Teori kendali. Oleh: Ari suparwanto
|
|
- Deddy Widjaja
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Teori kendali Oleh: Ari suparwanto
2 Minggu Ke-1 Permasalahan oleh : Ari Suparwanto
3 Permasalahan Diberikan sistem dan sinyal referensi. Masalah kendali adalah menentukan sinyal kendali sehingga output sistem sedekat mungkin dengan sinyal referensi. Sinyal kendali yang bergantung pada respon sistem disebut kendali feedback atau kendali loop tertutup. Untuk mendapatkan kendali yang baik, sinyal kendali feedback didesain sebagai fungsi dari state dan sinyal referensi
4 Permasalahan Masalah kendali yang dibahas : 1. Pole Assignment Menentukan kendali feedback sedemikian hingga akar-akar dari polinomial karakteristik dari sistem feedback dapat dipilih sebarang. 2. Stabilisasi Menentukan kendali feedback sedemikian hingga akar-akar dari polinomial karakteristik dari sistem feedback berada di sebelah kiri bidang kompleks.
5 Permasalahan 3. State Estimator atau State Observer Menentukan sistem bantuan yang inputnya adalah input dan output dari sistem sebenarnya dan outputnya adalah aproksimasi dari state sistem sebenarnya 4. Decoupling Menentukan kompensator sehingga sistem tercouple menjadi sistem terdecouple
6 Permasalahan 5. Kendali Optimal Diberikan sistem dengan input u U. Tentukan fungsi u U sedemikian hingga fungsi cost yang diberikan minimal.
7 Minggu Ke-2 Pole Assigment dan Stabilisasi oleh : Ari Suparwanto
8 Pole Assigment dan Stabilisasi Ekuivalensi Sistem Diberikan sistem x = Ax + Bu y = Cx + Du (1) Misalkan x = Px, dengan P matriks nonsingular.
9 Pole Assigment dan Stabilisasi Sistem x = A x + Bu y = C x + Du (2) dengan A = PAP ;1, B = PB, C = CP ;1, D = D disebut sistem ekuivalen dari sistem (1).
10 Pole Assigment dan Stabilisasi Kasus Sistem Terkendali Sifat. Sistem (1) terkendali jika dan hanya jika sistem (2) terkendali. Kasus Single Variabel Misalkan polinomial karakteristik dari matriks A pada sistem (1) adalah λ = det λi A = λ n + α 1 λ n;1 + + α n;1 λ + α n
11 Pole Assigment dan Stabilisasi Bentuk Kanonik Teorema. Jika sistem (1) single variabel dan terkendali, maka ia ekuivalen dengan sistem x = α n α n;1 α n;2 0 1 α 2 α 1 x + y = β n β n;1 β n;2 β 2 β 1 dengan α 1, α 2,, α n adalah koefisien dari polinomial karakteristik dari A u
12 Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Transformasikan sistem terkendali single variabel x = x + 1 u Ke bentuk kanoniknya.
13 Minggu Ke-3 Pole Assigment dan Stabilisasi oleh : Ari Suparwanto
14 Pole Assigment dan Stabilisasi State Feedback Dengan mengganti u pada sistem (1) dengan r + Kx, maka diperoleh sistem feedback Teorema. x = y = A + BK x + Br C + DK x + Dr (3) Sistem feedback (3) terkendali jika dan hanya jika sistem (1) terkendali.
15 Pole Assigment dan Stabilisasi Teorema berikut menyatakan bahwa kendali feedback dapat digunakan untuk mengendalikan eigenvalue dari sistem. Teorema. Jika sistem (1) terkendali, maka dengan kendali feedback u = r + Kx, nilai-nilai eigen dari A + BK dapat ditentukan sebarang.
16 Pole Assigment dan Stabilisasi Algoritma Diberikan sistem (1) terkendali dan himpunan nilai-nilai eigen λ1, λ 2,, λ n. Tentukan kendali feedback u = r + Kx sedemikian hingga sistem feedback (3) mempunyai himpunan λ1, λ 2,, λ n sebagai nilai-nilai eigennya. Langkah-langkah: 1. Tentukan polinomial karakteristik dari A : det si A = s n + α 1 s n;1 + + α n;1 s + α n. 2. Hitung (s λ1) s λ 2 s λ n = s n + α 1 s n;1 + + α n;1 s + α n
17 Pole Assigment dan Stabilisasi 3. Tentukan K = α n α n α n;1 α n;1 α 1 α Hitung q n;i = Aq n;i;1 + α i q n, untuk i = 1,2,, n 1, dengan q n = B. 5. Bentuk Q = q 1 q 2 q n. 6. Tentukan P = Q ;1. 7. Tentukan K = KP.
18 Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Diberikan sistem terkendali x = x u. Tentukan vektor k 1 k 2 sedemikian hingga sistem state-feedback mempunyai -1 dan -2 sebagai eigenvaluenya. Hitunglah k 1, k 2 secara langsung tanpa menggunakan transformasi ekuivalensi.
19 Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Tentukan state feed-back yang mentransformasikan eigenvalue dari sistem x = x + 0 u menjadi -1, -2 dan -2.
20 Minggu Ke-4 Pole Assigment dan Stabilisasi oleh : Ari Suparwanto
21 Pole Assigment dan Stabilisasi Kasus Multi Variabel Untuk kasus ini, pada dasarnya metode atau prosedur yang digunakan sama dengan kasus untuk single variabel, yaitu mentransformasikan sistem semula ke sistem ekuivalen berbentuk kanonik dan selanjutnya menentukan kendali feedbacknya.
