BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu Persamaan Diferensial dengan satu peubah bebas Contoh Misal P adalah fungsi variabel bebas t yaitu P(t) memenuhi : dp kp P( t ) P () dengan k R (bilangan real) Persamaan () disebut persamaan differensial tingkat Dikatakan tingkat karena notasi diferensial adalah diferensial pertama P(t) terhadap t Ada juga yang menyebut tingkat sebagai orde Pada buku ini digunakan istilah tingkat Notasi diferensial P(t) yang kedua ditulis d 3 d P( t) diferensial P(t) yang ketiga/atau disebut tingkat 3 yang 3, Diferensial yang ada dalam persamaan () adalah persamaan () disebut persamaan diferensial tingkat satu dp sehingga PEMODELAN MATEMATIKA

Persamaan diferensial () dapat pula ditulis sebagai dp kp P( t ) P atau dp P k Keadaan / kondisi P(t=)=P disebut sebagai nilai awal P Variabel P sebagai variabel tak bebas dan t sebagai variabel bebas Fungsi P(t) yang memenuhi persamaan () disebut penyelesaian/solusi Bagaimana mendapatkan solusi tersebut? Jawab: Perhatikan terlebih dahulu persamaan diferensial dp k () P Ingat ruas kiri sebagai diferensial terhadap P saja dan ruas kanan adalah diferensial k terhadap t saja Pada kalkulus kita mengenal Jika kita integralkan x x diperoleh ln x c dengan c sebagai konstan sembarang Jadi x untuk mendapatkan solusi dari suatu persamaan diferensial kita perlu mengintegralkan persamaan () ruas kiri dan ruas kanan Yaitu : dp P k dp P dalam P saja k dalam t saja (3) Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

Penyelesaian ruas kiri adalah dp P P c (4) (ingat bahwa P sebenarnya fungsi t tetapi tidak dimunculkan agar tidak membingungkan) Sedangkan ruas kanan persamaan (3) adalah k k kt c (5) Ruas kiri dan ruas kanan sama pada persamaan (3) Jadi ln P c kt (6) c Atau karena c dan c masih konstanta bebas, persamaan (6) dapat ditulis ln P kt C, dengan C c c ln P ln P t Tampak bahwa kt c Nilai C dapat ditentukan dari nilai awal Umumnya, kita lebih menyukai bentuk bentuk eksponensial, akan tetapi tidak boleh berubah artinya Yaitu dapat ditulis sebagai Dari relasi ln ln P kt C kt e ln C ln P ln (7) x ln y ln xy Sehingga persamaan (7) menjadi Jadi P Ce ln P ln Ce kt atau kt kt Ce P t PEMODELAN MATEMATIKA 3

Jadi k P Ce C P t P t C P =C Sehingga Persamaan (8) menjadi t kt P P e (9) Pembelajaran dengan matakuliah kalkulus Sebagai pembelajaran terhadap mata kuliah kalkulus maka perlu diselidiki apa hubungan hasil tersebut dengan kalkulus Dalam kalkulus kita telah mengenal berbagai fungsi sebagai berikut a Fungsi polinomial, misalnya f konstan, misal y a f linear, misal y f(x) ax b f kuadratik, misal y f x ax bx c 3 f kubik, misal y f x ax bx cx d y e b Fungsi Eksponensial, ditulis x f x c Fungsi Trigonometri dalam bentuk umum : y = Asin(B x) atau y = Acos (Bx) Apa gunanya fungsi-fungsi tersebut? Kita dapat menyatakan data dalam fungsi-fungsi tersebut Dengan persamaan diferensial berarti kita mencari solusi dari persamaan diferensial sebagai fungsi yang kita harapkan Jadi kesulitan yang muncul adalah menyusun persamaan diferensial dengan solusi sebagai fungsi yang kita harapkan Pada tulisan ini lebih diutamakan cara menyelesaikan berbagai persamaan diferensial (bukan cara menyusun persamaan diferensial) 4 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

Cara penyusunan data dalam persamaan diferensial disajikan dalam kuliah pemodelan matematika Cara penyelesaian Tipe Hal ini dapat ditulis dp k dp k konstan Pada bagian ini kita telah menyatakan persamaan diferensial secara terpisah yaitu ruas kanan diferensial terhadap P saja dan diferensial terhadap t saja pada ruas kanan Oleh karena itu bentuk tersebut dapat diintegralkan Yaitu: dp k Diperoleh P = kt + c dengan dengan c adalah konstan sembarang Diperoleh fungsi P yaitu fungsi linear terhadap t PEMODELAN MATEMATIKA 5

