Model Matematika dari Sistem Dinamis

Transkripsi

1 Model Matematika dari Sistem Dinamis September 2012 () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

2 Pendahuluan Untuk analisis dan desain sistem kontrol, sistem sis harus dibuat model sisnya. Model sis harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis sistem tersebut secara memadai. Model matematis diturunkan dari hukum-hukum sis sistem yang bersangkutan: Dinamika sistem mekanis dimodelkan berdasarkan hukum-hukum Newton Dinamika sistem elektrik dimodelkan berdasarkan hukum-hukum Kirchof, Ohm. Suatu model matematis dari suatu sistem dinamik dide nisikan sebagai suatu himpunan persamaan yang menggambarkan dinamika suatu sistem secara memadai. Model matematis dapat meningkat akurasinya dengan memodelkan secara lebih lengkap, bila diperlukan dalam analisis yang teliti. () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

9 Perlu kompromi antara kesederhanaan model dengan akurasi hasil analisis. Suatu sistem dapat direpresentasikan dengan beberapa cara yang berbeda, sehingga mungkin saja suatu sistem akan memiliki beberapa model matematis (tergantung pada perspektif yang diinginkan). Dinamik dari suatu sistem (sistem mekanika, kelistrikan, ekonomi, biologi, dll) sering diberikan oleh suatu persamaan diferensial. Dua pendekatan analisis: Fungsi transfer (alih ) State space () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

15 Beberapa stilah Sistem adalah kombinasi beberapa komponen yang bekerja secara bersama-sama untuk mencapai suatu tujuan tertentu. Disturbance (gangguan) adalah suatu sinyal yang cenderung mempengaruhi (secara acak) nilai output suatu sistem. Gangguan internal: gangguan dihasilkan dari dalam sistem Gangguan external: gangguan dihasilkan dari luar sistem (input) Feedback Control System(sistem kendali umpan balik) yaitu suatu sistem yang melestarikan relasi antara output dan perbedaan input dengan membandingkan keduanya dan menggunakan perbedaan tersebut sebagai kontrol. Feedback Control System juga lazim disebut sebagai closed loop control system. Open loop control system yaitu sistem dimana output tidak berpengaruh pada aksi kontrol. Sebagai contoh adalah mesin pencuci pakaian, dimana prosesnya adalah perendaman, pencucian, pembilasan. Dalam hal ini, mesin tidak mengukur sinyal output, dimana outputnya adalah kebersihan pakaian. () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

23 Sistem Loop Terbuka VS Loop Tertutup Sistem open loop menggunakan alat penggerek (actuator) untuk mengontrol proses secara langsung. Lihat gambar berikut Open Loop Sistem control closed loop menggunakan ukuran dari output dan feedback dari sinyal ini untuk membandingkannya dengan input. () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

24 Sistem Loop Terbuka VS Loop Tertutup Sistem open loop menggunakan alat penggerek (actuator) untuk mengontrol proses secara langsung. Lihat gambar berikut Open Loop Sistem control closed loop menggunakan ukuran dari output dan feedback dari sinyal ini untuk membandingkannya dengan input. () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

25 Klasi kasi Sistem Linier vs nonlinier Time invariant vs time varying Continuous time vs discrete time Deterministic vs stochastic Transfer function vs state space Gambar 1 Keterangan Linier vs nonlinier F Sistem sis umumnya bersifat nonlinier F Untuk daerah kerja yang kecil, sistem linier dapat dianggap linier (piece wise linearization), lihat Gambar 1 F Pada sistem linier berlaku hukum superposisi, yaitu respon suatu sistem terhadap beberapa input yang berbeda merupakan kombinasi respon masing-masing input. () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

30 Time invariant vs time varying Sistem time invariant memiliki parameter-parameter yang konstan, tak tergantung pada waktu Responnya tak tergantung pada saat kapan input diberikan Sistem time varying memiliki satu atau lebih parameter yang berubah terhadap waktu. Responnya tergantung pada waktu input diberikan Continuous time vs discrete time sistem waktu kontinu: memiliki semua variabel/sinyal yang kontinu terhadap waktu sistem waktu diskrit: memiliki satu atau lebih variabel/sinyal yang diskrit terhadap waktu. Deterministic vs stochastic Sistem deterministik memiliki respon terhadap suatu input yang dapat ditebak dan berulang/konsisten Sistem stokastik: respon terhadap input yang sama tidak selalu menghasilkan output yang sama. () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

