BAB II KAJIAN TEORI. digunakan pada bab pembahasan. Teori-teori ini digunakan sebagai bahan acuan

Transkripsi

1 BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Teori-teori ini digunakan sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang akan dibahas antara lain pengertian campak, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik kesetimbangan, linearisasi, analisis kestabilan, nilai eigen dan vektor eigen, pemodelan matematika, model epidemik SEIR (susceptible-exposed-infected- Recovered, dan bilangan reproduksi dasar. A. Campak 1. Pengertian Campak Penyakit campak adalah salah satu penyakit menular yang masih menjadi masalah kesehatan pada bayi dan anak dan merupakan penyakit yang dapat dicegah dengan imunisasi. Penyakit ini menjadi salah satu penyebab utama kematian di kalangan anak-anak di dunia, meskipun tersedia vaksin yang aman dan efektif. Secara umum, penyakit ini menyerang anak berumur di bawah 5 tahun (balita. Menurut WHO, pada tahun 2013, sekitar orang meninggal akibat campak, sekitar 400 kematian setiap hari atau 16 kematian setiap jam dan sebagian besar terjadi pada anak-anak di bawah usia 5 tahun. Sampai saat ini cara yang efektif untuk mencegah penyakit campak yaitu dengan imunisasi. Selama tahun 2000 sampai 2013, imunisasi campak 7

2 berhasil menurunkan 15,6 juta (75% kematian akibat campak di seluruh dunia (WHO, 2015 Campak disebabkan oleh virus yang bernama paramiksovirus. Penularan terjadi melalui percikan ludah dari hidung, mulut maupun tenggorokan penderita campak. Masa inkubasi adalah hari sebelum gejala muncul. Gejala penyakit campak ditandai dengan demam, batuk, pilek dan bercak-bercak merah pada permukaan kulit 3 5 hari setelah anak menderita demam. Bercak mula-mula timbul dipipi bawah telinga yang kemudian menjalar ke muka, tubuh dan anggota tubuh lainnya. Komplikasi dari penyakit Campak ini adalah radang paru-paru, infeksi pada telinga, radang pada saraf, radang pada sendi dan radang pada otak yang dapat menyebabkan kerusakan otak yang permanen. (Suparyanto, Pencegahan penyakit campak adalah dengan cara menjaga kesehatan dengan makanan yang sehat, berolah raga yang teratur, istirahat yang cukup, dan melakukan imunisasi. Pemberian Imunisasi akan menimbulkan kekebalan aktif dan bertujuan untuk melindungi terhadap penyakit campak. (Suparyanto,2014. Kekebalan terhadap campak diperoleh setelah vaksinasi, infeksi aktif dan kekebalan pasif pada seorang bayi yang lahir dari ibu yang telah kebal (berlangsung selama 1 tahun. Orang-orang yang rentan terhadap campak adalah bayi berumur lebih dari 1 tahun, bayi yang tidak mendapatkan 8

3 imunisasi, remaja dan dewasa muda yang belum mendapatkan imunisasi kedua (Suparyanto, Campak di Sleman Menurut Profil Kesehatan Indonesia (2012, Indonesia merupakan Negara ASEAN yang memiliki kasus penyakit campak terbanyak dengan jumlah kasus, urutan kedua terbanyak adalah Thailand dengan kasus, sedangkan 8 negara ASEAN lainnya memiliki jumlah lebih sedikit dan tidak lebih dari kasus. Berdasarkan World Health Statistic, WHO (2013, di Indonesia ada kematian anak-anak di bawah usia 5 tahun dan 5% nya disebabkan karena penyakit campak. Berdasarkan Pusat Data dan Informasi Kesehatan Provinsi D.I. Yogyakarta (2015, campak masih menjadi penyakit menular yang memiliki kasus tertinggi di DIY. Pemberian imunisasi bagi bayi dengan usia 9 bulan mencapai 96.7%, kendati demikian, penyakit campak masih banyak terjadi di Yogyakarta. Untuk regional Jawa-Bali, cakupan imunisasi campak untuk D.I. Yogyakarta tergolong tinggi. Namun di Provinsi DIY sendiri, cakupan imunisasi di Kabupaten Sleman tergolong rendah, yaitu dibawah Kulon Progo, Kota Yogyakarta, dan Bantul. Berdasarkan profil kesehatan tahun 2015 Kabupaten Sleman, terdapat 104 kasus campak di Sleman. Pada umumnya, penyakit campak menyerang anak berusia 5-10 tahun. Pencegahan penyakit campak dilakukan dengan 9