Tipe dp kt yang mempunyai penyelesaiaan Pt Ce sebagaimana pada penjelasan di atas Bagaimana perilaku saat t? Perhatikan bahwa nilai P(t) tergantung dari parameter pada eksponen Hal ini dapat ditulis dalam bentuk simbol sebagai berikut, ketika t P( t), ketika t Tanda kp menunjukkan bahwa saat C dan k positif maka P(t) bernilai positif dan negatif ketika C negatif dan k positif Sedangkan P(t) bernilai P t ketika k negatif baik C positif maupun negatif Tipe 3 (persamaan diferensial logistik) dp kp P K K,k : parameter (i) Untuk dapat menyelesaikan persamaan diferensial ini, marilah kita lakukan tahap demi tahap Tahap Dapatkah dipisahkan? Diselidiki sebagai berikut Ruas kanan : k merupakan diferensia l dalam t Ruas kiri : dp dp P P P P K K 6 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

Jadi persamaan diferensial logistik dapat dipisahkan yaitu ruas kiri diferensial dalam P dalam dan ruas kanan diferensial dalam t Jadi dapat diintegralkan masing-masing untuk mendapatkan fungsi P dari kiri dan mendapatkan fungsi t dari kanan Yaitu dp P P K k (*) Tahap Mengintegralkan masing-masing ruas Ruas kiri : dp? P P K Kita mengatakan bentuk ini merupakan bentuk tidak standard karena tidak mengikuti bentuk rumus baku yang biasa muncul Oleh karena itu perlu dicari bentuk standard yang mirip Bentuk standard yang dimaksud adalah du u du u ln u c (**) PEMODELAN MATEMATIKA 7

P A BP K P P P P K K P A BP K menyamakan penyebut A B A P K Dengan menyamakan ruas kiri dan ruas kanan diperoleh A A dan B K Karena A maka B Sehingga K Oleh karena itu K P P P P K K dp dp K P P P K P K dp Jadi bentuk (*) pada ruas kiri ditulis sebagai dp dp K dp (a) P P P P K K Suku pertama ruas kanan sudah standard (lihat **) yaitu dp ln P c (b) P 8 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

Jadi dp dp K dp P P P P K K (a) Suku pertama ruas kanan sudah standard (lihat *) yaitu Bentuk P K K P K dp dp (***) K P K disubstitusi yaitu U P K Cara memilih bentuk yang disubstitusi tidak ada aturan khusus Anda perlu banyak berlatih (jam terbang dalam menyelesaikan soal) Selanjutnya perlu semua ekspresi dalam integral terhadap variabel baru yang digunakan dalam substitusi Yaitu perlu du yaitu atau dp=-kdu Jadi persamaan (***) menjadi K P K dp ( K) K du U du U ln U C du dp K = -ln P C (c) K Kesimpulan: dari hasil (a)-(c) dapat diperoleh PEMODELAN MATEMATIKA 9

Kita tulis ulang yang sudah kita pelajari yaitu dp dp K P P P P K K Persamaan (**) menjadi ln P ln P K dp C C P ln C, dengan C C C P K P ln C kt c atau P K ln P kt C ~ dimana C ~ konstan sembarang dari c-c P K Hingga saat ini, P(t) belum dinyatakan secara eksplisit Umumnya, kita lebih menyukai bentuk eksponen, sehingga solusi ini masih disederhanakan yaitu P kt ~ kt ln ln e ln C ln Ce ~ sehingga P Ce ~ P P K K P ~ kt PK ~ kt Ce atau Ce K P K P K K ~ kt ~ kt ~ kt PK Ce K P CKe PCe ~ kt ~ P K Ce CKe Jadi kt kt Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