41 Transfer function vs state space Analisis sistem sederhana, single input single output (SSO) yang bersifat linier, kontinu, time invariant, deterministik, dapat dilakukan melalui pendekatan tradisional (fungsi transfer) yang merupakan domain fungsi kompleks. F alat bantu analisis dan perancangan dapat berupa Root Locus (domain waktu), Bode Plot atau Nyquist (domain frekwensi) Untuk sistem modern yang kompleks dan berakurasi tinggi, multi input multi output (MMO) yang bersifat nonlinier, time varying harus digunakan pendekatan state space yang bersifat domain waktu. () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

45 Fungsi Transfer dan Fungsi Respon mpulse Dalam teori kontrol, fungsi transfer (fungsi alih) biasanya digunakan untuk mengkarakteristikkan hubungan antara komponen input output yang dapat diberikan oleh persamaan diferensial linear invarian waktu. Fungsi transfer dari suatu sistem persamaan diferensial linier invarian waktu dide nisikan sebagai rasio antara transformasi Laplace dari output (fungsi respon) dengan transformasi Laplace dari input dengan asumsi bahwa syarat awal adalah nol. Diberikan suatu sistem persamaan diferensial linier invariant waktu berikut: a 0 y (n) + a 1 y (n 1) + + a n 1 y 0 + a n y = b 0 x (m) + b 1 x (m 1) + + b m 1 x 0 + b m x; dimana n m; y (n) = dn y dt ; x (m) = n dm x dt ; y adalah output dan x m adalah input: Dengan asumsi bahwa semua syarat awal bernilai nol, maka fungsi transfer dari sistem ini adalah () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

49 Fungsi transfer = G(s) = L foutputg L finputg = Y (s) X (s) syarat awal 0 (1) Fungsi Respon mpulse. = b 0s m + b 1 s m b m 1 s + b m a 0 s n + a 1 s n a n 1 s + a n Diberikan output dari suatu sistem, jika input berbentuk fungsi impulse satuan, maka fungsi transfernya adalah G(s) = Y (s); (2) karena transformasi Laplace dari fungsi impulse satuan adalah 1. nvers transformasi Laplace dari output (2) adalah L 1 fg(s)g = L 1 fy (s)g = g(t); disebut fungsi respon impulse. (Fungsi g(t) juga sering disebut fungsi pembobot). () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

50 Fungsi transfer = G(s) = L foutputg L finputg = Y (s) X (s) syarat awal 0 (1) Fungsi Respon mpulse. = b 0s m + b 1 s m b m 1 s + b m a 0 s n + a 1 s n a n 1 s + a n Diberikan output dari suatu sistem, jika input berbentuk fungsi impulse satuan, maka fungsi transfernya adalah G(s) = Y (s); (2) karena transformasi Laplace dari fungsi impulse satuan adalah 1. nvers transformasi Laplace dari output (2) adalah L 1 fg(s)g = L 1 fy (s)g = g(t); disebut fungsi respon impulse. (Fungsi g(t) juga sering disebut fungsi pembobot). () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

51 Diagram Blok Suatu sistem kontrol terdiri atas sejumlah komponen. Untuk menunjukkan peran dari masing-masing komponen, biasanya digunakan suatu diagram yang disebut sebagai diagram blok. Suatu diagram blok dari suatu sistem adalah suatu representasi diagram yang menggambarkan fungsi dari masing-masing komponen dan aliran dari sinyal, serta meramalkan hubungan antara bermacam-macam komponen. Dalam diagram blok, semua variabel sistem dihubungkan melalui blok fungsional. Blok fungsional adalah suatu simbol operasi matematika pada sinyal input kepada blok yang menghasilkan output. Fungsi transfer dari komponen biasanya dimasukkan ke dalam blok yang terkait yang dihubungkan oleh panah yang menunjukkan arah dari aliran sinyal. () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

56 Gambar 2 berikut ini memperlihatkan elemen dari diagram blok Gambar 2 Suatu diagram blok memuat informasi mengenai perilaku dinamis, tetapi tidak memuat informasi mengenai konstruksi sis dari sistem. Akibatnya, beberapa sistem yang tak serupa mungkin saja direpresentasikan oleh diagram blok yang sama. Gambar 3 Summing point: suatu lingkaran yang disilang pada Gambar 3 menunjukkan operasi penjumlahan Titik Cabang adalah suatu titik dimana sinyal dari suatu blok bergerak secara bersama-sama ke blok yang lain atau summing point. () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

57 Gambar 2 berikut ini memperlihatkan elemen dari diagram blok Gambar 2 Suatu diagram blok memuat informasi mengenai perilaku dinamis, tetapi tidak memuat informasi mengenai konstruksi sis dari sistem. Akibatnya, beberapa sistem yang tak serupa mungkin saja direpresentasikan oleh diagram blok yang sama. Gambar 3 Summing point: suatu lingkaran yang disilang pada Gambar 3 menunjukkan operasi penjumlahan Titik Cabang adalah suatu titik dimana sinyal dari suatu blok bergerak secara bersama-sama ke blok yang lain atau summing point. () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