4 memberikan imunisasi campak pada bayi berusia 9 bulan, dan menghindari kontak dengan penderita campak karena penularan terjadi melalui percikan ludah dari hidung, mulut maupun tenggorokan dari penderita campak. B. Pemodelan Matematika Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang digunakan untuk mempresentasikan dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau problem pada dunia nyata dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:1. Representasi matematika yang dihasilkan dari pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Menurut Widowati dan Sutimin (2007:3 beberapa tahap dalam menyusun model matematika dapat dinyatakan dalam Gambar 2.1. Masalah Nyata Problem Dunia Real Problem Matematika Masalah Matematika Membuat Asumsi Formulasi Persamaan/pe rtidaksamaan Solusi Dunia Real Interpretasi Solusi Penyelesaian Persamaan/pertid aksamaan Bandingkan Data Gambar 2.1 Proses Pemodelan 10

5 Gambar 2.1 menggambarkan perumusan perilaku atau fenomena di dunia nyata yang dibawa ke dalam bentuk matematis dengan menentukan asumsiasumsi yang tepat sesuai masalah nyata, sehingga dapat dibentuk suatu model matematika. Langkah-langkah dalam mengkonstruksi model matematika sebagai berikut: i. Identifikasi Masalah Mengidentifikasi masalah adalah mengidentifikasi apa yang akan dikerjakan dan diselesaikan. Langkah ini meliputi identifikasi variabelvariabel apa saja yang terlibat atau yang menggambarkan fenomena yang terjadi, membentuk beberapa hubungan antara variabel-variabel ini. Menjabarkan variabel-variabel dan sistem menjadi model matematika. ii. Merumuskan Asumsi Langkah ini meliputi membuat asumsi tentang model matematika. Asumsi ini secara esensial mencerminkan bagaimana proses berfikir sehingga model dapat berjalan. iii. Membuat Formulasi Persamaan/pertidaksamaan Berdasarkan variabel-variabel dan asumsi-asumsi yang telah dibuat sehingga dapat dibentuk suatu persamaan atau pertidaksamaan yang menggambarkan masalah yang ada dalam dunia nyata. Langkah selanjutnya akan melibatkan suatu usaha memformulasikan persamaan atau sekumpulan persamaan untuk menyelesaikan hubungan ini. Langkah ini merupakan langkah yang paling penting. Terkadang perlu adanya pengujian kembali 11

6 asumsi-asumsi agar dapat dibentuk formulasi yang sesuai sehingga dapat diselesaikan dan hasilnya realistik. iv. Menyelesaikan Formulasi Persamaan/pertidaksamaan Setelah terbentuk formulasinya, langkah selanjutnya adalah menyelesaikan formulasi tersebut. Perlu kehati-hatian dan fleksibilitas dalam proses pemodelan secara menyeluruh. Seiring dengan kemajuan teknologi informasi, penyelesaiannya dapat diperoleh dengan menggunakan software matematika, yang memudahkan mendaptakan solusi. v. Menginterpretasikan solusi matematis ke dalam dunia nyata Langkah ini akan menghubungkan penyelesaian formulasi matematika ke problem dunia nyata. Ini dapat dilakukan dalam berbagai cara. Dari sinilah akan dihasilkan suatu kesimpulan atau keputusan yang dalam penyelesaian masalah dunia nyata merupakan suatu hal yang sangat penting. C. Persamaan Diferensial Model matematika penyebaran penyakit campak berbentuk persamaan diferensial. Oleh karena itu, salah satu teori yang akan dikaji dalam bab ini adalah Persamaan Diferensial. diantaranya : Berikut ini merupakan definisi mengenai persamaan diferensial, 12

7 Definisi 2.1 (Ross, 1984:4 Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan jumlah variabel bebas yang terlibat, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Definisi 2.2 (Ross,1984:4 Persamaan diferensial biasa yaitu suatu persamaan diferensial yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas. Contoh 2. 1 Diberikan beberapa contoh persamaan diferensial biasa yaitu: (2.1a (2.1b Berdasarkan Definisi (2.2, maka Persamaan (2.1a dan (2.1b merupakan persamaan diferensial biasa karena melibatkan satu variabel bebas yaitu. 13