kt CKe ~ P ~ (s) kt K Ce Untuk mendapatkan skalar C ~ maka gunakan nilai awal yang biasanya harus diketahui atau sebagai input Sebutlah pada t= nilai P diketahui Jadi atau Sehingga Jadi P ~ P K C ~ CKe k () ~ CK ~ k () ~ K Ce K C C ~ K atau ~ ~ P K P C CK ~ ~ ~ P K CK P C C( K ) P ~ C KP K P (s) Jadi substitusikan persamaan (s) ke persamaan (s) diperoleh ~ kt ~ kt kt kt CKe / C Ke Ke Ke P ~ kt ~ K Ce / C K P kt K P A e kt K e e KP P K P dengan A= P kt Ke K P Jadi P( t) dengan (s3) kt A e P Solusi ini (bentuk persamaan (s3)) yang biasa digunakan dalam pemodelan (Stewart, Kalkulus II,998) Contoh 3 Perhatikan dy xy Apakah persamaan diferensial ini dapat disusun terpisah sebagaimana dimaksud pada penjelasan di atas? Jika ya lakukan pemisahan (tidak perlu diintegralkan), sebutkan manakah yang variabel bebas dan tak bebas kt PEMODELAN MATEMATIKA

Jawab: Disini y :variabel tak bebas ; x :variabel bebas Persamaan diferensial tersebu merupakan persamaan diferensial dapat dipisahkan yaitu dy y diferensial dalam y saja x diferensial dalam x saja du Perhatikan tu Jawab: Apakah dapat dipisahkan? Variabel u adalah variabel tak bebas dan t adalah variabel bebas Persamaan diferensial dapat dipisahkan yaitu du t u atau ditulis du t Selesaikan ya u Latihan soal Tuliskan variabel bebas dan tak bebas untuk masing-masing soal berikut Selidiki apakah metode pemisahan variabel dapat digunakan? Jika ya selesaikan, dan jika tidak berikan penjelasan anda 3 3x dy y 4 3 dy e 5 yy x 4y Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

6 dy t te 7 y y y xy Iny du dz 8 u t tu 9 e t z Kesimpulan Selama ini kita telah belajar persamaan diferensial dapat dipisahkan Secara umum dapat ditulis dp f Pgt atau f P dp gt Jadi ruas kiri diferensial dalam P saja dan ruas kanan sebagai diferensial dalam t saja Akan tetapi tidak semua persamaan diferensial dapat disajikan dalam persamaan diferensial terpisah Oleh karena itu perlu dikembangkan teknik penyelesaian yang lain Faktor Integral Contoh 4 Perhatikan masalah nilai awal t y ty dengan y Disebut masalah nilai awal karena persamaan diferensial tersebut ditentukan nilai awal yaitu pada t maka Perhatikan t y ty y y yang ditulis PEMODELAN MATEMATIKA 3

Sebelum memperkenalkan teknik lain, apakah persamaan diferensial dapat diselesaikan dalam bentuk persamaan diferensial terpisah? Jika ya, ikuti cara penyelesaian Persamaan Diferensial terpisah t y ty Pada bentuk ini variabel bebas t dan yang tak bebas y Atau yang dicari adalah y(t) Selain itu dy y dy Bentuk t ty dicoba disajikan dalam bentuk U(P)dP=f(t) Ditulis t dy ty atau t dy ty memuat t dan y memuat t dan y Jadi tidak dapat diselesaikan secara terpisah Bagaimana cara menyelesaikannya? Penyelesaian Persamaan Diferensial yang tidak dapat terpisah diselesaikan dengan cara faktor integral (J Stewart, kalkulus, hal 48-49) Persamaan Diferensial sebagai bentuk umum Persamaan Diferensial yang dapat diselesaikan dengan faktor integral adalah sebagai berikut: du P t U Q t (a) disebut persamaan diferensial tingkat dengan P dan Q sebagai fungsi kontinu pada selang yang diberikan Variabel bebas adalah t dan variabel tak bebas adalah U Jadi kita perlu mencari U(t) Koefisien du harus Metode faktor integral diperkenalkan dengan menggunakan contoh 4 di atas yaitu selesaikan: 4 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

t t y ty, y (b) Perhatikan t y ty Tanda y ty dapat ditulis t y disini berarti dalam bentuk umum (persamaan a), yaitu : y dy Sehingga dy ty Bentuk tersebut harus disusun dy t ty (c) Kedua ruas dikalikan t persamaan (c) dapat ditulis sebagai karena koefisien dy t ty t t dy y t t dy belum Sehingga Dengan mengikuti notasi pada bentuk umum persamaan (a), maka diperoleh: P t t t dan Qt Oleh karena sudah standard maka metode faktor integral dapat digunakan Akan tetapi kita belum menyelesaikan persamaan diferensial tersebut sejauh ini Untuk itu metode faktor integral akan dijelaskan lebih lanjut Kesimpulan (metode faktor integral) Soal harus memiliki bentuk persamaan diferensial linear tingkat satu yang umum yaitu: PEMODELAN MATEMATIKA 5

