MODEL OPTIMISASI PORTOFOLIO INVESTASI MEAN- VARIANCE TANPA DAN DENGAN ASET BEBAS RISIKO PADA SAHAM IDX30

Transkripsi

1 Jurnal Matematika Integratif Volume, No., Oktober 06, ISSN:4-684, e-issn: doi:0.498/jmi.v.n MODEL OPIMISASI POROFOLIO INVESASI MEAN- VARIANCE ANPA DAN DENGAN ASE BEBAS RISIKO PADA SAHAM IDX30 Basuki ), Sukono ), Ema Carnia 3) ) Program Studi Pendidikan Matematika SKIP Garut, ) Program Studi Magister Matematika FMIPA UNPAD,3) Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Psdjadjaran Jl. Raya Bandung Sumedang KM Jatinangor Sumedang basuki0907@gmail.com, sukono@unad.ac.id, sukono@unad.ac.id ABSRAK Dalam aer ini, model otimisasi ortofolio investasi Mean-Variance tana aset bebas risiko, atau disebut model dasar dari Markowitz telah dikaji untuk mendaatkan ortofolio otimum. Berdasarkan model dasar dari Markowitz, kemudian dilakukan studi lebih lanjut ada model Mean-Variance dengan aset bebas risiko. Selanjutnya, kedua model tersebut digunakan untuk menganalisis otimisasi ortofolio investasi ada beberaa saham IDX30. Dalam aer ini diasumsikan bahwa roorsi sebesar 0% diinvestasikan ada aset bebas risiko, berua deosito yang memberikan return sebesar 7% er tahun. Berdasarkan hasil analisis otimisasi ortofolio investasi ada lima saham yang diilih didaatkan grafik ermukaan efisien dari otimisasi ortofolio Mean-Variance dengan aset bebas risiko, berada lebih tinggi dibandingkan otimisasi ortofolio Mean-Variance tana aset bebas risiko. Dalam hal ini menunjukkan bahwa ortofolio investasi kombinasi dari aset bebas risiko dan aset tana bebas risiko, lebih menguntungkan dibandingkan ortofolio investasi yang hanya ada aset tana bebas risiko. Kata Kunci:Return, risiko, ortofolio investasi, model Markowitz, ermukaan efisien. ABSRAC In this aer, the investment ortfolio otimization model Mean-Variance without risk-free asset or socalled basic model of Markowitz has been examined to obtain otimum ortfolio. Based on the basic model of Markowitz, then the further studies has been conducted into the model Mean-Variance with a risk-free asset. Furthermore, both models are used to analyze the investment ortfolio otimization on some stocks IDX30. In this aer, it is assumed that the roortion of 0% is invested in risk-free assets, in the form of deosits that rovide returns of 7% er year. Based on the analysis of investment ortfolio otimization on five selected stocks obtained grah efficient frontier of Mean-variance otimization ortfolio with a risk-free asset, are higher than the mean-variance ortfolio otimization without the risk-free asset. In this case, it shows that the combination of the investment ortfolio with and without risk-free asset, more rofitable than the investment ortfolio only on without risk-free asset. Keyword: Return, risk, investment ortfolio, Markowitz model, efficient frontier.. Pendahuluan Investasi ada aset finansial cuku menarik minat bagi kebanyakan investor, baik investor lembaga mauun erorangan.andelilin (00) menyatakan bahwa investasi adalah suatu komitmen untuk menanamkan sejumlah dana atau sumber daya lainnya yang dilakukan ada saat ini dengan tujuan memeroleh sejumlah keuntungan di masa datang. Jogiyanto (06) menyatakan bahwa investasi adalah enundaan konsumsi sekarang untuk dimasukkan ke aktiva roduktif selama eriode waktu tertentu. Return