8 Definisi 2. 3 (Ross, 1984:4 Persamaan diferensial parsial yaitu suatu persamaan diferensial yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas. Contoh 2. 2 Contoh persamaan diferensial parsial: (2.2a (2.2b Berdasarkan Definisi (2.3, maka Persamaan (2.2a dan (2.2b merupakan persamaan diferensial parsial karena melibatkan dua variabel bebas yaitu dan. D. Orde Persamaan Diferensial Orde suatu persamaan diferensial didefinisikan sebagai orde tertinggi dari turunan yang terkandung dalam persamaan diferensial tersebut. Secara umum persamaan diferensial dituliskan dalam bentuk (2.3 14

9 Persamaan (2.3 adalah persamaan diferensial orde ke-n. Persamaan (2.3 merepresentasikan relasi antara peubah tak bebas. 1. (Persamaan Diferensial orde 1 2. (Persamaan Diferensial orde 2 E. Sistem Persamaan Diferensial Sistem persamaan diferensial adalah kumpulan dari beberapa persamaan diferensial. Diberikan vektor dengan dan dan adalah himpunan terbuka dari n. Fungsi dengan dan dimana adalah himpunan semua fungsi yang mempunyai turunan pertama yang kontinu di. Jika = menyatakan turunan pertama terhadap, maka sistem persamaan diferensial dapat dituliskan menjadi, (2.4 Sistem (2.4 dapat dituliskan menjadi 15

10 (2.5 Berdasarkan kelinearannya sistem persamaan diferensial dibedakan menjadi dua yaitu sistem persamaan diferensial linear dan sistem persamaan diferensial nonlinear. 1. Sistem Persamaan Diferensial Linear Sistem persamaan diferensial linear orde satu dapat muncul dalam masalah yang melibatkan beberapa variabel tak bebas dan variabel bebas. Jika = menyatakan turunan pertama terhadap, secara umum, sistem persamaan diferensial linear orde satu dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut : (2.6 Jika setiap fungsi adalah fungsi nol, maka Sistem (2.6 disebut sistem persamaan diferensial linear homogen, sedangkan jika tidak bernilai nol, maka Sistem (2.6 disebut sistem persamaan diferensial nonhomogen. Notasi matriks Sistem (2.6 dapat ditulis sebagai berikut: 16

11 [ ] [ ] [ ] [ ] atau dapat dinyatakan dalam persamaan berikut (2.7 dengan [ ] [ ] Contoh 2. 4 Berikut diberikan contoh sistem persamaan diferensial linear. (2.8 Sistem persamaan diferensial (2.8 merupakan persamaan diferensial linear homogen. 17

12 2. Sistem Persamaan Diferensial Non linear Definisi 2. 4 (Ross, 1984:5 Persamaan diferensial biasa nonlinear adalah persamaan diferensial biasa yang tidak linear. Suatu persamaan diferensial dikatakan nonlinear jika memenuhi salah satu sebagai berikut (Ross, 1984:5. a. Memuat variabel tak bebas dan/atau turunannya yang berpangkat selain satu. b. Terdapat perkalian dari variabel tak bebas dan/atau turunan-turunannya. c. Terdapat fungsi transedental dari variabel tak bebas dan turunanturunannya. Contoh 2. 5 Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear: ( (2.9a (2.9b (2.9c 18

13 a. Persamaan (2.9a merupakan persamaan diferensial nonlinear, karena terdapat variabel tak bebas yang berpangkat dua dan turunannya yang berpangkat dua (. b. Persamaan (2.9b merupakan persamaan diferensial nonlinear, karena terdapat fungsi transenden (. c. Persamaan (2.9c merupakan persamaan diferensial nonlinear karena terdapat perkalian variabel tak bebas dan turunannya. Sistem persamaan diferensial dikatakan nonlinear, jika persamaan diferensial yang membentuknya merupakan persamaan diferensial nonlinear. Contoh 2. 6 Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut (2.10 Sistem (2.10 merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear dengan variabel bebas dan variabel tak bebas dan. Sistem (2.10 adalah sistem persamaan diferensial nonlinear karena memuat persamaan diferensial nonlinear yaitu terdapat perkalian dari variabel tak bebasnya. 19