du Faktor integral disimbolkan P t U Q t (7d) t e It yaitu Pt I (8) Kedua ruas persamaan (7d) dikalikan dengan du It yaitu Pt U It Qt I t (9) Kemudian selesaikan persamaan (9) dengan mengintegralkan Contoh 5 t y ty, y Kembali pada contoh 4 : y y, y t t Dapat ditulis sebagai Bentuk soal menjadi dy y t t (4) Mengikuti bentuk umum persamaan () maka diperoleh P t t t dan Qt Sehingga disusun I Jadi Bentuk t t dicari yaitu e t ln t c t 6 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

I t e t e Intc e Int K t e c K e Int c dan K e Untuk selanjutnya digunakan K Kalikan kedua ruas dengan faktor integral It pada persamaan (4) yaitu: dy t y t Integralkan kedua ruas dalam t Diperoleh menyusun t dy y (5) t Perhatikan bahwa sesungguhnya y = y(t) Oleh karena itu akan dy t y dalam bentuk sebagai d dan kita akan mencari yang harus termuat dalam tanda kurung akan tetapi tidak merubah makna Hal ini dilakukan dengan tujuan agar kita dapat menyusun persamaan (5) dalam bentuk umum sebagai berikut : d Kita mengetahui bahwa persamaan (5) menjadi kanan diperoleh : ty c ln t c t c (6) ty d ty y t d ty ln t K dengan K c c dy t y t dy Oleh karena itu Selesaikan ruas kiri dan PEMODELAN MATEMATIKA 7

Jadi penyelesaian umum untuk contoh 5 adalah ln t K y t t Agar memenuhi nilai awal y maka K harus ditentukan Untuk t maka y ln K ln K K Jadi K = Sehingga penyelesaian yang memenuhi nilai awal adalah ln t y atau ty ln t t t 3 Pengenalan MATLAB Kegiatan Inovasi Pada bagian ini anda akan belajar bagaimana menggambar kurva yang akan muncul pada berbagai kegiatan menggunakan MATLAB: clear close all v=[3 4] %tulis vektor dengan ukuran x A=[5 6;7 8] %perkalian matriks vektor w=a*v' %menggambar fungsi x=linspace(,*pi,); y=sin(x) figure plot(x,y) figure plot(x,y,'r*') 8 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

y=x*sin(x) %sering figure plot(x,y,'go') XMIN=-; XMAX=*pi; YMIN=-6; YMAX=5; axis([xmin XMAX YMIN YMAX]) Kegiatan Inovasi Carilah penyelesaian dan ilustrasikan penyelesaian dengan MATLAB Catatan: jika tidak ada domain, maka definisikan sendiri domain dari penyelesaian PDB tersebut Contoh 5 y y e x Jawab : Jawaban analitik dilakukan dengan Faktor integral, sebut faktor integral adalah I( x) e e e P( x) x x Kalikan soal dengan I(x) sebagai faktor integral diperoleh x x x x e y e y e (a) Kemudian nyatakan ruas kiri dalam bentuk diferensial yaitu e y e e d x dy y e x x Integralkan kedua ruas pada persamaan ditulis Oleh karena itu e x x x x e y e e d y e 3 e 3x x 3x y e K atau y e 3 3x K / e x PEMODELAN MATEMATIKA 9

Jadi x x y e Ke (b) 3 Perhatikan bahwa pada kegiatan rutin anda hanya berhenti pada jawaban tersebut Pada kegiatan inovasi anda diminta untuk mengekspresikan berbagai bentuk solusi akan tetapi belum ada nilai tertentu yang diberikan Program untuk menampilkan berbagai solusi ditunjukkan berikut ini: clear close all n=; %banyaknya titik x=linspace(,*pi,n); K=; y=/3*exp(x)+k*exp(*x) figure plot(x,y,'r*') Masalah dalam menggambar persamaan (b): Tidak ada batas domain x Oleh karena itu kita perlu memilih x agar tampilan gambar lebih bisa digambar dengan masuk akal Perhatikan Gambar Gambar Ilustrasi x x y e Ke dengan K= 3 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