haraan (exected return), bukanlah sebagai return asti diterima tetai meruakan hasil rata-rata dari seluruh hasil yang mungkin, dengan mengakui bahwa beberaa hasil bereluang lebih besar untuk terjadi dibanding hasil yang lain dari berbagai skenario investasi (Bodie, et.al, 04). Hubungan return haraan dan risiko suatu investasi meruakan hubungan yang searah dan linier. Pengukuran tingkat variabilitas return yang aling umum digunakan adalah variansi atau standar deviasi. digunakan untuk mengukur rata-rata selisih kuadrat antara return aktual dan ratarata return. Semakin besar nilai variansi, semakin jauh return aktual berbeda dari rata-rata return-nya.untuk meminimumkan risiko investasi (Mangram, 03; Solanki, 04), investor 07

2 Basuki, Sukono, dan Ema Carnia / JMI Vol. No., Oktober erlu melakukan diversifikasi dengan membentuk ortofolio investasi. Moehring, (03) dalam enelitiannya menggunakan notasi matriks untuk menyederhanakan roses erhitungan otimisasi model Markowitz. Proses seleksi ortofolio investasi model Markowitz, hakekatnya mengalokasikan sejumlah dana ada beberaa aset. Dalam berinvestasi, investor bisa memilih menginvestasikan dananya baik hanya ada aset tana bebas risiko atau hanya ada aset bebas risiko, atauun kombinasi dari kedua aset. Pilihan investor atas aset-aset tersebut, tergantung dari sejauh mana referensi investor terhada risiko. Semakin enggan seorang investor terhada risiko (risk averse), maka ilihan investasinya akan cenderung lebih banyak ada aset bebas risiko. Aset bebas risiko adalah aset yang tingkat return-nya dimasa dean sudah bisa diastikan ada saat ini, dan ditunjukkan oleh nilai variansi return sama dengan nol. Salah satu contoh aset bebas risiko adalah deosito atau obligasi jangka endek yang diterbitkan emerintah. Aset tana bebas risiko adalah aset yang tingkat return aktualnya di masa dean masih mengandung ketidakastian. Salah satu contoh aset tana bebas risiko adalah saham. Persoalan mendasar dalam embentukan ortofolio efisien adalah menentukan emilihan kombinasi aset suaya ortofolio otimum. Pembahasan aer ini bertujuan untuk menunjukkan analisis model otimisasi ortofolio investasi Mean-Variance tana aset bebas risiko, selanjutnya dilakukan erluasan dengan memasukkan aset bebas risiko. Dari hasil analisis erhitungan return dan risiko ortofolio, selanjutnya digunakan untuk menentukan komosisi bobot (roorsi) alokasi-dana ada masing-masing aset embentuk ortofolio otimum. Selanjutnya secara numerik dianalisis ula erbandingan antara otimisasi ortofolio investasi Mean-Variance tana aset bebas risiko dan otimisasi ortofolio investasi Mean-Variance dengan aset bebas risiko ada saham IDX30. Diharakan enelitian ini bermanfaat untuk menambah literatur model otimisasi investasi, khususnya konsentrasi Matematika Keuangan, dan dijadikan sebagai tambahan referensi enelitian lanjutan, serta dijadikan sebagai salah satu alternatif bagi investor dalam melakukan otimisasi ortofolio investasi.. Metode Penelitian Untuk emilihan ortofolio efisien, misal diberikan ortofolio dengan vektor bobot w, merujuk Panjer et al.(998) dan Ruert (004) serta Ryck et al.