22 Pole Assigment dan Stabilisasi Bentuk Kanonik Jika sistem (1) terkendali, maka terdapat n vektor kolom yang bebas linear pada matriks keterkendaliannya. Berikut skema yang dapat digunakan untuk memilih n vektor kolom tersebut: Misalkan B = b 1 b 2 b p. Dimulai dari vektor b 1, dan selanjutnya ditinjau vektor Ab 1, A 2 b 1,, A μ 1;1 b 1 sampai vektor A μ 1b 1 dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari b 1,, A μ 1;1 b 1.
23 Pole Assigment dan Stabilisasi Jika μ 1 = n, maka b 1,, A μ 1;1 b 1 adalah n vektor kolom yang bebas linear. Jika μ 1 < n, ditinjau b 2, Ab 2,, A μ 2;1 b 2 sampai vektor A μ 2b 2 dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari himpunan b 1,, A μ 1;1 b 1, b 2,, A μ 2;1 b 2. Jika μ 1 + μ 2 < n, lanjutkan proses seperti di atas sampai diperoleh n vektor yang bebas linear.
24 Pole Assigment dan Stabilisasi Ditinjau sistem dengan n = 9 dan p = 3. Diasumsikan dengan skema di atas diperoleh μ 1 = 3, μ 2 = 2 dan μ 3 = 4, maka matriks M = b 1 Ab 1 A 2 b 1 b 2 Ab 2 b 3 Ab 3 A 2 b 3 A 3 b 3 nonsingular. Hitung M ;1 dan nyatakan baris-barisnya sebagai berikut:
25 Pole Assigment dan Stabilisasi M ;1 = e 11 e 12 e 13 e 21 e 22 e 31 e 32 e 33 e 34. Bentuk matriks P = e 13 e 13 A e 13 A 2 e 22 e 22 A e 34 e 34 A e 34 A 2 e 34 A 3.
26 Pole Assigment dan Stabilisasi Diperoleh bektuk kanonik : A = PAP ;1 = x x x x x x x x x x 0 x x x 1 x x x x x x x x x x x x x x
27 Pole Assigment dan Stabilisasi B = PB = x x
28 Pole Assigment dan Stabilisasi Diambil kendali feedback u = r + Kx. Karena bentuk dari B, maka semua baris dari A kecuali tiga baris yang ditandai dengan huruf x tidak dipengaruhi oleh kendali feedback. Karena tiga baris tak nol dari B bebas linear, maka tiga baris dari A yang ditandai dengan huruf x dapat ditentukan sebarang, sehingga K dapat dipilih sedemikian hingga A + BK berbentuk:
29 Pole Assigment dan Stabilisasi d 1 d 2 d d 4 d 5 d d 7 d 8 d 9
30 Pole Assigment dan Stabilisasi Polinomial karakteristik dari A + BK adalah s 9 d 9 s 8 d 8 s 7 d 2 s d 1. Karena d i dapat ditentukan sebarang, maka akan diperoleh hasil yang diinginkan.
31 Minggu Ke-5 Pole Assigment dan Stabilisasi oleh : Ari Suparwanto
32 Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Diberikan sistem terkendali multi variabel x = x u Tentukan kendali feedback u = Kx + r sedemikian hingga nilai-nilai eigen dari sistem feedbacknya adalah -1, -2±i dan -1±2i.
33 Pole Assigment dan Stabilisasi Kasus Sistem Tak Terkendali Bentuk Kanonik Jika sistem (1) tidak terkendali, maka sistem dapat ditransformasikan ke sistem ekuivalen berbentuk: x = A x + Bu
34 Pole Assigment dan Stabilisasi A 11 A12 dengan A =, B = B 1 dan sistem 0 A 22 0 x 1 = A11x 1 + B 1 u terkendali. Karena bentuk dari A, maka himpunan nilai eigen dari A adalah gabungan dari himpunan nilai eigen dari A11 dan A 22. Dari bentuk B, maka matriks A 22 tidak dipengaruhi oleh pengambilan sebarang kendali feedback berbentu u = r + Kx. Oleh karena itu semua nilai eigen dari A 22 tidak dapat dikendalikan.
35 Pole Assigment dan Stabilisasi Akan tetapi, karena A11, B 1 terkendali, maka semua nilai eigen A11 dapat ditentukan sebarang. Dari sini, dapat disimpulkan bahwa nilai eigen eigen dari (A + BK) dapat ditentukan sebarang jika dan hanya jika himpunan nilai-nilai eigen A 22 merupakan himpunan bagian dari nilai-nilai eigen yang ditentukan.
36 Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Diberikan sistem tak terkendali x = x + 0 u Selidiki apakah sistem di atas dapat distabilkan dengan menggunakan state feedback! Jika ya, tentukan vektor gain k sedemikian hingga sistem closed-loopnya mempunyai eigenvalue -1, -1, -2, -2 dan - 2.
37 Minggu Ke-6 State Estimator atau State Observer oleh : Ari Suparwanto
38 State Estimator atau State Observer State Estimator atau Observer adalah sistem bantuan yang inputnya adalah input dan output dari sistem sebenarnya dan outputnya adalah aproksimasi dari state sistem sebenarnya. Observer dari sistem x = Ax + Bu, y = Cx (4) diasumsikan berbentuk z = Pz + Qu + Ky x = Sz + Tu + Ry dengan matriks P, Q, K, S, T dan R harus ditentukan.
39 State Estimator atau State Observer Observer harus memenuhi kondisi berikut: 1. Jika x t 0 = x(t 0 ) pada saat t 0, maka x t = x(t) untuk t t Selisih x t x(t) harus konvergen ke nol untuk t terhadap kondisi awal x 0 = x 0, z 0 = z 0 dan kendali u.
