REALISASI UNTUK SISTEM DESKRIPTOR LINIER INVARIANT WAKTU

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol 2 No 3 Hal 1 8 ISSN : c Jurusan Matematika FMIPA UNAND REALISASI UNTUK SISTEM DESKRIPTOR LINIER INVARIANT WAKTU NOVRIANTI Program Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, rian ccb@yahoocoid Abstract A continuous invariant time linear control system is a model which is often applied in economics, engineering, and numerical analysis In this paper, the realization of the transfer function for the descriptor system with multi inputs and multi outputs (MIMO) is discussed Some algebraic techniques are used to prove some theorems and to get a realization of a transfer function Kata Kunci: Realizations, descriptor system, MIMO, strictly proper 1 Pendahuluan Jika diberikan suatu sistem kontrol, maka bukan merupakan hal yang sulit untuk mendapatkan fungsi transfernya, tetapi tidak sebaliknya Karakteristik hubungan antara input dan output dari suatu sistem kontrol biasanya dapat dilihat dari fungsi transfer Fungsi transfer untuk suatu sistem kontrol linier invariant waktu didefinisikan sebagai perbandingan antara transformasi Laplace output dengan transformasi Laplace input dengan mengasumsikan syarat awal adalah nol [1 Penentuan realisasi dari suatu fungsi transfer tidaklah mudah, terutama dalam sistem deskriptor dengan multi input dan multi output (MIMO) Oleh karena itu, kajian tentang realisasi masih sangat diperlukan 2 Sistem Deskriptor Linier Invariant Waktu Sistem deskriptor linier invariant waktu ditulis sebagai berikut Eẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x 0 y(t) = Cx(t) (21) dimana ẋ(t) = dx(t) dt Dalam sistem (21), x(t) R n menyatakan vektor keadaaan, u(t) R m menyatakan vektor input (kontrol), y(t) R p menyatakan vektor output, A, E R n n, B R n m, dan C R p n Fungsi transfer dari sistem (21) adalah T (s) = C(sE A) 1 B Jika matriks E adalah non singular, maka sistem (21) merupakan sistem kontrol standar, akan tetapi jika matriks E singular, maka sistem (21) harus didekomposisikan dengan menggunakan teorema berikut 1

2 2 Novrianti Teorema 21 [1 Sistem deskriptor (21) adalah regular jika dan hanya jika terdapat matriks nonsingular Q, P R n n sedemikian sehingga In1 0 A1 0 QEP = dan QAP = (22) 0 N 0 I n2 dimana A 1 R n1 n1, N R n2 n2, n 1 + n 2 = n, dan matriks N adalah nilpoten dengan indeks nilpotensi q Berdasarkan Teorema 21, dapat dilihat bahwa matriks E, A R n n didekomposisikan sebagai E = Q 1 In1 0 P 1, dan A = Q 1 A1 0 P 1 0 N 0 I n2 untuk suatu matriks nonsingular P, Q R n n [ Perhatikan kembali sistem (21) Selanjutnya misalkan x(t) = P z(t), QB = B1, dan CP = C 1 C 2 untuk suatu Q, P nonsingular, z(t) R n, B 1 B 2 R n1 m, B 2 R n2 m, C 1 R p n1, dan C 2 R p n2 Maka persamaan keadaan pada sistem (21) dapat ditulis menjadi dan persamaan output ditulis menjadi EP ż(t) = AP z(t) + Bu(t) QEP ż(t) = QAP z(t) + QBu(t) B1 = QAP z(t) + u(t), B 2 y(t) = [ C 1 C 2 z(t) Dengan menggunakan Teorema 21, maka sistem (21) dapat ditulis menjadi In1 0 ż1 (t) A1 0 z1 (t) B1 = + u(t) (23) 0 N ż 2 (t) 0 I n2 z 2 (t) B 2 y(t) = z C 1 C 1 (t) 2 (24) z 2 (t) Persamaan (23) memperlihatkan bahwa persamaan keadaan pada sistem (21) dapat direduksi menjadi dua subsistem, yaitu ż 1 (t) = A 1 z 1 (t) + B 1 u(t) (25) Nż 2 (t) = z 2 (t) + B 2 u(t), (26) dan persamaan (24) memperlihatkan bahwa persamaan output pada sistem (21) dapat direduksi menjadi dua subsistem pula, yaitu y 1 (t) = C 1 z 1 (t) (27) y 2 (t) = C 2 z 2 (t), (28) dimana z 1 (t) R n1, z 2 (t) R n2, C 1 R p n1 dan C 2 R p n2, dengan y(t) = y 1 (t) + y 2 (t)

