6 IV PEMBAHASAN 4. Penentuan Titik Teta Model Dinamika Titik teta ersamaan (3. dieroleh dengan menentukan dt, dt dan dv. Sehingga menurut ersamaan tersebut dieroleh titik teta s d N s dt T, T, V, T, kn (bukti lihat Lamiran. 4.. Konstruksi Matriks Jaobi Matriks Jaobi dari ersamaan (3. adalah sebagai berikut kn( s dt kn( s dt J N N N (4. (bukti lihat Lamiran Kestabilan ersamaan (3. akan dieroleh dengan menganalisis nilai eigen matriks Jaobi ada titik teta yang didaat. 4.. Analisis Kestabilan Titik Teta Berikut ini akan dieriksa kestabilan disekitar titik teta s d N s dt T, T, V, T,. Jika titik kn teta tersebut disubstitusikan ada ersamaan (4. maka dieroleh matiks Jaobi sebagai berikut kn( s dt N kn( s d T J N N (bukti lihat Lamiran. Untuk memeroleh nilai eigen, digunakan ersamaan karakteristik J I, sehingga dieroleh nilai eigen matriks J, yaitu kn( s dt ( ( 4( kn ( s d ( ( 4( kn ( s dt 3 (bukti lihat Lamiran T Berdasarkan kondisi yang telah dieroleh maka sesuai dengan analisis kestabilan, titik teta yang dieroleh diengaruhi oleh laju sel darah utih yang dihasilkan (s dan laju kematian sel darah utih sehat (d T sehingga harus dileriksa dari kondisi s<d T dan s>d T. Untuk kasus yang ertama nilai arameter s<d T akan menghasilkan λ >, λ dan λ 3 adalah imajiner murni, sehingga dari nilai-nilai eigen yang dieroleh kestabilan titik teta yang didaat bersifat siral. Kasus yang kedua nilai arameter s>d T akan menghasilkan eigen λ <, λ > dan λ 3 <, sehingga dari nilai-nilai eigen yang dieroleh kestabilan titik teta yang didaat bersifat sadel. 4..3 Dinamika Poulasi Untuk mengamati engaruh virus HIV terhada oulasi sel darah utih terinfeksi ada kurun tertentu maka dierlukan kurva yang menunjukan engaruh virus HIV kedalam oulasi sel darah utih terinfeksi dan hubungannya dengan eriode. Hal ini membutuhkan nilai awal untuk masing-masing arameter dan variabel. Pada roses enggambaran ini diambil nilai erameter untuk s<d T, yaitu s =, d T =, δ =.6, = 4, k = 3, dan N =, sedangkan nilai arameter untuk s>d T, yaitu s = 3, d T =, δ =.6, = 4, k = 3, dan N =. Nilai awal yang diberikan ada kasus ini adalah T = 5, T = 5, dan V = 5. Hasil simulasi daat dilihat ada Gambar. Saat laju sel darah utih sehat yang dihasilkan lebih keil dariada laju kematian sel darah utih sehat maka dinamika oulasi sel darah utih terinfeksi mengalami enurunan dengan sangat eat samai menaai nilai minimum dan kurva akan stabil dinilai nol. Pada kondisi ini sel darah utih terinfeksi akan hilang dari sistem (tidak daat bertahan dalam sistem karena setelah virus HIV menyerang sel darah utih sehat, sel darah utih tersebut berubah menjadi sel darah utih terinfeksi. Aktivitas virus ada sel darah utih terifeksi tidak terhenti, sehingga terbentuknya virus-virus baru yang sia menginfeksi sel darah utih lainnya. Dinamika oulasi virus HIV mengalami eningkatan terlebih dahulu, lalu akan mulai turun dengan sangat eat samai menaai