40 State Estimator atau State Observer Akan dikonstruksikan observer dengan S = I, T = R = 0. Pilihan ini menghasilkan x = z dan state dari observer mempunyai peran sebagai aproksimasi dari state x. Kondisi pertama yang harus dipenuhi oleh observer menghasilkan Q = B; P = A KC. Jadi, observer berbentuk x = Ax + Bu + K(y y) dengan y = Cx.
41 State Estimator atau State Observer Agar kondisi kedua dipenuhi oleh observer, didefinisikan e t = x t x t maka diperoleh e = d x x = A KC e. dt Karena e(t) harus konvergen ke nol, maka matriks (A KC) harus stabil asimtotik. Dengan demikian, matriks K harus dipilih sedemikian hingga nilai-nilai eigen dari (A KC) mempunyai bagian real negatif.
42 State Estimator atau State Observer Teorema berikut menjamin bahwa pemilihan matriks K dapat dikerjakan apabila sitem (4) terobservasi. Teorema. Untuk sebarang polinomial w λ = λ n + w n;1 λ n;1 + + w 0 terdapat matrik K sedemikian hingga det λi A CK = w(λ) jika dan hanya jika sistem (4) terobservasi
43 Minggu Ke-7 State Estimator atau State Observer oleh : Ari Suparwanto
44 State Estimator atau State Observer Berdasarkan teorema di atas dapat disusun algoritma sebagai berikut. Algoritma. 1. Tinjau sistem terkendali A, C. 2. Tentukan matriks L sedemikian hingga matriks A + C L mempunyai nilai-nilai eigen dengan bagian real negatif. 3. Tentukan K = L.
45 State Estimator atau State Observer Contoh. Diberikan sistem x = x u y = 1 1 x. Tentukan pengobserver full-dimension dari sistem di atas yang error reconstructionnya konvergen ke 0 untuk t dengan memilih nilai eigen pengobserver dari * 2 ± 2i+.
46 State Estimator atau State Observer Contoh. Diberikan sistem x = x + 1 u Tentukan pengobserver full-dimension dari sistem di atas yang error reconstructionnya konvergen ke 0 untuk t.
47 State Estimator atau State Observer Jika sistem (4) tidak terobservasi, maka sistem dapat ditransformasikan ke sistem ekuivalen berbentuk: dengan A = x = A x + Bu, y = C x A 11 0 A 21 A 22, B = B 1 B 2, C = C1 0 dan sistem x1 = A11x1 + B 1 u, y = C1x1 terobservasi.
48 State Estimator atau State Observer Dari bentuk A dan C, maka untuk sebarang pemilihan matriks L, nilai-nilai eigen matriks A 22 pada matriks A + C L tidak berubah. Akan tetapi, karena C1, A11 terobservasi, maka semua nilai eigen A11 dapat ditentukan sebarang. Dari sini, dapat disimpulkan bahwa observer untuk sistem (4) tak terobservasi dapat ditentukan jika dan hanya jika semua nilai eigen A 22 mempunyai bagian real yang negatif.
49 Mingg Ke- 8 Decoupling dengan State Feedback oleh : Ari Suparwanto
50 Decoupling dengan State Feedback Ditinjau sistem (4) dengan banyak input sama dengan banyak output. Matriks transfer dari sistem (4) adalah G s = C si A ;1 B. Jika state awal sistem adalah nol, maka hubungan antara input dan output dapat dinyatakan dengan y 1 s = g 11 s u 1 s + g 12 s u 2 s + + g 1p (s)u p (s) y 2 s = g 21 s u 1 s + g 22 s u 2 s + + g 2p (s)u p (s) y p s = g p1 s u 1 s + g p2 s u 2 s + + g pp (s)u p (s) dengan g ij s elemen ke-ij dari G s.
51 Decoupling dengan State Feedback Dari sistem persamaan di atas terlihat bahwa setiap input mengendalikan lebih dari satu output dan setiap output dikendalikan lebih dari satu input. Sistem sedemikian disebut sistem tercouple. Pada umumnya, sistem tercouple sangat sulit untuk dikendalikan. Oleh karena itu, pada bagian ini akan ditentukan kompensator yang mengubah sistem tercouple menjadi sistem terdecouple, yaitu sistem yang setiap inputnya hanya mengendalikan satu output dan setiap outputnya hanya dikendalikan oleh satu input
52 Decoupling dengan State Feedback Berikut definisi sistem terdouple dalam terminologi matriks transfernya. Definisi. Sistem multivariabel dikatakan terdecouple jika matriks tranfernya adalah matriks diagonal nonsingular. Untuk menentukan kondisi pada G(s) agar sistem dapat didecouplekan oleh kendali feedback, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang diperlukan.
53 Decoupling dengan State Feedback Didefinisikan: d i =min{selisih derajat penyebut dan pembilang dari setiap unsur pada baris ke-i dari G(s)}-1 dan E i = lim s s d i:1 G i (s) dengan G i (s) adalah baris ke-i dari G(s).
54 Decoupling dengan State Feedback Contoh. Diberika matriks transfer G s = s:2 s 2 :s:1 1 s 2 :2s:1 1 s 2 :s:2 3 s 2 :s:4 Selisih derajat penyebut dan dan pembilang dari unsur-unsur baris pertama G s adalah 1 dan 2, maka d 1 = 0 dan.
55 Decoupling dengan State Feedback s E 1 = lim s s s 2 + s + 1 s 2 + s + 2 = 1 0. Selisih derajat penyebut dan dan pembilang dari unsur-unsur baris kedua G s adalah 2 dan 2, maka d 1 = 1 dan E 2 = lim s s s 2 + 2s + 1 s 2 + s + 4 = 1 3.