58 Gambar 4 dan gambar 5 berikut ini memperlihat suatu contoh diagram blok dari suatu sistem loop tertutup (closed loop system) C (s) = G (s) E (s) E (s) = R (s) C (s) C (s) = G (s) [R (s) C (s)] [1 + G (s)] C (s) = G (s) R (s) Fungsi transfer untuk diagram blok ini adalah Gambar 4 Sehingga, respon (output) adalah C (s) R (s) = G (s) 1 + G (s) C (s) = G (s) 1 + G (s) R (s) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

59 Gambar 4 dan gambar 5 berikut ini memperlihat suatu contoh diagram blok dari suatu sistem loop tertutup (closed loop system) C (s) = G (s) E (s) E (s) = R (s) C (s) C (s) = G (s) [R (s) C (s)] [1 + G (s)] C (s) = G (s) R (s) Fungsi transfer untuk diagram blok ini adalah Gambar 4 Sehingga, respon (output) adalah C (s) R (s) = G (s) 1 + G (s) C (s) = G (s) 1 + G (s) R (s) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

60 Gambar 5 C (s) = G (s) E (s) E (s) = R (s) B (s) = R (s) H (s) C (s) C (s) = G (s) [R (s) H (s) C (s)] [1 + G (s) H (s)] C (s) = G (s) R (s) Fungsi transfer dan respon (output)nya berturut-turut adalah C (s) R (s) = G (s) 1 + G (s) H (s) dan C (s) = G (s) 1 + G (s) H (s) R (s) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

61 Gambar 6 berikut ini memperlihatkan sistem loop tertutup yang dipengaruhi oleh suatu disturbance (gangguan) Gambar 6 C (s) = G 2 (s) [G 1 (s) (R (s) H (s) C (s)) + D (s)] [1 + G 2 (s)g 1 (s)h (s)] C (s) = G 2 (s) [G 1 (s)r (s) + D (s)] C (s) = G 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)h (s) [G 1(s)R (s) + D (s)] (3) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

62 Output (3) dapat juga diperoleh dengan menjumlah respon dari disturbance D (s) ; yakni C D (s) ; dan respon dari input R (s) ; yakni C R (s) : Respon dari D (s) adalah C D (s) = Respon dari R (s) adalah Sehingga C R (s) = G 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)h (s) D (s) G 1 (s)g 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)h (s) R (s) C (s) = C D (s) + C R (s) = G 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)h (s) [G 1(s)R (s) + D (s)] () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

66 Prosedur menggambar diagram blok Terlebih dahulu tulis persamaan yang menggambarkan perilaku dinamis dari setiap komponen. Ambil transformasi Laplace dari persamaan ini dengan asumsi bahwa syarat awal bernilai nol. Gambarkan masing-masing persamaan transformasi Laplace dalam bentuk blok Terakhir, sambungkan elemen-elemen ke dalam suatu diagram blok lengkap Contoh: Perhatikan circuit RC dalam Gambar 7 berikut ini Gambar 7 () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

72 Persamaan untuk circuit adalah i = e i e 0 Z R idt e 0 = C Transformasi Laplace dari persamaan (4) dan (5) adalah (4) (5) (s) = E i(s) E 0 (s) R E 0 (s) = (s) Cs Persamaan (6) menggambarkan operasi penjumlahan, sehingga diagramnya ditunjukkan dalam Gambar 8. Persamaan (7) menggambarkan blok seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 9 (6) (7) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

76 Dengan menghubungkan dua elemen ini diperoleh diagram blok lengkap untuk circuit RC tersebut seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 10. Gambar 8 Gambar 9 Gambar 10 () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

77 Pemodelan State Space (Ruang Keadaan) Beberapa Pengertian State (keadaan) dari suatu sistem dinamis adalah himpunan terkecil dari variabel-variabel (disebut state variables) yang bersifat dengan mengetahui nilai variabel tersebut di t = t 0 ; dan mengetahui informasi tentang input untuk t t 0 ; maka perilaku sistem dapat diketahui secara utuh untuk setiap t t 0 : Pengertian state tidak terbatas hanya untuk sistem sis, tetapi juga berlaku untuk sistem biologi, ekonomi, sosial dll. State variable (variabel keadaan) dari suatu sistem dinamis adalah himpunan terkecil variabel yang menentukan state sistem dinamik tersebut. Jika sekurang-kurangnya n variabel x 1 ; x 2 ; : : : ; x n diperlukan untuk menggambarkan perilaku suatu sistem dinamis secara utuh maka n variabel tersebut adalah himpunan variabel keadaan. () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