sel darah utih terinfeksi 7 Dinamika sel darah utih terinfeksi Dinamika virus HIV 7 6 5 4 3 4 6 8 s d T s d T V 8 6 4 4 6 8 s d T s d T Gambar Dinamika oulasi sel darah utih terinfeksi (T dan virus HIV (V ada model virus HIV. nilai minimum dan kurva menjadi stabil dinilai nol.pada kondisi ini virus HIV terus menyerang sel darah utih. Laju sel darah utih yang dihasilkan lebih keil dariada laju kematian sel darah utih sehat mengakibatkan virus HIV tidak daat lagi menyerang sel darah utih sehat, sehingga dengan sendirinya virus HIV akan hilang sendirinya dalam sistem (virus akan dibuang dari sistem ada tingkat er virion, sehingga lama-kelamaan menuju nol, sehingga lama-kelamaan menuju nol. Pada kasus ini tidak menerminkan kondisi sesungguhnya ada kenyataan. Saat laju sel darah utih sehat yang dihasilkan lebih besar dariada laju kematian sel darah utih sehat maka dinamika oulasi sel darah utih terinfeksi dan dinamika oulasi virus mengalami eningkatan terlebih dahulu, lalu akan mulai turun ada berikutnya samai menuju nilai kestabilan dititik tertentu. Sel darah utih terinfeksi dan virus HIV masih daat bertahan dalam sistem ini Dari enjelasan Gambar jika laju sel darah utih yang dihasilkan lebih keil dariada laju kematian sel darah utih sehat maka oulasi sel darah utih sehat, sel darah utih terinfeksi dan virus HIV akan stabil menuju titik teta D(T, T,V=(,,, sedangkan jika laju sel darah utih yang dihasilkan lebih besar dariada laju kematian sel darah utih sehat maka oulasi sel darah utih sehat, sel darah utih terinfeksi dan virus HIV akan stabil menuju titik teta D(T, T,V=(, 66, 3. 4. Penentuan Titik Teta Model Reson Virus terhada Protease Inhibitor Titik teta ersamaan (3. dieroleh dengan menentukan dt, dv dan dv N. Sehingga menurut ersamaan tersebut dieroleh dua titik teta, yaitu titik teta bebas enyakit T, V, (,, dan titik teta endemik ( V N V n V ( T, V,,, VN V ( n N ( n (bukti lihat Lamiran 4. Untuk titik teta endemik jumlah sel darah utih terinfeksi dan jumlah virus yang tidak diengaruhi oleh jumlah virus yang daat. 4.. Konstruksi Matriks Jaobi Matriks Jaobi dari ersamaan (3. untuk titik teta bebas enyakit dan titik teta endemik adalah sebagai berikut kt (4. J ( n N nn (bukti lihat Lamiran 5 Kestabilan ersamaan (3. akan dieroleh dengan menganalisis nilai eigen matriks Jaobi ada titik teta yang didaat. 4.. Analisis Kestabilan Titik Teta Berikut ini akan dieriksa kestabilan disekitar titik teta bebas enyakit dan titik teta endemik. Jika kedua titik teta tersebut
8 disubstitusikan ada ersamaan (4. maka dieroleh matiks Jaobi sebagai berikut kt J ( n N nn (bukti lihat Lamiran 5. Untuk memeroleh nilai eigen, digunakan ersamaan karakteristik J I, sehingga dieroleh nilai eigen matriks J, yaitu ( ( 4( ( kt ( n ( ( 4( ( kt ( n N 3 (bukti lihat Lamiran 5 Berdasarkan kondisi yang telah dieroleh maka sesuai dengan analisis kestabilan, titik teta yang dieroleh diengaruhi oleh laju kematian sel darah utih terinfeksi oleh virus HIV (δ dan laju kegagalan rotease inhibitor dalam menghambat infeksi sel darah utih oleh virus HIV ((-n kt Nδ, sehingga harus dileriksa