56 Minggu Ke-9 Decoupling dengan State Feedback oleh : Ari Suparwanto
57 Decoupling dengan State Feedback Diberikan kendali feedback berbentuk: u t = Kx + Hr Dengan mensubstitusikan kendali feedback di atas pada sistem (4) diperoleh sistem feedback: x = A + BK x + Hr y = Cx Matriks transfer sistem feedback (5) adalah G f s = C si A BK ;1 BH. (5)
58 Decoupling dengan State Feedback Didefinisikan: d i=min{selisih derajat penyebut dan pembilang dari setiap unsur pada baris ke-i dari G f (s)}-1 dan E i = lim s s d i:1 G fi (s) dengan G fi (s) adalah baris ke-i dari G f (s).
59 Decoupling dengan State Feedback Teorema berikut menyatakan hubungan antara d i dan d i dan antara E i dan E i. Teorema. Untuk sebarang matriks K dan matriks nonsingular H, berlaku d i = d i dan E i = E i H.
60 Decoupling dengan State Feedback Berdasarkan hasil pada teorema di atas dapat diturunkan karakterisasi untuk suatu sistem dapat didecouplekan atau tidak dalam teorema berikut. Teorema. Suatu sistem dengan matriks transfer G(s) dapat didecouplekan oleh state feedback berbentuk u = Kx + Hr dengan K sebarang matriks dan H matriks nonsingular jika dan hanya jika matriks E 1 E E = 2 E p nonsingular.
61 Minggu Ke-10 Decoupling dengan State Feedback oleh : Ari Suparwanto
62 Decoupling dengan State Feedback Berdasarkan teorema di atas, maka dapat disusun algorima untuk mendecouplekan sistem. Algoritma. 1. Tentukan matriks transfer G(s). Jika G(s) diagonal nonsingular maka sistem terdecouple. Jika tidak demikian, sistem tercouple, lanjutkan ke langkah Tentukan d i dan E i untuk i = 1,2,, p. 3. Tentukan E = E 1 E 2 E p.
63 Decoupling dengan State Feedback Jika matriks E singular, sistem tak dapat didecouplekan. Jika E nonsingular, sistem dapat didecouplekan, lanjutkan ke langkah 4. C 1 A d 1:1 C 4. Tentukan matriks F = 2 A d 2:1 C p A d p:1 5. Tentukan kendali feedback u = Kx + Hr dengan matriks K = E ;1 F dan H = E ;1.
64 Decoupling dengan State Feedback Contoh. Diberikan sistem x = x y = x Selidiki apakah sistem terdecouple atau tidak. Jika tidak, apakah sistem dapat didecouplekan. Jika ya, tentukan state feedback yang mendecouplekan sistem. u
65 Kendali Optimal Masalah kendali optimal: Diberikan sistem x t = f x t, u t yang didefinisikan pada interval waktu 0 t T, kondisi awal x 0 = x 0, Himpunan kendali u(t) U dan fungsi obyektif yang harus dimaximumkan. J = ψ(x T ) + l x t, u t dt 0 T
66 Kendali Optimal Hamiltonian Untuk menyelesaikan masalah kendali optimal, cara yang dilakukan adalah dengan membentuk fungsi Obyektif yang dimodifikasi: T J = J λ t T x t f x t, u t dt 0 dan mendefinisikan fungsi Hamiltonian: H λ, x, u = λ T f x, u + l(x, u). Dengan Hamiltonian, maka fungsi obyektif yang dimodifikasi menjadi: T J = ψ x T + H(λ t, x t, u t λ t T x (t) dt 0
67 Minggu Ke-11 Kendali Optimal oleh : Ari Suparwanto
68 Kendali Optimal Misalkan fungsi kendali u(t) U mengalami perubahan kecil menjadi v(t) U, maka diperoleh state trayektori baru x t + δx t. Jika δj menyatakan perubahan yang berkorespondensi pada fungsi obyektif yang dimodifikasi makadiperoleh δj = ψ x T + δx T ψ(x(t) T + H λ, x + δx, v H(λ, x, u) λ t T δx dt 0
69 Kendali Optimal Karena T λ T δx dt = λ T T δx T λ 0 T δx 0 λ T δxdt 0 0 maka δj = ψ x T + δx T ψ(x T λ T T δx T + λ 0 T δx 0 + H λ, x + δx, v H λ, x, u + λ T δx dt 0 T T
70 Kendali Optimal Karena 0 T H λ, x + δx, v H(λ, x, u) dt T = H x λ, x, u δx + H λ, x, v H(λ, x, u) dt 0 maka δj = ψ x (x T λ T T δx T + λ 0 T δx 0 T + H x (λ, x, u) + λ T δxdt 0 Karena δx 0 T + H λ, x, v H(λ, x, u) dt 0 = 0, maka suku kedua persamaan terakhir menjadi nol.
71 Kendali Optimal Persamaan Adjoint Pilih λ(t) sebagai solusi dari persamaan diferensial adjoint: λ t = H x (λ t, x t, u t ) dengan kondisi akhir λ(t) T = ψ x (x T ). Dari sini, maka T δj = H λ t, x t, v t H(λ t, x t, u t ) dt 0
72 Kendali Optimal Jika fungsi kendali u adalah kendali optimal, maka untuk sebarang t, berlaku H(λ t, x t, v t ) H(λ t, x t, u t ) untuk semua v U. Jadi, untuk setiap t, nilai u(t) dalam kendali optimal mempunyai sifat memaksimalkan fungsi Hamiltonian.