Skala pada sumbu vertikal Gambar bisa jadi dianggap terlalu besar dibandingkan skala pada sumbu horizontal Selain itu evolusi solusi pada x= hingga x=4 kurang terbedakan secara signifikan Untuk itu pemilihan sumbu horizontal (domain x terlalu besar), misalkan diperkecil dari x= hinggax = maka luaran program ditunjukkan pada Gambar Gambar Ilustrasi y domain [,] x x e 3 Ke, K= dengan Dari Gambar tampilan lebih dapat memberikan ilustrasi lebih baik karena setiap perubahan x mulai dari x=, solusi terbedakan secara signifikan Jelas bahwa untuk x semakin besar maka solusi tetap semakin besar secara positif tanpa harus menggambarkan solusi untuk x yang cukup besar Secara matematis dapat ditulis : x x lim y e Ke x 3 PEMODELAN MATEMATIKA

Hal ini dikarenakan suku pertama menuju tak hingga sedangkan suku ke- justru semakin kecil Kegiatan Inovasi Dengan menggunakan dfield7m, kita tidak perlu menyelesaikan Soal * tetapi justru mendapatkan solusi lebih banyak untuk berbagai nilai K dimana tidak ada nilai pasangan (x,y) tertentu sehingga K perlu dihitung Latihan Inovasi 3 Kerjakan dengan cara untuk soal-soal di bawah ini yang sama seperti contoh di atas (selesaikan manual, gunakan MATLAB dan dfield7m untuk soal soal berikut dengan memperhatikan bahwa tampilan solusi haruslah pantas (good looking)/ jangan asal ada Perhatikan skala sumbu horizontal dan sumbu vertikal y x 5y y xy x 3 y xy x 4 xy y e x 5 y cos x y sin x sin x ; x 6 xy xy 7 dy xy x dy 8 x xy cos x Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

II Selesaikan masalah nilai awal berikut du u, u du u t, u du u t, u 3 Akan tetapi pada Contoh tersebut nilai K hanya macam Kita dapat menggambar solusi dengan berbagai nilai K Contoh : Solusi pada soal no akan berbentuk y( x) 5 5 5x x Ke Program MATLAB untuk menggambar perlu menginput nilai K, sebutlah K=, yaitu clear close all x=linspace(-,,); K=; y=-/5*x-/5+k*exp(5*x); figure plot(x,y) axis([- - 4]) Luaran program ditunjukkan pada Gambar berikut PEMODELAN MATEMATIKA 3

Gambar 3 Kurva y( x) x Ke 5 5 Perhatikan bahwa axis/sumbu diatur agar tampilan cukup bagus Kemudian kita akan menggambar untuk K lebih dari macam nilai yang ditulis pada vektor K K=[-3 - - 3] %gambar untuk berbagai nilai K dalam layar for i=:6 y=-/5*x-/5+k(i)*exp(5*x); figure() plot(x,y) hold on end hold off 5x Gambar 4 Ilustrasi 5x y( x) x Ke untuk 5 5 berbagai nilai K yaitu -3, -, -,,, 3 4 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

Menentukan solusi dengan bantuan dfield7m Prosedur penggunaan dfield7m : dy (i) Soal perlu ditulis dalam bentuk f ( x, y) (ii) Kita tidak perlu menyelesaikan karena penyelesaian akan dibentuk oleh medan vector yang muncul pada layar Untuk menggunakan dfiled7m maka kita perlu mendefinisikan minimum dan maksimum x serta minimum dan maksimum y Tampilan dari dfield7m Contoh 5: Soal no sudah berbentuk standart untuk dfield7m yaitu: dy f ( x, y) x 5y Jendela dfield7m akan berbentuk menurut jendela pada Gambar 5 Gambar 5 Jendela dfield7m Tampilan ditunjukkan pada Gambar 6 PEMODELAN MATEMATIKA 5

Gambar 6 Tampilkan medan vektor dari dfield7m Untuk mendapatkan solusi maka kita tinggal klik kursor pada layar maka akan muncul kurva-kurva dimana kita menempatkan kursor sebagaimana contoh berikut Gambar 7 Beberapa kurva penyelesaian untuk dy/=x + 5y 6 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