dari kondisi δ<(-n kt Nδ dan δ> (-n kt Nδ. Untuk kasus yang ertama nilai arameter δ<(-n kt Nδ akan menghasilkan λ <, λ > dan λ 3 >, sehingga dari nilai-nilai eigen yang dieroleh kestabilan titik teta yang didaat bersifat sadel. Kasus yang kedua nilai arameter δ>(-n kt Nδ akan menghasilkan eigen λ <, λ < dan λ 3 <, sehingga dari nilai-nilai eigen yang dieroleh kestabilan titik teta yang didaat bersifat simul stabil. Pada kasus ini virus HIV tidak daat bertahan dalam sistem ini. N 4.3 Penentuan Titik Teta Model Tundaan Pada kasus enundaan diskret (ersamaan 3. nilai diertahankan, sedangkan untuk kasus enundaan kontinu (ersamaan 3.3, nilai harus dinormalisasikan agar didaatkan model enundaan yaitu mt f ( e d. Namun karena nilai τ bervariasi sesuai dengan distribusi eluang f(τ, yaitu menyebar gamma maka model tundaan diubah menjadi f (, ( sehingga didaatkan ersamaan g n b dt ( nrt kt g n, b ( V ( t d T, (4.3 dv ( n NT V, dvn n NT V N (bukti lihat Lamiran 6 dengan k b k, b, n ( mb mb g n, b ( d Titik teta ersamaan (4.3 dieroleh dengan menentukan dt, dv dan dv N. Sehingga menurut ersamaan tersebut dieroleh dua titik teta, yaitu titik teta bebas enyakit T, V, (,, dan titik teta endemik ( V N V n V ( T, V,,, VN V. ( n N ( n (bukti lihat Lamiran 7. Untuk titik teta endemik jumlah sel darah utih terinfeksi virus dan jumlah virus yang tidak diengaruhi oleh jumlah virus yang daat. 4.3. Konstruksi Matriks Jaobi Matriks Jaobi dari ersamaan (4.3 untuk titik teta bebas enyakit dan titik teta endemik adalah sebagai berikut ( n rt kt (4.4 J ( n N n N (bukti lihat Lamiran 8. Kestabilan ersamaan (4.3 akan dieroleh dengan menganalisis nilai eigen matriks Jaobi ada titik teta yang didaat. 4.3. Analisis Kestabilan Titik Teta Berikut ini akan dieriksa kestabilan disekitar titik teta bebas enyakit dan titik teta endemik. Jika kedua titik teta tersebut disubstitusikan ada ersamaan (4.4 maka dieroleh matriks Jaobi sebagai berikut ( n rt kt J ( n N n N (bukti lihat Lamiran 8.
9 Untuk memeroleh nilai eigen, digunakan ersamaan karakteristik J I, sehingga dieroleh nilai eigen matriks J, yaitu ( ( 4( ( C kt N ( ( 4( ( C kt N 3 (bukti lihat Lamiran 8 Berdasarkan kondisi yang telah dieroleh maka sesuai dengan analisis kestabilan, titik teta yang dieroleh diengaruhi oleh laju kematian sel darah utih terinfeksi oleh virus HIV (δ dan laju kegagalan kombinasi terai rotease inhibitor dan reverse transritase inhibitor dalam menghambat infeksi sel darah utih oleh virus HIV ( (-η kt Nδ, sehingga harus dileriksa dari kondisi δ<(-η kt Nδ dan δ>(-η kt Nδ. Kasus ertama nilai arameter δ<(- η kt Nδ akan menghasilkan λ <, λ > dan λ 3 <, sehingga dari nilai-nilai eigen yang dieroleh kestabilan titik teta yang didaat bersifat sadel. Sedangkan untuk kasus kedua nilai arameter δ>(-η kt Nδ akan menghasilkan nilai eigen λ <, λ < dan λ 3 <, sehingga dari nilai-nilai eigen yang dieroleh kestabilan titik teta yang didaat bersifat simul stabil. Pada kasus ini virus HIV tidak mamu bertahan dalam sistem ini. Persamaan