73 Kendali Optimal Prinsip Maximum Hasil di atas merupakan prinsip maksimum untuk teorema berikut. Teorema. Jika u(t) U kendali optimal dan x(t) menyatakan trayektori state untuk masalah kendali optimal, maka terdapat trayektori adjoint λ(t) sedemikian hingga memenuhi x t = f(x t, u(t) x 0 = x 0 λ t = λ t T f x (λ t, x t, u t + l x (λ t, x t, u t λ(t) T = ψ x (x T ) Untuk semua t, 0 t T, dan v U H(λ t, x t, v t ) H(λ t, x t, u t ) Dengan H adalah fungsi Hamiltonian H λ, x, u = λ T f x, u + l(x, u).
74 Minggu Ke-12 Kendali Optimal oleh : Ari Suparwanto
75 Kendali Optimal Contoh. Diberikan sistem x t = u t x 0 = 0 u t 1 Maksimumkan fungsi obyektif J = x(t)
76 Kendali Optimal Contoh. Diberikan sistem x t = u(t) x 0 = 0 x 0 = 0 Maksimumkan fungsi obyektif J = x T 1 2 T 0 u(t) 2 dt.
77 Optimisasi Linear Kuadratik Masalah Optimisasi Linear Kuadratik: (kasus time varying) Diberikan sistem x t = A t x t + B(t)u t yang didefinisikan pada interval waktu 0 t T, kondisi awal x 0 = x 0, Himpunan kendali u(t) U dan fungsi obyektif T J = 1 x t T Q t + u t T R t u(t) dt 2 0 yang harus diminimumkan.
78 Optimisasi Linear Kuadratik Persamaan adjoint: λ t T = λ t T A t x t T Q(t) dengan kondisi akhir λ T = 0. Fungsi Hamiltonian: H = λ t T A t + λ t T B t u t 1 2 x t T Q t x t 1 2 u t T R t u(t)
79 Optimisasi Linear Kuadratik Kondisi untuk memaksimalkan Hamiltonian terhadap u(t) adalah H u = 0, atau λ t T B t u t T R t = 0 sehingga diperoleh u t = R t ;1 B t T λ t. Jika hasil ini disubstitusikan ke sistem awal, maka diperoleh x t = A t x t + B t R t ;1 B t T λ t λ t = Q t x t A t T λ t dengan kondisi x 0 = x 0 λ T = 0
80 Minggu Ke-13 Kendali Optimal oleh : Ari Suparwanto
81 Optimisasi Linear Kuadratik Persamaan Riccati Karena sistem linear, maka x(t) dan λ(t) bergantung pada x 0, sehingga λ t bergantung pada x t. Dari sini, akan dicoba memilih solusi berbentuk λ t = P t x t dengan P t matriks yang masih harus ditentukan.
82 Optimisasi Linear Kuadratik Dengan mensubstitusikan λ t = P t x t ke persamaan terakhir diperoleh x t = A t B t R t ;1 B t T P t x(t) P t x t P t x t = Q t A t T P t x t Kalikan ke dua ruas persamaan pertama dengan P(t) dan tambahkan ke persamaan kedua, maka diperoleh 0 =,P t P t A t + A t T P t P t B t R t ;1 B t T P t + Q(t)-x(t). Persamaan ini dipenuhi untuk sebarang x(t) jika P t dipilh sedemikian memenuhi persamaan diferensial matriks P t = P t A t + A t T P t P t B t R t ;1 B t T P t + Q(t) Karena λ T = 0, maka diperoleh P T = 0. Persamaan diferensial di atas disebut persamaan diferensial Riccati.
83 Optimisasi Linear Kuadratik Kasus Time Invariant Misalkan semua matriks dalam masalah optimisasi linear kuadratik adalah matriks konstan dan T, maka diperoleh persamaan aljabar Riccati: 0 = PA + A T P PBR ;1 B T P + Q. Dalam kasus ini, kendali optimalnya adalah u t = R t ;1 B T Px t.
84 Optimisasi Linear Kuadratik Contoh. Diberikan sistem linear x 1 = 0 1 x 1 x x u x 1 0 = x 2 0 = 0 Maksimumkan fungsi obyektif J = x 1 T T u t 2 dt.
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Keterkendalian (Controlability)
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Keterkendalian (Controlability) Contoh Soal Ringkasan Latihan Contoh Soal Ringkasan Latihan Vektor Bebas Linear Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. himpunan vektor riil dengan n komponen. Didefinisikan R + := {x R x 0}
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Misalkan R menyatakan himpunan bilangan riil. Notasi R n menyatakan himpunan vektor riil dengan n komponen. Didefinisikan R + := {x R x } dan R n + := {x= (x
Lebih terperinciParameterisasi Pengontrol yang Menstabilkan Melalui Pendekatan Faktorisasi
Vol 7, No2, 92-97, Januari 2011 Parameterisasi Pengontrol yang Menstabilkan Melalui Pendekatan Faktorisasi Nur Erawati Abstrak Suatu sistem linear yang matriks transfernya berupa matriks rasional proper,
Lebih terperinciKARAKTERISTIK PERSAMAAN ALJABAR RICCATI DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH KENDALI
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 KARAKTERISTIK PERSAMAAN ALJABAR RICCATI DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH KENDALI
Lebih terperinciSISTEM KONTROL LINIER
SISTEM KONTROL LINIER Silabus : 1. SISTEM KONTROL 2. TRANSFORMASI LAPLACE 3. PEMODELAN MATEMATIKA DARI SISTEM DINAMIK 4. ANALISIS SISTEM KONTROL DALAM RUANG KEADAAN 5. DESAIN SISTEM KONTROL DALAM RUANG
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Sistem Pendulum Terbalik Dalam penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik seperti pada Gambar di mana sebuah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan.