14 F. Solusi Persamaan Diferensial Definisi 2.5 (Ross, 2010:8 Diberikan suatu persamaan diferensial orde-n berikut : [ ] (2.11 Dengan F adalah fungsi real, 1. Misalkan adalah fungsi bilangan real yang terdefinisi untuk semua dalam interval dan mempunyai turunan ke- n untuk semua. Fungsi disebut solusi eksplisit dari Persamaan diferensial (2.11 dalam interval jika fungsi memenuhi syarat berikut a. terdefinisi b. Hal ini berarti bahwa substitusi dan variasi turunan dan turunannya yang berkorespondensi ke persamaan (2.11 akan membuat Persamaan (2.11 menjadi suatu identitas di interval I. 2. Suatu relasi disebut solusi implisit dari Persamaan (2.11 jika relasi ini mendefinisikan sedikitnya satu fungsi bilangan real dengan variabel di interval. 3. Solusi eksplisit dari solusi implisit biasa disebut sebagai solusi sederhana 20

15 Contoh 2.7 Contoh persamaan diferensial dan solusinya Maka solusinya adalah G. Titik Kesetimbangan Titik kesetimbangan menjadi salah satu pembahasan dalam bab ini karena titik kesetimbangan diperlukan dalam proses analisis penyebaran penyakit campak. Definisi 2. 6 (Wiggins, 2003:5 Diberikan Sistem persamaan diferensial x = (x. Titik disebut titik kesetimbangan dari = f(x. jika memenuhi ( Contoh 2. 8 Akan dicari titik kesetimbangan dari Sistem (2.10 sebagai berikut, 21

16 Menurut definisi (2.5 titik kesetimbangan ( dari Sistem (2.10 dapat diperoleh jika (. Akan dicari titik kesetimbangan dari Sistem (2.10 sedemikian, sehingga ( dan (. dengan ( ( Untuk ( ( atau a. Jika disubstitusikan ke persamaan (, maka diperoleh Jadi, diperoleh titik kesetimbangan pertama yaitu. b. Jika disubstitusikan ke persamaan ( maka diperoleh 22

17 Jadi, titik kesetimbangan kedua diperoleh (. Berdasarkan hasil yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa Sistem (2.10 memiliki dua titik kesetimbangan yaitu dan (. Titik kesetimbangan dapat diklasifikasikan menjadi dua yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik penyakit. Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah adalah kesetimbangan saat kelas terinfeksi nol atau saat penyakit tidak menyebar dalam populasi. Titik kesetimbangan endemik penyakit adalah titik kesetimbangan saat kelas terinfeksi tidak nol atau saat penyakit menyebar dalam populasi. 23

18 H. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Nilai eigen digunakan untuk mengetahui kestabilan dari suatu sistem persamaan diferensial. Definisi 2. 7 (Anton, 1998 Jika merupakan matriks berukuran n n, maka vektor tak nol di dalam disebut vektor eigen dari. Jika adalah kelipatan skalar dari, maka untuk suatu skalar. Skalar disebut nilai eigen (eigenvalue dari, sedangkan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan. Untuk mencari nilai eigen dari matriks yang berukuran n n, maka ditulis kembali sebagai, dimana adalah matriks identitas atau secara ekivalen dapat ditulis : (2.11 Agar dapat menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan (2.11, sehingga persamaan tersebut memiliki pemecahan tak nol jika dan hanya jika: (2.12 Persamaan (2.12 disebut persamaan karakteristik dari, skalar persamaan tersebut adalah nilai eigen dari. Determinan ( merupakan polinom yang disebut polinom karakteristik dari. (Anton,

19 Definisi 2. 8 (Campbell & Haberman 2008:142 Jika salah satu akar polinom karakteristik bernilai nol dan akar lainnya bernilai positif maka sistem nonlinier tidak stabil. Jika salah satu akar polinom karakteristik bernilai nol dan akar lainnya bernilai negatif maka sistem nonlinier dapat stabil atau tidak stabil bergantung pada unsur nonlinier yang diabaikan. I. Linierisasi Linearisasi diperlukan karena bentuk model matematika penyebaran penyakit campak adalah persamaan diferensial nonlinear. Linearisasi adalah proses mentransformasi sistem persamaan diferensial nonlinear ke bentuk persamaan diferensial linear. Proses ini dilakukan dengan linearisasi disekitar titik kesetimbangan. Definisi 2.9 (Campbell & Haberman, 2008:150. Linierisasi merupakan proses hampiran persamaan diferensial tak linier dengan persamaan linier. Contoh 2.9 Diberikan sistem persamaan diferensial berikut : (2.13 (