81 State vector (vektor keadaan). Jika n variabel keadaan diperlukan untuk menggambarkan perilaku suatu sistem secara utuh, maka n variabel keadaan ini dapat dianggap sebagai vektor x dengan n komponen. Vektor x ini disebut sebagai vektor keadaan. State space (ruang keadaan) adalah ruang dimensi n yang sumbu koordinatnya terdiri dari sumbu x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; dimana x 1 ; x 2 ; : : : ; x n merupakan variabel keadaan. Diberikan suatu sistem yang terdiri atas r input, m output dan n variabel keadaan. Secara berturut-turut, input, output dan keadaan diberikan oleh simbol berikut input; u 1 (t); u 2 (t); : : : ; u r (t) output; y 1 (t); y 2 (t); : : : ; y m (t) variabel keadaan; x 1 (t); x 2 (t); : : : ; x n (t) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

85 Maka sistem dapat ditulis sebagai berikut: _x 1 (t) = f 1 (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t) _x 2 (t) = f 2 (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t). _x n (t) = f n (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t) (8) Output y 1 (t); y 2 (t); : : : ; y m (t) dapat ditulis sebagai y 1 (t) = g 1 (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t) y 2 (t) = g 2 (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t). y m (t) = g m (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t) (9) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

86 Maka sistem dapat ditulis sebagai berikut: _x 1 (t) = f 1 (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t) _x 2 (t) = f 2 (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t). _x n (t) = f n (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t) (8) Output y 1 (t); y 2 (t); : : : ; y m (t) dapat ditulis sebagai y 1 (t) = g 1 (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t) y 2 (t) = g 2 (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t). y m (t) = g m (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t) (9) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

87 De nisikan 0 x (t) = x 1 (t) x 2 (t). x n (t) 1 f (x; u; t) = 0 C A ; u (t) = 0 0 g (x; u; t) = u 1 (t) u 2 (t). u r (t) 1 0 C A ; y (t) = f 1 (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t) f 2 (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t). f n (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t) g 1 (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t) g 2 (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t). g m (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; u 1 ; u 2 ; : : : ; u r ; t) y 1 (t) y 2 (t). y m (t) 1 C A 1 C A 1 C A ; () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

88 Persamaan (3) dan (8) dapat ditulis menjadi x (t) = f (x; u; t) (10) y (t) = g (x; u; t) (11) Persamaan (10) disebut sebagai persamaan keadaan dan persamaan (11) disebut sebagai persamaan output. Jika fungsi f dan g dalam (10) dan (11) melibatkan (tergantung) t secara eksplisit, maka sistem disebut sebagai sistem bergantung waktu (time varying). Dengan teknik pelinieran (linearization), persamaan (10) dan (11) dapat ditulis menjadi x (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t) (12) y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t) (13) dimana A (t) disebut sebagai matriks keadaan, B (t) adalah matriks input, C (t) adalah matriks output dan D (t) adalah matriks matriks transmisi. () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

92 Diagram blok yang merepresentasikan persamaan (12) dan (13) diperlihatkan dalam Gambar 11 berikut ini. Gambar 11 Jika fungsi vektor f dan g tidak bergantung pada waktu t secara explisit maka sistem disebut sebagai sistem invarian waktu (bebas waktu). () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

93 Diagram blok yang merepresentasikan persamaan (12) dan (13) diperlihatkan dalam Gambar 11 berikut ini. Gambar 11 Jika fungsi vektor f dan g tidak bergantung pada waktu t secara explisit maka sistem disebut sebagai sistem invarian waktu (bebas waktu). () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

94 Dalam hal ini, persamaan (12) dan (13) dapat ditulis sebagai x (t) = Ax (t) + Bu (t) (14) y (t) = Cx (t) + Du (t) (15) Persamaan (14) disebut persamaan keadaan linier bebas waktu. Contoh berikut memperlihatkan bagaimana menurunkan suatu persamaan keadaan dan persamaan output dari suatu sistem mekanis. Perhatikan gambar berikut: Gambar 12 Asumsikan bahwa sistem tersebut adalah linier. Gaya eksternal u adalah input. Perpindahan massa adalah output. Perpindahan y(t) diukur dari posisi seimbang (equilibrium) tanpa adanya gaya luar. () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

101 Dari Gambar 12, berlaku persamaan my + b _y + ky = u: De nisikan variabel keadaan x 1 (t) dan x 2 (t) sebagai berikut: Maka diperoleh atau dapat ditulis _x 1 = x 2 x 1 (t) = y(t) x 2 (t) = _y(t) _x 2 = 1 m ( ky b _y) + 1 m u _x 1 = x 2 (16) _x 2 = k m x b 1 m x m u (17) Persamaan output adalah y = x 1 : (18) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

