Darmawijoyo Persamaan Diferensial Biasa Suatu Pengantar FKIP-UNSRI
Untuk istriku tercinta Nelly Efrina dan anak-anakku tersayang, Yaya, Haris, dan Oji.
Pendahuluan Buku Persamaan Diferensial Suatu Pengantar ini ditujukan untuk mahasiswa yang baru berkenalan dengan Persamaan Diferensial. Karena sifatnya pengantar maka beberapa teorema dan pernyataan dalam buku ini tidak diberikan buktinya. Akan tetapi bagi pembaca yang ingin mendalaminya lebih jauh, dapat mempelajarinya dalam buku yang ada pada daftar pustaka. Buku ini bukanlah sebuah novel yang dapat dibaca sepintas lalu kemudian pembaca dapat mengingat mengerti cerita di dalamnya bahkan dapat menceritakan ulang kejadian-kejadian dalam buku. Pembaca buku ini harus menyiapkan suasana sehingga dapat belajar secara bermakna dengan keseriusan dan konsentrasi. Bacalah definisi, teorema, dan pernyataan secara detail dengan memperhatikan contohcontoh soal yang mengiringinya. Biasakan memunculkan pertanyaanpertanyaan seperti apa, bagaimana, dan mengapa setiap langkah penyelesaian, atau setiap pernyataan yang ada. Cobahlah untuk menjawab soal-soal yang ada diakhir setiap bab. Jika muncul rasa malas atau stagnasi dalam mengkaji buku ini, cobalah untuk belajar kelompok sebagai wahanah berdiskusi sekaligus untuk menghilangkan rasa jenuh. Prasyarat untuk mempelajari buku ini, pembaca sudah mengenal dengan baik pelajaran kalkulus, dan kalkulus lanjut khususnya untuk bab 6 dan bab 7. Buku ini sangat baik bagi mereka yang akan mendalami masalah-masalah sistem dinamik. Olehkarenanya, buku ini dapat digunakan atau dimanfaatkan bagi mahasiswa MIPA, teknik, Kompuvii
viii Pendahuluan ter, pertanian, ekonomi, atau mahasiswa yang akan menggeluti kajian laju perubahan. Struktur buku ini disusun berjenjang yang diusahkan tidak banyak menggunakan prasyarat, misalkan dalam sistem persamaan diferensial dihindarkan penggunaan matriks. Pada bab 1 diperkenalkan masalah-masalah yang dapat disusun kedalam masalah persamaan diferensial. Pada bab ini pula diperkenalkan pengertian persamaan diferensial, pengertian penyelesaian. Pada bab 2 dibahas jenis-jenis persamaan diferensial orde satu serta teknik penyelesaiannya.pada Bab 3 dibahas aplikasi-aplikasi persamaan diferensial orde satu, khususnya aplikasi pada bidang geometri bidang. Pada Bab 3 ini pemahamanpemahaman kalkulus akan banyak membantu dalam mengkaji penyelesaian. Kajian-kajian persamaan diferensial orde dua dan sistem persamaan diferensial terdapat pada bab 4 dan 5. Bagi pembaca yang merupakan calon sarjana dalam ilmu-ilmu rekayasa, bab 6 akan sangat membantu mendalami keilmuannya dengan menggunakan alat transformasi Laplace. Bab 7 akan memberikan ruang yang lebih lebar untuk menggunakan aplikasi komputer dengan pendekatan numerik. Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada beberapa orang yang berperan besar dalam penyelesaian buku ini. Pertama-tama, ucapan terima kasih kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Unsri yang telah memberikan masukan tentang beberapa pernyataan atau soal-soal yang sukar dimengerti. Kepada kolega-kolega, Dr. Yusuf Hartono yang telah memberi masukan tentang aspek pembelajaran, Jaidan Jauhari, M.T. dan Elly Susanti, M.Pd.yang telah menguji cobahkan buku ini. Penulis ingin menyatakan ucapan khusus kepada istriku tercinta Nelly Efrina, anakku tersayang, Yaya, Haris, dan Oji yang sering kehilangan momen untuk bersedahgurau selama proses penyusunan draf. Penulis persembahkan buku ini khususnya untuk kalian semua. Terima kasih atas segala pengorbanannya. Palembang, Darmawijoyo Januari, 2009
Daftar Isi 1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial................. 1 1.1 Definisi dari suatu persamaan diferensial dan order dari persamaan diferensial......................... 1 1.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial dan Penyelesaian ekplisit......................................... 2 1.3 Penyelesaian Implisit Persamaan Diferensial.......... 4 1.4 Multiplicity dari penyelesaian suatu persamaan diferensial....................................... 7 Soal-soal latihan..................................... 11 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu......... 15 2.1 Persamaan Diferensial Dengan Variabel Terpisah...... 15 2.2 Persamaan Diferensial Dengan Koefesien Homogen... 18 2.3 Persamaan Diferensial Homogen................... 19 2.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Linier....... 22 2.5 Persamaan Diferensial Eksak....................... 27 2.6 Faktor integrasi.................................. 32 2.7 Menentukan Faktor Integrasi...................... 34 2.7.1 h fungsi hanya dari x........................ 35 2.7.2 h fungsi hanya dari y........................ 36 2.7.3 h fungsi dari xy............................ 38 2.7.4 h fungsi dari x/y........................... 39 2.7.5 h fungsi dari y/x........................... 41 2.7.6 Bentuk Khusus dari P dan Q.................. 42 2.8 Persamaan Diferensial Linier Order Satu............. 43 2.8.1 Jastifikasi Faktor Integrasi e P(x)dx............. 47 ix
x Daftar Isi 2.8.2 Persamaan Bernoulli........................ 48 2.8.3 Persamaan Riccati.......................... 50 Soal-soal latihan..................................... 52 3 Masalah-masalah Yang Membentuk Persamaan Diferensial Order Satu............................... 57 3.1 Masalah-masalah dari Geometri.................... 57 3.2 Trayektori....................................... 62 3.2.1 Trayektori Isogonal......................... 62 3.2.2 Trayektori Ortogonal........................ 65 3.2.3 Formula Trayektori Ortogonal dalam Koordinat Polar...................................... 66 Soal-soal latihan..................................... 68 4 Persamaan Diferensial Linier Order Dua.............. 73 4.1 Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Homogen Order 2 dengan Koefisien Konstan.................. 73 4.2 Persamaan Diferensial Tak Homogen............... 77 4.2.1 Koefisien Taktentu.......................... 78 4.3 Pengunaan Varibel Kompleks untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Order Dua................... 83 4.4 Variasi Parameter................................ 85 4.5 Persamaan Diferensial Linier dengan Koefisien Tak-konstan Menggunakan Reduksi Order............ 89 Soal-soal latihan..................................... 93 5 Sistem Persamaan Diferensial........................ 97 5.1 Definisi Dasar................................... 97 5.2 Sistem Persamaan Diferensial Homogen dengan Koefisien Konstan................................ 106 5.3 Sistem Persamaan Diferensial Order Satu Takhomogen dengan Koefisien Konstan.............. 114 Soal-soal latihan..................................... 118 6 Transformasi Laplace................................ 123 6.1 Definisi Dasar................................... 123 6.2 Fungsi Periodik.................................. 125 6.3 Transformasi Laplace dari derivatif fungsi........... 125
Daftar Isi xi 6.4 Invers Laplace................................... 127 6.5 Fungsi Tangga................................... 131 6.6 Persamaan Diferensial dengan Suku Takhomogen Diskontinu...................................... 135 Soal latihan......................................... 138 7 Penyelesaian Persamaan Deferinsial dengan Metode Deret.............................................. 145 7.1 Deret Pangkat................................... 146 7.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial Koefisien Variabel 148 7.3 Singularity...................................... 156 7.4 Metode Frobenius................................ 159 7.4.1 Akar-akar berbeda dengan selisih bukan bilangan bulat.............................. 161 7.4.2 Akar-akar berbeda dengan selisih bilangan bulat. 163 7.4.3 Akar-akar sama............................. 166 Soal-soal latihan..................................... 167 Pustaka............................................ 171 Indeks................................................ 173
Bab 1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial 1.1 Definisi dari suatu persamaan diferensial dan order dari persamaan diferensial. Dalam pelajaran, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai contoh fungsi y = log(x) berturut-turut diberikan oleh y = 1 x, y = 1 x 2, y = 2, dsb, (1.1) x3 dimana y = dy dx, y = d2 y, dan seterusnya. Juga kita telah diperkenalkan dengan aturan dan metode mendiferensialkan fungsi dari dua va- dx 2 riabel atau lebih. Derivatifnya di sebut dan persamaan yang memuat derivatife partial disebut persamaan diferensial parsial. Misalkan u = x 2 + 3xy e 2x+3y, derivatifnya terhadap x dan y berturut-turut diberikan oleh u u = 2x + 3y 2e2x+3y x x = 3x 3e2x+3y. (1.2) Definisi 1.1.1 Misalkan f(x) mendefinisikan sebuah fungsi dari x pada suatu interval I : a x b. Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif dari f(x). Berikut ini adalah contoh-contoh dari persamaan diferensial: Contoh 1.1.1 1
2 1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial dy dx + y = 0, y xy = 0, (1.3) d 2 y dx 2 + y + x2 + 5 = 0, y xy + e x = 0, (1.4) x d3 y dx 3 + x2 + 5 = xy, y x(y ) 2 + ln(x) = 0. (1.5) Definisi 1.1.2 dari suatu persamaan diferensial adalah order tertinggi derivatif yang termuat dalam persamaan itu. Sebagai contoh kita verifikasi order persamaan diferensial untuk persamaanpersamaan (1.3) - (1.5). Persamaan (1.3), (1.4), dan (1.5) berturutturut adalah persamaan diferensial order satu, order dua, dan order tiga. 1.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial dan Penyelesaian ekplisit. Marilah kita perhatikan persamaan aljabar berikut ini x 2 2x 3 = 0. (1.6) Kita mengatakan x = 3 adalah penyelesaian dari persamaan aljabar (1.6) karena jika kita gantikan x = 3 kepersamaan (1.6) persamaan itu menjadi benar atau dengan kata lain x = 3 memenuhi persamaan (1.6). Begitu juga dengan x = 1. Kita juga akan mengatakan fungsi y = f (x) = x 2 e 2x adalah dari persamaan diferensial y 2(y x 2 + x) = 0. (1.7) Sebab jika disubsitusikan fungsi y = f (x) ke persamaan diferensial (1.7) maka persamaan itu akan benar. Definisi 1.2.1 Misalkan y=f(x) mendefinisikan y sebagai fungsi dari x pada interval I:a<x<b. Kita katakan bahwa fungsi f(x) adalah atau disebut penyelesaian saja dari persamaan diferensial jika f(x) memenuhi persamaan untuk setiap x dalam interval I, yakni, jika kita substitusikan y dengan f(x), y dengan f (x), y dengan f (x), dan seterusnya, persamaan yang didapat adalah suatu identitas dalam x.
1.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial dan Penyelesaian ekplisit. 3 Dalam simbol matematika definisi di atas mengatakan bahwa f (x) merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial jika untuk setiap x dalam I. F(x,y,y,,y n ) = 0, (1.8) F(x, f (x), f (x),, f n (x)) = 0 (1.9) Contoh 1.2.1 Ujilah bahwa fungsi yang didefinisikan oleh y = f (x) = x 2, < x <, (1.10) adalah penyelesaian dari persamaan diferensial (y ) 3 + y( ) 2 y 3x 2 8 = 0. (1.11) Kita diferensialkan fungsi f untuk memperoleh f (x) = 2x, f (x) = 2. Dengan mensubstitusikan fungsi y = f (x), y = f (x), dan y = f (x) ke (1.11) akan diperoleh persamaan 8 + 4x 2 x 2 3x 2 8 = 0. (1.12) Karena sebelah kiri dari persamaan (1.12) adalah nol berarti persamaan itu merupakan persamaan identitas untuk semua x dalam (, ). Menurut definisi fungsi f (x) adalah penyelesaian persamaan diferensial (1.11). Contoh 1.2.2 ujilah bahwa fungsi yang didefinisikan oleh f (x) = ln(x) + c, x > 0 (1.13) adalah penyelesaian dari persamaan diferensial y = 1 x. (1.14) Catatlah bahwa persamaan (1.14) terdefinisi untuk x > 0. Jelaslah dengan mendiferensialkan (1.13) dan mensubstitusikannya ke (1.14) bahwa persamaan yang diperoleh adalah persamaan identitas untuk semua x > 0.
4 1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial Contoh 1.2.3 ujilah bahwa fungsi yang didefinisikan oleh f (x) = tan(x) x, x (2n + 1) π, n = 0,±1,±2,, (1.15) 2 adalah penyelesaian dari persamaan diferensial y = (x + y) 2. (1.16) Catatlah bahwa fungsi (1.15) terdefinisi dimana cos(x) 0 atau x (2n + 1) 2 π, n = 0,±1,±2,. Derivatif dari (1.15) diberikan oleh f (x) = sec 2 (x) 1 = tan 2 (x). Jelaslah dengan mensubstitusikannya (1.15) dan derivatifnya ke (1.16) bahwa persamaan yang diperoleh adalah persamaan identitas untuk semua x (2n + 1) 2 π, n = 0,±1, ±2,. 1.3 Penyelesaian Implisit Persamaan Diferensial. Dalam banyak hal, kita menemukan atau dihadapkan dengan g(x, y) = 0 yang biasanya tidak mudah bahkan tidak mungkin untuk menyatakannya dalam bentuk eksplisit y = f (x). Jika fungsi implisit g(x,y) = 0 memenuhi suatu persamaan diferensial pada interval I : a < x < b, maka relasi g(x,y) = 0 dinamakan dari persamaan diferensial itu. Definisi 1.3.1 Suatu relasi g(x, y) = 0 dinamakan penyelesaian implisit dari persamaan diferensial pada interval I : a < x < b, jika F(x,y,y,c...,y n ) = 0 (1.17) fungsi itu mendefinisikan fungsi implisit pada interval I, yaitu, jika ada fungsi f (x) yang didefinisikan pada I sedemikian hingga g(x, f (x)) = 0 untuk setiap x dalam I, dan jika f (x) memenuhi (1.17), yaitu, jika untuk setiap x dalam I. F(x, f (x), f (x),c..., f n (x)) = 0 (1.18)
1.3 Penyelesaian Implisit Persamaan Diferensial. 5 Contoh 1.3.1 Ujilah bahwa g(x,y) = x 2 + y 2 25 = 0 (1.19) adalah penyelesaian implisit dari persamaan diferensial pada interval I : 5 < x < 5. F(x,y,y ) = yy + x = 0 (1.20) Pertama-tama kita tinjau bahwa fungsi g(x, y) mendefinisikan y = f (x) sebagai fungsi implisit dari x pada interval I. Jika dipilih fungsi eksplisitnya adalah y = f (x) = 25 x 2 (1.21) maka akan kita peroleh persamaan ) F(x, f (x), f (x)) = 25 x ( 2 x + x = 0. (1.22) 25 x 2 Karena ruas sebelah kiri dari (1.22) nol berarti persamaan ini merupakan identitas dalam x. Oleh karenya, kedua persyaratan definisi 1.3.1. dipenuhi. Dengan ini dapat kita tarik kesimpulan bahwa fungsi g(x, y) dalam (1.19) adalah penyelesaian implisit dari persamaan diferensial (1.20) pada interval I. Contoh 1.3.2 Ujilah apakah g(x,y) = x 3 + y 3 3xy = 0, < x <, (1.23) adalah penyelesaian dari persamaan diferensial F(x,y,y ) = (y 2 x)y y + x 2 = 0, < x <. (1.24) Perhatikanlah bahwa contoh 1.3.2. berbeda dengan contoh sebelumnya. Kesulitan yang kita hadapi pertama-tama adalah tidak mudah untuk menyatakan fungsi implisit di atas sebagai fungsi y = f (x) dari x secara explisit. Karena kita tidak dapat menyatakan fungsi (1.23) secara eksplisit sebagai fungsi y = f (x) maka kita tidak dapat mensubstitusikannya ke persamaan diferensial (1.24). Akan tetapi, dengan menggunakan grafik kita dapat memilih fungsi y = f (x) dari grafik fungsi
6 1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial implisit (1.23). Untuk menunjukkan bahwa (1.23) memang merupakan penyelesaian untuk persamaan diferensial (1.24) dapat kita lalukan dengan mendiferensialkan (1.23) secara implisit. Akhirnya dari derivatifnya kita peroleh persamaan diferensial (1.24). Prosedur terakhir yang kita gunakan adalah prosedur standar Kalkulus untuk mendiferensialkan fungsi implisit. Contoh 1.3.3 Ujilah apakah fungsi implisit xy 2 e y 1 = 0 (1.25) adalah penyelesaian dari persamaan diferensial (xy 2 + 2xy 1)y + y 2 = 0. (1.26) Jika kita diferensialkan (1.25) secara langsung menggunakan metode pendiferensialan fungsi implisit seperti yang diajar dalam kuliah Kalkulus maka akan diperoleh persamaan (2xy + e y )y + y 2 = 0. (1.27) Sepintas kita lihat bahwa (1.27) tampaknya tidak memenuhi (1.26). Akan tetapi jika substitusikan e y dari persamaan (1.25) ke (1.27) akan kita dapatkan persamaan (1.26). Sekarang kita perhatikan daerah definisi dari fungsi implisit terhadap x dengan menyatakan (1.25) sebagai persamaan 1 + e y y = ±. (1.28) x Jelaslah bahwa y akan terdefinisi jikalau x > 0. Olehkarena itu, agar (1.25) menjadi penyelesian kita harus membuang semua nilai x 0. Apakah interval x > 0 merupakan daerah penyelesaian? hal ini tergantung dengan cabang mana yang kita pilih sebagai penyelesaian. Jika cabang dari grafik (1.28) yang diambil adalah cabang diatas sumbu x maka jawabannya ya. Akan tetapi jika cabang yang diambil sebagai penyelesaian adalah cabang dibawah sumbu x maka jawabannya tidak. Untuk rinciannya ditinggalkan sebagai latihan (dengan menggambarkan grafik persamaan (1.28)).
1.4 Multiplicity dari penyelesaian suatu persamaan diferensial. 7 1.4 Multiplicity dari penyelesaian suatu persamaan diferensial. Sebelumnya kita telah mempelajari apa yang dimaksud dengan penyelesaian, interval penyelesaian dari suatu persamaan diferensial. Selanjutnya dalam bagian ini kita akan mengasumsikan semua fungsi yang dibicarakan adalah terdefinisi dalam suatu interval tertentu. Dalam mempelajari Kalkulus kita telah berkenalan dengan apa yang disebut anti-derivatif yaitu kita mencari dari suatu derivatif. Dalam hal ini kita menyelesaiakn persamaan diferensial yang berbentuk y = f (x). Sebagai contoh jika kita ingin mencari primitif dari suatu fungsi persamaan y = sin(x), (1.29) berarti kita mencari penyelesaian dari persamaan diferensial (1.29). Orang dapat mengujinya bahwa penyelesaian dari persamaan diferensial itu diberikan oleh y = cos(x) + c, (1.30) dimana c adalah konstanta sebarang. Penyelesaian (1.30) diperoleh dengan mengintegralkan persamaan (1.29), yakni, y = sin(x)dx = cos(x) + c, (1.31) Jika kita mencari primitif dari persamaan y = e x, (1.32) maka kita mengintegralakan persamaan tersebut, yakni, y = e x dxdx = e x + c 1 x + c 2, (1.33) dengan c 1 dan c 2 sebagai konstanta. Tentunya jika kita mencari primitif dari suatu persamaan diferensial yang berorder tiga maka kita akan mengintegralkan persamaan itu sebanyak tiga kali. Perlu kita ketahui bahwa primitif dari persamaan diferensial berorder n memuat n buah konstanta sebarang c 1,c 2,,c n. Biasanya dalam buku-buku standar persamaan diferensial primitif yang memuat n buah konstanta disebut keluarga penyelesaian dari n parameter
8 1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial Definisi 1.4.1 fungsi yang didefinisikan oleh y = f (x,c 1,c 2,,c n ) (1.34) dari n+1 variabel x,c 1,c 2,,c n akan dinamakan dari persamaan difernsial berorder n F(x,y,y,,y n ) = 0, (1.35) jika untuk setiap pemilihan nilai c 1,c 2,,c n fungsi f (x) memenuhi (1.35). Contoh 1.4.1 Tunjukkanlah bahwa fungsi yang didefinisikan oleh y = f (x,c 1,c 2 ) = 2x + 3 + c 1 e x + c 2 e 2x (1.36) adalah keluarga penyelesaian 2 parameter dari persamaan diferensial F(x,y,y,y ) = y 3y + 2y 4x = 0. (1.37) Misalkan a,b nilai kita pilih untuh c 1 dan c 2 berturut-turut, maka kita peroleh y = 2x + 3 + ae x + be 2x, y = 2 + ae x + 2be 2x, (1.38) y = ae x + 4be 2x. Dengan mensubstitusikan (1.39) ke dalam (1.37) maka persamaan yang diperoleh adalah F(x,y,y,y ) = ae x + 4be 2x 6 3ae x 6be 2x + 4x + 6 +2ae x + 2be 2x 4x = 0. (1.39) Kita dapat memeriksa bahwa (1.39) merupakan identitas. Maka kita simpulkan bahwa fungsi (1.36) adalah keluarga penyelesaian 2 parameter. Sekarang kita dapat memunculkan sebuah pertanyaan, bagaimana menentukan persamaan difernsial dari keluarga penyelesaian n- parameter? seperti kita ketahui walaupun penyelesaian persamaan diferensial beroder n memuat n buah konstanta akan tetapi persamaan
1.4 Multiplicity dari penyelesaian suatu persamaan diferensial. 9 diferensialnya sendiri tidak memuat konstanta-konstanta ini. Karenanya untuk menentukan persamaan diferensial order n dari keluarga penyelesaian n-parameter kita harus mengeliminasi konstanta-konstanta yg termuat dalam penyelesaian dengan mendiferensialkannya. Karena tidak ada metode standar untuk menyelesaiakn masalah ini, maka memecahkan masalah ini sangat bergantung dengan kreatifitas atau skill untuk menciptakan trik-trik penyelesaian, dan biasanya makin sering kita memecahkan masalah ini makin tinggi skil kita menciptakan trik. Contoh 1.4.2 Tentukanlah persamaan diferensial yang memiliki keluarga penyelesaian 1-parameter y = ccos(x) + x. (1.40) Dalam hal ini telah diasumsikan bahwa order persamaan diferensial yang dicari adalah beroder satu. Derivatif dari (1.40) diberikan oleh y = csin(x) + 1. (1.41) Karena persamaan difernsial yang kita cari harus bebas dari konstanta sebarang maka konstanta yang terdapat pada y dan y harus dieliminasi. Eliminasikanlah konstanta c di (1.40) kedalam (1.41) untuk mendapatkan y = (x y)tan(x) + 1. (1.42) Perlu dicatat bahwa walaupun kita telah mendapatkan persamaan diferensial yang dicari, akan tetapi kita harus menentukan di interval mana (1.42) terdefinisi. Jelasah bahwa interval yang dicari adalah I := {x R;x ± π 2,±3π 2, }. Contoh 1.4.3 Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga penyelesaian 2 parameter y = c 1 e x + c 2 e x. (1.43) Jelas disini telah diasumsikan bahwa yang dicari adalah persamaan diferensial beroder dua. Diferensialkanlah fungsi (1.43) dua kali untuk mendapatkan y = c 1 e x c 2 e x, y = c 1 e x + c 2 e x. (1.44)
10 1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial Dengan mengurangkan direvatif kedua dengan fungsinya sendiri diperoleh y y = 0. (1.45) Persamaan diferensial (1.45) adalah persamaan diferensial order dua dan bebas dari konstanta sebarang oleh karenanya persamaan (1.45) inilah yang kita cari. Contoh 1.4.4 Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga penyelesaian 2-parameter y = c 1 sinx + c 2 cosx + x 2. (1.46) Sekali lagi kita mengasumsikan persamaan diferensial yang dicari berorder dua. Diferensialkanla (1.46) dua kali untuk mendapatkan y = c 1 cosx c 2 sinx + 2x, y = c 1 sinx c 2 cosx + 2. (1.47) Disini kita dapat mengeliminasi c 1 dan c 2 dengan cara biasa untuk mendapatkan persamaan diferensial order dua y + y x 2 2 = 0. (1.48) Contoh 1.4.5 Tentukanlah persamaan diferensial yang mepunyai primitif keluarga penyelsaian 1 - parameter yang merupakan keluarga lingkaran yang berpusat di titik awal. Walaupun keluarga penyelesaian tidak diberikan dalam bentuk persamaan simbolik, akan tetapi kita mengetahui bahwa keluarga lingkaran yang berpusat di titi awal dengan koordinat (x, y) dapat dinyatakan dengan simbolik x 2 + y 2 = r 2, r > 0, (1.49) dengan r sebagai parameternya. Dengan mendiferensialkan (1.49) diperoleh persamaan diferensial yang diinginkan x + yy = 0. (1.50)
1.4 Multiplicity dari penyelesaian suatu persamaan diferensial. 11 Soal-soal latihan 1.1. Tentukanlah order dari persamaan diperensial berikut ini. (a) dy + (xy sin(x))dx = 0. (b) y + xy + 2y(y ) 2 + xy = 0. ( d 2 ) y (c) dx 2 (y ) 4 + xy = 0. (d) e y + xy + y = 0. 1.2. Buktikanlah bahwa fungsi-fungsi yang berada disebelah kanan persamaan diferensial merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial yang diberikan. Periksalah diinterval mana mereka terdefenisi dan interval penyelesaian. a). y + y = 0, y = e x b). y = e x, y = e x c). y = e x, y = e x. d). d2 y = 1 dx 2, y = xarcsin(x) + 1 x 2. 1 x 2 e). f (x) = f (x), f (x) = e x + 10. f). xy = 2y, y = x 2. g). dy dx = y x2, y = e x + x 2 + 2x + 2. h). d2 y 3 dy dx 2 dx + 2y = x2, y = 2e 2x + e x + 1 4 (2x2 + 6x + 7). i). cos(x) dy dx 2ysinx = 0, y = asec2 (x). j). y y = 0, y = e x + 3e x. k). x + yy = 0, y = 16 x 2. 1.3. Tentukanlah fungsi v(x) sedemikian hingga fungsi y = v(x)e mx adalah penyelesaian dari persamaan diferensial dy dx = my + x2. (1.51) 1.4. Tentukanlah m sedemikian hingga fungsi y = e mx adalah penyelesaian dari persamaan diferensial 2 d3 y dx 3 + d2 y dx 2 5dy + 2y = 0. (1.52) dx
12 1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial 1.5. Tentukanlah apakah persamaan disebelah kanan mendefinisikan fungsi implisit dari x. Kemudian tentukanlah apakah fungsi implisit itu merupakan penyelesaian implisit dari persamaan diferensial di sebelah kanan. a). y 2 1 (2y + xy)y = 0, y 2 1 = (x + 2) 2. b). e x y + e y x dy dx = 0, e2y + e 2x = 1. c). dy dx = y x, x2 + y 2 = 1. 1.6. Ujilah bahwa masing-masing fungsi disebelah kiri merupakan keluarga penyelesaian 2 - parameter dari persamaan diferensial disebelah kanannya. a). y = c 1 + c 2 e x + 1 3 x3, y + y x 2 2x = 0. b). y = c 1 e 2x + c 2 e x + 2e x, y + 3y + 2y 12e x = 0. c). y = c 1 x + c 2 x 1 + 1 2 xlnx, x2 y + xy y x = 0. 1.7. Ujilah bahwa masing-masing fungsi disebelah kiri merupakan keluarga penyelesaian 3 - parameter dari persamaan diferensial disebelah kanannya. a). y = e x ( c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + 1 6 x3), y 3y + 3y y e x = 0. b). y = c 1 + c 2 e x + c 3 e x + ( 1 12 + 9cos2x 7sin2x ) 520 e 2x, y y e 2x sin 2 x = 0. c). y = c 1 + c 2 e x + c 3 e x + ( 1 12 + 9cos2x 7sin2x ) 520 e 2x, y y e 2x sin 2 x = 0. 1.8. Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga penyelesaian n-parameter berikut. a). y = cx + c 3, b).x 2 cy + c 2 = 0. c). y = xtanx + c, d).y = c 1 cos3x + c 2 sin3x. e). y = cx + 3c 2 4c, f).y = c 1 x 2 + c 2. g). y = c 1 e c2x, h).y = x 3 + 1 x c. i). y = c 1 e 2x + c 2 e 2x, j).(y c) 2 = cx. k). y = a(1 cos(x)), l).lny = c 1 x 2 + c 2. 1.9. Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga lingkaran berjari-jari variabel, berpusat di sumbu x, dan melalui titik asal.
1.4 Multiplicity dari penyelesaian suatu persamaan diferensial. 13 1.10. Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga lingkaran berjari-jari variabel, berpusat di sumbu x, dan melalui titik asal. 1.11. Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga lingkaran berpusat di titk (h,k), berjari-jari tetap. 1.12. Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga lingkaran x 2 + y 2 2c 1 x 2c 2 y + 2c 3 = 0. 1.13. Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga parabola dengan vertek pada titik awal dan fokus pada sumbu x. 1.14. Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga parabola dengan fokus pada titik awal dan vertek pada sumbu x. 1.15. Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga parabola dengan fokus dan vertek pada sumbu x.
Bab 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu Persamaan diferensial yang akan kita pelajari dalam bagian ini adalah persamaan diferensial yang dapat dinyatakan dalam bentuk Q(x,y) dy + P(x,y) = 0. (2.1) dx Seperti biasanya variabel y akan dinamakan variabel terikat dan variavel x dinamakan variabel bebas. Persamaan (2.1) dalam bentuk lain dengan mengalikannya dengan dx di kedua ruas persamaan, menghasilkan Q(x,y)dy + P(x,y)dx = 0. (2.2) Dalam banyak buku teks suku dy dan dx sering dinamakan diferensial. Contoh-contoh persamaan diferensial yang dapat dijadikan kebentuk (2.1) atau (2.2) dy 1. dx = 2xy + sinx, 2. y = ln2xy + tanx, 3. (x cosx + y)dx + (2xy + sinx)dy = 0, 4. e x cosydx + 2xsinxdy = 0. Selanjutnya dalam pembahasan selanjutnya kita akan sebut keluarga penyelesian n-parameter atau primitif dengan penyelesaian saja. 2.1 Persamaan Diferensial Dengan Variabel Terpisah. Jika persamaan (2.2) dapat direduksi ke bentuk 15
16 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu f (x)dx + g(y)dy = 0, (2.3) maka variabel-variabel dari persamaan (2.2) dinamakan terpisah dan persamaan diferensialnya disebut persamaan diferensial dengan. Keluarga penyelesaian 1-parameter dari persamaan diferensialnya diberikan oleh f (x)dx + g(y)dy = C, (2.4) dimana C sebagai parameter (konstanta). Contoh 2.1.1 Tentukanlah penyelesaian dari 2xdx 9y 2 dy = 0. (2.5) Dengan mudah kita lihat bahwa persamaan (2.5) adalah persamaan diferensial terpisah. Oleh karenanya, mengintegralkan suku pertama dengan x dan suku kedua dengan y diperoleh penyelesaian persamaan diferensial (2.5) x 2 3y 3 = C. (2.6) Contoh 2.1.2 Tentukanlah penyelesaian dari 1 x 2 dx + 5 + ydy = 0, (2.7) dengan 1 x 1, y > 5. Tinjaulah bahwa persamaan (2.7) adalah persamaan dalam bentuk (2.3). Penyelesaian dari persamaan diferensial ini diberikan oleh 1 1 x 2 2 + 1 2 arcsinx + 2 3 (5 + y)3/2 = C, (2.8) dengan 1 x 1, y > 5. Pernyataan 2.1 Selayaknya kita catat bahwa pada penyelesaian (2.8) muncul arcsin atau invers sin. Secara implisit suku ini mendefinisikan fungsi bernilai banyak, sedangkan tinjauan kita dalam buku ini adalah fungsi bernilai tunggal, yaitu untuk masing -masing nilai x menentukan satu dan hanya satu nilai y. Untuk alasan ini, kita harus menentukan salah satu cabang dari grafik fungsi arcsin dan dalam hal ini akan kita pilih cabang utama yaitu cabang yang terletak antara π/2 dan π/2. Dengan pemilihan ini maka fungsi arcsin akan bernilai tunggal. Dari sekarang dan seterusnya jika muncul fungsi ini akan kita artikan fungsi bernilai tunggal.
2.1 Persamaan Diferensial Dengan Variabel Terpisah. 17 Contoh 2.1.3 Tentukanlah penyelesaian dari x 1 ydx 1 x 2 dy = 0, (2.9) dengan 1 x 1, y 1. Sekarang kita dalam posisi untuk mendapat bentuk (2.3) dari persamaan (2.9) dengan cara membagi persamaan dengan suku 1 y 1 x 2. (2.10) Akan tetapi kita perlu sedikit hati-hati dengan pembagian ini. Karena interval definisi dari 1 y dan 1 x 2 berturut-turut adalah y 1 dan 1 x, 1 maka pembaginya akan menjadi nol saat y bernilai 1 dan x bernilai ±1, dan nilai ini harus dibuang dalam pembagian. Setelah (2.9) dibagi persamaan berikut akan diperoleh x 1 x 2 dx 1 1 y dy = 0, (2.11) dengan 1 < x < 1, y < 1. Persamaan (2.11) adalah persamaan dalam bentuk (2.3) dan karenanya penyelesaianya diberikan oleh 1 x 2 2 1 y = C, (2.12) dengan 1 < x < 1, y < 1. Pernyataan 2.2 Perhatikanlah baik-baik bahwa y = 1 dengan dy = 0 untuk 1 x 1 juga penyelesian dari persamaan (2.9) (ujilah). Akan tetapi, penyelesaian ini tidak akan diperoleh dari (2.12). Hal khusus lagi dari penyelesaian ini adalah tidak memuat parameter atau konstanta sebarang. Penyelesaian persaman diferensial yang tidak memuat parameter dinamakan. Contoh 2.1.4 Tentukanlah penyelesaian khusus dari dengan y(2) = 1. xy 2 dx + (1 x)dy = 0, (2.13)
18 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu Memperhatikan (2.13) dengan seksama jika y 0 dan x 1 maka akan diperoleh x 1 x dx + 1 dy = 0, x 1, y 0, (2.14) y2 yang mana persamaan (2.14) dapat ditulis ( ) 1 1 x + 1 dx + 1 dy = 0, (2.15) y2 dengan x 1, y 0. Mengintegralkan suku pertama terhadap x dan suku kedua terhadap y diperoleh penyelesaian (2.13), yaitu, ln 1 x +x + 1 y = C, x 1, y 0. (2.16) Untuk memperoleh penyelesaian khusus dengan y(2) = 1, kita substitusikan nilai ini ke persamaan (2.16) untuk mendapatkan ln 1 x +x + 1 y = 3, x 1, y 0. (2.17) 2.2 Persamaan Diferensial Dengan Koefesien Homogen Definisi 2.2.1 Misalkan z = f (x, y) mendefinisikan z sebagai fungsi dari x dan y dalam daerah I R 2. Fungsi f (x,y) dikatakan berorder n jika fungsi itu dapat ditulis dalam bentuk dimana u = y/x dan g(u) fungsi dari u. f (x,y) = x n g(u) (2.18) Perlu kita catat baik-baik bahwa definisi diatas tidak bersifat kaku, yakni, kita bisa menggunakan alternatif untuk mendefinisikan g(u) yaitu dengan memisalkan v = x/y dan kita cari bentuk f (x,y) = y n g(v). Jadi perlu dilahirkan fleksibelitas berpikiran dalam melihat bentuk.
2.3 Persamaan Diferensial Homogen 19 Contoh 2.2.1 Tentukan apakah fungsi f (x,y) = (x 2 + y 2 )ln y x, (2.19) dengan I = {(x,y) R 2 ;x > 0,y > 0}, homogen? jika ya tentukanlah ordernya. Langkah pertama yang kita lakukan adalah mencoba mengubah ruas sebelah kanan (2.19) membentuk fungsi dengan variabel u = y/x atau v = x/y. Memperhatikan persamaan (2.19) kita dapat menfaktorkan x 2 yakni, f (x,y) = x 2 ((1 + ( y x )2 )ln y ), (2.20) x dengan I = {(x,y) R 2 ;x > 0,y > 0}. Dengan memilih g(u) = 1 + ( y x )2 ln y x kita sampai kepada kesimpulan, yaitu, fungsi (2.19) homogen dengan order 2. Pernyataan 2.3 Kita dapat mendefinisikan fungsi homogen dengan versi lain yang tentunya akan ekivalen dengan yang pertama. Misalkan M(x,y) fungsi dari x dan y dalam daerah I R 2, misalakn pula a > 0 sebarang konstanta, maka M dikatakan homogen berorder n jika M(ax,ay) = a n M(x,y). (2.21) Kita dapat menunjukan bahwa hasil yang sama akan diperoleh untuk contoh 2.2.1. mengunakan definisi (2.21). Buktikanlah! 2.3 Persamaan Diferensial Homogen Definisi 2.3.1 Persamaan diferensial P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (2.22) disebut persamaan jika P dan Q masing-masing homogen order n. Misalkan y = ux maka dari kalkulus kita peroleh derivatif total dari y diberikan oleh dy = udx + xdu. (2.23)
20 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu Jika kita substitusikan y dengan ux dan menggunakan (2.23) akan diperoleh persamaan diferensial dengan variabel terpisah. Kita nyatakan pernyataan ini dengan teorema berikut Teorema 2.4 jika koefisien-koefisien persamaan (2.22) homogen order n, maka dengan mensubsitusikan y=ux akan menghasilkan persamaan diferensial dengan variabel terpisah. Bukti. Dengan hipotesis P dan Q merupakan fungsi homogen berorder n. Perdefinisi, dengan u = y/x, masing-masing dapat dinyatakan dalam bentuk P(x,y) = x n g(u), Q(x,y) = x n h(u). (2.24) Dengan substitusi (2.22) menjadi atau secara ekivalen x n g(u)dx + x n h(u)(xdu + udx) = 0, (2.25) (g(u) + uh(u))dx + xh(u)du = 0. (2.26) Untuk x 0 dan g(u) + uh(u) 0 persamaan terakhir menjadi 1 x dx + h(u) du = 0, (2.27) g(u) + uh(u) dengan x 0, g(u) + uh(u) 0. Persamaan (2.27) melengkapi bukti teorema di atas. Contoh 2.3.1 Tentukanlah apakah persamaan diferensial (x 2 3y 2 )dx + 2xydy = 0, (2.28) homogen dan tentukanlah penyelesaiannya. Dalam hal ini P(x,y) = x 2 3y 2 dan Q(x,y) = 2xy. Bagilah fungsi P dengan x 2 dan fungsi Q dengan x untuk mendapatkan bentuk P(x,y) = x 2 (1 3y2 x 2 ) = x2 g(u) Q(x,y) = 2x 2 y x = x2 h(u). (2.29)
2.3 Persamaan Diferensial Homogen 21 Perdefinisi kita peroleh bahwa persamaan diferensial (2.28) adalah persamaan diferensial homogen. Substitusikanlah y = ux dan (2.23) ke (2.28) untuk mendapatkan persamaan diferensial dengan variabel terpisah x 2 (1 u 2 )dx + 2ux 3 du = 0. (2.30) Dengan memisahkan variabel dari (2.30) dan mengintegralkannya di peroleh penyelesaian lnx ln1 u 2 = c, (2.31) atau ekivalen dengan x 3 = c(x 2 y 2 ). (2.32) Contoh 2.3.2 Tentukanlah apakah persamaan ( x 2 y 2 + y)dx xdy = 0, (2.33) homogen dan tentukanlah penyelesaiannya. Untuk kasus ini P(x,y) = x 2 y 2 + y dan Q(x,y) = x sama-sama homogen berorder satu. Perdefinisi kita katakan bahwa persamaan diferensial (2.33) adalah homogen. Sebelum menentukan penyelesaian persamaan diferensial kita perlu memeriksa daerah definisi dari persamaan itu sendiri. Jelas dari persamaan diferensialnya bahwa itu terdefinisi untuk y x atau dengan kata lain y x 1 untuk x 0. Lagi dengan mensubstitusikan y = ux dan (2.24) kedalam (2.33) dimana u = y x 1 dengan x 0 diperoleh ( x 2 (ux) 2 + ux)dx x(xdu + udx) = 0. (2.34) Dalam kalkulus kita telah diperkenalkan dengan nilai bilangan riil kuadrat dalam akar yaitu, x 2 bernilai x jika x 0 dan bernilai x jika x < 0. Menggunakan aturan ini persamaan (2.34) dapat disederhanakan menjadi ± 1 u 2 dx xdu = 0, (2.35) dimana tanda ± diperoleh berhubungan dengan tanda ±x dari x 2. Jika u ±1 dan menggunakan kenyataan x 0 maka dapat membagi (2.35) dengan x 1 u 2 untuk memperoleh
22 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu dx x = ± 1 du, (2.36) 1 u 2 yang merupakan persamaan diferensial dengan variabel terpisah. Penyelesaian persamaan terakhir ini diberikan oleh lnx = arcsin y x + c, y < 1, x > 0, x ln( x) = arcsin y x + c, y < 1, x < 0. (2.37) x Pembaca hendaklah meninjau dengan seksama proses yang telah dilakukan untuk mendapatkan penyelesaian. Untuk melengkapi penyelesaian yang telah diperoleh marilah sedikit kita menganalisis apa yang belum kita dapatkan. Pertama kita membuang nilai u = y x = 1. Hal ini berarti fungsi y = ±x telah dikeluarkan dalam proses untuk menghindari pembagian dengan nol, dimana fungsi ini tidak mungkin didapat dari penyelesaian (2.37). Pembaca dapat mengujinya bahwa fungsi yang kita keluarkan ini juga memenuhi persamaan diferensial (2.33). Fungsi-fungsi y = ±x ini adalah penyelesaian khusus (2.33) yang tidak dapat diperoleh dari penyelesaian (2.37). 2.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Linier Tinjaulah persamaan diferensial yang berbentuk (a 1 x + b 1 y + c 1 )dx + (a 2 x + b 2 y + c 2 )dy = 0. (2.38) Dalam bagian ini kita akan mengsumsikan bahwa koefisien dari dx dan dy tidak paralel dan c 1,c 2 tidak keduanya nol. Dengan asumsi ini maka kita akan memperoleh titik tunggal perpotong dari pasangan garis lurus a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 = 0. (2.39) Katakanlah titik potong dari pasangan garis (2.39) adalah (h, k). Sasaran kita dalam hal ini adalah memindahkan titik potong ini ke titik asal yakni titik (0, 0). Untuk keperluan ini marilah kita transformasi variabel (x,y) ke variabel (X,Y ) dengan relasi
2.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Linier 23 x = h + X, y = k +Y. (2.40) Dengan variabel (X,Y ) titik potong akan menjadi (0,0) yang mana dengan mensubstitusikan (2.40) ke (2.38) akan diperoleh (a 1 X + b 1 Y + [a 1 h + b 1 k + c 1 ])dx = 0, (2.41) (a 2 X + b 2 Y + [a 2 h + b 2 k + c 2 ])dy = 0. (2.42) Perlu kita catat bahwa suku dalam [] harus sama dengan nol karena titik (h, k) merupakan titik potong kedua garis (2.39) yang mana titik ini memenuhi persamaan kedua garis. Memperhitung nilai didalam [] sama dengan nol maka persmaan (2.41) menjadi sederhana yaitu menjadi persamaan diferensial homogen (a 1 X + b 1 Y )dx = 0, (a 2 X + b 2 Y )dy = 0. (2.43) Jadi dengan metode yang telah kita pelajari pada bagian 2.3 persamaan (2.43) dapat kita selesaian. Contoh 2.4.1 Tentukanlah penyelesaian dari persamaan diferensial y = 4x y + 7 2x + y 1. (2.44) Garis 4x y + 7 = 0 dan 2x + y 1 = 0 berpotongan dititik ( 1,3), yang dengan menggunakan persamaan (2.43) kita peroleh y 4X Y = 2X +Y. (2.45) Seperti yang kita lakukan pada bagian sebelumnya persamaan (2.45) diselesaikan dengan memisalkan Y = ux dengan dy = udx + Xdu untuk mendapatkan ( 3 u 1 + 2 ) du + 5 dx = 0. (2.46) u + 4 X Mengintegralkan suku pertama terhadap u dan suku kedua terhadap X dan menggantikan kembali u = Y /X diperoleh (Y X) 3 (Y + 4X) 2 = c. (2.47) Menggantikan kembali (X,Y ) ke (x,y) dari relasi x = X 1 dan y = Y + 3 kita dapatkan penyelesaian persamaan diferensial (2.44), yaitu, (y x 4) 3 (y + 4x + 1) 2 = c. (2.48)
24 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu Contoh 2.4.2 Carilah penyelesaian persamaan diferensial (2x y + 5)dx + (x + y + 3)dy = 0. (2.49) Perpotongan kedua garis 2x y + 5 = 0 dan x + y + 3 = 0 adalah ( 8/3, 1/3). Dengan memisalkan x = 8/3+X dan y = 1/3+Y diperoleh persmaan diferensial homogen (2X Y )dx + (X +Y )dy = 0, (2.50) yang tidak terlalu sulit dengan memisalkan Y = ux dengan dy = udx + Xdu untuk memperoleh persamaan diferensial dengan variabel terpisah. Pembaca dengan sedikit membolak-balik pelajaran kalkulus akan menemukan penyelesian persamaan diferensial dengan variabel terpisah yang kita peroleh tadi. Penyelesaiannya diberikan oleh ln X = c 1 2 arctan u 2 1 2 ln 2 + u2, X 0. (2.51) Menggantikan lagi (X,Y ) dengan (x, y) kita peroleh penyelesaian (2.49) untuk x 1 3, yaitu, ( ) 3x + 1 2 ( ) 3y 1 2 ln 2 + = c 3y 1 2arctan. (2.52) 3 3 2(3x + 1) Cara lain yang dapat kita lakukan untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial dengan yang tidak paralel adalah dengan memislakan langsung masing - masing koefisien dengan variabel baru kemudian kita diferensial untuk mendapatkan relasi diferensial masingmasing. Misalkanlah u = a 1 x + b 1 y + c 1, v = a 2 x + b 2 y + c 2. (2.53) Dengan mendiferensialkan masing-masing pemisalan ini akan kita peroleh relasi du dengan dx,dy, dv dengan dx,dy, yaitu, du = a 1 dx + b 1 dy, dv = a 2 dx + b 2 dy. (2.54) Dari (2.54) itu mengikuti bahwa dx = b 2du b 1 dv a 1 b 2 a 2 b 1, dy = a 2du a 1 dv a 2 b 1 a 1 b 2. (2.55)
2.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Linier 25 Kita seharusnya mencatat bahwa pembagian pada persamaan (2.55) mempunyai arti karena kedua garis tidak paralel yang berarti pula pembagi dalam persamaan (2.55) tidak sama dengan nol. Subsitusikanlah persamaan (2.53) dan (2.55) ke dalam (2.38) untuk mendapatkan (b 2 u a 2 v)du (b 1 u a 1 v)dv = 0. (2.56) Untuk memperoleh persamaan dengan variabel terpisah kita misalkan lagi u = wv dengan du = vdw + wdv yang dengan cara ini akan diperoleh dv v + a 2 + b 2 w dw = 0, (2.57) a 1 (a 2 + b 1 )w + b 2 w2 yang mana penyelesaian persamaan diferensial terakhir ini diberikan oleh a 2 + b 2 w ln v + dw = c. (2.58) a 1 (a 2 + b 1 )w + b 2 w2 Contoh 2.4.3 Tentukanlah penyelsaian dari persamaan diferensial Mengunakan (2.58) diperoleh (2x y + 1)dx + (x + y)dy = 0. (2.59) w 1 ln v + dw = c. (2.60) 2 + w2 Sekali lagi dengan kemahiran pembaca menggunakan kalkulus akan diperoleh ln[v 2 (w 2 + 2)] = c + 2arctan w 2, v 0. (2.61) Mensubstitusikan balik dari w = u v = 2x y + 1, x + y 0, (2.62) x + y didapatkan penyelesaian (2.59) untuk x + y 0, yaitu ln[(2x y + 1) 2 + 2(x + y) 2 ] = c + 2arctan 2x y + 1 2(x + y). (2.63)
26 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu Sekarang muncul pertanyaan bagaimana menangani persamaan diferensial dengan koefisien linier yang paralel? Tentunya kita tidak bisa lagi menggunakan metode pertama yang telah dijelaskan sebelumnya. Akan tetapi, dengan mengamati metode kedua yang kita gunakan untuk menangani persamaan dengan koefisien linier yang tidak paralel dapat juga dikembangkan untuk menangani persamaan dengan koefisien yang paralel. Pandanglah lagi persamaan (2.38) dengan mengsumsikan kedua koefisien dari dx dan dy adalah dua buah garis yang paralel. Dalam hal ini a 1 a 2 = b 1 b 2 = r, r 0, (2.64) dengan r sebagai perbandingan. Mensubstitusikan (2.64) kedalam (2.38) dengan menggunakan r didapatkan (r(a 2 x + b 2 y + c 2 ) + c 1 rc 2 )dx + (a 2 x + b 2 y + c 2 )dy = 0,r 0. (2.65) Mengamati persamaan (2.65) pembaca diharapkan dengan mudah untuk menyederhanakan persamaan ini. Tentunya kita akan memisalkan u = a 2 x + b 2 y + c 2 dengan menggunakan relasi dy = du a 2dx b 2 untuk mendapatkan persamaan yang sederhana dx + u (b 2 r a 2 )u + b 2 (c 1 rc 2 ) du = 0, u b 2(c 1 rc 2 ), (2.66) b 2 r a 2 yang mempunyai penyelesaian x + u (b 2 r a 2 )u + b 2 (c 1 rc 2 ) du = c, u b 2(c 1 rc 2 ) b 2 r a 2. (2.67) Contoh 2.4.4 Tentukanlah penyelesaian dari (2x + 3y + 2)dx + (4x + 6y + 4)dy = 0, (2.68) dan tentukan pula penyelesaian khsusus yang tidak diperoleh dari penyelesaian 1-parameternya. Dengan memasukan nilai r,a 1,b 1,a 2,b 2,c 1 dan c 2 kedalam persamaan (2.67) dengan u = 4x + 6y + 4 akan kita peroleh
2.5 Persamaan Diferensial Eksak. 27 atau ekivalen dengan x u = c, u 0, (2.69) x + 2y = c, 4x + 6y + 4 0. (2.70) Pembaca dapat mengujinya bahwa garis lurus 4x + 6y + 4 = 0 juga memenuhi persamaan diferensial (2.68) yang mana garis ini tidak dapat diperoleh dari (2.69). Contoh 2.4.5 Tentukanlah penyelesaian dari (2x + 3y 1)dx + (4x + 6y + 2)dy = 0, (2.71) dan tentukan pula penyelesaian khsusus yang tidak diperoleh dari penyelesaian 1-parameternya. Disini kita ketahui bahwa r = 1/2. Mensubsitusikan nilai-nilai a 1, b 1, a 2,b 2, c 1 dan c 2 ke persamaan (2.67) kita peroleh x u + 12ln u + 12 = c, u 12, (2.72) dimana u = 4x+6y+2. Persamaan (2.72) ekivalen dengan persamaan x 2y 4 + 4ln 2x + 3y + 7 = c, 2x + 3y 7. (2.73) Amatilah dengan baik bahwa garis 2x + 3y + 7 = 0 yang mungkin diperoleh dari penyelesaian (2.73) juga memenuhi persamaan diferensial (2.71). Oleh karenanya garis ini juga penyelesaian dari persamaan diferensial yang tidak diperoleh dari penyelesaian -parameternya. 2.5 Persamaan Diferensial Eksak. Kembali kepelajaran kalkulus, misalkan kita mempunyai fungsi dua variabel z = f (x,y) = x 2 + y 2 3x 3 y 2 3x 2 y 3 + 6xy + 15. (2.74) Diferensial total dari fungsi (2.74) diberikan oleh
28 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu dz = f (x,y) x dx + f (x,y) dy y = (2x 9x 2 y 2 6xy 3 + 6y)dx Sebaliknya jika kita mulai dari ekspresi +(2y 6x 3 y 9x 2 y 2 + 6x)dy. (2.75) (2x 9x 2 y 2 6xy 3 + 6y)dx + (2y 6x 3 y 9x 2 y 2 + 6x)dy (2.76) maka kita mengharapkan sebuah fungsi f (x,y) yang diferensial totalnya diberikan oleh (2.76). Ekspresi yang diberikan oleh (2.76) akan dinamakan. Definisi 2.5.1 Ekspresi diferensial P(x, y)dx + Q(x, y)dy (2.77) dinamakan diferensial eksak jika (2.77) menyatakan diferensial total dari fungsi dua variabel f (x,y), yaitu; P(x,y) = x f (x,y) dan Q(x,y) = f (x,y). (2.78) y Sekarang anggaplah kita tidak mengetahui fungsi (2.74) dan kita ingin menguji apakah diferensial (2.76) eksak atau tidak, menggunakan definisi (2.78) kita coba untuk mendapatkan fungsi f (x, y), yakni dengan melakukan langkah-langkah berikut; pertama kita integralkan koefisien dary dx terhadap x dengan y dianggap konstan pada langkah ini. Berarti hasil integral pada langkah pertama harus memunculkan fungsi sebarang dari y katakanlah g(y) sebagai konstanta integral. Langkah kedua hasil integral dari langkah pertama didiferensialkan terhadap y, yang mana menurut definini hasil diferensial ini harus sama dengan koefisien dari dy. Dengan bahasa matematika proses ini dilakaukan sebagai berikut; f (x,y) = (2x 9x 2 y 2 6xy 3 + 6y)dx + g(y) = x 2 3x 3 y 2 3x 2 y 3 + 6xy + g(y). (2.79) Fungsi f (x, y) memuat fungsi sebarang g(y) yang harus kita tentukan untuk mendapatkan informasi lengkap mengenai fungsi f (x, y).
2.5 Persamaan Diferensial Eksak. 29 Fungsig(y) ini dapat kita tentukan dengan mendiferensialkan (2.79) terhadap y y f (x,y) = 6x3 y 9x 2 y 2 + 6x + dg(y) = 2y 6x 3 y 9x 2 y 2 + 6x. dy (2.80) Langkah terakhir mengintegralkan (2.79) terhadap y untuk memperoleh g(y) g(y) = 2ydy = y 2 + c. (2.81) Persamaan (2.81) melengkapi informasi mengenai fungsi f (x, y), yakni, f (x,y) = x 2 + y 2 3x 3 y 2 3x 2 y 3 + 6xy = c, (2.82) sebagai keluarga fungsi 1-parameter. Definisi 2.5.2 Persamaan diferensial P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (2.83) dinamakan eksak jika ada fungsi f (x, y) sedemikian hingga derivatif parsialnya terhadap x adalah P(x, y) dan derivatif parsialnya terhadap y adalah Q(x,y). Secara simbolik definisi diatas mengatakan bahwa persamaan (2.83) dinamakan eksak jika ada fungsi f (x,y) sedimikian hingga f (x,y) x = P(x,y), f (x,y) x = Q(x,y). (2.84) Menggunakan persamaan (2.84) maka penyelesaian keluarga 1 - parameter persamaan diferensial (2.83) diberikan oleh f (x,y) = c, (2.85) dengan c konstanta sebarang. Setelah kita mengetahui definisi persamaan diferensial dan penyelesian 1-parameternya, selanjutnya muncul pertanyaan, yaitu, bagaimana kita dapat menentukan apakah sebuah persamaan diferensial itu eksak atau tidak? jawaban dapat kita formulasikan kedalam teorema berikut ini.
30 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu Teorema 2.5 Persamaan diferensial P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (2.86) eksak jika dan hanya jika P(x,y) y = Q(x,y) x (2.87) dimana fungsi P(x,y), Q(x,y), P(x,y) x, Q(x,y) y, dan persamaan (2.87) terdefinisi dan kontinu dalam daerah terhubung sederhana D. Persamaan (2.87) menjamin bahwa persmaan diferensial (2.86) mempunyai penyelesaian berbentuk f (x,y) = c. Selanjutnya, jika (x o,y o ) sebuah titik terletak dalam domain D dan persegi panjang yang dibentuk oleh segmen garis yang menghubungkan titik-titik (x o,y o ), (x,y o ) dan (x o,y o ),(x o,y) terletak seluruhnya dalam D maka penyelesaian persamaan diferensial eksak itu diberikan oleh atau f (x,y) = f (x,y) = x x o P(x,y)dx + y y o Q(x,y)dy + y y o Q(x o,y)dy = c, (2.88) x x o P(x,y o )dx = c, (2.89) dimana kedua fungsi (2.88) dan (2.89) akan menghasilkan keluarga penyelesian 1-parameter dari persamaan diferensial eksak (2.86). Contoh 2.5.1 Tunjukkanlah bahwa persamaan cos(y)dx (xsin(y) y 2 )dy = 0 (2.90) adalah eksak dan tentukan keluarga 1-parameter penyelesainnya. Menggunakan teorema 2.5.3 dengan P(x,y) = cos(y) dan Q(x,y) = xsin(y) + y 2 dimana P(x,y) y = sin(y) dan Q(x,y) x = sin(y) kita peroleh bahwa persamaan (2.90) adalah eksak. Karena P(x, y) dan Q(x,y) terdefinisi untuk semua x,y maka kita dapat memilih x o = 0 dan y o = 0. Menggunakan pemilihan x o dan y o ini diperoleh Q(x o,y) = Q(0,y) = y 2. Akibatnya persamaan (2.88) menjadi
2.5 Persamaan Diferensial Eksak. 31 x y 0 cos(y)dx + 0 y 2 dy = c. (2.91) Mengintegralkan suku pertama (2.91) terhadap x dan suku kedua (2.91) terhadap y kita peroleh keluarga penyelesaian 1-parameter, yaitu xcos(y) + y3 = c. (2.92) 3 Contoh 2.5.2 Tunjukkanlah bahwa persamaan differensial berikut (x 2xy + e y )dx + (y x 2 + xe y )dy = 0. (2.93) eksak dan tentukan penyelesaian khususnya dimana penyelesaian itu memenuhi syarat y(1) = 0. Dalam hal ini P(x,y) = x 2xy+e y dan Q(x,y) = y x 2 +xe y. Berarti P(x,y) y = 2x + e y dan Q(x,y) x = 2x + e y. Karena P(x,y) y = Q(x,y) x maka menurut teorema 2.5.3 persamaan (2.93) eksak. Juga dalam hal ini P dan Q terdefinisi untuk semua nilai x dan y dan olehkarenanya kita dapat memilih x o = 0 dan y o = 0. Dengan pemilihan ini mengakibatkan Q(x o,y) = y. Karenanya persamaan integral berikut akan diperoleh x y (x 2xy + e y )dx + ydy = c. (2.94) 0 0 Mengintegralkan suku pertama persamaan (2.94) terhadap x dan suku kedua terhadap y penyelesaian keluarga 1-parameter diperoleh x 2 2 x2 y + xe y + y2 = c. (2.95) 2 Mensubstitusikan y(1) = 0, yaitu y = 0 untuk x = 1, penyelesaian khusus yang diperoleh adalah yaitu c = 3 2. x 2 2x 2 y + 2xe y + y 2 = 3, (2.96) Contoh 2.5.3 Tunjuakkanlah bahwa persamaan diferensial (x 3 + xy 2 sin(2x) + y 2 sin 2 (x))dx + (2xysin 2 (x))dy = 0, (2.97) eksak dan tentukanlah keluarga penyelesaian 1-parameternya.
32 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu Dalam hal ini P(x,y) y = 2xysin(2x) + 2ysin 2 (x) (2.98) dan Q(x,y) = 2xysin(2x) + 2ysin 2 (x). (2.99) x Berdasarkan informasi ini kita simpulkan persamaan diferensial (2.97) eksak. Sekali lagi kita amati bahwa fungsi P dan Q terdefinisi untuk semua nilai x dan y. Untuk itu kita boleh mengambil x o = 0 dan y o = 0. Akibatnya P(x,y o ) = P(x,0) = x 3 dan menggunakan persamaan (2.89) persamaan integral berikut diperoleh y 0 x 2xysin 2 (x)dy + x 3 dx = c. (2.100) 0 Mengintegralkan suku pertama persamaan (2.100) terhadap y dan suku kedua terhadap x kita peroleh keluarga penyelesaian 1-parameter berikut ini xy 2 sin 2 (x)dy + x4 = c. (2.101) 4 2.6 Faktor integrasi. Definisi 2.6.1 Sebuah faktor pengali yang menjadikan suatu persamaan diferential yang tidak eksak menjadi persamaan diferensial eksak dinamakan. Sebagai contoh, persamaan diferensial (y 2 + y)dx xdy = 0 tidak eksak. Apabila persamaan itu dikalikan dengan y 2 persamaan yang diperoleh adalah (1+ 1 y )dx x y 2 dy = 0 dengan y 0. Persamaan terakhir ini adalah persamaan diferensial eksak (ujilah). Perdefinisi faktor pengali y 2 ini dinamakan faktor integrasi. Contoh 2.6.1 Selesaikanlah persamaan diferensial (y 2 + y)dx xdy = 0. (2.102)
2.6 Faktor integrasi. 33 Seperti kita katakan di atas bahwa persamaan diferensial ini mempunyai faktor integrasi y 2.(pembaca diminta untuk membuktikannya). Persamaan diferensial yang diperoleh dari mengalikan persamaan (2.102) dengan faktor integrasinya adalah (1 + 1 y )dx x dy = 0, y 0. (2.103) y2 Sekarang kita dapat menyelesaiankan persamaan diferensial (2.103) dengan metode standar. Jika kita susun lagi persamaan diferensial (2.103) dengan cara berikut ini dx + ydx xdy y 2 = 0, y 0, (2.104) maka suku kedua dari persamaan terakhir merupakan bentuk diferensial d(x/y). Karenanya dengan mengintegrasikan kedua ruas diperoleh penyelesaian keluarga 1-parameter x + x y x = c, atau y =, y 0. (2.105) c x Perlu kita perhatikan dengan teliti bahwa garis y = 0 juga penyelesaian persamaan diferensial (2.102) yang tidak dapat diperoleh dari persamaan (2.105). Olehkarenanya, penyelesaian ini dinamakan penyelesaian khusus untuk (2.102). Contoh 2.6.2 Selesaikanlah persamaan diferensial ysecxdx + sinxdy = 0, x π 2, 3π 2,. (2.106) Marilah kita perhatikan bahwa persamaan diferensial diatas bukan persamaan diferensial eksak. Akan tetapi sec x adalah sebuah faktor integrasi dari persamaan diferensial diatas. Oleh karenanya apabila persamaan diferensial (2.106) dikalikan dengan sec x akan menjadi persamaan dieferensial eksak (ujilah!). Kalikanlah persamaan (2.106) dengan secx untuk mendapatkan persamaan deferensial eksak ysec 2 xdx + tanxdy = 0, x π 2, 3π,. (2.107) 2