Lebih terperinciPenyelesaian Penempatan Kutub Umpan Balik Keluaran dengan Matriks Pseudo Invers
Penyelesaian Penempatan Kutub Umpan Balik Keluaran dengan Matriks Pseudo Invers Agung Wicaksono Program Studi Matematika Jurusan Matematika FSM UNDIP Onforest212@gmail.com Abstrak: Metode matriks pseudo
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Contoh. Ditinjau dari sistem yang didefinisikan oleh:
5 II LANDASAN TEORI 2.1 Keterkontrolan Untuk mengetahui persoalan sistem kontrol mungkin tidak ada, jika sistem yang ditinjau tidak terkontrol. Walaupun sebagian besar sistem terkontrol ada, akan tetapi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang sudah lama ada dan berkembang sangat pesat di setiap zaman. Perkembangan ilmu matematika tidak lepas
Lebih terperinciAnalisis Reduksi Model pada Sistem Linier Waktu Diskrit
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5 No. 2 (216) 2337-352 (231-928X Print) A-25 Analisis Reduksi Model pada Sistem Linier Waktu Diskrit Yunita Indriana Sari dan Didik Khusnul Arif Jurusan Matematika, Fakultas
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II. A. 1 Matriks didefinisikan sebagai susunan segi empat siku- siku dari bilangan- bilangan yang diatur dalam baris dan kolom (Anton, 1987:22).
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah
Lebih terperinciPenyelesaian Penempatan Kutub Umpan Balik Keluaran dengan Matriks Pseudo Invers
Penyelesaian Penempatan Kutub Umpan Balik Keluaran dengan Matriks Pseudo Invers Agung Wicaksono, J2A605006, Jurusan Matematika, FSM UNDIP, Semarang, 2012 Abstrak: Metode matriks pseudo invers merupakan
Lebih terperinciBAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciBAB 4 MODEL RUANG KEADAAN (STATE SPACE)
BAB 4 MODEL RUANG KEADAAN (STATE SPACE) KOMPETENSI Kemampuan untuk menjelaskan pengertian tentang state space, menentukan nisbah alih hubungannya dengan persamaan ruang keadaan dan Mengembangkan analisis
Lebih terperinciSTABILISASI SISTEM KONTROL LINIER INVARIANT WAKTU DENGAN MENGGUNAKAN METODE ACKERMANN
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 34 41 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND STABILISASI SISTEM KONTROL LINIER INVARIANT WAKTU DENGAN MENGGUNAKAN METODE ACKERMANN DIAN PUSPITA BEY
Lebih terperinciSTABILISASI SISTEM KONTROL LINIER DENGAN PENEMPATAN NILAI EIGEN
Jurnal Matematika UNAND Vol 2 No 3 Hal 126 133 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND STABILISASI SISTEM KONTROL LINIER DENGAN PENEMPATAN NILAI EIGEN FAURI Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Interpretasi Solusi. Bandingkan Data
A. Model Matematika BAB II KAJIAN TEORI Pemodelan matematika adalah proses representasi dan penjelasan dari permasalahan dunia real yang dinyatakan dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciBAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU
BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU Sistem persamaan linear orde/ tingkat satu memiliki bentuk standard : = = = = = = = = = + + + + + + + + + + Diasumsikan koefisien = dan fungsi adalah menerus
Lebih terperinciI. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde 1 (Review)
I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6 Teori Umum Bentuk umum sistem persamaan diferensial linier orde satu
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR. Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5.
SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5. Lisa Risfana Sari Sistem Dinamik D Sistem dinamik adalah sistem yang dapat diketahui
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Model state space yang dikembangkan pada akhir tahun 1950 dan awal tahun 1960, memiliki keuntungan yang tidak hanya menyediakan metode yang efisien untuk analisis
Lebih terperinciBAB III MODEL STATE-SPACE. dalam teori kontrol modern. Model state space dapat mengatasi keterbatasan dari
BAB III MODEL STATE-SPACE 3.1 Representasi Model State-Space Representasi state space dari suatu sistem merupakan suatu konsep dasar dalam teori kontrol modern. Model state space dapat mengatasi keterbatasan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan,
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, pemrograman linear, metode simpleks, teorema dualitas, pemrograman nonlinear, persyaratan karush kuhn
Lebih terperinciEigen value & Eigen vektor
Eigen value & Eigen vektor Hubungan antara vektor x (bukan nol) dengan vektor Ax yang berada di R n pada proses transformasi dapat terjadi dua kemungkinan : 1) 2) Tidak mudah untuk dibayangkan hubungan
Lebih terperinciMATRIKS BENTUK KANONIK RASIONAL DENGAN MENGGUNAKAN PEMBAGI ELEMENTER INTISARI
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6, No. (17), hal 7 34. MATRIKS BENTUK KANONIK RASIONAL DENGAN MENGGUNAKAN PEMBAGI ELEMENTER Ardiansyah, Helmi, Fransiskus Fran INTISARI Pada
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK LINEAR KOEFISIEN KONSTAN. Caturiyati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta (UNY)
1 SISTEM DINAMIK LINEAR KOEFISIEN KONSTAN Caturiyati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta (UNY) Abstrak Dalam artikel ini, konsep sistem dinamik linear disajikan dengan sistem
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II )
SISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II ) D. FAKTORISASI MATRIKS D2 2. METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN SPL D3 3. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN D4 4. POWER METHOD Beserta contoh soal untuk setiap subbab 2
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciBAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL. Masalah optimisasi merupakan suatu proses pencarian varibel bebas yang
BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL 2.1 Masalah Model Optimisasi Kombinatorial Masalah optimisasi merupakan suatu proses pencarian varibel bebas yang memenuhi kondisi atau batasan yang disebut kendala dari
Lebih terperinciPOLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.