105 Dalam bentuk matriks, persamaan (16), (17) dan (18) dapat ditulis sebagai _x1 0 1 x1 0 = k b + 1 u _x 2 m m x 2 m y = 1 0 (19) x 1 x 2 Gambar berikut memperlihatkan diagram block untuk sistem (19). Gambar 12a () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

106 Dalam bentuk matriks, persamaan (16), (17) dan (18) dapat ditulis sebagai _x1 0 1 x1 0 = k b + 1 u _x 2 m m x 2 m y = 1 0 (19) x 1 x 2 Gambar berikut memperlihatkan diagram block untuk sistem (19). Gambar 12a () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

107 Hubungan antara fungsi transfer dengan persamaan ruang keadaan Berikut ini akan diperlihatkan bagaimana mengembangkan fungsi transfer suatu sistem SSO dari persamaan ruang keadaan. Diberikan suatu sistem yang fungsi transfernya adalah Y (s) U (s) = G (s) Sistem ini dapat direpresentasikan dalam bentuk ruang keadaan oleh persamaan (14) dan (15), dengan x menyatakan vektor keadaan, u menyatakan input dan y menyatakan output. Transformasi Laplace dari persamaan (14) dan (15) diberikan oleh sx (s) x (0) = AX (s) + BU (s) (20) Y (s) = CX (s) + DU (s) (21) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

111 Karena fungsi transfer dide nisikan untuk syarat awal bernilai nol, maka (20) dapat ditulis atau dapat juga ditulis (s A) X (s) = BU (s) ; X (s) = (s A) 1 BU (s) dengan adalah matriks identitas dengan ukuran yang bersesuaian. Akibat, (20) menjadi Y (s) = h C (s i A) 1 B + D U (s) : Sehingga fungsi transfer untuk sistem (14) dan (15) adalah G (s) = Y (s) U (s) = C (s A) 1 B + D (22) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

114 Karena ruas kanan (22) melibatkan suku (S A) 1 ; maka G(s) dapat ditulis sebagai G (s) = Q(s) js Aj ; dimana Q(s) adalah polinomial dalam s: Oleh karena itu, js Aj merupakan polinomial karakteristik dari matriks A: Dengan kata lain, nilai eigen dari matriks A merupakan pole dari G(s): Perlu dicatat bahwa suatu fungsi komplek G(s) dikatakan analitik dalam suatu daerah jika G(s) dan turunan-turunannya ada dalam daerah tersebut. titik dalam bidang s sedemikian sehingga fungsi G(s) adalah analitik, disebut titik biasa. Titik dalam bidang s sedemikian sehingga fungsi G(s) adalah tidak analitik, disebut titik singular. Titik singular dalam bidang s sedemikian sehingga G(s) atau turunannya menghampiri tak hingga disebut pole. Titik singular dalam bidang s sedemikian sehingga G(s) = 0 disebut zero (akar). () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

122 Perhatikan kembali contoh sistem mekanis pada Gambar 12. Persamaan keadaan untuk sistem tersebut diberikan oleh (19). Akan dicari fungsi transfer untuk sistem tersebut. Dengan mensubtitusikan A; B; C dan D ke dalam persamaan (22) diperoleh G (s) = C (s A) 1 B + D = 1 0 s b 0 s = 1 0 s 1 k m s + b m k m m m m + 0 () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

123 Karena s 1 k m s + b m 1 = 1 s 2 + b m s + k m s + b m 1 k m s ; maka fungsi transfer untuk sistem tersebut adalah G(s) = s + b s 2 + b m s + k k m m 1 = ms 2 + bs + k : m 1 s 0 1 m Untuk sistem MMO, G(s) dalam persamaan (22) juga disebut sebagai matriks transfer (berukuran m r). () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

124 Representasi Ruang Keadaan dari Sistem Dinamik Representasi Ruang Keadaan dari Sistem PDL Orde n dengan Fungsi Gaya Tidak Memuat Turunan Perhatikan sistem orde n berikut: (n) y + a 1 (n 1) y + + a n 1 _y + a n y = u (23) De nisikan x 1 = y x 2 = _y x n =. (n 1) y () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

127 Maka persamaan (23) dapat ditulis sebagai atau dapat ditulis dimana 0 x (t) = x 1 (t) x 2 (t). x n (t) _x 1 = x 2 _x 2 = x 3. _x n 1 = x n _x n = a n x 1 a 1 x n + u x (t) = Ax (t) + Bu (t) ; (24) 0 1 C A ; A = : : : : : : ; C : : : 1 A a n a n 1 a n 2 : : : a 1 () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

128 Output adalah atau dapat ditulis dimana 0 B = : C A 0 y (t) = 1 0 : : : 0 x 1 (t) x 2 (t). x n (t) 1 C A ; y (t) = Cx (t) ; (25) C = 1 0 : : : 0 () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

