1 PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA MA 2181 Analisis Data Utriweni Mukhaiyar 22 Agustus 2011
Pemetaan (Fungsi) 2 Suatu pemetaan / fungsi Kategori fungsi: 1. Fungsi titik 2. Fungsi himpunan A A B B
Peubah Acak 3 Peubah acak, yaitu pemetaan X : S R
Contoh 4 Percobaan pelemparan p sebuah dadu S = {,,..., } X = { 1, 2,, 6 }
Keuntungan Peubah Acak 5 Merepresentasikan masalah ke dalam titik real. Dapat dipetakan. Lebih mudah dalam penulisan
Jenis Peubah Acak 6 himpunan terhitung x atau tak berhingga, dan, x,... 1 2, berhingga s : X ( s ) xi E S peubah acak yang fungsi distribusinya (F(x)) peubah acak yang fungsi distribusinya (F(x)) merupakan fungsi kontinu untuk semua x є R
7 Contoh Peubah Acak X Tipe Banyak mata kuliah yang diambil semester ganjil oleh mahasiswa MA tahun ke-2 X = 0, jika tidak mengambil satupun = 1, jika mengambil 1 mata kuliah = 2, jika mengambil 2 mata kuliah dst Diskrit Nilai IP yang diperoleh mahasiswa MA tahun ke-2 di semester ganjil X = [0, 1], jika 0 IP 1 X = (1, 2], jika 1 < IP 2 X = (2, 3], jika 2 < IP 3 X = (3, 4], jika 3 < IP 4 Kontinu
Fungsi peluang P(X = x) dan f(x) 8 Diskrit P(X = x), Sering juga disebut sebagai fungsi massa peluang (f.m.p). Kontinu f(x), Sering juga disebut sebagai fungsi kepadatan peluang (f.k.p).
X : S R 9 Diskrit Kontinu 1. P(X=x) 0 2. x x 1 P X 3. P(a< X b)= 4. P(Xb) - P(Xa) f t F x P X x tx 1. f(x), xr 2. f x dx 1 3. P(a<Xb) = 4. b a f x dx F x P X x f t dt x Contoh: X: banyaknya mahasiswa yang lulus setiap tahun X: banyaknya lebah yang ada per pohon di suatu area Contoh: X: waktu menunggu di sebuah teller Bank X: tinggi gedung kuliah yang ada di ITB
Contoh Grafik Fungsi Peluang 10 P(X=x) ( ) Diskrit f(x) Kontinu 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1 2 3 4 x 0.1, x 1 Luas di bawah grafik = 1 0.3, x 2 PX x0.4, x 3 x, 0 x1 04 0.4, x 4 f ( x ) 2 x, 1 x2 0, x lainnya 0, x lainnya Jumlah peluang untuk semua titik = 1 x
Fungsi Distribusi 11 Fungsi distribusi kumulatif, F dari peubah acak X Sifat-sifat 1. F fungsi yang monoton tidak turun, 2. 3. lim F( x) 1 x lim F( x) 0 x 4. F kontinu dari kanan. lim F ( x ) F ( a ) x a
Contoh 1 12 Dipelajari keadaan perasaan (mood) dari sepasang mahasiswa laki-laki dan perempuan. Jika perasaan tersebut diamati berdasarkan paras masing-masing mahasiswa dan dimisalkan hanya ada dua kategori, sebut baik dan tidak. Maka pasangan mahasiswa tersebut akan memberikan ruang sampel S sebagai berikut: S = {,,, }, Dimana = baik, = tidak. Selanjutnya jika dimisalkan T : banyaknya mahasiswa yang moodnya baik, tentukan: a. Fungsi massa peluang dari peubah acak T b. Fungsi distribusi dari peubah acak T dan juga gambarkan
Ilustrasi Contoh 13 P (T = t) T 2 ¼ 0 ½ 1 Ruang Sampel
Jawab 14 a. Misal peubah acak T = banyaknya y mahasiswa yang moodnya sedang baik, maka: T = {0, 1, 2} dan fungsi masa peluang P(T=t) adalah: 1/2, t 1 PT ( t) 1/ 4, t0, 2 0, t yang lain
15 b. Untuk menentukan F(t) perlu dihitung F(t) untuk semua nilai riil. Ambil t < 0 sebarang, maka F(t) = P(T< t) = 0 Ambil t 0, maka F0 PT 0 PT 0 PT 0 PT 0, peluang di T0bernilai0 0 ¼ Ambil 0 t1makaftt 1, PT t PT 0 PT 0 P0 T t 0 ¼ 0 ¼
16Ambil t = 1, maka F(1) = P(T 1) = P(T 0) + P(0<T<1) + P(T=1) = ¼ + 0 + ½ = ¾ Ambil t = 2, maka F(2) = P(T 2) = P(T ( 1) + P(1<T<2) ( ) + P(T ( = 2) = ¾ + 0 + ¼ = 1
17 Jika dituliskan sebagai fungsi keseluruhan maka fungsi distribusi F(t) dapat dinyatakan sebagai berikut : 0, t 0 1/4, 0 t 1 Ft () 3/4, 1 t 2 1, t 2 Selanjutnya F(t) dapat digambarkan sebagai grafik F(t) di bawah ini: 1 ¾ ½ ¼ 0 1 2 3 4 t
Contoh 2 18 Misalkan kesalahan dalam pengukuran volume isi botol suatu minuman soda antara - ½ ml dan ½ ml. Dianggap setiap pengisian oleh mesin tidak akan kekurangan maupun kelebihan ½ ml. Jika Y adalah peubah acak yang menyatakan kekurangan maupun kelebihan volume isi minuman soda tersebut, tentukan : a. peluang mesin melakukan k kesalahan pada pengisian i botol antara kekurangan 0,25 ml dan kelebihan 0,2 ml, b. peluang kelebihan volume minuman soda tersebut lebih dari 0,2 ml, dan c. F(y) serta gambarkan.
Jawab : 19 Diketahui Y menyatakan volume kesalahan mesin mengisi botol coca cola (ml). 1 1 1, y f ( y ) 2 2 0, y yang lain a. 1 1 1 1 P Y P Y P Y 4 5 5 4 1 1 2 4 1/2 1/5 0 dy 1 dy 0 dy 1 dy 1/2 1 2 7 1 0 0 10 4 28 10 18 40 40
20 0, 2 1PY 0, 2 b. PY Fungsi distribusi : c. y ( ) F y 1 1PY 5 1 1 2 5 1 0 dy 1 dy 1 2 7 3 1 0 10 10 f( y) dy 1 2 0 dy 1 dy 1 y 2 y 1 2 1 0, y 2 1 1 1 Fy y, y 2 2 2 1 1, y 2 F(y) 1 y -½ ½
Referensi 21 Devore, J.L. JL and Peck, R., Statistics ti ti The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Navidi, William, Statistics for Engineers and Scientists 2 nd ed., New York: McGraw-Hill, 2008. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.