Pada Gambar 7 tersebut ada berbagai solusi tanpa harus mengetahui nilai awal/nilai batas dari kasus tersebut Kurva-kurva yang muncul merupakan kurva solusi dimana gradient dari kurva tersebut diberikan oleh medan vektor yang terbentuk dari soal 4 Soal dan jawab Jawab : Ingat kenali bentuk umumnya soal terlebih dahulu dalam bentuk PD Biasa Terpisah atau PD Linear Orde dengan Faktor integral Jawaban II du u, u du Perhatikan u Dapat ditulis du u dapat sebagai PD terpisah (a) Solusi yang diinginkan adalah t u u (yang dicari) Ruas kiri : du f u du dengan f u Bagaimanakah u u menyelesaikan du? u PEMODELAN MATEMATIKA 7

Bentuk ini belum standard terhadap bentuk standard d ln c (b) du u Jadi perlu disusun dalam bentuk standard yaitu dengan dp substitusi Misal P u sehingga Jadi du Sehingga du u dp P dp du (c) Persamaan (c) sudah berbentuk standard seperti persamaan (b) Jadi du dp u ln P c ln u c (d) P Ruas kanan dari persamaan adalah sehingga t c Jadi ln u c t c Jadi ln u t K, dengan K c c Dengan kata lain ln u t C, dengan c =K (e) 8 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

Disini u tidak dinyatakan sebagai fungsi t secara eksponen Jika dikehendaki, ditunjukkan pada berikut ini Ingat ln e x Gunakan pada persamaan (e) diperoleh ln u u e t c tc e t e c x ab a b karena e e e Sehingga kita dapat menulis sebagai u Ae Atau t u Ae sehingga t Ae u, A e t c Untuk mendapatkan A perlu digunakan u A A A Diperoleh A = 9 Jadi Kesimpulan 9 t e u Persamaan Diferensial yang telah kita pelajari, persamaan diferensial tingkat satu sebagai PD Terpisah PD Linear Tingkat Satu dengan Faktor Integral Dapat diketahui penyelesaian persamaan diferensial biasa (PDB) orde yang berbentuk dy P( x) y Q( x) secara umum adalah PEMODELAN MATEMATIKA 9

P x y x e P ( x) Q x e ( ) ( ) ( ) () 3 PD orde - (linear dan koefisien konstan) Kita akan mengembangkan penggunaan (9) pada penyelesaian PDB order linear tak homogen dengan contoh Bentuk umum PD linear orde- dengan koefisien konstan adalah d y dy a b cy d Contoh 6 Misal perlu diselesaikan (Holmes, 995 hal3) d y dy y dengan y() = y() = () Bentuk PDB adalah PDB tak homogen orde- linear dengan koefisien konstan Cara penyelesaian dengan metode ekspansi ditunjukkan pada (Parhusip, ) dan penyusunan penyelesaian dengan metode faktor integral Cara faktor integral akan kita bahas disini Kita susun bentuk PD yang difaktorkan dengan menggunakan notasi D = d/ maka () dapat ditulis sebagai ( D D ) y Persamaan karakteristik adalah m m Menggunakan rumus abc diperoleh : Sebut m dan 4 m () 4 Dengan () maka persamaan () dapat ditulis dalam bentuk ( D m )( D m ) y (3) 3 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

Ingat bahwa bentuk kuadrat ax bx c x x )( x x ) dimana ( x dan xadalah akar-akar dari persamaan ax bx c yang digunakan pada persamaan (3) Hal inilah Sebut u = D m ) y maka dapat disusun ( D m ) u atau ( Du ( m ) u Sehingga u m m x m m mx m x m x mx mx ( x) e e e e e Ce Ce m Untuk mendapatkan y(x) maka digunakan ( D m ) y = u atau Dy + (- e m )y = u y= mx Ce m Lagi, kita menggunakan persamaan faktor integral sehingga dapat diperoleh: y( x) e P( x) = m m Q( x) e P( x) + mx Ce m m e + C e m m x u( x) e m Jadi dengan menggunakan persamaan () dapat ditulis penyelesaian eksak yaitu y(x)= m m + m m C e mx + C e m x 4 mx mx = mx mx C3e Ce Ce Ce (3) dengan m dan m (Ingat bahwa m m 4 4 adalah perkalian akar-akar dari persamaan kuadrat m m ) Syarat batas yaitu y() = y() = digunakan untuk mencari C 3 dan C PEMODELAN MATEMATIKA 3