20 Dimana dan tak linear, jika merupakan titik kritis dari sistem (2.13 dan (2.14 maka : dengan menggunakan aproksimasi Taylor, persamaan (2.13 dan (2.14 dapat dilinierkan sehingga diperoleh : Karena adalah titik kesetimbangan, maka dan Persamaan (2.13 dan (2.14 dapat diaproksimasi dan menyerupai sistem linier dari persamaan diferensial: (2.15 (2.16 Pergantian dari titik kesetimbangan yang dilakukan untuk persamaan order pertama, yaitu dan konstan, maka persamaan diatas menjadi : (2.17 (

21 Dimana konstan, sehingga. Persamaan (2.17 dan (2.18 merupakan sistem linear homogen, dengan menggunakan matrik perkalian, persamaan (2.17 dan (2.18 dapat ditulis : * + [ ] * + (2.19 Notasi matrik sangat efektif dalam hal ini, matrik yang elemen-elemennya berupa turunan pertama disebut matrik Jacobian. Matriks Jacobian [ ] (2.20 Sebuah matrik harus dievaluasi pada titik kesetimbangan. Matrik pergantian dari titik kesetimbangan adalah * + * +, sehingga persamaan (2.20 dapat ditulis menjadi dimana adalah matrik konstan yang diperoleh dari mengevaluasi matrik Jacobian pada titik kesetimbangan: [ ] * + 27

22 J. Analisis Kestabilan Analisis kestabilan dilakukan untuk mengetahui apakah suatu penyakit menyebar atau menghilang dari suatu populasi, sehingga dapat dilakukan tindakan lebih lanjut. Kestabilan titik kesetimbangan dari suatu sistem persamaan diferensial baik linear maupun nonlinear diberikan dalam definisi berikut. Definisi (Olsder and Woude, 2004: 53 Diberikan sistem persaman diferensial orde satu dengan dan ( adalah solusi persamaan tersebut pada saat t dengan kondisi awal (i Vektor yang memenuhi dikatakan sebagai titik ekuilibrium. (ii Titik kesetimbangan dikatakan stabil jika untuk setiap, terdapat sedemikian sehingga jika (dengan adalah norm pada, maka untuk. (iii Titik kesetimbangan dikatakan stabil asitotik jika titik kesetimbangannya stabil dan terdapat sedemikian sehingga, bila. (iv Titik kesetimbangan dikatakan tidak stabil jika titik kesetimbangan tersebut tidak memenuhi (ii. 28

23 Definisi (2.10 disimulasikan pada Gambar 2.2 x t x x ε δ x t x δ δ x ε ε δ x x x t Gambar 2.2 Ilustrasi Kestabilan Diberikan penjelasan mengenai sifat kestabilan suatu sistem yang dilihat dari nilai eigen untuk mempermudah dalam menganalisis kestabilan di sekitar titik kesetimbangan. Penjelasan tersebut dijelaskan dalam Teorema 2.2 berikut, Teorema 2.2 (Olsder and Woude, 2004: 58 Diberikan sistem persamaan diferensial, dengan suatu matriks berukuran n n mempunyai nilai eigen berbeda dengan n. (i Titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika untuk. (ii Titik kesetimbangan dikatakan stabil jika dan hanya jika untuk dan jika setiap nilai eigen imajiner dengan, maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus sama. (iii Titik kesetimbangan dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat paling sedikit satu untuk. 29

24 Bukti : (i Akan dibuktikan bahwa jika titik kesetimbangan stabil asimtotik, maka untuk. Berdasarkan definisi (2.10, titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotik jika. Hal ini berarti bahwa untuk akan menuju. Karena merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka memuat. Oleh karena itu, supaya menuju, maka haruslah bernilai negatif. Akan dibuktikan bahwa jika untuk maka titik kesetimbangan stabil asimtotik. merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka selalu memuat. Jika, maka untuk akan menuju. Berdasarkan definisi (2.10, titik kesetimbangan stabil asimtotik. (ii Akan dibuktikan bahwa titik kesetimbangan stabil, maka untuk. Andaikan, maka solusi persamaan diferensial yang selalu memuat akan menuju (menjauh dari titik 30