POLINOM (SUKU BANYAK) Standar Kompetensi: Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar: 1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciSTABILISASI SISTEM DESKRIPTOR LINIER KONTINU
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 1 Hal. 1 5 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR LINIER KONTINU YULIAN SARI Program Studi Matematika, Pascasarjana Fakultas Matematika
Lebih terperinciKAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT
KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1 Soleha, SSi, MSi 2 Dian Winda Setyawati,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Sistem Kendali Lup[1] Sistem kendali dapat dikatakan sebagai hubungan antara komponen yang membentuk sebuah konfigurasi sistem, yang akan menghasilkan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Pada bab ini akan diuraikan beberapa landasan teori untuk menunjang penulisan skripsi ini. Uraian ini terdiri dari beberapa bagian yang akan dipaparkan secara terperinci
Lebih terperinciBAB II MATRIKS POSITIF. Pada bab ini akan dibahas mengenai Teorema Perron, yaitu teori hasil kontribusi
BAB II MATRIKS POSITIF Pada bab ini akan dibahas mengenai Teorema Perron, yaitu teori hasil kontribusi dari seorang matematikawan German, Oskar Perron. Perron menerbitkan tulisannya tentang sifat-sifat
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan diberikan terlebih
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, pengali lagrange, dan
BAB II KAJIAN PUSTAKA Kajian pustaka pada bab ini akan membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan dengan fungsi, turunan parsial, pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks
Lebih terperinciREALISASI POSITIF STABIL ASIMTOTIK DARI SISTEM LINIER DISKRIT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 35 42 ISSN : 233 29 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND REALISASI POSITIF STABIL ASIMTOTIK DARI SISTEM LINIER DISKRIT NOVITA ASWAN Program Studi Magister Matematika,
Lebih terperinciLatihan 7 : Similaritas, Pendiagonalan Matriks, Polinom Matriks
Latihan 7 : Similaritas, Pendiagonalan Matriks, Polinom Matriks 6. Tentukan polinomial karakteristik dari matriks transformasi A=. Andaikan A adalah matriks persegi berdimensi x. Polinom karakteristik
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
Lebih terperinciANALISIS KONTROL SISTEM PENDULUM TERBALIK MENGGUNAKAN REGULATOR KUADRATIK LINEAR
Jurnal INEKNA, ahun XII, No., Mei : 5-57 ANALISIS KONROL SISEM PENDULUM ERBALIK MENGGUNAKAN REGULAOR KUADRAIK LINEAR Nurmahaludin () () Staf Pengajar Jurusan eknik Elektro Politeknik Negeri Banjarmasin
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK DISKRET. Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan
SISTEM DINAMIK DISKRET Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan SISTEM DINAMIK Kontinu Sistem Dinamik Diskret POKOK BAHASAN SDD OTONOMUS NON-OTONOMUS 1-D MULTI-D LINEAR NON-LINEAR
Lebih terperinciBAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kendali model prediktif termultipleksi atau Multiplexed Model Predictive Control (MMPC) merupakan pengembangan dari kendali model prediktif atau Model Predictive
Lebih terperinciKENDALI OPTIMAL PADA PENCEGAHAN WABAH FLU BURUNG DENGAN ELIMINASI, KARANTINA DAN PENGOBATAN
KENDALI OPTIMAL PADA PENCEGAHAN WABAH FLU BURUNG DENGAN ELIMINASI, KARANTINA DAN PENGOBATAN OLEH : TASLIMA NRP : 1209201728 DOSEN PEMBIMBING 1. SUBCHAN, M.Sc, Ph.d 2. Dr. ERNA APRILIANI, M.Sc ABSTRAK Salah
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciOBSERVER UNTUK SISTEM KONTROL LINIER KONTINU
Jurnal Matematika UNAND Vol 5 No 1 Hal 96 12 ISSN : 233 291 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND OBSERVER UNTUK SISTEM KONTROL LINIER KONTINU SUKMA HAYATI, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciPENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL MENGGUNAKAN METODE PANGKAT
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6, No. 0 (017), hal 17 6. PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL MENGGUNAKAN METODE PANGKAT Yuyun Eka Pratiwi, Mariatul Kiftiah,
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinci3. Metode identifikasi, yaitu kriteria pemilihan model dari himpunan model berdasarkan
Bab 2 Landasan Teori 21 System Identification System identification adalah suatu metode umum untuk membangun model matematika berdasarkan data masukan dan data keluaran Metode ini termasuk dalam teori
Lebih terperinciInvers Transformasi Laplace
Invers Transformasi Laplace Transformasi Laplace Domain Waktu Invers Transformasi Laplace Domain Frekuensi Jika mengubah sinyal analog kontinyu dari domain waktu menjadi domain frekuensi menggunakan transformasi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan
BAB I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Masalah Sistem kontrol merupakan suatu alat untuk mengendalikan dan mengatur keadaan dari suatu sistem Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan atau sasaran
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori untuk menganalisis simulasi kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan. 2.1 Persamaan Diferensial Biasa
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciKENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI NASH TUGAS AKHIR. Oleh : M.LUTHFI RUSYDI
KENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI NASH TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika Oleh
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor,
II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor, ruang Bernorm dan ruang Banach, ruang barisan, operator linear (transformasi linear) serta teorema-teorema
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Konvek Definisi 2.1.1. Suatu himpunan C di R n dikatakan konvek jika untuk setiap x, y C dan setiap bilangan real α, 0 < α < 1, titik αx + (1 - α)y C atau garis penghubung
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Suatu matriks didefinisikan dengan huruf kapital yang dicetak tebal, misalnya A,
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep-konsep Matriks Definisi Matriks Suatu matriks didefinisikan dengan huruf kapital yang dicetak tebal, misalnya A, B, X, Y. Elemen-elemen di dalamnya disebut skalar yang berasal
Lebih terperinciVariabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 2.1.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas dan derivative-derivatif
Lebih terperinciREALISASI UNTUK SISTEM DESKRIPTOR LINIER INVARIANT WAKTU
Jurnal Matematika UNAND Vol 2 No 3 Hal 1 8 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND REALISASI UNTUK SISTEM DESKRIPTOR LINIER INVARIANT WAKTU NOVRIANTI Program Studi Magister Matematika, Fakultas
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN SISTEM GERAK PESAWAT TERBANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE NILAI EIGEN DAN ROUTH - HURWITZ (*) ABSTRAK
ISBN : 978-979-7763-3- ANALISIS KESTABILAN SISTEM GERAK PESAWAT TERBANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE NILAI EIGEN DAN ROUTH - HURWITZ (*) Oleh Ahmadin Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas
Lebih terperinci9. Teori Aproksimasi
44 Hendra Gunawan 9 Teori Aproksimasi Mulai bab ini tema kita adalah aproksimasi fungsi dan interpolasi Diberikan sebuah fungsi f, baik secara utuh ataupun hanya beberapilai di titik-titik tertentu saja,
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciBAB 2 PDB Linier Order Satu 2
BAB Konsep Dasar BAB 2 PDB Linier Order Satu 2 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua 4 BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua 5 BAB 6 Sistem PDB 6 BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan Dalam
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al.,
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al., 2002). Salah satu tujuan utama dari sistem dinamik adalah mempelajari perilaku dari
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. ii. Constant returns to scale, yaitu situasi di mana output meningkat sama banyaknya dengan porsi peningkatan input
2 II LANDASAN EORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori penunjang yang akan digunakan dalam karya ilmiah ini. 2.1 Istilah Ekonomi Definisi 1 (Pertumbuhan Ekonomi) Pertumbuhan ekonomi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciSOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA XI IPA SUKU BANYAK SMA SANTA ANGELA TAHUN PELAJARAN SEMSTER GENAP
MODUL MATEMATIKA XI IPA SUKU BANYAK SMA SANTA ANGELA TAHUN PELAJARAN 05 06 SEMSTER GENAP STANDAR KOMPETENSI 4. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. KOMPETENSI DASAR 4. Menggunakan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Efektivitas Efektivitas berasal dari kata efektif, yang merupakan kata serapan dari bahasa Inggris yaitu effective yang artinya berhasil. Menurut kamus ilmiah popular, efektivitas
Lebih terperincig(x, y) = F 1 { f (u, v) F (u, v) k} dimana F 1 (F (u, v)) diselesaikan dengan: f (x, y) = 1 MN M + vy )} M 1 N 1
Fast Fourier Transform (FFT) Dalam rangka meningkatkan blok yang lebih spesifik menggunakan frekuensi dominan, akan dikalikan FFT dari blok jarak, dimana jarak asal adalah: FFT = abs (F (u, v)) = F (u,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Transformasi Laplace Salah satu cara untuk menganalisis gejala peralihan (transien) adalah menggunakan transformasi Laplace, yaitu pengubahan suatu fungsi waktu f(t) menjadi
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
17 Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciPemodelan Matematika dan Kontrol
Bab 3 Pemodelan Matematika dan Kontrol 3.1 Identifikasi Sistem Metode untuk memodelkan sistem masukan-keluaran bervariasi dan disesuaikan informasi yang dimiliki. Informasi yang diperlukan untuk membangun
Lebih terperinciAljabar Linier Lanjut. Kuliah 1
Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinciMenentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift
Jurnal Penelitian Sains Volume 14 Nomer 1(A) 14103 Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift Yuli Andriani Jurusan Matematika FMIPA,
Lebih terperinciInstitut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Analisa Kestabilan Lyapunov
Institut Teknologi Seuluh Noember Surabaya Analisa Kestabilan Lyaunov Contoh Soal Ringkasan Latihan Contoh Soal Ringkasan Latihan Sistem Keadaan Kesetimbangan Kestabilan dalam Arti Lyaunov Penyajian Diagram
Lebih terperinciUntai Elektrik I. Metode Analisis. Dr. Iwan Setyawan. Fakultas Teknik Universitas Kristen Satya Wacana. Untai 1. I. Setyawan. Metode Arus Cabang
Untai Elektrik I Analisis Dr. Iwan Setyawan Fakultas Teknik Universitas Kristen Satya Wacana (1) Pada (Branch Current), setiap cabang pada untai diberi arus. Kemudian, kita terapkan Kirchhoff s Current
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa poin tentang sistem dinamik, kestabilan sistem dinamik, serta konsep bifurkasi. A. Sistem Dinamik Secara umum Sistem dinamik didefinisikan
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Lebih terperinci(MS.3) SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS
Seminar Nasional Statistika 2 November 20 Vol 2, November 20 (MS.3) SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS Euis Hartini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciREALISASI POSITIF STABIL ASIMTOTIK SISTEM LINIER DISKRIT DENGAN POLE KONJUGAT KOMPLEKS
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 27 33 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND REALISASI POSITIF STABIL ASIMTOTIK SISTEM LINIER DISKRIT DENGAN POLE KONJUGAT KOMPLEKS ISWAN RINA Program
Lebih terperinciA 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif
A 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Puguh Wahyu Prasetyo 2, Vika Yugi Kurniawan 3, Sri Wahyuni 4 1 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 2 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 3
Lebih terperinci