karakteristik untuk ersamaan (4.3 bila tana adanya tundaan adalah ( ( ( ( kt N (bukti lihat lamiran8, sedangkan ersamaan karakteristik untuk ersamaan (4.3 dengan adanya tundaan adalah ( ( ( ( kt NF ( (Nelson & Perelson dengan nilai ( n ( n meruakan kombinasi rt keamuhan terai dan F ( meruakan transformasi lalae dari enundaan kernel yang didefinisikan F( g ( e n, b ( b d n dengan b dan n n F(, (4.5 n (bukti lihat Lamiran 9 atau bisa dituliskan dengan bentuk lain ersamaan karakteristik yang berfokus ada ersamaan kuadratik yaitu H (, P( K( F(, (4.6 dimana P( ( dan K( ( NkT (bukti lihat Lamiran Menurut lemma, enundaan daat menyebabkan erubahan kestabilan jika hanya jika untuk beberaa nilai terdaat akar imajiner murni dari H (,. Berikut ini akan dibuktikan Lemma. Lemma Misalkan P( L( dan i. Jika K( L( i dan ( NKT maka tidak ada akar imajiner murni dari H (, (bukti lihat Lamiran. 4.3.3 Dinamika Model reson Protease Inhibitor dan Model Tundaan Untuk mengamati engaruh terhada oulasi sel darah utih terinfeksi, virus HIV, dan virus HIV tidak ada kurun tertentu maka dierlukan kurva yang menunjukan engaruh kedalam oulasi sel darah utih dan hubungannya dengan eriode. Hal ini membutuhkan nilai awal untuk masing-masing arameter dan variabel. Pada roses enggambaran dinamika oulasi ada model reson rotease inhibitor diambil nilai erameter untuk δ<(-n kt Nδ, yaitu δ =.6, = 4, k =, N =, T =.5, dan n =.95, sedangkan nilai eremeter untuk δ>(-n kt Nδ, yaitu δ =.6, = 4, k = 3, N =, T =.5, dan n =.95. Nilai awal yang diberikan ada kasus ini adalah T = 5, V = 5 dan V N = 5. Pada roses enggambaran model tundaan diambil nilai erameter untuk δ<(-η kt Nδ yaitu δ =.6, = 4, k =, N = 5, T =.5, n rt =.95 dan n =.95, sedangkan nilai erameter δ>(-η kt Nδ, yaitu δ =.6, = 4, k =, N =, T =.5, n rt =.95 dan n =.95. Nilai awal yang diberikan ada kasus ini adalah T = 5, V = 5 dan V N = 5. Hasil simulasi kedua model ini daat dilihat ada Gambar 3 dan Gambar 4.
virus HIV tidak m enular virus HIV tidak m enular virus HIV m enular virus HIV m enular sel darah utih terinfeksi sel darah utih terinfeksi Model Tundaan Model Tana tundaan 8 8 Sel darah utih terinfeksi (T 6 4 6 4 3 4 5 6 5...4.6.8. 4 4 (V 3 3 3 4...4.6.8. 8 8 tidak (V N 6 4 6 4 Keterangan 3 4 dinamika T, V, V N dengan tundaan dinamiika T, V, V N tana tundaan...4.6.8. Gambar 3 Dinamika oulasi sel darah utih terinfeksi (T, virus HIV (V dan virus HIV tidak (V N saat laju kematian sel darah utih terifeksi lebih keil dariada laju kegagalan terai.
virus HIV tidak m enular virus HIV m enular sel darah utih terinfeksi Laju kematian sel darah utih sakit lebih besar dariada laju kegagalan terai 5 4 Sel darah utih terinfeksi (T 3 5 5 5 3 35 7 6 5 (V 4 3 5 5 5 3 35 7 6 5 tidak (V N 4 3 3 4 5 Keterangan dinamika T, V, V N dengan tundaan dinamika T, V, V N tana tundaan Gambar 4 Dinamika oulasi sel darah utih terinfeksi (T, virus HIV (V dan virus HIV tidak (V N saat laju kematian sel darah utih terinfeksi lebih besar dariada laju kegagalan terai.
