IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Transkripsi

1 IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Penentuan Titik Tetap Analisis titik tetap pada sistem persamaan diferensial sering digunakan untuk menentukan suatu solusi yang tidak berubah menurut waktu, yaitu pada saat dan. Titik tetap dari sistem persamaan diferensial (8) akan diperoleh dengan menentukan dan. Dari hasil analisis akan diperoleh dua jenis titik tetap, yaitu titik tetap bebas penyakit (Disease-free equilibrium-dfe) dan titik tetap endemik. Titik tetap bebas penyakit adalah titik tetap yang memuat nilai = dan. Titik tetap endemik adalah titik tetap yang memuat nilai atau. Titik tetap dari sistem persamaan diferensial (8) dengan menggunakan software Mathematica, diperoleh titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik dengan untuk penyedehanaan, dituliskan 4.2 Analisis Kestabilan Analisis kestabilan di sekitar titik tetap dapat ditentukan dengan prosedur sebagai berikut: 1 Menentukan matriks Jacobi dari sistem persamaan. 2 Menentukan matriks Jacobi pada titik tetap. 3 Menentukan nilai eigen, dengan menyelesaikan. Jika nilai eigen semua riil negatif maka titik tetap tersebut stabil. Kestabilan untuk sistem persamaan yang terdiri dari lebih dari 2 persamaan. Jika nilai eigen tidak dapat ditentukan dengan mudah, maka digunakan kriteria Routh-Hurwitz.

2 Perilaku di Sekitar Titik Tetap Misalkan sistem persamaan (8) ditulis sebagai berikut: (18) h Dengan melakukan pelinearan persamaan (18) maka diperoleh matriks Jacobi: Kestabilan sistem persamaan diperoleh dengan menganalisis nilai eigen pada titik tetapnya. berikut: Pelinearan pada titik tetap diperoleh matriks Jacobi sebagai Sistem akan stabil jika nilai eigen matriks Jacobi negatif. Nilai eigen matriks Jacobi dapat ditentukan dengan menyelesaikan, yaitu: ( ( dengan

3 17 Perhatikan bahwa bagian riil nilai eigen semua akan negatif jika, maka titik tetap pada adalah stabil.. Jadi jika Perilaku di Sekitar Titik Tetap Pelinearan persamaan (8) pada titik tetap sebagai berikut: diperoleh matriks Jacobi Jika semua nilai eigen yang diperoleh oleh diagonal matriks Jacobi mempunyai bagian riil negatif maka solusi titik tetap adalah stabil. Nilai eigen matriks Jacobi dapat ditentukan dengan menghitung, dengan adalah Matriks Jacobi untuk titik tetap, adalah nilai eigen dan I adalah matriks identitas. Jadi dengan demikian, diperoleh persamaan karakteristik dari, yaitu (2) dengan ; dan atau. Nilai eigen dari persamaan (2) sulit ditentukan, maka kestabilan di sekitar titik tetap akan diselidiki dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz kondisi kestabilan persamaan (8) pada titik tetap akan stabil jika dan hanya jika memenuhi syarat-syarat berikut:,, (21). (22)

4 18 Perhatikan bahwa untuk, koefisien-koefisien pada persamaan (2) bernilai positif (,, dan ), sehingga kondisi (21) terpenuhi. Sementara kondisi (22) juga terpenuhi, karena karena, maka dari persamaan ( 17 ) dinyatakan bahwa, sehingga Kesimpulan. Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz terpenuhi jika, dengan kata lain titik tetap adalah stabil. adalah bilangan reproduksi dasar pada penyebaran penyakit DBD. 4.3 Simulasi Model Sebagaimana yang telah disebutkan di awal tulisan ini, salah satu tujuan penelitian ini untuk mengimplementasikan model ke dalam pemrograman berbasis fungsional. Penelitian ini juga bertujuan membandingkan perilaku model penyebaran penyakit DBD, yaitu model dengan asumsi semua telur nyamuk sehat dan model dengan asumsi sebagian telur nyamuk terinfeksi. Pada kedua model dilakukan simulasi komputer dengan melakukan perubahan rata-rata gigitan nyamuk per hari. Secara khusus, untuk model dengan asumsi sebagian telur nyamuk terinfeksi dilakukan simulasi dengan melakukan perubahan nilai peluang telur nyamuk terinfeksi Nilai-nilai Parameter Parameter merupakan laju kematian populasi manusia, yakni per hari sesuai dengan harapan hidup pada manusia 7 tahun. Nilai laju kelahiran populasi manusia sesuai dengan asumsi awal,