129 Dalam hal ini, matriks D = 0: PDL orde 1 pada (24) merupakan persamaan keadaan, sedangkan persamaan aljabar (25) merupakan persamaan output. Representasi ruang keadaan untuk fungsi transfer sistem Y (S) U(s) = 1 s n + a 1 s n 1 ; + + a n 1 s + a n juga diberikan oleh persamaan (24) dan (25). () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

130 Dalam hal ini, matriks D = 0: PDL orde 1 pada (24) merupakan persamaan keadaan, sedangkan persamaan aljabar (25) merupakan persamaan output. Representasi ruang keadaan untuk fungsi transfer sistem Y (S) U(s) = 1 s n + a 1 s n 1 ; + + a n 1 s + a n juga diberikan oleh persamaan (24) dan (25). () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

131 Representasi Ruang Keadaan dari Sistem PDL Orde n dengan Fungsi Gaya Memuat Turunan Perhatikan sistem orde n berikut: (n) (n 1) (n) (n 1) y + a 1 y + + a n 1 _y + a n y = b 0 u + b 1 u + + b n 1 _u + b n u (26) Salah satu cara untuk mendapatkan persamaan keadaan dan persamaan output adalah dengan mende nisikan n variabel berikut sebagai suatu himpunan n variabel keadaan: x 1 = y 0 u x 2 = _y 0 _u 1 u = _x 1 1 u x 3 = y 0 u 1 _u 2 u = _x 2 2 u. (n 1) (n 1) (n 2) x n = y 0 u 1 u n 2 _u n 1 u = _x n 1 n 1 u (27) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

134 dimana 0 ; 1 ; : : : ; n ditentukan dari 0 = b 0 1 = b 1 a = b 2 a 1 1 a = b 3 a 1 2 a 2 1 a 3 0. n = b n a 1 n 1 a n 1 1 a n 0 (28) Dengan pemilihan variabel keadaan ini, eksistensi dan ketunggalan solusi persamaan keadaan dijamin. Dengan pemilihan ini, diperoleh (lihat bukti pada le bukti) _x 1 = x u _x 2 = x u. _x n 1 = x n + n 1 u _x n = a n 1 x 1 a n 1 x 2 a 1 x n + n u (29) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

135 dimana 0 ; 1 ; : : : ; n ditentukan dari 0 = b 0 1 = b 1 a = b 2 a 1 1 a = b 3 a 1 2 a 2 1 a 3 0. n = b n a 1 n 1 a n 1 1 a n 0 (28) Dengan pemilihan variabel keadaan ini, eksistensi dan ketunggalan solusi persamaan keadaan dijamin. Dengan pemilihan ini, diperoleh (lihat bukti pada le bukti) _x 1 = x u _x 2 = x u. _x n 1 = x n + n 1 u _x n = a n 1 x 1 a n 1 x 2 a 1 x n + n u (29) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

136 Dalam bentuk persamaan keadaan dan persamaan output, persamaan terakhir dapat ditulis menjadi x (t) = Ax (t) + Bu (t) (30) y (t) = Cx (t) + Du; (31) dimana 0 A = : : : : : : ; B = C B : : : 1 a n a n 1 a n 2 : : : a n 1 n 1 C A C = 1 0 : : : 0 ; D = 0 = b 0 : () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

137 Representasi ruang keadaan untuk fungsi transfer Y (s) U(s) = b 0s n + b 1 s n b n 1 s + b n s n + a 1 s n a n 1 s + a n ; (32) juga diberikan oleh persamaan (30) dan (31). Contoh-contoh. 1 Tentukan fungsi transfer C(s) R(s) berikut: dan C(s) D(s) dari sistem dalam Gambar 13 Gambar 13 () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

140 Penyelesaian. Dari Gambar 13 diperoleh U(s) = G f R(s) + G c E(s) (33) C(s) = G p [D(s) + G 1 U(s)] (34) E(s) = R(s) HC(s) (35) Dengan mensubtitusikan (33) ke dalam (34) diperoleh C(s) = G p D(s) + G 1 G p [G f R(s) + G c E(s)] (36) Dengan mensubtitusikan (35) ke dalam (36) diperoleh C(s) = G p D(s) + G 1 G p [G f R(s) + G c (R(s) HC(s))] (37) Penyederhanaan persamaan (37) memberikan [1 + G 1 G p G c H] C(s) = G p D(s) + G 1 G p [G f + G c ] R(s) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

