkontrol secara lengkap adalah rank [ B AB A n 1 B ] = n Syarat perlu dan cukup untuk penempatan pole dinyatakan dalam teorema berikut.

51 Syarat Perlu dan Cukup Teorema Jika diberikan suatu sistem, maka syarat perlu dan syarat cukup untuk penempatan sebarang pole yang diinginkan adalah bahwa sistem tersebut terkontrol secara lengkap. Bukti Akan dibuktikan syarat perlu dengan kontraposisi, yaitu jika sistem tidak terkontrol lengkap, maka ada nilai eigen dari (A BK) yang tidak dapat dikontrol oleh state feedback (keadaan umpan balik).

52 Syarat Perlu dan Cukup

53 Syarat Perlu dan Cukup

54 Syarat Perlu dan Cukup

55 Syarat Perlu dan Cukup

56 Syarat Perlu dan Cukup

57 Syarat Perlu dan Cukup

58 Syarat Perlu dan Cukup

59 Syarat Perlu dan Cukup

60 Output Matriks umpan balik K dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

61 Output