5 19 sama dengan laju kematian populasi manusia. Rata-rata masa hidup nyamuk adalah 14 hari (Pongsumpun 26), maka laju kematian nyamuk ( =,71) per hari. Laju kelahiran sama dengan laju kematian (. Nilai parameter seluruhnya ditunjukkan pada tabel 1. Simbol Tabel 1 Nilai-nilai Parameter Model Asli dan Model Modifikasi Model Definisi parameter Asli Modifikasi Laju kelahiran manusia per hari Laju kelahiran nyamuk per hari Laju kematian manusia per hari Laju kematian nyamuk per hari Peluang transmisi virus dengue dari nyamuk ke manusia Peluang transmisi virus dengue dari manusia ke nyamuk b Rata-rata gigitan nyamuk per hari r n Laju pemulihan populasi manusia terinfeksi menjadi sembuh per hari Perbandingan populasi nyamuk dengan populasi manusia ( peluang transmisi virus demam berdarah dari nyamuk ke telurnya Hasil Simulasi Model Pada simulasi ini akan dilakukan untuk kasus dengan >1 dengan syarat awal bahwa terdapat sejumlah populasi manusia dan nyamuk yang sudah terinfeksi. Proporsi awal populasi manusia sehat [S()]=, manusia terinfeksi [I()]=.25 dan nyamuk terinfeksi [I v ()]=.

6 2 a. Model Asli I h (a) (b) (c) Gambar 3 Proporsi manusia peka, proporsi manusia terinfeksi dan proporsi nyamuk terinfeksi dengan = I h Gambar 4 Proporsi ketiga kelompok yakni,, dan pada Gambar 3, ditampilkan dalam 3 dimensi. Berdasarkan Gambar 3, proporsi awal manusia peka menuju nilai stabil yakni Proporsi manusia terinfeksi berosilasi berosilasi yang akhirnya menuju nilai stabil yakni.11. Proporsi nyamuk terinfeksi berosilasi yang akhirnya menuju nilai stabil yakni.48. Dari Gambar 3 menunjukkan bahwa solusi tersebut stabil dengan titik tetap endemik (.3576,.11,.48). Tipe kestabilan titik tetap tersebut ditampilkan dalam 3 dimensi pada Gambar 4 berbentuk spiral.

7 21 Pada Gambar 5, 6, dan 7 ditunjukkan pengaruh penurunan rata-rata gigitan terhadap proporsi manusia sehat, manusia terinfeksi dan nyamuk terinfeksi b=.58, =7.5 b=.29, = Gambar 5 Proporsi manusia peka dengan nilai rata-rata gigitan nyamuk (b) berbeda dan nilai parameter yang lain tetap..15 I h b=.58, =7.5 b=.29, = Gambar 6 Proporsi manusia terinfeksi dengan nilai rata-rata gigitan nyamuk (b) berbeda dan nilai parameter yang lain tetap..7.4 b=.58, =7.5 b=.29, = Gambar 7 Proporsi nyamuk terinfeksi dengan nilai rata-rata gigitan nyamuk (b) berbeda dan nilai parameter yang lain tetap.

8 22 Berdasarkan Gambar 5, 6, dan 7 ditunjukkan bahwa penurunan rata-rata gigitan nyamuk meningkatkan proporsi manusia peka, menurunkan proporsi manusia terinfeksi dan nyamuk terinfeksi. Penurunan rata-rata gigitan nyamuk menyebabkan waktu untuk mencapai stabil lebih lama dan nilai A semakin kecil. Hal ini menunjukkan penyebaran penyakit DBD semakin menurun. b. Model Modifikasi I h x (a) (b) (c) Gambar 8 Proporsi manusia peka, proporsi manusia terinfeksi, proporsi nyamuk terinfeksi dan = I h Gambar 9 Proporsi ketiga kelompok yakni,, dan pada Gambar 8, ditampilkan dalam 3 dimensi. Berdasarkan Gambar 8, proporsi manusia peka berosilasi menuju nilai yang stabil yakni Proporsi manusia terinfeksi dan proporsi nyamuk terinfeksi berosilasi yang akhirnya menuju nilai yang stabil yakni.115 dan.987. Dari Gambar 8 ditunjukkan bahwa solusi tersebut stabil dengan titik tetap endemik (.17887,.115,.987). Tipe kestabilan titik tetap tersebut ditampilkan dalam 3 dimensi pada Gambar 9 berbentuk spiral.

9 23 Pada Gambar 1, 11 dan 12, ditunjukkan pengaruh peningkatan peluang telur nyamuk terinfeksi terhadap proporsi manusia sehat, proporsi manusia terinfeksi dan proporsi nyamuk terinfeksi =.5, =5.34 =.7, = Gambar 1 Proporsi manusia peka berbeda. I h x nilai peluang telur nyamuk terinfeksi =.5, =5.34 =.7, = Gambar 11 Proporsi manusia terinfeksi terinfeksi berbeda. dengan nilai peluang telur nyamuk

10 24.4 =.5, =5.34 =.7, = Gambar 12 Proporsi nyamuk terinfeksi terinfeksi berbeda. dengan nilai peluang telur nyamuk Dari Gambar 1, 11 dan 12, ditunjukkan bahwa peningkatan peluang telur nyamuk terinfeksi mengakibatkan waktu untuk mencapai stabil lebih cepat dan nilai A semakin besar. Hal ini menunjukkan penyebaran penyakit DBD semakin mewabah. Peningkatan peluang telur nyamuk terinfeksi mengakibatkan proporsi manusia peka semakin kecil. Selanjutnya pengaruh perubahan ratarata gigitan dan peluang telur nyamuk terinfeksi terhadap proporsi manusia peka, manusia terinfeksi, dan nyamuk terinfeksi pada kondisi stabil dapat dilihat pada Gambar 13 dan (a) (b) (c) Gambar 13 Hubungan antara proporsi manusia peka, manusia terinfeksi, dan nyamuk terinfeksi, dengan rata-rata gigitan nyamuk per hari disimulasikan pada [.1, 2] step.1 (lihat lampiran 6). Berdasarkan Gambar 13 peningkatan rata-rata gigitan nyamuk, akan berakibat pada penurunan proporsi manusia peka, peningkatan proporsi manusia terinfeksi dan peningkatan proporsi nyamuk terinfeksi. Secara umum hubungan b I h x b b dengan b dilihat dari persamaan (16) bersifat tak linear. Proporsi manusia peka meningkat seiring dengan menurunnya proporsi populasi

11 25 manusia terinfeksi dan populasi nyamuk terinfeksi. Peningkatan rata-rata gigitan nyamuk menyebabkan meningkatnya proporsi manusia terinfeksi dan nyamuk terinfeksi. Peningkatan proporsi manusia terinfeksi sangat kecil (hampir tidak mengalami perubahan), sedangkan peningkatan proporsi bersifat linier e e (a) (b) (c) nyamuk terinfeksi Gambar 14 Hubungan proporsi manusia peka, manusia terinfeksi dan nyamuk terinfeksi dengan peluang transmisi virus dari nyamuk kepada telurnya disimulasikan pada [, 1] step.1 (lihat lampiran 7). Dari Gambar 14, ditunjukkan hubungan antara proporsi manusia peka dan peluang telur nyamuk terinfeksi pada kondisi stabil, diperoleh informasi semakin besar peluang telur nyamuk terinfeksi kecil. Peningkatan nilai I h x1 6 maka proporsi manusia peka semakin akan meningkatkan proprosi manusia terinfeksi yang sangat kecil (hampir tidak mengalami perubahan). Peningkatan nilai meningkatkan proprosi nyamuk terinfeksi, pada nilai terinfeksi dapat dilihat pada Lampiran 7. akan proporsi nyamuk Pada Gambar 15, 16, dan 17 ditunjukkan perbandingan model asli dan model modifikasi. Model asli adalah model penyebaran penyakit DBD dengan asumsi semua telur nyamuk sehat, sedangkan model modifikasi dengan asumsi sebagian telur nyamuk terinfeksi e

12 Model Asli, =5.29 Model Modifikasi, = Gambar 15 Proporsi manusia peka I h x pada model asli dan model modifikasi. Model Asli, =5.29 Model Modifikasi, = Gambar 16 Proporsi manusia terinfeksi pada model asli dan model modifikasi. Model Asli, =5.29 Model Modifikasi, = Gambar 17 Proporsi nyamuk terinfeksi modifikasi. pada model asli dan model

13 27 Berdasarkan Gambar 15, proporsi manusia peka model asli lebih besar dari model modifikasi. Pada saat proporsi manusia sehat model asli.35756, sedangkan untuk model modifikasi Gambar 16 menunjukkan proporsi manusia terinfeksi pada model asli lebih kecil dari model modifikasi,yaitu.113 dan.115. Gambar 17 menunjukkan bahwa proporsi nyamuk terinfeksi model modifikasi dua kali lebih besar dari model asli, yaitu.987 dan.485. Waktu untuk mencapai stabil model modifikasi lebih cepat dari model asli. Nilai A model modifikasi lebih besar dari model asli. Jadi asumsi sebagian telur nyamuk terinfeksi berpengaruh pada penyebaran penyakit DBD. c. Model dengan Pengaruh Musim t I h t (a) (b) (c) Gambar 18 Proporsi manusia peka, proporsi manusia terinfeksi dan proporsi nyamuk terinfeksi, dengan, serta nilai parameter yang lain tetap. I h.1.4 Gambar 19 Proporsi ketiga kelompok yakni,, dan pada Gambar 18, ditampilkan dalam 3 dimensi.

14 I h x (a) (b) (c) Gambar 2 Proporsi manusia peka, proporsi manusia terinfeksi dan proporsi nyamuk terinfeksi () dengan,. I h Gambar 21 Proporsi ketiga kelompok yakni,, dan pada Gambar 2, ditampilkandalam 3 dimensi. Dari Gambar 18 dan 2 proporsi populasi manusia peka berosilasi terus menuju pada nilai yang periodik. Proporsi manusia terinfeksi dan nyamuk terinfeksi turun selanjutnya naik berosilasi menuju pada nilai yang periodik. Semakin besar ukuran pengaruh keragaman musim pada masa inkubasi ekstrinsik, perilaku osilasi akan berubah lebih besar. Gambar 19 dan 21 merupakan tampilan 3 dimensi dari Gambar 18 dan 2 yang menunjukkan bahwa pengaruh musim membuat perilaku model bersifat periodik. Pada Gambar 22 ditunjukkan perbandingan perilaku model modifikasi dan model dengan pengaruh musim.

15 (a) (b) (c) Gambar 22 Proporsi manusia peka, proporsi manusia terinfeksi dan proporsi nyamuk terinfeksi () dengan, serta nilai parameter yang lain tetap. Gambar 22 menunjukkan perbedaan perilaku model modifikasi dengan model dengan pengaruh musim. Model modifikasi setelah berosilasi akhirnya menuju stabil, sedangkan pada model dengan pengaruh musim tetap berosilasi yang bersifat periodik. Dari seluruh hasil simulasi dapat dilihat perbedaan dinamik yang terjadi pada model. Nilai yang tidak berubah menurut waktu dengan asumsi sebagian telur nyamuk terinfeksi lebih kecil dari nilai I h x dengan asumsi semua telur nyamuk sehat dan nilai hampir sama, sedangkan nilai lebih besar. Penurunan rata-rata gigitan nyamuk perhari mengakibatkan periode osilasi dan waktu untuk mencapai stabil lebih lama. Peluang telur nyamuk terinfeksi yang semakin besar menyebabkan turunnya proporsi manusia sehat, meningkatnya proporsi manusia terinfeksi dan nyamuk terinfeksi. Pengaruh perubahan musim membuat perilaku model bersifat periodik Model musim Model modifikasi