Saat laju kematian sel darah utih terinfeksi lebih keil dariada laju kegagalan terai maka dinamika oulasi sel darah utih terinfeksi, dinamika virus HIV dan dinamika virus HIV ada model tundaan dan model tana tundaan mengalami eningkatan dengan sangat eat. Pada kasus ini asien dinyatakan belum sembuh dari enyakit AIDS karena terai yang diberikan tidak berhasil dalam menghambat embentukan virus baru. Pada model reson rotease inhibitor (tana tundaan memiliki laju ertumbuhan oulasi yang lebih eat dariada model tundaan. Saat laju kematian sel darah utih terinfeksi lebih besar dariada laju kegagalan terai maka dinamika oulasi sel darah utih terinfeksi ada model tundaan dan model tana tundaan awalnya mengalami eningkatan samai menaai titik maksimum, lalu mengalami enurunan samai menaai nilai minimum dan akan stabil dinilai nol. Dinamika oulasi virus HIV dan virus HIV tidak mengalami enurunan dengan sangat eat samai menaai nilai minimum dan akan stabil dinilai nol. Pada kasus ini sel darah utih terinfeksi, virus HIV dan virus HIV tidak akan hilang dalam sistem. Pasien dinyatakan sembuh dari enyakit AIDS karena terai berhasil dalam menghambat embentukan virus baru. Pada model reson rotease inhibitor (tana tundaan memiliki laju ertumbuhan oulasi yang lebih eat dariada model tundaan. Berdasarkan kedua gambar diatas daat dikatakan bahwa model tundaan memiliki model yang lebih realistik dariada model tana tundaan karena ada model tersebut daat menjelaskan fenomena alam yang sebenarnya. Proses berkembangnya virus HIV dan roses enyembuhan enyakit AIDS terjadi dalam kurun yang lama. Hal ini daat terlihat dengan jelas ada dinamika model tundaan yang telah dijelaskan sebelumnnya. V KESIMPULAN Analisis kestabilan ada model virus HIV dibagi menjadi dua kategori, yaitu sel darah utih terinfeksi virus dan virus HIV. Model ini diengaruhi oleh laju sel darah utih yang dihasilkan dan laju kematian sel darah utih sehat. Solusi sistem ini akan siral jika laju sel darah utih yang dihasilkan lebih keil dariada laju kematian sel darah utih sehat, sedangkan solusi sistem akan sadel jika laju sel darah utih yang dihasilkan lebih besar dariada laju kematian sel darah utih sehat. Jika laju sel darah utih yang dihasilkan lebih keil dariada laju kematian sel darah utih sehat maka oulasi sel darah utih terinfeksi dan oulasi virus HIV stabil dinilai nol (hilang dalam sistem. Jika laju sel darah utih yang dihasilkan lebih besar dariada laju kematian sel darah utih sehat maka oulasi sel darah utih terinfeksi dan oulasi virus HIV menuju ke suatu nilai tertentu. Analisis kestabilan ada model reson terhada rotease inhibitor dan model tundaan dibagi menjadi tiga kategori, yaitu sel darah utih terinfeksi, virus HIV (tidak diengaruhi rotease inhibitor dan virus HIV tidak (diengaruhi rotease inhibitor. Kedua model ini diengaruhi oleh laju kematian sel darah utih terinfeksi dan laju kegagalan terai. Solusi sistem ini akan sadel jika laju kematian sel darah utih terinfeksi lebih keil dariada laju kegagalan terai, sedangkan solusi sistem akan simul stabil jika laju kematian sel darah utih terinfeksi lebih besar dariada kegagalan terai. Pada kedua model ini, jika laju kematian sel darah utih terinfeksi lebih keil dariada laju kegagalan terai maka oulasi sel darah utih sakit, oulasi virus HIV, dan oulasi virus HIV tidak akan terus bertambah. Jika laju kematian sel darah utih sakit lebih besar dariada laju kegagalan terai maka oulasi sel darah utih sakit, oulasi virus HIV, dan oulasi virus HIV tidak akan hilang dalam