144 Sehingga C(s) = G pd(s) + G 1 G p [G f + G c ] R(s) 1 + G 1 G p G c H Persamaan (38) merupakan respon C(s) bila input R(s) dan input disturbance D(s) terjadi dalam sistem. Untuk mendapatkan fungsi transfer C(s) ; misalkan D(s) = 0 dalam R(s) (38). Maka diperoleh C(s) R(s) = G 1G p [G f + G c ] 1 + G 1 G p G c H Dengan cara yang sama, untuk mendapatkan fungsi transfer C(s) D(s) ; misalkan R(s) = 0 dalam (38). Maka diperoleh C(s) D(s) = G p 1 + G 1 G p G c H : (38) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

148 2). Tentukan persamaan ruang keadaan dan persamaan output untuk sistem yang dide nisikan oleh Y (s) U(s) = 2s3 + s 2 + s + 2 s 3 + 4s 2 + 5s + 2 : Penyelesaian Dari fungsi transfer tersebut, persamaan diferensial untuk sistem yang dicari adalah... y + 4y + 5 _y + 2y = 2... u + u + _u + 2u (39) Dengan memperhatikan (26), maka dari (39) diperoleh a 1 = 4; a 2 = 5; a 3 = 2; b 0 = 2; b 1 = 1; b 2 = 1; b 3 = 2: Berdasarkan (28) diperoleh 0 = b 0 = 2 1 = b 1 a 1 0 = 1 4:2 = 7 2 = b 2 a 1 1 a 2 0 = 1 4:( 7) 5:2 = 19 3 = b 3 a 1 2 a 2 1 a 3 0 = 2 4:(19) 2:( 7) = 43 () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

149 Berdasarkan (27), de nisikan yang memberikan x 1 = y 0 u = y 2u x 2 = _x 1 + 7u x 3 = _x 2 2 u = _x 2 19u; _x 1 = x 2 7u _x 2 = x u _x 3 = a 3 x 1 a 2 x 2 a 1 x u = 2x 1 5x 2 4x 3 43u Sehingga, representasi ruang keadaan adalah _x x _x 2 A x 2 _x x 3 0 y = 1 0 x 1 x 2 1 A + 2u 1 0 A A u x 3 () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

150 Transformasi Model Matematis dengan Matlab Fungsi transfer loop tertutup dapat ditulis sebagai Command untuk mentransformasikan dari fungsi transfer kepada representasi ruang keadaan: [A; B; C; D] = tf2ss(num,den) Command untuk mentransformasikan dari representasi ruang keadaan kepada fungsi transfer [num,den] = ss2tf(a; B; C; D) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

153 Contoh. Diberikan fungsi transfer sustu sistem sebagai berikut: Y (s) U(s) = = s (s + 10) (s 2 + 4s + 16) s s s s Maka, Matlab command untuk menentukan representasi ruang keadaannya adalah sebagai berikut: num=[ ]; den=[ ]; [A; B; C; D]=tf2ss(num,den) Luarannya adalah 0 A A ; B A ; C = ; D = 0: (40) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

159 Sebaliknya, jika matriks A; B; C dan D seperti dalam (40) maka Matlab command untuk menentukan fungsi transfernya adalah adalah sebagai berikut: A =[ ;1 0 0;0 1 0]; B = [1; 0; 0]; C = [0 1 0]; D = 0; [num,den] = ss2tf(a; B; C; D) Luarannya adalah num = den = () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

166 3). Tentukan suatu model ruang keadaan untuk sistem yang ditunjukkan dalam Gambar 14. Penyelesaian Modi kasi as + b s 2 sebagai Gambar 14 as + b s 2 = a + b 1 s s : () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

167 Dengan menggunakan ini, diagrm blok di atas dapat dimodi kasi seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 15 berikut: Gambar 15 De nisikan output sebagai variabel keadaan. Maka dari Gambar 15 diperoleh atau dapat ditulis: X 1 (s) = Y (s) X 2 (s) = b [U(s) Y (s)] s X 1 (s) = 1 s [a (U(s) Y (s)) + X 2(s)] () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

168 sx 1 (s) = X 2 (s) + a [U(s) X 1 (s)] sx 2 (s) = bx 1 (s) + bu(s) X 1 (s) = Y (s) Dengan mengambil invers transformasi Laplace dari ketiga persamaan terakhir diperoleh _x 1 = x 2 + a (u x 1 ) _x 2 = bx 1 + bu x 1 = y Maka representasi ruang keadaan untuk sistem tersebut adalah _x1 a 1 x1 a = + u _x 2 b 0 x 2 b y = 1 0 x 1 x 2 () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

169 4). Tentukan model ruang keadaan dari sistem dalam Gambar 16 berikut: Gambar 16 Misalkan output dari plant adalah X 1 ; output dari pengontrol adalah X 2 ; dan output dari sensor X 3 : Maka dari gambar diperoleh: () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