(007), dilakukan dengan cara mencari nilai maksimum τ µ N σ, syarat w i = dan τ 0, arameterτ disebut toleransi i= risiko. Menggunakan endekatan model Markowitz, ersoalan otimisasi yang akan diselesaikan memiliki beberaa keuntungan yaitu: (i) oleransi risiko τ yang harus ditentukan dan (ii) Momen ertama µ i dan momen keduaσ ij yang dierlukan dari return aset.. Otimisasi Portofolio Investasi Mean-Variance ana Aset Bebas Risiko r, r Misalkan terdaat N aset tana bebas risiko dengan return N. Diasumsikan bahwa momen ertama dan kedua dari r, rn ada, vektor transose nilai eksektasi return dinyatakan sebagai: µ = ( µ,, µ N ) dengan µ i = E [ r i ], i =,, N dan matriks kovariansi dinyatakan sebagai: Σ = ( σ ij ) dengan σ ij = Cov( ri, rj ), i, j =,, N. Jika return ortofolio r N dengan vektor bobot transose w = ( w,, w N ), dan syarat w i =, maka eksektasi return i= ortofolio dengan menggunakan notasi vektor, daat dinyatakan sebagai: w µ = E [ ] = µ = w µ () r dan variansi ortoolio daat dinyatakan sebagai: r σ = Var ( ) = w Σw () 08

3 Jurnal Matematika Integratif Volume, No., Oktober 06, ISSN:4-684, e-issn: doi:0.498/jmi.v.n Dalam otimisasi Mean Variance, ortofolio efisien didefinisikan sebagai berikut. Definisi : Suatu ortofolio µ dan σ σ * disebut (Mean Variance) efisien jika tidak ada ortofolio dengan µ * < (Panjer et al., 998; Ruert, 004). * Untuk mendaatkan ortofolio efisien, berarti harus menyelesaikan ersoalan otimisasi ortofolio sebagai berikut: Maksimumkan { τ µ w w Σw}, dengan e = (,, N), µ w = w µ,dan w e e w sebagai engalinya, daat dinyatakan sebagai berikut: syarat e w = (3) =. Fungsi Lagrange ersamaan (3) dimana λ L( w, λ ) = (τ w µ w Σw) + λ( w e ) (4) Persamaan (4) dengan menggunakan syarat erlu teorema Kuhn-ucker = 0dan = 0, w λ didaat: = τµ Σw + λe = 0 (5) w = w e = 0 (6) λ Persamaan (5) kalikan Σ dan nyatakan dalam w, kemudian hasilnya kalikan e, setelah dilakukan enyelesaian didaat: e µ w= + τ Σ ; τ 0 Σ e Σ µ Σ e e Σ e e Σ e (7) Pada saat τ = 0 menghasilkan ortofolio variansi minimum dengan bobot: w Min = e e Σ Selanjutnya, eneliti melakukan erluasan model otimisasi ortofolio investasi Mean- Variance dengan memasukan aset bebas risiko. Σ e. Otimisasi Portofolio Investasi Mean-Variance Dengan Aset Bebas Risiko Misalkan investor dalam embentukan ortofolio investasi, menyisihkan sebagian roorsi modalnya sebesar w 0 untuk diinvestasikan ada aset bebas risiko, dimana aset bebas risiko tersebut memberikan return teta sebesar r 0 er satuan waktu. Sebagian lagi roorsi sebesar w i ( i =,..., N ) diinvestasikan ada aset tana bebas risiko, masing-masing aset return-nya sebesar r i ( i =,..., N ). Sehingga, total return dari ortofolio investasi daat dinyatakan sebagai: r = w r N + w r 0 0 i i. (8) i= 09

4 Basuki, Sukono, dan Ema Carnia / JMI Vol. No., Oktober Misalkan w = ( w,..., ) w N vektor bobot ortofolio investasi, 0 r = ( r,..., ) r N vektor return dan µ = ( µ,..., µ N ) vektor rataan (mean) dari return masing-masing aset tana bebas risiko, dengan demikian ersamaan (8) daat dinyatakan sebagai: r = w00 r +wr. (9) Oleh karena itu, eksektasi dari return ortofolio µ daat dinyatakan sebagai: µ = E ( r ) = E( w0r0 + w r) = w 0µ 0 + w µ. (0) Jika diberikan Σ adalah matriks kovariansi, maka variansi (risiko) return ortofolio daat dinyatakan sebagai: σ = Var ( r w ) = Σw. () Sehingga model otimisasi ortofolio investasi Mean-Variance dengan aset bebas risiko daat dinyatakan sebagai: Maksimumkan { w0µ 0 + τw µ w Σw}, syarat ( w 0 + w e) = () dimana e = (,..., ) vektor