Invers Transformasi Laplace

Transkripsi

1 Invers Transformasi Laplace Transformasi Laplace Domain Waktu Invers Transformasi Laplace Domain Frekuensi Jika mengubah sinyal analog kontinyu dari domain waktu menjadi domain frekuensi menggunakan transformasi laplace, maka untuk mengembalikan sinyal tersebut dari domain frekuensi menjadi domain waktu menggunakan invers transformasi laplace. alah satu contohnya, saat perhitungan konvolusi. Jika diketahui sinyal input x(t) dan respon impuls sistem adalah h(t). Maka output sistem tersebut dapat digunakan dengan menggunakan transformasi Laplace. Ubah terlebih dahulu masing-masing sinyal x(t) dan h(t) ke domain frekuensi dengan transformasi Laplace sehingga menjadi X() dan H(). Output y(t) adalah hasil perkalian biasa antara X() dan H() yang kemudian dilakukan invers transformasi Laplace agar kembali ke domain waktu (t). Cara melakukan invers transformasi Laplace bisa dilihat dari persamaan X() tersebut, apakah termasuk a) Reducible (bisa disederhanakan) b) Irreducible (tidak bisa disederhanakan) Persamaan Irreducible dapat dilihat dari pangkat penyebut yang lebih tinggi dari pangkat pembilangnya. Misalnya: X() = + s X() = s X() = s + 3 s 4 + Reducible X() = Irreducible, karena pangkat tertinggi penyebutnya lebih besar dari pembilang ( ) s + + Reducible Reducible, karena pangkat tertinggi penyebutnya lebih kecil dari pembilang Bentuk Reducible dapat disederhanakan menjadi α() + P() P(), dimana merupakan komponen irreducible. Q() Q() P() = A 0 + A + A s Q() = B 0 + B + B s +....

2 Misal X() = s , dapat dilakukan dengan pembagian manual 7 4 hasil bagi + s s sisa bagi isa bagi = P() Jadi, X() = s = Hasil bagi = α() Pembagi = Q() etelah diperoleh bentuk irreducible, maka penyederhanaan dapat dilakukan dengan memperhatikan Q(). Q() selalu dapat dipecah menjadi perkalian polinom orde dan/atau orde. Beberapa contoh Q() orde X() = X() = 3 +. U(t) 3. e t. U(t) X() = +7 e. e 7(t ). U(t ) X() = ( ) X() = t. U(t) (+) e t. t. U(t) Untuk persamaan yang lebih kompleks proses penyederhanaannya X() = A (+) persamaan ini dapat diubah ke bentuk X() = A(+)+B (+), maka diperoleh A = dan B = X() = A + B = + (+) + (+) + B + (+) ehingga dapat dilakukan invers transformasi Laplace menjadi x(t) = e t. U(t) e t. t. U(t) X() = s ( + ) = s + + s = ( s + + ) = ( + ) ( + ) Untuk nilai (+) dapat dijabarkan (+) = + (+) + ehingga, X() = s = + = + (+) (+) (+) + (+) + maka dapat dilakukan invers transformasi Laplace menjadi: x(t) = δ(t) + t. e t. U(t). e t. U(t)

3 Q() orde : memiliki akar-akar persamaan real berbeda -> misal (s + + 3) real sama -> misal (s ) kompleks sekawan -> misal (s + + 0) X() = + 7 s = + 7 ( + )( + 3) = Perhatikan bahwa A( + 3) + B( + ) = + 7 A + B = B = A A ( + ) + B ( + 3) 3A + B = 7 3A + ( A) = 7 A = A =, maka B = A = = ehingga didapat X() = + (+) (+3) kemudian dapat dilakukan invers transformasi Laplace x(t) =. e t. U(t). e 3t. U(t) X() = + 7 s = A s + B A + B = + 7 A = 7, B = X() = 7 s +, maka jika dilakukan invers transformasi Laplace didapat: x(t) = 7. t. U(t) +. U(t) Contoh untuk akar kompleks sekawan X() = s + + = ( + ) ( + ) ( + ) = + ( + ) = + ( + ) + ( + ) + Maka, x(t) = e t. cos t. U(t) e t. sin t. U(t) Pola invers transformasi Laplace untuk akar kompleks sekawan dapat di-formulasi-kan sebagai berikut: a ( + k) + a e kt. sin at. U(t) ( + k) ( + k) + a e kt. cos at. U(t) 3

4 Latihan invers transformasi Laplace: ) X() = +3 (s+) x(t)? ) X() = s (s+) x(t)? 3) X() = (s+) 3 x(t)? 4) X() = +7 s +4+ ) X() = (s+) s +8+0 x(t)? x(t)? 4

5 Aplikasi Transformasi Laplace Beberapa aplikasi transformasi Laplace: Analisis Rangkaian (Kestabilan) Penyelesaian Persamaan Diferensial Perhitungan Konvolusi Representasi dari suatu sistem terdiri dari: a) truktur realisasi -> gambar diagram sistem b) Persamaan diferensial -> y(t) c) Fungsi transfer -> H() d) Respon impuls -> h(t) Perbandingan rangkaian analog sinyal domain waktu (t) dan domain frekuensi () dengan transformasi Laplace Domain waktu (t) Domain frekuensi () Keterangan x(t) K K.x(t) X() K K.X() Perkalian dengan skalar (kontanta K) x(t) x(t) + x(t) X() X() + X() x(t) X() Penjumlahan x(t) d dt dx(t) dt X(). X() Diferensial x(t) t 0 t x(t). dt 0 X(). X() Integral Jika y(t) = x(t)*h(t) (proses konvolusi) Maka h(t) = y(t) / x(t) Trans Laplace Y() = X().H() H() = Y() / X() (fungsi transfer)

6 X() FUNGI TRANFER Y() Jika dilihat dari struktur realisasi sistem (diagram sistem), persamaan fungsi transfer dapat diformulasikan sebagai berikut: Misal, 3/ / Fungsi Transfer [H()] = forward loop uatu sistem kausal LTI memiliki respon impuls h(t) = (. e t +. e t ). U(t). Tentukan: olusi: a) Fungsi transfer H() b) Persamaan differensial c) truktur realisasi sistem dengan differensiator d) Pole dan zero sistem e) Apakah sistem tersebut stabil? a) Karena respon impuls h(t) telah diketahui, maka fungsi transfer H() dapat dicari dengan mengubah h(t) menjadi H() melalui transformasi Laplace. H() = (s + ) + (s + ) = s b) Persamaan differensial yaitu y(t), maka H() = Y() X() = s maka, Y(). (s ) = X(). (7 + 9) Y(). (s ) + Y(). 3 + Y(). = X(). (7) + X(). 9 Y() = 7. X() + 9 s X(). Y() 3. Y() y(t) = 7. d(x(t)) dt + 9. x(t). d y(t) 3 dt. d(y(t)) dt c) truktur realisasi sistem dengan differensiator X() 9/ Y() 7/ 6

7 d) Pole dan zero sistem H() = s = ( + )( + ) Zero = pembuat nol yang terletak pada pembilang, yaitu = 9 7 Pole = pembuat nol yang terletak pada penyebut, yaitu =, = e) Apakah sistem stabil? istem dikatakan stabil jika semua pole-nya bernilai negatif Maka, sistem ini termasuk sistem yang stabil. 7