170 yang dapat ditulis sebagai Y (s) = X 1 (s) X 1 (s) 10 = X 2 (s) s + 5 X 2 (s) = 1 U(s) X 3 (s) s X 3 (s) 1 = X 1 (s) s + 1 ; sx 1 (s) = 5X 1 (s) + 10X 2 (s) sx 2 (s) = X 3 (s) + U(s) sx 3 (s) = X 1 (s) X 3 (s) Y (s) = X 1 (s) () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

171 nvers transformasi Laplace dari keempat persamaan terakhir adalah _x 1 = 5x x 2 _x 2 = x 3 + u _x 3 = x 1 x 3 y = x 1 Maka representasi ruang keadaan untuk sistem tersebut adalah _x x 1 _x 2 A x 2 A 1 A u _x x y = 1 0 x 1 x 2 x 3 1 A () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

172 5). Gambar 17 memperlihatkan sistem yang terdiri atas 2 input dan 2 output. Tentukan fungsi transfer C 1 (s) R 1 (s) ; C 1 (s) R 2 (s) ; C 2 (s) R 1 (s) ; dan C 2(s) R 2 (s) : Gambar 17 () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

173 Penyelesaian Dari Gambar 17 diperoleh Subtitusikan (42) ke dalam (41) diperoleh C 1 = G 1 (R 1 G 3 C 2 ) (41) C 2 = G 4 (R 2 G 2 C 1 ) (42) C 1 = G 1 (R 1 G 3 G 4 (R 2 G 2 C 1 )) [1 G 1 G 3 G 4 G 2 ] C 1 = G 1 (R 1 G 3 G 4 R 2 ) C 1 = G 1 (R 1 G 3 G 4 R 2 ) [1 G 1 G 3 G 4 G 2 ] Dengan mengambil R 2 = 0; maka diperoleh C 1 G 1 = ; R 1 1 G 1 G 2 G 3 G 4 dan dengan mengambil R 1 = 0; maka diperoleh C 1 R 2 = G 1 G 3 G 4 1 G 1 G 2 G 3 G 4 : () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

174 Penyelesaian Dari Gambar 17 diperoleh Subtitusikan (42) ke dalam (41) diperoleh C 1 = G 1 (R 1 G 3 C 2 ) (41) C 2 = G 4 (R 2 G 2 C 1 ) (42) C 1 = G 1 (R 1 G 3 G 4 (R 2 G 2 C 1 )) [1 G 1 G 3 G 4 G 2 ] C 1 = G 1 (R 1 G 3 G 4 R 2 ) C 1 = G 1 (R 1 G 3 G 4 R 2 ) [1 G 1 G 3 G 4 G 2 ] Dengan mengambil R 2 = 0; maka diperoleh C 1 G 1 = ; R 1 1 G 1 G 2 G 3 G 4 dan dengan mengambil R 1 = 0; maka diperoleh C 1 R 2 = G 1 G 3 G 4 1 G 1 G 2 G 3 G 4 : () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

175 Subtitusikan (41) ke dalam (42) diperoleh C 2 = G 4 (R 2 G 2 G 1 (R 1 G 3 C 2 )) [1 G 4 G 2 G 1 G 3 ] C 2 = G 4 (R 2 G 2 G 1 R 1 ) C 2 = G 4 (R 2 G 2 G 1 R 1 ) 1 G 1 G 2 G 3 G 4 Dengan mengambil R 2 = 0; maka diperoleh C 2 R 1 = G 1 G 2 G 4 1 G 1 G 2 G 3 G 4 ; dan dengan mengambil R 1 = 0; maka diperoleh C 2 R 2 = G 4 1 G 1 G 2 G 3 G 4 : Perhatikan bahwa bila R 2 (s) = 0, diagram blok dapat disederhanakan seperti dalam Gambar 17a dan 17b. Dengan cara yang sama, bila R 1 (s) = 0, diagram blok dapat disederhanakan seperti dalam Gambar 17c dan 17d. () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

176 Gambar 17a C 1 R 1 = G 1 1 G 1 G 2 G 3 G 4 C 2 R 1 = G 1 G 2 G 4 1 G 1 G 2 G 3 G 4 Gambar 17b () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

177 Gambar 17c C 1 R 2 = G 1 G 3 G 4 1 G 1 G 2 G 3 G 4 Gambar 17d C 2 R 2 = G 4 1 G 1 G 2 G 3 G 4 () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

178 Soal: 1. Cari representasi ruang keadaan dari sistem yang ditunjukkan dalam Gambar 18 berikut: Gambar Tentukan fungsi transfer dari sistem berikut: 0 _x x _x 2 A x 2 _x x 3 0 y = 1 0 x 1 x 2 x 3 1 A 1 0 A A u () Model Matematika dari Sistem Dinamis September / 60

Menunjukkan lagi