25 kesetimbangan untuk, sehingga sistem tidak stabil. Hal ini sesuai dengan kontraposisi pernyataan jika titik kesetimbangan stabil, maka untuk. Jadi terbukti bahwa jika titik kesetimbangan stabil, maka untuk Akan dibuktikan bahwa jika untuk, maka titik kesetimbangan stabil dan jika ada, maka multiplisitas aljabar dan geometri harus sama. Penyelesaian merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka selalu memuat. Jika, maka titik kesetimbangan stabil asimtotik (pasti stabil. Jika, maka nilai eigen berupa bilangan kompleks murni. Multiplisitas aljabar berhubungan dengan nilai eigen sedangkan geometri berhubungan dengan vektor eigen. Oleh karena itu, akan dibuktikan bahwa banyak nilai eigen dan vektor eigen adalah sama. Tanpa mengurangi pembuktian secara umum, diambil sebarang sistem pada yang mempunyai nilai eigen bilangan kompleks murni. Diambil sistem sebagai berikut [ ] * + * +, dengan, (2.21 a. Akan ditentukan nilai eigen dari sistem (

26 * + * + * + Diperoleh persamaan karakteristik Akar dari persamaan (2.20 adalah atau b. Vektor Eigen Berdasarkan definisi, adalah vektor eigen dari yang bersesuaian dengan jika dan hanya jika adalah pemecahan nontrivial dari ( * + * + * + (2.22 Untuk maka persamaan (2.22 menjadi [ ] * + * + (2.23 Matriks augmented dari sistem (2.23 yaitu [ ] baris pertama dikali dengan ( 32

27 [ ] baris kedua dikali dengan kemudian dikurangi dengan baris pertama [ ] Diperoleh Misal, maka * + [ ], diambil diperoleh * + [ ] Oleh karena itu, vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah [ ] (iii Akan dibuktikan bahwa jika titik kesetimbangan tidak stabil, maka terdapat paling sedikit satu untuk Titik kesetimbangan tidak stabil, jika untuk solusi persamaan diferensial akan menuju. Hal ini dapat terpenuhi jika terdapat paling sedikit satu. 33

28 Diketahui bahwa jika terdapat paling sedikit satu maka solusi persamaan diferensial yang memuat akan menuju. Oleh karena itu, titik kesetimbangan tidak stabil K. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode yang digunakan untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar secara langsung. Jika persamaan polinom adalah persamaan karakteristik, maka metode ini dapat digunakan untuk menentukan kestabilan dari suatu sistem. Prosedurnya adalah sebagai berikut: a. Persamaan polinom orde n ditulis dalam bentuk: dengan koefisien-koefisien adalah bilangan riil dan. b. Bila ada koefisien yang bernilai 0 atau negatif disamping adanya koefisien positif, maka hal ini menunjukkan ada satu akar atau akar-akar imajiner atau memiliki bagian real positif (sistem tak stabil. Kondisi perlu (tetapi belum cukup untuk stabil adalah semua koefisien persamaan polinom positif dan lengkap. 34

29 c. Bila semua koefisien positif, lalu buat tabel Routh seperti pada Tabel 2.1 berikut. Tabel 2.1 Tabel Routh Variabel Koefisien Dengan koefisien-koefisien : 35

30 d. Banyaknya akar tak stabil dapat dilihat dari banyaknya perubahan tanda pada kolom pertama tabel Routh. e. Syarat perlu untuk stabil adalah semua koefisien persamaan karakteristik positif dan syarat cukup untuk stabil adalah semua suku pada kolom pertama tabel Routh bertanda positif. Kriteria Routh-Hurwitz tidak dapat menjelaskan bagaimana memperbaiki kestabilan relatif atau bagaimana menstabilkan sistem tak stabil, tetapi dapat digunakan untuk menentukan batas penguatan suatu sistem agar masih stabil (Wahab W. & Subiantoro A, Tanpa Tahun. L. Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan banyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular individu infektif primer yang berlangsung di dalam populasi susceptible. Bilangan repdroduksi dasar merupakan parameter penentu kestabilan dari titik-titik kesetimbangan model, dan dinotasikan dengan lambang. Titik kritis berkisar 1, jika < 1 maka ratarata populasi yang terifeksi berkurang atau menghilang dari populasi atau infeksi tersebut akan berkurang atau menghilang dari populasi. Jika > 1, maka infeksi akan membesar atau meningkat pada suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar 36