3 Realisasi untuk Sistem Deskriptor Linier Invariant Waktu 3 Untuk sistem dengan multi input dan multi output (MIMO), fungsi tansfer didefinisikan sebagai fungsi T (s) yang memenuhi hubungan Y(s) = T (s)u(s) (29) dengan syarat awal x(0) = 0, dimana Y(s) adalah transformasi Laplace output dan U(s) adalah transformasi Laplace input Definisi 21 [3 Suatu fungsi transfer T (s) dikatakan proper jika lim s T (s) = K, K R p m, dan dikatakan strictly proper jika lim s T (s) = 0 3 Realisasi untuk Sistem Deskriptor Linier Invariant Waktu Jika diberikan suatu fungsi transfer T (s), maka fungsi transfer dapat didekomposisikan sebagai T (s) = G(s) + F (s) = C 1 (si A 1 ) 1 B 1 + C 2 (sn I) 1 B 2 (31) dimana G(s) merupakan bagian strictly proper, dan F (s) bagian polinomial Teorema 31 [2 Realisasi dari G(s) ada jika dan hanya jika G(s) merupakan fungsi transfer yang strictly proper Bukti( ) Misalkan realisasi dari G(s) ada, sebutlah realisasi tersebut adalah A 1, B 1, C 1 sedemikian sehingga G(s) = C 1 (si A 1 ) 1 B 1 Akan ditunjukkan bahwa G(s) merupakan fungsi transfer yang strictly proper Perhatikan bahwa G(s) = C 1 (si A 1 ) 1 B 1 = C 1(adj[sI A 1 )B 1 (32) det(si A 1 ) Karena derajat entri-entri dari adj[si A 1 selalu lebih kecil dari derajat det(si A 1 ), maka lim G(s) = 0 s Jadi G(s) adalah strictly proper ( ) Misalkan G(s) merupakan fungsi transfer yang strictly proper, sebutlah dimana G(s) = L(s) d(s), L(s) = s n 1 L n L 0, (33) d(s) = s n + d n 1 s n d 1 s + d 0, (34) untuk suatu n N, dengan L 0, L 1,, L n 1 adalah matriks-matriks berukuran p m Maka G(s) = sn 1 L n L 0 s n + d n 1 s n d 0

4 4 Novrianti = 1 d(s) L0 L 1 L n 2 L n 1 I m si m s 2 I m, s n 1 I m dimana I m adalah matriks identitas berukuran m m Misalkan I m Z 1 Z = 1 si m Z 2 s 2 I m = d(s) (35) Z n 1 s n 1 I m Z n Dari (35) diperoleh Z 1 = 1 d(s) I m, (36) yang mengakibatkan Z i+1 = sz i dengan i = 1, 2,, n 1 Selain itu diperoleh juga yang dapat ditulis Dari (36) diperoleh atau dapat ditulis Z n = s n 1 Z 1, (37) sz n = s n Z 1 (38) I m = (d 0 + d 1 s + d 2 s d n 1 s n 1 + s n )Z 1 = d 0 Z 1 + d 1 sz 1 + d 2 s 2 Z d n 1 s n 1 Z 1 + s n Z 1 = d 0 Z 1 + d 1 Z 2 + d 2 Z d n 1 Z n + sz n (39) sz n = I m d 0 Z 1 d 1 Z 2 d 2 Z 3 + d n 1 Z n (310) Selanjutnya (35) dapat ditulis menjadi sz 1 Z 2 sz 2 Z 3 = sz n 1 Z n sz n d 0 Z 1 d 1 Z 2 d 2 Z 3 + d n 1 Z n + I m atau dimana (311) sz = A 1 Z + B 1, (312) 0 m I m 0 m 0 m 0 m 0 m 0 m I m 0 m 0 m A 1 =, (313) 0 m 0 m 0 m 0 m I m d 0 I m d 1 I m d 2 I m d n 2 I m d n 1 I m