Untuk y() = maka y() = C3 C = sehingga C 3 C Dengan menggunakan syarat batas y() = diperoleh m m C e C e (5) 3 Oleh karena itu mencari C3 dan C dapat dilakukan dengan menyelesaikan sistem persamaan linear atau dengan substitusi Diperoleh m m C e 3 m m e e dan e C (5) m m e e Diperoleh penyelesaian eksak yaitu mx mx y( x) C3e Ce e m m ( m x x) e m m m m e e e e e e y m x dengan C 3 dan C dinyatakan pada persamaan (5) Pada Gambar 8 ditunjukkan penyelesaian eksak untuk berbagai Gambar 8 Penyelesaian eksak untuk soal contoh d y dy y dengan y() = y() = untuk nilai, dan 3 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

4 Studi stabilitas 4 Persamaan diferensial linear Persamaan diferensial linear untuk pertumbuhan/peluruhan ditulis secara umum dalam bentuk ( t) x( t) () Penyelesaian x(t) dapat menunjukkan sebarang objek yang dipelajari Persamaan diferensial () dikatakan linear karena x(t) muncul pada ruas kanan Persamaan () dikatakan homogen karena fungsi konstan x ( t) juga merupakan penyelesaian Secara elegan, penyelesaian masalah persamaan () ditulis dalam bentuk teorema berikut ini Teorema Terdapat penyelesaian yang tunggal untuk masalah nilai awal persamaan (6) dengan nilai awal x( ) x yaitu x( t) x e t () Sebagai konsekuensi dari Teorema tampak bahwa ada beda kualitatif penyelesaian pada persamaan () yang tergantung pada nilai atau Anggap bahwa x Hal ini berakibat lim lim t, x( t) xe t t, (3) Persamaan (3) menjelaskan bahwa ketika berarti penyelesaian tumbuh secara eksponensial Ketika berarti bahwa penyelesaian meluruh secara eksponensial (exponential decay) Disini menunjukkan laju pertumbuhan Dapat disimpulkan bahwa penyelesaian menjadi PEMODELAN MATEMATIKA 33

takterbatas ketika pada t t atau penyelesaian menjadi untuk Persamaan diferensial linear tak-homogen Perhatikan persamaan diferensial x 6 (4) Tampak bahwa x(t) = bukan merupakan penyelesaian Oleh sebab itu, persamaan diferensial pada persamaan (9) disebut tak-homogen Dapat dibuktikan bahwa fungsi konstan x(t) = -3 Persamaan (9) dapat diselesaikan dengan menggunakan Teorema Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan transformasi y ( t) x( t) 3 (5) Persamaan diferensial harus dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial dengan peubah tak bebas y(t) Yaitu dy (6) x 6 y Dengan menggunakan Teorema dapat diperoleh bahwa penyelesaian persamaan (3) yaitu y( t) t ye (7) 34 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

Jadi penyelesaian persamaan diferensial (4) yaitu x( t) y( t) 3 y e t 3 (8) y untuk setiap konstan Tampak bahwa lim lim t x( t) y e 3 t t 3, yang berarti tidak nol ataupun tak hingga Kita dapat menyatakan dalam bentuk yang lebih umum sebagai berikut Sebarang bentuk persamaan diferensial dalam bentuk x(t) (9) juga dapat diselesaikan yang serupa seperti di atas yaitu dengan menggunakan transformasi y( t) x( t) (3) Dengan menggunakan persamaan (3) diperoleh dy x( t) y( t) y( t) Penyelesaian persamaan (3) menggunakan Teorema yaitu (3) y t ( t) y e untuk sebarang konstan y dan x t ( t) y e Tampak bahwa limit (t) t x ketika adalah / ketika PEMODELAN MATEMATIKA 35

4 Bidang fase dan solusi setimbang (titik ekuilibrium) Lemma Perhatikan persamaan diferensial Penyelesaian atau ( t) ( t) g( x( t)) x( t) x adalah solusi setimbang jika hanya jika g ( x ) Solusi setimbang x( t) x dikatakan stabil asimtotik jika semua penyelesaian x(t) dengan nilai awal yang didekat x ketika t Dengan simbol ditulis x mempunyai limit lim x( t) x t Solusi setimbang mulai didekat Catatan: x( t) x dikatakan tidak stabil jika trayektori x bergerak menjauh dari Perhatikan perbedaan nilai awal x() dan notasi solusi setimbang x( t) x mempunyai makna berbeda Nilai awal adalah nilai x(t) pada t = (awal pengamatan) sedangkan solusi setimbang ( t) nilai x(t) yang memenuhi x x( t) x adalah 36 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

