BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika selaku ilmu menalar logis tumbuh berkembang secara mandiri, akan tetapi banyak diterapkan dalam ilmu-ilmu lain. Persamaan integral merupakan salah satu materi dalam matematika yang sangat penting dalam analisis murni maupun analisis terapan serta banyak diterapkan pada ilmu-ilmu lain di luar matematika. Seringkali masalah-masalah dalam ilmu lain misalnya fisika belum tentu dapat diselesaikan langsung dengan rumus yang sudah ada sehingga dalam langkah-langkah penyelesainnya diperlukan persamaan integral. Persamaan integral adalah persamaan fungsi dimana fungsi yang tidak diketahui, misalkan u(x), berada dalam tanda integral, sebagai contoh u(x) = 1 u(t)dt. Materi yang dibahas dalam persamaan integral ini luas sekali. Dilihat dari jenisnya, persamaan integral mempunyai berbagai bentuk diantaranya persamaan integral Fredholm, persamaan integral Volterra, persamaan integral singular, dan sebagainya. Masing-masing dari bentuk persamaan integral tersebut mempunyai ciri dan metode penyelesaian yang berbeda-beda. Persamaan integral volterra ditemukan oleh Vito Volterra ( ). Persamaan integral volterra mempunyai dua bentuk yaitu persamaan integral volterra jenis pertama sebagai berikut g(x) = K(x, t)u(t)dt dan persamaan integral volterra jenis kedua, yaitu u(x) = f(x) + 1 K(x, t)u(t)dt.

2 2 Persamaan-persamaan integral volterra sering muncul dalam suatu pembahasan matematika, tetapi seringkali sulit untuk diselesaikan maka perlu diperhatikan bahwa beberapa diantara persamaan integral tersebut dapat diselesaikan dengan metode tertentu. Dalam penulisan tugas akhir ini akan dijelaskan beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra jenis kedua. Metode-metode tersebut diantaranya metode dekomposisi adomian, metode modifikasi dekomposisi, metode successive approximations, metode solusi deret, dan metode Transformasi Laplace.Masing-masing metode tersebut mempunyai algoritma dan syarat-syarat yang berbeda dalam penyelesaiannya, sehingga penulis tertarik untuk membahas lebih lanjut Rumusan Masalah Berkaitan dengan latar belakang di atas, permasalahan yang akan dibahas pada skripsi ini adalah tentang bagaimana penggunaan metode-metode analitik dalam menyelesaikan persamaan integral Volterra jenis kedua. Metode-metode tersebut antara lain metode dekomposisi Adomian, metode modifikasi dekomposisi, metode successive approximations, metode solusi deret, dan metode Transformasi Laplace 1.3. Batasan Masalah Untuk menghindari luasnya permasalahan yang akan dibahas, maka permasalahan di batasi pada persamaan integral linear Volterra jenis kedua dengan jenis kernel linear Maksud dan Tujuan Penelitian Penyusunan skripsi ini adalah untuk memenuhi salah satu syarat guna mendapat gelar sarjana S-1 program studi Matematika Universitas Gadjah Mada. Selain itu, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk memahami dan mengetahui bagaimana penggunaan metode-metode antara lain metode dekomposisi Adomian, metode modifikasi dekomposisi, metode successive approximations, metode solusi deret, dan

3 3 metode Transformasi Laplace dalam menyelesaikan persamaan integral Volterra jenis kedua 1.5. Tinjauan Pustaka Bentuk umum persamaan integral diberikan oleh Polyanin dan Manzhirov (28).Klasifikasi persamaan integral diberikan oleh Polyanin dan Manzhirov(28). Penurunan persamaan integral Volterra diberikan oleh Wazwaz (211). Metode dekomposisi Adomian, metode modifikasi dekomposisi, metode successive approximations, metode solusi deret, dan metode Transformasi Laplace diberikan oleh Aryati dkk. (23).Mengubah masalah nilai awal (MNA) menjadi persamaan integral Volterra dan solusi persamaan integral diberikan oleh Wazwaz (211). Berbagai definisi dari persamaan diferensial biasa diberikan oleh Ross dkk. (1984) dan Aryati dkk.(23). Definisi dan teorema sebagai dasar mengenai eksistensi dan ketunggalan persamaan integral Volterra jenis kedua diberikan oleh Wazwaz (211) sedangkan teorema eksistensi dan ketunggalannya diberikan oleh Petri Ola (26). Deret Taylor dan Transformasi Laplace diberikan oleh Aryati dkk.(23). Aturan Leibnitz untuk diferensial dari integral dan mereduksi multi integral menjadi single integral diberikan oleh Waz-Waz (211). Integral tertentu diberikan oleh Supama dkk.(23) Metode Penelitian Metode yang digunakan pada penyusunan skripsi ini yaitu dengan melakukan studi literature. Studi literature yang dilakukan terlebih dahulu yaitu mempelajari referensi-referensi pada buku yang terkait dengan metode-metode untuk menyelesaikan persamaan integral. Sebelum mempelajari metode-metode tersebut, terlebih dahulu penulis mempelajari tentang persamaan integral secara umum dan khususnya persamaan integral Volterra jenis kedua. Selanjutnya penulis mempelajari tentang metode dekomposisi Adomian, metode modifikasi dekomposisi, metode successive approximations, metode solusi deret, dan metode Transformasi Laplace. Kemudian penulis melakukan langkah-langkah mencari solusi persamaan integral

4 4 linear jenis kedua dengan masing-masing metode tersebut yang dibahas pada skripsi ini. Hasil studi literatur pada skripsi ini untuk mempermudah dalam melakukan penyelesaian persamaan integral Volterra jenis kedua. Penyelesaiannya menggunakan metode dekomposisi Adomian, metode modifikasi dekomposisi, metode successive approximations, metode solusi deret, dan metode Transformasi Laplace 1.7. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab ini berisi teori yang mendasari pembahasan skripsi ini yang berkaitan dengan metode-metode untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra jenis kedua. Dasar teori meliputi persamaan diferensial biasa, deret Taylor, integral tertentu, aturan Leibnitz untuk diferensial dari integral, mereduksi multi integral menjadi single integral, dan Transformasi Linear. BAB III PERSAMAAN INTEGRAL Bab ini berisi tentang persamaan integral secara umum, meliputi persamaan integral, klasifikasi persamaan integral, persamaan integral linear dan homogen, mengubah masalah nilai awal (MNA) menjadi persamaan integral, solusi persamaan integral, dan eksistensi dan ketunggalan solusi persamaan integral. Selanjutnya persamaan integral Volterra jenis kedua digunakan dalam pembahasan bab IV BAB IV METODE UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTE- GRAL VOLTTERA JENIS KEDUA Bab ini berisi tentang metode-metode untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra jenis kedua. Metode-metode tersebut diantaranya metode dekomposisi ado-

5 5 mian, metode modifikasi dekomposisi, metode successive approximation, metode solusi deret, dan metode Transformasi Laplace. BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dan saran dari pembahasan metode-metode untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra jenis kedua.