5 Realisasi untuk Sistem Deskriptor Linier Invariant Waktu 5 0 m 0 ṃ B 1 = (314) 0 m I m Dari (312) diperoleh Z = (si A 1 ) 1 B 1 Jadi, dengan memilih matriks A 1 seperti (313), B 1 seperti (314), dan C 1 = [ L 0 L 1 L n 2 L n 1, maka G(s) = C 1 (si A 1 ) 1 B 1, yang menunjukkan bahwa A 1, B 1, dan C 1 merupakan realisasi dari G(s) Teorema 32 Realisasi dari F (s) ada jika dan hanya jika F (s) merupakan fungsi transfer yang entri-entrinya adalah polinomial Bukti ( ) Misalkan realisasi dari F (s) ada, sebutlah realisasi tersebut adalah N, B 2, C 2 sedemikian sehingga F (s) = C 2 (sn I) 1 B 2 Akan ditunjukkan bahwa F (s) merupakan fungsi transfer entri-entrinya adalah polinomial Ambil sebarang matriks n 11 n 12 n 13 n 1n2 n 21 n 22 n 23 n 2n2 N = n 31 n 32 n 33 n 3n2 n n21 n n22 n n23 n n2n 2 dimana N adalah matriks nilpoten Selanjutnya perhatikan bahwa b 11 b 12 b 13 b 1m b 21 b 22 b 23 b 2m, B 2 =, b n21 b n22 b n23 b n2m c 11 c 12 c 13 c 1n2 c 21 c 22 c 23 c 2n2 C 2 =, c p1 c p2 c p3 c pn2 F (s) = C 2 (sn I) 1 B 2 sn c 11 c 12 c 11 1 sn 12 sn 1n2 1n2 = sn 21 sn 22 1 sn 2n2 c p1 c p2 c pn2 sn n21 sn n22 sn n2n 2 1 b 11 b 12 b 1m b n21 b n22 b n2m karena N matriks nilpoten, maka entri-entri dari F (s) dapat ditulis menjadi f ij = f 0 + f 1 s + f 2 s f n2 s n2, (i = 1,, p; j = 1,, m) 1

6 6 Novrianti Jadi F (s) merupakan matriks yang berisikan polinomial-polinomial ( ) Misalkan F (s) merupakan fungsi transfer dengan entri-entri polinomial Tulis f 11 f 12 f 13 f 1m f 21 f 22 f 23 f 2m F (s) =, (315) f p1 f p2 f p3 f pm dengan f ij = a kj ij skj + + a 1 ijs + a 0 ij, (i = 1,, p; j = 1,, m) (316) dimana k j adalah derajat tertinggi dari kolom ke-j dari F (s) Selanjutnya definisikan matriks 1 S = diag[ S 1, S 2,, S s m, Si = (317) s kj Dengan menggunakan (316) dan (317), diperoleh dimana C 2 = dan S dapat ditulis sebagai F (s) = C 2 S, (318) a 0 11 a 1 11 a k1 11 a0 1m a 1 1m a km 1m a 0 21 a 1 21 a k1 21 a0 2m a 1 2m a km 2m a 0 p1 a 1 p1 a k1 p1 a0 pm a 1 pm a km pm, (319) S = (sn I) 1 B 2, (320) dimana N = diag [N 1, N 2,, N m, N j = , (321) B 2 = diag[b 1, b 2,, b m, b j =, (322) 0 N j R (kj+1) (kj+1) dan b j R (kj+1) m, untuk j = 1,, m Jadi, dengan memilih matriks N seperti (321), B 2 seperti (322), dan C 2 seperti (319), maka F (s) = C 2 (sn I n2 ) 1 B 2, yang menunjukkan bahwa N, B 2, C 2 merupakan realisasi dari F (s)

7 4 Contoh Penentuan Realisasi Fungsi Transfer Tentukan realisasi dari T (s) = Penyelesaian T (s) dapat ditulis menjadi Realisasi untuk Sistem Deskriptor Linier Invariant Waktu 7 [ s 4 s 3 5s 2 2s+2 s 2 2s 3 s + 1 2s 3 4s 2 5s s 2 2s 3 s 3 3s 2 +s 2 s 3 T (s) = G(s) + F (s) [ = s+2 s 2 2s 3 0 s 1 s 2 2s 3 s 3 s 2 + s s s s (41) Misalkan G(s) = [ s+2 s 2 2s 3 0 s 1 s 2 2s 3 s 3, (42) dan F (s) = s 2 + s s + 1 2s s (43) Berdasarkan (42), diperoleh polinomial bersama dari penyebutnya sebagai berikut d(s) = s 2 2s 3 (44) sehingga A 1 = , B 1 = Dari (42) dan (44) diperoleh d(s)g(s) = Persamaan (45) dapat ditulis menjadi d(s)g(s) = s (45) s s + 1 [ s, 1 1 sehingga C 1 = (46) Selain itu, berdasarkan (43) terlihat bahwa derajat tertinggi dari kolom pertama F (s) adalah k 1 = 2 dan derajat tertinggi dari kolom kedua adalah k 2 = 2, sehingga

8 8 Novrianti diperoleh C 2 = , N = , B = Ucapan Terima Kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr Muhafzan, Bapak Dr Admi Nazra, Bapak Dr Syafrizal Sy, Bapak Dr Mahdhivan Syafwan, dan Ibu Dr Yanita yang telah memberikan masukan dan saran, sehingga tulisan ini dapat diselesaikan dengan baik Daftar Pustaka [1 Duan, G R 2010 Analysis and Design of Descriptor Linear Systems Springer New York [2 Hendricks, E, Jannerup, O dan Sensen, PH 2008 Linear Systems Control Springer Verlag Berlin Heidelberg [3 Sinha, A 2007 Linear Systems Optimal and Robust Control CRC Press New York