31 dapat diperoleh dengan menentukan nilai eigen dari matriks jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit. Cara lain dalam menentukan bilangan reproduksi dasar adalah dengan menggunakan metode matriks next generation. Pada metode matriks next generation didefinisikan sebagai nilai eigen terbesar dari matriks next generation. Formasi ini terdiri dari 2 kelas dari model yaitu terinfeksi dan tidak terinfeksi. Diasumsikan terdapat n kelas tidak terinfeksi dan m kelas terinfeksi. Selanjutnya dimisalkan sebagai subpoulasi kelas terinfeksi dan sebagai subpopulasi yang tidak terinfeksi, dan dan untuk m n, sehingga dengan m (2.24, dengan n (2.25 dengan adalah matriks dari individu yang masuk dan menambah banyaknya individu yang masuk ke kelas terinfeksi, dan adalah matriks dari laju peningkatan jumlah individu yang keluar dari kelas terinfeksi yang menyebabkan berkurangnya jumlah individu pada kelas terinfeksi. adalah Didefinisikan matriks next generation H dari Persamaan (2.23 dan (2.24 dengan (

32 { } m dan { } n Didefinisikan bilangan reproduksi dasar sebagai nilai eigen terbesar dari matiks next generation H adalah Contoh 2. 9 Diberikan sistem persamaan diferensial berikut (2.27 dengan ( menyatakan populasi individu rentan pada saat, ( menyatakan populasi individu terinfeksi pada saat t. Sistem (2.27 mempunyai titik kesetimbangan bebas penyakit Matriks next generation dapat diperoleh dari kelas, sehingga kelas dapat dituliskan sebagai berikut dengan 38

33 dan Hasil linearisasi dari dan masing-masing adalah dan. Matriks next generationnya sebagai berikut [ ] [ ] [ ] (2.28 Substitusikan titik kesetimbangan bebas penyakit ke Persamaan (2.27 diperoleh [ ] Maka diperoleh nilai dari sistem (2.27 adalah [ ] (Sri, Rejeki Analisis Penyebaran Penyakit Diare sebagai Salah Satu Penyebab Kematian pada Balita Menggunakan Model Matematika SIS (Susceptible-Infected-Susceptible. Skripsi. UNY. Yogyakarta. M. Model SIR (Susceptible-Infected-Recovered SIR merupakan model epidemik yang memiliki karakteristik bahwa setiap individu rentan terhadap suatu penyakit yang dinotasikan dengan (Susceptible, individu yang sudah terinfeksi penyakit dinotasikan (Infected dan individu yang telah sembuh serta memiliki kekebalan (imun terhadap penyakit dinotasikan dengan (Recovered (Hardiningsih, Model SEIR (Susceptible-Exposed- Infected-Recovered 39

34 Gambar 2.3 dibawah ini adalah kompartemen dari model SIR klasik. S(t βsi I(t γi R(t γi Gambar 2.3 Kompartemen model SIR klasik Sehingga formulasi untuk model SIR klasik pada Gambar 2.3 adalah sebagai berikut: Penurunan dari model SIR diperlukan asumsi-asumsi, sebagai berikut : a. Populasi konstan, b. Individu lahir dan imigrasi merupakan individu sehat tetapi rentan terinfeksi penyakit, c. Populasi homogen, d. Masa inkubasi penyakit diabaikan, e. Hanya terdapat satu macam penyebaran penyakit infeksi, f. Individu yang sembuh dari penyakit infeksi tidak akan terinfeksi lagi (Hetchcote, Probabilitas penularan dinotasikan, dengan dimana adalah jumlah individu yang melakukan kontak efektif dengan setiap orang dalam suatu 40

35 populasi selama periode infectious, merupakan rata-rata durasi infektivitas dan merupakan jumlah populasi. Kemudian untuk adalah rata-rata jumlah kontak efektif dengan populasi infected per satuan waktu, adalah laju perpindahan dari kompartemen susceptible ke infected, adalah laju kesembuhan dan adalah laju perpindahan dari kompartemen infected ke recovered. (Setyawan,