satuan. Untuk melakukan roses otimisasi dilakukan dengan teknik Lagrange multilier dan harus memenuhi syarat erlu teorema Kuhn-ucker. Fungsi Lagrange ersamaan () dengan λ sebagai engalinya daat dinyatakan sebagai berikut: L( w, λ ) = { w0µ 0 + τ w µ w Σw} + λ( w0 + w e ) (3) Syarat erlu teorema Kuhn-ucker ada ersamaan (3) adalah = 0dan = 0, didaat: w λ = τ µ Σw + λe = 0 w (4) = w0 + w e = 0. λ (5) Persamaan (4) kalikan dengan Σ dan nyatakan dalam w, sehingga didaat ersamaan: λ w = τ Σ µ + Σ e (6) Persamaan (6) kalikan dengan e, didaat ersamaan: λ e w = τ e Σ µ + e Σ e (7) Persamaan (7) dengan w e = e w, jika disubstitusikan ada ersamaan (5) didaat: λ w0 = τ e Σ µ + e Σ e λ w0 τ e Σ µ λ Sehingga besarnya nilai =, dan jika nilai tersebut disubstitusikan ada e Σ e ersamaan (6), maka dieroleh vektor bobot w dengan ersamaan sebagai berikut: w0 τe Σ µ w = τ Σ µ + Σ e, τ 0 (8) e Σ e Faktor toleransi risiko dalam roses otimisasi ini, menggunakan bantuan software Matlab 03, ditentukan secara simulasi dari nilai awal 0 (nol), kemudian ditingkatkan secara bertaha dengan delta eningkatan tertentu. Proses eningkatan faktor toleransi risiko dihentikan ketika dieroleh vektor bobot bernilai negatif. Hal ini merujuk asusmi bahwa short sales tidak dierkenankan dalam jual beli saham. Dari roses otimisasi ini, setia vektor bobot yang dieroleh, digunakan untuk menghitung eksektasi return ortofolio ada ersamaan () untuk aset tana bebas risiko dan ersamaan (0) untuk aset dengan bebas risiko. Sedangkan untuk menghitung variansi (risiko), menggunakan ersamaan () untuk aset tana bebas risiko

5 Jurnal Matematika Integratif Volume, No., Oktober 06, ISSN:4-684, e-issn: doi:0.498/jmi.v.n dan ersamaan () untuk aset dengan bebas risiko. Setia asangan antara eksektasi return dan variansi ortofolio, membentuk sebuah titik ortofolio efisien suatu nilai toleransi risiko. Himunan titik-titik ortofolio efisien tersebut digunakan untuk membentuk grafik (kurva) ermukaan efisien (eficient frontier) dari masing-masing model ortofolio investasi Mean- Variance. Menggunakan estimator eksektasi return dan variansi (risiko) ortofolio, daat ditentukan rasio antara eksektasi return terhada risiko ortofolio. Nilai rasio ini selanjutnya digunakan untuk memilih ortofolio otimum global, yaitu ortofolio yang memiliki rasio terbesar. Selanjutnya, eneliti melakukan embahasan menggunakan data secara numerik untuk model ortofolio investasi Mean-Variance tana dan dengan aset bebas risiko ada saham IDX30, dan dilanjutkan melakukan analisis erbandingan menggunakan beberaa karakteristik enting dari dua model otimisasi investasi tersebut. 3. Statistik Data 3 Hasil dan Pembahasan Data saham dalam obyek enelitian ini adalah data saham yang dierdagangkan ada asar modal melalui Bursa Efek Indonesia (BEI) yang masuk dalam daftar indeks IDX30. Data historis harian diakses melalui website htt://finance.yahoo.com terdiri 30 (tigauluh) saham eriode Agustus 04 3 Juli 06. Dari 30 saham tersebut, diilih saham-saham yang selalu terdaftar ada 4 (emat) eriode enelitian, dan ternyata hanya 0 saham yang masuk nominasi yaitu saham: ADHI, ADRO, ASII, BBCA, BBNI, BBRI, BMRI, GGRM, ICBP, INDF, INP, KLBF, LPKR, LPPF, MNCN, PGAS, SMGR, LKM, UNR, UNVR. Selanjutnya dengan menggunakan bantuan software Eviews 9, dilakukan estimasi distribusi, eksektasi (mean) dan variansi return saham, serta rasio antara eksektasi dan variansi return saham. Dimisalkan investor akan membentuk ortofolio investasi, terdiri dari 5 (lima) saham terbaik yang diilih berdasarkan nilai rasio terbesar. Lima saham terilih, dirangkum dalam abel. abel.lima saham terilih Nama Saham Estimator distribusi Anderson Darling Eksektasi/ rataan µ σ Rasio LKM Normal UNVR Normal BBCA Normal LPPF Normal GGRM Normal µ σ Dari 5 (lima) saham terilih ada abel, selanjutnya dengan menggunakan bantuan software excel ditentukan estimasi nilai kovariansi antar saham, seerti dirangkum dalam abel. abel.estimator kovariansi 5 saham terilih LKM UNVR BBCA LPPF GGRM LKM UNVR BBCA LPPF GGRM Dari 5 (lima) saham terilih ada abel., estimator nilai rataan µ i,( i =,,5) dibentuk vektor transose rataan µ = ( ), kemudian dibentuk vektor transose satuan e = ( ). Selanjutnya dari abel estimator nilai variansi σ i,( i =,,5) bersama estimator kovariansi antar return saham, digunakan untuk membentuk matriks kovariansi Σ. Menggunakan bantuan software excell, daat ditentukan

6 Basuki, Sukono, dan Ema Carnia / JMI Vol. No., Oktober invers matriks kovariansi dinyatakan sebagai berikut: Σ. Matriks kovariansi Σ dan invers matriks kovariansi Σ ,377.99, , , Σ = Σ = , , , , Selanjutnya, invers matriks kovariansi Σ digunakan untuk roses erhitungan komosisi bobot ortofolio efisien ada dua model dengan menggunakan bantuan software Matlab Proses Otimisasi Portofolio Investasi Mean-Variance ana Aset Bebas Risiko Persoalan otimisasi ortofolio Mean-Variance tana aset bebas risiko disusun merujuk ada ersamaan (3). Menggunakan vektor µ dan e serta matriks Σ, selanjutnya vektor bobot w dihitung menggunakan ersamaan (7). oleransi risiko τ dengan syarat τ 0 dalam otimisasi ortofolio investasi, disimulasikan dengan mengambil beberaa nilai yang memenuhi syarat ew =. Pengambilan nilai toleransi risiko dihentikan, aabila untuk suatu nilai toleransi risiko setelah disubstitusikan ke dalam ersamaan (7) menghasilkan suatu bobot w i ( i =,...,5) yang bukan meruakan bilangan riil ositif dan memenuhi ew =. Untuk memermudah erhitungan, digunakan bantuan software Matlab 03. Adaun engambilan nilai-nilai toleransi risiko dan hasil enghitungan komosisi bobot ortofolio efisien diberikan dalam abel 3. abel 3.Proses otimisasi ortofolio investasi Mean-Variance tana aset bebas risiko ada saham IDX30 τ LKM BBCA UNVR LPPF GGRM w e µ σ µ / σ

7 Jurnal Matematika Integratif Volume, No., Oktober 06, ISSN:4-684, e-issn: doi:0.498/jmi.v.n Serangkaian ortofolio efisien berada ada ermukaan efisien (efficient frontier).efficient frontier adalah ermukaan efisien di mana terletak ortofolio-ortofolio yang return-nya seadan dengan risikonya. Menggunakan bantuan software Matlab 03, kurva Efficient frontier dan rasio antara return rata-rata terhada variansi ortofolio tamak seerti ada Gambar. 