Contoh 6 ketika Contoh 7 Perhatikan persamaan diferensial pada persamaan x g( x( t)) Solusi setimbang adalah x = Solusi setimbang ini asimtotik stabil dan tidak stabil ketika dengan suatu konstan Kita akan menggunakan notasi x g( x( t)) x (35) ' g ( x) dg untuk mempelajari solusi setimbang () Solusi setimbang dicari yaitu titik yang memenuhi Diperoleh persamaan Diperoleh x =, x( x ) x, dan x Kita mempunyai 3 titik ekuilibrium Ingat bahwa x = bukan nilai awal, akan tetapi merupakan titik setimbang Sifat solusi setimbang dapat dipelajari dengan memperhatikan keadaan/perubahan di sekitar solusi setimbang tersebut Gunakan pendekatan dengan persamaan garis antara titik dengan g( x ) = diperoleh dengan ' g( x) g ( x )( x x ), (36) x merupakan notasi untuk solusi setimbang PEMODELAN MATEMATIKA 37

Tampak bahwa ketika g' ( x ), maka g(x) negatif ketika x dan positif ketika x x Secara sama, jika g' ( x ), maka g(x) positif ketika x dan negatif ketika x x Jadi penyelesaian dekat x lebih cepat meninggalkan x ketika ' g x ) ( Keadaan-keadaan tersebut disajikan dalam bentuk Teorema berikut ini Teorema 3 Jika x adalah solusi setimbang untuk suatu persamaan diferensial maka ( t) g( x( t)) ' Jika g x ) maka solusi setimbang adalah stabil asimtotik, dan ( jika dg ( x ) maka solusi setimbang tidak stabil Contoh 8 Penyelesaian Contoh 7 ditunjukkan dalam bentuk grafik dengan menggunakan free software pplane7m yang ditunjukkan pada Gambar 9 Gambar 9 Penyelesaian dari masalah nilai awal x x g( x( t)) dengan 38 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika

Sebagaimana telah ditunjukkan bahwa terdapat 3 solusi setimbang pada Gambar 9 yaitu x, x, x studi berikut ini ketika Beberapa analisa ditunjukkan pada (i) Studi solusi setimbang disekitar x Pada sekitar x, telah ditunjukkan bahwa g ( x ) x ( x ) Ketika x x dengan x maka dg g ' ( x) x Jadi menurut Lemma, titik x tidak stabil pada x x Secara ' sama ketika x dengan x, diperoleh g ( x) Menurut Teorema diperoleh bahwa solusi setimbang tidak stabil (ii) Studi solusi setimbang di sekitar x Pada sekitar x dengan x diperoleh < g '( x) Oleh karena itu menurut Teorema, solusi setimbang x adalah solusi setimbang tidak stabil (iii) Studi solusi setimbang di sekitar x Pada sekitar x dengan ' x diperoleh g ( x) x Oleh karena itu menurut Teorema, solusi setimbang x adalah solusi setimbang stabil asimtotik PEMODELAN MATEMATIKA 39

Kegiatan Inovasi 4 Pada soal Kegiatan Inovasi 3 anda sudah diminta untuk mencari penyelesaian baik yang umum maupun berdasarkan input yang diberikan Oleh karena itu tentukan : (i) Solusi setimbang tiap soal (ii) Sifat solusi setimbang masing-masing (ii) Tandai lokasi solusi setimbang pada ilustrasi penyelesaian yang anda punya Petunjuk: a Solusi yang digambar haruslah memuat solusi setimbang agar dapat menjelaskan solusi setimbang yang diperoleh b Contoh: Untuk solusi setimbang dari y x 5y f ( x, y) berarti perlu diselesaikan x +5y= yaitu y= -x/5 (ingat bahwa solusi setimbang adalah solusi sehingga dy/ =) Sifat solusi setimbang ditentukan oleh d d f ( x, y) ( x 5y) yang selalu positif untuk setiap sembarang x Jadi solusi setimbang y=-x/5 merupakan solusi setimbang tidak stabil 4 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika