Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini dapat berupa satu titik, satu garis lurus, dua garis lurus ang berpotongan, elips, lingkaran, parabola dan hiperbola. Titik Satu garis Sepasang garis Elips Lingkaran Parabola Hiperbola Irisan kerucut ang berupa elips/lingkaran, parabola dan hperbola disebut Conic. Secara umum conic dapat diformulasikan sebagai berikut: L P Perhatikan sebuah garis lurus dan sebuah titik F diluar garis tersebut. Conic adalah kumpulan semua titik P ang bersifat PF = k dengan k suatu konstanta. PL Kumpulan titik-titik ini berbentuk kurva di bidang. F Elips : conic dengan 0 < k < 1 Parabola : conic dengan k = 1 Hiperbola : conic dengan k > 1 Penurunan rumus Conic dalam bentuk persamaan dan dapat dilihat pada bukubuku kalkulus.

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 37 Parabola Bentuk umum : = a 2 + b + c dengan a, b, dan, c konstanta. Berikut disajikan grafik dari parabola untuk berbagai nilai a, b, dan, c. Pada gambar di atas, D = b 2 4ac, disebut diskriminan. Puncak parabola adalah ( b 2a, D 4a ). Catatan: Persamaan parabola dapat pula berbentuk = a 2 + b + c.

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 38 Elips/Lingkaran Bentuk umum : 2 a 2 + 2 b 2 = 1 Bila a = b, persamaan di atas disebut lingkaran. Bila a b, persamaan di atas disebut elips. 2 3 2 + 2 3 2 = 1 2 3 2 + 2 2 2 = 1 ( 2) 2 3 2 + ( 1)2 3 2 = 1 ( 2) 2 3 2 + ( 1)2 2 2 = 1 Latihan: 1. Tuliskan persamaan 2 + 2 4+10+13 = 0 dalam bentuk baku dan gambarkan. 2. Tuliskan persamaan 4 2 + 2 16+2+1 = 0 dalam bentuk baku dan gambarkan. 3. Tentukan persamaan lingkaran ang ujung garis tengahna melalui titik (1, 3) dan (7, 11).

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 39 Hiperbola Bentuk umum : 2 a 2 2 b 2 = 1 atau - 2 a 2 + 2 b 2 = 1 Hiperbola memiliki sepasang garis asimtot miring = b a dan = b a 2 2 2 2 3 2 = 1 2 2 2 + 2 3 2 = 1 Bila hiperbola di atas kita rotasikan dengan sudut sebesar π 2 gambar hiperbola seperti di bawah ini. maka akan diperoleh = k, k > 0 = k, k < 0 Tunjukkan bila hiperbola 2 2 = 1 dirotasikan sebesar π 2 persamaan berbentuk = k dan tentukan nilai k. hasilna adalah

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 40 Persamaan Parameter Kurva di Bidang Perhatikan dua buah kurva berikut ini: Kurva sebelah kiri dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi = f(), sedangkan kurva sebelah kanan tidak dapat. Supaa setiap kurva di bidang dapat direpresentasikan dalam bentuk persamaan, maka diperkenalkan penajian dalam bentuk parameter sebagai berikut: Misalkan = f(t) dan = g(t) dua buah fungsi kontinu pada interval I = [a, b]. Pasangan (, ) = (f(t), g(t)) disebut persamaan parameter kurva dibidang. Variabel t disebut parameter. Contoh: = t 2 + 2t dan = t 3 2 t 3 variabel t dieliminasi sbb: = t 3 t = + 3, = t 2 + 2t = ( + 3) 2 + 2( + 3) = 2 + 8 + 15 5 0? Contoh: Diberikan persamaan kurva (, ) = (a cost, b sint) 0 t π Eliminasilah parameter t, lalu gambar grafik serta arahna. Diskusi: Apakah kurva dalam bentuk persamaan parameter selalu dapat dinatakan sebagai fungsi = f()? Apakah sebuah fungsi selalu dapat ditulis dalam bentuk persamaan parameter?

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 41 Istilah 2 Diberikan persamaan kurva = f(t) dan = g(t) a t b Titik ((a), (a)) disebut titik awal. Titik ((b), (b)) disebut titik akhir. Bila titik awal dan titik akhir berimpit, kurva disebut tertutup. Bila untuk setiap t 1 t 2 dengan a < t1, t2 < b berlaku ((t 1 ), (t 1 )) ((t 2 ), (t 2 )), maka kurva disebut sederhana. P Q Q P P=Q P=Q Sederhana, tak tertutup Tak sederhana, tak tertutup Sederhana, tertutup Tak sederhana, tertutup Sikloid Perhatikan sebuah roda berjari-jari a ang menggelinding sepanjang sumbu- (lihat gambar di bawah ini). animation Mula-mula titik P berada di titik asal. Misalkan t menatakan sudut antara segmen CP dan kedudukan vertikal mula-mula, diukur sesuai putaran jarum jam (pada gambar titik P sudah menggelinding sejauh t radian).

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 42 ON = panjang busur PN = at = OM = ON - MN = at a sin t = a(t sin t) = MP = NR = NC + CR = a a cost = a(1 cost) Jadi persaman lintasan sikloid adalah ((t), (t)) = (a(t sin t), a(1 cost)) Sikloid mempunai keistimewaan berikut: animation 1 animation 2 Bila sebuah partikel dilepaskan dari titik P1 (lihat gambar di samping) dan bergerak ke bawah sepanjang lengkungan tersebut sampai titik dasar L maka waktuna akan minimum bila lintasan tersebut berbentuk sikloid. Untuk mencapai titik terendah L, waktu ang diperlukan sebuah partikel ang awalna di P1 dan di P2 adalah sama. Fenomena ini cocok untuk diterapkan pada jam bandul (simpanganna dibuat berbentuk sikloid), mengapa? Turunan Fungsi berbentuk Parameter Misalkan (, ) = (f(t), g(t), a t b menatakan persamaan kurva di bidang. Bila f (t) dan g (t) ada maka d d = d/dt d/dt = g (t) f (t) Latihan: 1. Tentukan d2 d 2 dari = 5 cost dan = 4 sint, 0 < t < 3. 2. Diberikan = 2t 1, = t 2 + 2, Hitung 3 1 2 d. Petunjuk: natakan semua variabel dalam parameter t 3. Hitung luas daerah di atas sumbu- dan di bawah lengkungan sikloid ((t), (t)) = (t sin t, 1 cost) 0 t 2π

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 43 Sistem Koordinat Ruang, R 3 Oktan 1 bidang o bidang o bidang o (2,3,2) ( a,b,c) ( a p) ( b q) ( c r) 2 2 2 (2,-1,-1) ( p,q,r)

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 44 Vektor Vektor adalah sebuah besaran ang mempunai nilai dan arah. Secara geometri vektor biasana digambarkan sebagai anak panah berarah (lihat gambar di samping) dan namana menggunakan sebuah huruf kecil dengan anak panah di atasna ( u). Pangkal u Ujung Ilustrasi Perhatikan sebuah benda ang bergerak sepanjang sumbu- dengan laju 10 m/detik dan benda kedua bergerak sepanjang lingkaran dengan laju ang sama. Apakah kedua benda tersebut mempunai kecepatan ang sama? Apakah kecepatan kedua benda tersebut mempunai percepatan? Ilustrasi ini memberikan gambaran bahwa kecepatan merupakan sebuah vektor. Arah sebuah vektor ditentukan dari sudut ang dibentuk oleh sumbu- positif dengan arah vektor tersebut. Dua buah vektor dikatakan sama bila panjang/besar dan arahna sama, sedangkan posisi pangkalna tidak perlu sama. Penjumlahan dua buah vektor Cara 1: Pangkal vektor v digeser ke ujung dari vektor u. Vektor u + v adalah vektor ang pangkalna sama dengan pangkal vektor u dan ujungna berada pada ujung vektor v. (lihat gambar sebelah kiri).

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 45 Cara 2: Pangkal vektor v di geser ke pangkal vektor u, kemudian dibuat jajaran genjang sesuai dengan ujung-ujung vektor v dan u. Vektor u + v adalah diagonal jajaran genjang ang berpangkal di pangkal vektor u (lihat gambar sebelah kanan). Sifat komutatif: u + v = v + u Perkalian sebuah vektor dengan skalar/bilangan Latihan: 1. u A m v B C Bila AB = 2 3 AC, Natakan vektor m dalam u dan v 45 0 60 0 2. T 1 T 2 200 N Sebuah benda digantung seperti pada gambar. Tentukan besarna gaa tegangan tali T 1 dan T 2

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 46 Representasi Vektor secara Aljabar di R 2 (Bidang) dan di R 3 (Ruang) Sebuah vektor dapat kita representasikan pada koordinat kartesius sebagai berikut: u u, u u 2 1 2 u 1 u u1, u2, u3 P = (7, 5, 2) Q = (11, 2, 8) PQ = 11 7, 2 5, 8+2 PQ = 4, 7, 6 Sebuah vektor di bidang ang berpangkal di pusat koordinat dan ujungna pada titik (u 1, u 2 ) kita notasikan sebagai u 1, u 2. Notasi kurung lancip digunakan untuk membedakan dengan pengertian titik. Hal ang sama berlaku untuk vektor di ruang. Misalkan u = u 1, u 2 dan v = v 1, v 2. Untuk memperoleh rumus penjumlahan u + v, perhatikanlah gambar di samping kanan. Dari ilustrasi geometri tersebut diperoleh rumus: u + v = u 1 + v 1, u 2 + v 2 Hal ang sama berlaku untuk vektor di ruang. Bila a = a 1, a 2, a 3 dan b = b 1, b 2, b 3, a + b = a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 Misalkan c R, maka berlaku c u = cu 1, cu 2 u2+ v2 u 2 v 2 u v u 1 v v 1 u+ v u1+ v1 Sifat 2 : Misalkan u, v, w tiga buah vektor dan a, b R, maka berlaku: 1. u + v = v + u (komutatif) 2. ( u + v) + w = v + ( u + w) (asosiatif) 3. u + 0 = u dengan 0 = 0, 0 4. u + ( u) = 0 5. a(b u) = (ab) u = u(ab)

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 47 6. a( u + v) = a u + a v 7. (a + b) u = a u + b u 8. 1 u = u Vektor Basis Perhatikan : u = u 1, u 2 = u 1 1, 0 + u 2 0, 1. j i i j k 1 Vektor 2 î = 1, 0 dan ĵ = 0, 1 disebut vektor 2 basis di bidang. Dengan demikian, kita dapat menuliskan u = u 1, u 2 sebagai u = u 1 î + u 2 ĵ. i k Hal ang sama berlaku untuk vektor di ruang. Vektor basisna adalah: î = 1, 0, 0, ĵ = 0, 1, 0, dan k = 0, 0, 1. Jadi u = u 1, u 2, u 3 = u 1 î + u 2 ĵ + u 3 k Panjang vektor: Panjang sebuah vektor u = u 1, u 2, ditulis u = u 2 1 + u2 2. Contoh: Diberikan u = 4, 3, tentukan u dan 2 u Hasil kali titik/dalam: Misalkan u = u 1, u 2, dan v = v 1, v 2 dua buah vektor. Hasil kali titik/dalam dari u dan v adalah u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 Perhatikan bahwa hasilna merupakan sebuah skalar. Sifat 2 Hasil Kali Titik: Misalkan u, v, w tiga buah vektor dan c R, maka: 1. u v = v u (komutatif) 2. u ( v + w) = u v + u w distributif 3. c( u v) = (c u) v = u (c v) 4. 0 u = 0. 5. u u = u 2 6. u v = u v cos(θ), θ sudut antara u dan v. Akibat: u v u v = 0 u 2 j u u u 2 2 1 2 u 1

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 48 Vektor Proeksi u w v Perhatikan gambar di samping. Vektor u diproeksikan pada v dan hasilna adalah vektor w. Bagaimana menentukan vektor w? w = u cos θ = u u v u v w = w vektor satuan dari vektor v. w = u u v u v v v = u v u v v v v = v v 2 Latihan: 1. Tentukan b supaa 8, 6 dan 3, b saling tegak lurus. 2. Bila A = (4, 3), B = (1, 1) dan C = (6, 4), gunakan konsep vektor untuk menentukan sudut ABC. 3. Cari vektor proeksi u = 1, 5 pada v = 3, 3 4. Cari vektor proeksi u = 4, 5, 3 pada v = 2, 2, 6 Persamaan Bidang di Ruang v Q P n Perhatikan bidang v (warna pink). Titik P = ( 0, 0, 0 ) terletak pada bidang v. Vektor n = A, B, C tegak lurus terhadap v. Akan ditentukan persamaan bidang v. Ambil sebarang titik Q = (,, ) pada bidang v. Jelas vektor PQ = 0, 0, 0 n. 0, 0, 0 A, B, C = 0 A( 0 ) + B( 0 ) + C( 0 ) = 0. Latihan: 1. Misalkan P = (1, 2, 3) dan Q = (4, 4, 2). Tentukan persamaan bidang ang melalui titik P dan tegak lurus terhadap vektor PQ. 2. Tentukan sudut antara bidang 3 4 + 7 = 5 dan bidang 2 + 4 + 3 = 8. 3. Buktikan jarak dari titik ( 0, 0, 0 ) ke bidang A + B + C = D adalah A 0 +B 0 +C 0 D A2 +B 2 +C 2.

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 49 Persamaan Garis di Ruang Diberikan titik P = ( 0, 0, 0 ) dan vektor v = a, b, c Akan ditentukan persamaan garis ang melalui titik P dan sejajar dengan vektor u. Misalkan Q = (,, ) sebuah titik sebarang pada garis tersebut. Vektor v sejajar dengan vektor PQ, sehingga PQ = t v, dengan t R. 0, 0, 0 = t a, b, c. v P Dengan demikian diperoleh persamaan parameter untuk garis, aitu: = 0 + ta = 0 + tb = 0 + tc disebut sebagai Persamaan Parameter dari garis. Bila parameter t dieliminasi diperoleh persamaan sebagai berikut: 0 = 0 = 0 a b c Latihan: disebut Persamaan Simetrik dari garis di atas. 1. Cari persamaan simetrik dari garis ang melalui titik (2, 5, 1) dan sejajar vektor < 4, 3, 2 >. 2. Cari persaman garis ang merupakan perpotongan antara bidang 2 2 5 = 14 dan 4 + 5 + 4 = 28. Q

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 50 Hasil Kali Silang (Cross Product) Hasil kali silang hana didefinisikan pada vektor di ruang. Misalkan u = u 1, u 2, u 3 dan v = v 1, v 2, v 3 dua buah vektor. Hasil kali silang dari u dan v didefinisikan sebagai: u v = î ĵ ˆk u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = î ĵ ˆk u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 + î ĵ ˆk u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 + î ĵ ˆk u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u v = (u 2 v 3 u 3 v 2 )î (u 1 v 3 u 3 v 1 )ĵ + (u 1 v 2 u 2 v 1 )ˆk Sifat 2 Hasil Kali Silang: Misalkan u, v tiga buah vektor maka: 1. ( u v) u dan ( u v) v, akibatna u ( u v) = 0 dan v ( u v) = 0 2. u, v, dan ( v v) membentuk right handed triple 3. u v = u v sin θ, dengan θ sudut antara u dan v. Latihan: 1. Cari persamaan bidang ang melalui tiga titik (1, 2, 3), (4, 1, 2), dan ( 2, 3, 0). 2. Periksa, apakah hasil kali silang bersifat komutatif, aitu u v = v u. 3. Tunjukkan, secara geometri, u v adalah luas jajaran genjang seperti pada gambar di sebelah kiri bawah. 4. Tunjukkan, secara geometri, w ( u v) adalah volume parallelepiped seperti pada gambar di sebelah kanan bawah. u v w u v

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 51 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva r(t) P Perhatikan sebuah titik P ang bergerak di ruang dengan lintasan seperti pada gambar di samping kiri. Posisi titik P pada saat t dinatakan oleh vektor ang berpangkal di titik asal dan ujungna di titik P. Posisina tersebut dapat ditulis sebagai r(t) = f(t), g(t), h(t). Vektor r merupakan fungsi dengan variabel real t dan nilaina adalah sebuah vektor. Fungsi demikian disebut fungsi bernilai vektor. Bentuk umum fungsi berbentuk vektor dengan variabel real: atau F(t) = f(t) î + g(t) ĵ = f(t), g(t) dengan t R F(t) = f(t) î + g(t) ĵ + h(t) k = f(t), g(t), h(t) dengan t R Untuk selanjutna hana akan dibicarakan fungsi bernilai vektor di ruang. Untuk fungsi bernilai vektor di bidang aturanna sama saja, hana komponenna dua buah. Kalkulus Fungsi Bernilai Vektor Pengertian konsep limit untuk fungsi bernilai vektor sama dengan konsep limit di fungsi real biasa. Untuk perhitunganna berlaku sifat berikut: Misalkan F(t) = f(t), g(t), h(t), maka lim t c F(t) = lim t c f(t), lim t c g(t), lim t c h(t) Turunan dan Integral fungsi bernilai vektor juga mewarisi sifat-sifat di fungsi real sbb: Misalkan F(t) = f(t), g(t), maka a. F (t) = f (t), g (t) b. F(t) dt = f(t) dt, g(t) dt

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 52 Sifat 2 Operasi Aljabar Fungsi Bernilai Vektor: Misalkan F(t), G(t) fungsi bernilai vektor, h(t) fungsi real dan c R, maka: 1. D t [ F(t) + G(t)] = F (t) + G (t) 2. D t [cf(t)] = cf (t) 3. D t [h(t) F(t)] = h(t) F (t) + h (t) F(t) 4. D t [ F(t) G(t)] = F (t) G(t) + F(t) G (t) 5. D t [ F(h(t))] = F (h(t)) h (t) Contoh: Diberikan F(t) = (t 2 + t) î + e t ĵ. a. Tentukan F (t) dan F (t) dan sudut antara F (0) dan F (0). b. Tentukan D t [t 3 1 F(t)] dan 0 F(t) dt Perhatikan sebuah titik P ang bergerak di bidang/ruang dengan posisi setiap saat r(t). Dari hukum Fisika, kecepatan v dan percepatanna a adalah: v(t) = r (t), dan a(t) = r (t) Arah dari vektor kecepatan v dapat dikaji dari definisi turunan r, aitu v(t) = lim. Dengan r(t+h) r(t) h 0 h demikian arah v sama dengan arah garis singgung terhadap r(t). Latihan: r(t+h) r(t) r(t+h) - r(t) 1. Sebuah titik P bergerak sepanjang lingkatran berjari-jari r dengan laju ω rad/detik. Bila kedudukan awalna di (1, 0), tentukan kecepatan dan percepatanna pada saat t = 0, 5 dan gambarkan. 2. Sebuah titik P bergerak dengan posisi setiap saat (, ) = (3 cos t, 2 sin t). a. Gambarkan grafik lintasan P dan arahna. b. Tentukan kecepatan, laju dan percepatanna. c. Tentukan saat kapan lajuna maksimum dan berapa nilaina. d. Tunjukkan vektor percepatanna selalu menuju titik asal. 3. Diberikan sebuah kurva di ruang dengan persamaan r(t) =< t, t2 2, t3 3 persamaan garis singgungna pada saat t = 2. >. Carilah