9 x Rataan Rasio Rataan terhada Global Otimum x x 0-4 Gambar.Efficient frontier dan rasio ortofolio Mean-Variance tana aset bebas risiko ada saham IDX Proses Otimisasi Portofolio Investasi Mean-Variance Dengan Aset Bebas Risiko Untuk melakukan roses otimisasi ortofolio investasi dengan aset bebas risiko ada saham IDX30. Misalkan investor mengalokasikan roorsi sebesar w 0= 0% diinvestasikan ada asset bebas risiko, yang memberikan return rataan sebesar 7% er tahun atau setara dengan µ 0 = er hari.persoalan otimisasi ortofolio Mean-Variance dengan aset bebas risiko disusun merujuk ada ersamaan (). Menggunakan vektor µ dan e serta matriks Σ, vektor bobot w dihitung menggunakan ersamaan (8). oleransi risiko τ dengan syarat τ 0 dalam roses otimisasi ortofolio di sini disimulasikan dengan mengambil beberaa nilai yang memenuhi syarat w 0 + we =. Pengambilan nilai toleransi risiko dihentikan aabila untuk suatu nilai toleransi risiko setelah disubstitusikan ada ersamaan (8) menghasilkan w ( i =,...,5) yang bukan meruakan bilangan riil ositif dan memenuhi suatu bobot i w 0 + we =. Untuk memermudah erhitungan, digunakan bantuan software Matlab 03. Adaun engambilan nilai-nilai toleransi risiko dan hasil enghitungan komosisi bobot ortofolio efisien diberikan dalam abel 4. Kurva Efficient frontier dan rasio antara return rata-rata terhada variansi ortofolio investasi dengan aset bebas risiko tamak seerti ada Gambar..75 x Rataan Rasio Rataan terhada Global Otimum x x 0-4 Gambar. Efficient frontier dan rasio ortofolio Mean-Variance dengan aset bebas risiko ada saham IDX30 3

8 Basuki, Sukono, dan Ema Carnia / JMI Vol. No., Oktober abel 4.Proses otimisasi ortofolio Mean-Variance dengan aset bebas risiko ada saham IDX30 τ LKM BBCA UNVR LPPF GGRM 0 w + we µ µ 0 σ µ / σ

9 Jurnal Matematika Integratif Volume, No., Oktober 06, ISSN:4-684, e-issn: doi:0.498/jmi.v.n Analisis Perbandingan Analisis erbandingan dari hasil roses otimisasi dua model tersebut, dilakukan dengan cara memerhatikan beberaa karakteristik enting secara numerik ada abel 3 dan abel 4 dijelaskan sebagai berikut: a. oleransi risiko untuk model Mean-Variance tana aset bebas risiko ada saham IDX30 berkisar 0 τ 0.8; sedangkan untuk model Mean-Variance dengan aset bebas risiko ada saham IDX30 berkisar 0 τ 0.6 b. Portofolio minimum untuk model Mean-Variance tana aset bebas risiko ada saham IDX30 didaat rataan return sebesar dengan variansi sebesar ; sedangkan untuk model Mean-Variance dengan aset bebas risiko ada saham IDX30 didaat rataan return sebesar dengan variansi sebesar c. Portofolio maksimum untuk model Mean-Variance tana aset bebas risiko ada saham IDX30 didaat rataan return sebesar dengan variansi sebesar ; sedangkan untuk model Mean-Variance dengan aset bebas risiko ada saham IDX30 didaat rataan return sebesar dengan variansi sebesar d. Portofolio otimum untuk model Mean-Variance tana aset bebas risiko ada saham IDX30 didaat rataan return sebesar dengan variansi sebesar ; sedangkan untuk model Mean-Variance dengan aset bebas risiko ada saham IDX30 didaat rataan return sebesar dengan variansi sebesar e. Bobot ortofolio otimum untuk model Mean-Variance tana aset bebas risiko ada saham IDX30 roorsi saham LKM=0.5044; BBCA=0.9885; UNVR=0.7868; LPPF= dan GGRM= Sedangkan bobot ortofolio otimum untuk model Mean-Variance dengan aset bebas risiko ada saham IDX30 roorsi saham LKM= ; BBCA= ; UNVR=0.3760; LPPF= dan GGRM= Menggunakan bantuan software Matlab 03, erbandingan kurva ermukaan efisien dari ortofolio Mean-Variance tana dan dengan aset bebas risiko ada saham IDX30, seerti tamak ada Gambar x 0-3 tana aset bebas dengan aset bebas Rataan x 0-4 Gambar 3. Grafik Perbandingan Efficient frontier Jika memerhatikan grafik ada Gambar 3, maka tamak bahwa kurva ermukaan efisien untuk ortofolio model Mean-Variance dengan aset bebas risiko, lebih tinggi dibandingkan ortofolio model Mean-Variance tana aset bebas risiko. Dalam hal ini menggambarkan bahwa return investasi yang menggabungkan tana dan dengan aset bebas risiko ada saham IDX30, lebih menguntungkan dibandingkan return investasi hanya ada aset tana bebas risiko. Selain itu, variansi ada investasi yang menggabungkan tana dan dengan aset bebas risiko ada saham IDX30, lebih kecil dibandingkan dengan investasi hanya ada aset tana bebas risiko. 5

10 Basuki, Sukono, dan Ema Carnia / JMI Vol. No., Oktober Simulan Untuk menentukan alokasi bobot ortofolio investasi yang otimum ada asset tana bebas risiko, daat digunakan model otimisasi ortofolio investasi Mean-Variance yang meruakan model dasar dari Markowitz. Perluasan model otimisasi ortofolio investasi Mean- Variance dilakukan dengan cara memasukan aset bebas risiko ada saham IDX30. Dari erluasan ini, daat diturunkan formula untuk menentukan alokasi bobot ortofolio otimum. Jika diasumsikan investor menyisihkan sebesar 0% dananya untuk diinvestasikan ada aset bebas risiko (deosito), dan aset bebas risiko tersebut menghasilkan return sebesar 7% er tahun atau setara dengan 0,009 er hari, kemudian selebihnya sebesar 90% dananya diinvestasikan ada aset tana bebas risiko yaitu ada 5 (lima) saham terbaik. ernyata grafik ermukaan efisien ortofolio hasil kombinasi tana dan dengan aset bebas risiko, berada di atas grafik ermukaan efisien dari ortofolio yang hanya diinvestasikan ada 5 (lima) saham (aset) tana bebas risiko. Hal ini menunjukkan bahwa ortofolio investasi yang mengkombinasikan tana dan dengan aset bebas risiko, lebih menguntungkan dibandingkan dengan ortofolio investasi tana bebas risiko yang seluruhnya terdiri dari 5 (lima) saham. Ucaan erima Kasih Ucaan terimakasih disamaikan keada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran, dan Program Studi Pendidikan Matematika SKIP Garut, serta Dewan redaksi Jurnal Matematika Integratif, yang telah memberikan fasilitas untuk melakukan enelitian dan ublikasi. Daftar Pustaka. Bodie, Zvi, Kane, Alex & Marcus, Alan J., 04. Invessment, 9 th ed. erjemahan Romi Bhakti Hartarto dan Zuliani Dalimunthe. Jakarta: Salemba Emat, Edisi Global, 04.. Jogiyanto, 06. eori Portofolio dan Analisis Investasi. Edisi Keseuluh. Penerbit BPFE Yogyakarta. 3. Mangram, Myles E., 03. A Simlified Perseective of the Markowitz Portfolio heory. Global Journal of Business Research,Vol 7 No., Moehring, A., 03. Markowitz Portfolio Otimization with Matrix Algebra. Linear Algebra erm Paer, Sring Panjer, Harry H.et al, 998. Financial Economics: With Alications to Invesments, Insurance and Pensions. Printed in United States of America. 6. Ryck, P.D., Cole, F., Smedts, J. & Moor, L.D., 007, he Performance Evaluation of Hedge Funds: Are Investors Mislead by Standard Mean-Variance Statistics?, Research Paer, Hogeschool-Universiteit Brussel. 7. Ruert, D., 004. Statistics and Finance: An Introduction. New York: Sringer-Verlag. 8. Solanki, 04. Portfolio Selection Process throght Markowitz Model. Indian Journal of Alied Research. Volume 4, Issue 8, Agustus andelilin, E. 00. Portofolio dan Investasi (Portfolio and Investment). eori dan Alikasi (heory and Alication). Edisi Pertama. Penerbit: Kanisius, Yogyakarta. 6