IV PEMBAHASAN. jika λ 1 < 0 dan λ 2 > 0, maka titik bersifat sadel. Nilai ( ) mengakibatkan. 4.1 Model SIR

Transkripsi

1 9 IV PEMBAHASAN 4.1 Model SIR Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular an ) sehingga dari persamaan 2) diperoleh : - si + s = 0 9) si + )i = 0 didapat titik tetap yaitu E 0 = 1, 0) dan E 1 = ) = Dengan menggunkan Software Maple 12 dan parameter yang digunakan,, dan diperoleh nilai titik tetap yaitu E 0 = 1, 0) dan E 1 = 0.5, 0.4). E 0 merupakan titik tetap tanpa penyakit dan E 1 merupakan titik tetap endemik Konstruksi Matriks Jacobi untuk Model SIR Dari Persamaan 2) akan diperoleh matriks jacobi sebagai berikut; [ ] [ ) ] 10) Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SIR Titik tetap E 0 = 1, 0) disubstitusikan ke dalam persamaan 10) sehingga akan diperoleh sebagai berikut; [ ] Untuk memperoleh nilai eigen dari matrik jacobi di atas maka J λi = 0, sehingga diperoleh nilai eigen, yaitu; -μ-λ) ) = 0 Didapat nilai eigen sebagai berikut; λ 1 = -μ < 0 λ 2 = untuk dan λ j < 0 j =1, 2), nilai λ 1 = -μ < 0 dan λ 2 < 0 maka < 0. Jika λ 1 = -μ < 0 dan λ 2 < 0 maka titik bersifat stabil dan jika λ 1 < 0 dan λ 2 > 0, maka titik bersifat sadel. Nilai mengakibatkan Oleh karena itu, titik akan stabil asimptotik untuk. Namun, jika nilai maka titik akan tidak stabil. Dengan nilai dan diperoleh maka dapat disimpulkan bahwa titik E 0 = 1, 0) tidak stabil asimptotik. Kestabilan sistem di titik tetap E 1 Tititk tetap E 1 = ) disubstitusikan pada persamaan 10), maka akan diperoleh matriks jacobinya sebagai berikut ini; [ Untuk memperoleh nilai eigen dari matriks jacobi di atas maka J λi = 0, sehingga diperoleh nilai eigen yaitu; λ = Jika nilai bersifat stabil, ] + maka titik E 1 jika nilai maka E 1 bersifat sadel. Nilai maka titik E 1 = ) adalah titik stabil asimptotik Bilangan Reproduksi untuk model SIR R 0 dari model SIR diperoleh sebagai berikut; persamaan di atas setelah dilinearisasi diperoleh sebagai berikut; 11)

2 10 R 0 = ) Orbit dan Kestabilan Sistem Model SIR Orbit kestabilan diperoleh dengan menggunakan Software Maple 12 sehingga diperoleh bentuk orbit seperti di bawah ini. Dengan memilih nilai-nilai parameter sebagai berikut: = 0.5, β = 0.8, μ = 0.4 dan ξ = Hal ini berimplikasi. Titik tetap yang diperoleh adalah yang bersifat tak stabil dan yang bersifat stabil. Orbit disajikan sebagai berikut. Gambar 6. Dinamika populasi S, I, dan R menurut waktu tahun) Gambar 6 merupakan bidang solusi untuk S, I dan R yang menuju titik tetap stabil bila dimasukkan nilai awal S = 0.8, I = 0.2 dan R = 0 sehingga menuju titik E 1 s, i) = 0.54, 0.43). Seiring berjalannya waktu proporsi kelompok individu S akan semakin berkurang. Hal ini terjadi karena kelompok individu S terinfeksi oleh penyakit campak measles) dan memasuki kelompok individu I. Pada waktu tertentu proporsi individu pada kelompok S tidak mengalami perubahan dan mencapai kondisi setimbang. Pada proporsi kelompok individu I mengalami kenaikkan dari keadaan awal, Kenaikkan jumlah individu I terjadi karena adanya tambahan individu dari individu S yang terinfeksi virus. Proporsi individu R mengalami kenaikkan, hal ini disebabkan oleh adanya kelompok individu I yang sembuh dari penyakit sehingga akan memasuki kelompok individu R. 4.2 Model SIR vaksinasi Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular an ), sehingga dari persamaan 4) diperoleh : - μ s = 0 Gambar 5. Orbit kstabilan model SIR dibidang SI Pada gambar 5 di atas terlihat bahwa orbitnya menuju titik E 1. Oleh karena itu, titik tetap endemik bersifat stabil asimptotik. Hal tersebut menunjukkan bahwa ada individu I yang dapat menyebarluaskan penyakit campak measles) sehingga kelompok individu S terinfeksi penyakit. si i = 0 12) Di dapat nilai titik tetap yaitu E 0 s, i) =, 0) dan E 1 s, i) = ) = ). Dengan menggunakan Software Maple 12 dan parameter yang digunakan,,, dan μ = 0.4 diperoleh nilai titik tetap yaitu E 0 s, i) = 0.5, 0) dan E 1 s, i) = 0.54, -0.03). E 0 merupakan titik tetap tanpa penyakit dan E 1 merupakan titik tetap endemik Konstruksi Matriks Jacobi untuk Model SIR vaksinasi Dari Persamaan 4) akan diperoleh matriks jacobi sebagai berikut; [ ] [ ]

3 11 13) Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SIR vaksinasi Titik tetap E 0 =, 0) disubstitusikan ke dalam persamaan 13) sehingga akan diperoleh; [ ] Untuk memperoleh nilai eigen dari matriks jacobi di atas maka J λi = 0, sehingga diperoleh nilai eigen yaitu; -μ-λ) ) = 0 λ 1 = -μ < 0 λ 2 = Jika λ i < 0 untuk i = 1,2. Nilai μ > 0 mengakibatkan λ 1 = -μ < 0, jika λ 2 < 0 maka <. Jika λ 1 < 0 dan λ 2 < 0, maka titik tetap bersifat stabil dan jika λ 1 < 0 dan λ 2 > 0, maka titik tetap bersifat sadel. Nilai < mengakibatkan = < 1. Jika < 1 maka merupakan titik tetap stabil. Dengan kata lain, syarat terjadinya bebas penyakit adalah bilangan reproduksi dasar harus kurang dari satu. Jika > 1 maka akan tidak stabil. Dengan mengambil parameter positif diperoleh < 1, sehingga merupakan titik tetap stabil. Kestabilan sistem di titik tetap E 1 Tititk tetap = ) disubstitusikan pada persamaan 13), maka akan diperoleh matriks jacobinya sebagai berikut ini; [ ] sehingga menyebabkan titik akan stabil Bilangan Reproduksi Dasar untuk model SIR vaksinasi R 0 dari model SIR diperoleh sebagai berikut; Persamaan di atas setelah dilinearisasi diperoleh sebagai berikut; R 0 = ) 14) Orbit dan Kestabilan Sistem Model SIR vaksinasi Orbit kestabilan diperoleh dengan menggunakan software Maple 12 sehingga diperoleh bentuk orbit seperti dibawah ini. Dengan memilih nilai-nilai parameter sebagai berikut: = 0.5, β = 0.8, μ = 0.4 dan ξ = 0.03, hal ini berimplikasi pada < 1 maka akan diperoleh yang bersifat stabil dan yang bersifat tak stabil. Orbit disajikan sebagai berikut; Dari persamaan diatas diperoleh nilai eigen dari matriks jacobi yaitu; Gambar 7. Orbit kstabilan model SIR dengan vaksinasi dibidang SI Dari persamaan di atas, titik tetap endemik hanya akan muncul ketika, sedangkan nilai merupakan bilangan real negatif atau berupa bilangan kompleks. Dengan bilangan real bernilai negatif untuk 1<

4 12 pengaruh vaksinasi jika tingkat vaksinasi lebih kecil dari vaksinasi minimum. Gambar 8. Dinamika populasi S, I dan R menurut waktu tahun) Pada gambar 8 di atas kita dapat melihat bagaimana hubungan individu rentan, infeksi dan pulih. Seiring berjalannya waktu poroporsi individu rentan akan semakin berkurang. Hal ini, disebabkan oleh kelompok individu rentan terjangkit penyakit dan memasuki kelompok individu infeksi. Pada waktu tertentu, proporsi individu pada kelompok rentan tidak mengalami perubahan lagi. Pada keadaan tersebut, sistem berada pada titik kesetimbangan. Kelompok individu infeksi mengalami penurunan. Hal ini disebabkan oleh karena kelompok individu rentan tidak terjangkit penyakit setelah adanya penerimaan vaksin. Sehingga pada waktu tertentu kelompok individu rentan tidak memasuki individu I, semakin besar individu rentan yang tidak terjangkit penyakit maka kelompok individu infeksi akan semakin berkurang dan akan mencapai titik stabilan. Program vaksinasi dilakukan untuk mencegah meluasnya penyebaran penyakit campak measles). Vaksinasi diasumsikan berhasil jika pada waktu tertentu penyakit akan menghilang dari populasi I. Bilangan reproduksi dasar dapat juga digunakan untuk menentukan apakah penyakit campak measles) tersebut akan menghilang dari populasi I pada waktu tertentu jika nilai dan jika Penyakit campak measles) akan ada sampai batas waktu yang tak terbatas. Upaya pencegahan penyebaran penyakit campak measles) dapat dilakukan dengan program vaksinasi pada tingkat α. Pengaruh vaksinasi dapat dilihat dari prilaku proposi individu I yang bersifat endemik. Berdasarkan persamaan 4) tingkat vaksinasi minimum yang diperlukan dalam pencegahan penyebaran penyakit campak measles) ialah = Menganalisis bagaimana Gambar 9. Proporsi individu I pada saat nilai = , = 0.3, = 0.1, dan = 0 Dari gambar 9 menunjukan bahwa semua vaksinasi yang diberikan bahwa penyakit akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit campak measles) bersifat endemik. Dengan demikian vaksinasi yang dilakukan tidak berhasil membuat penyakit campak measles) menghilang dari populasi individu I. Dengan demikian jika < = , maka penyakit campak measles) tidak akan menghilang dari populasi individu I dalam jangka waktu yang tak terbatas. Kondisi kesetimbangan yang dicapai dalam individu I merupakan titik kesetimbangan endemik. Tabel 1. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan. Titik Tetap 0 1, 0) 0.1 1, 0) , 0) Kestabilan Stabil - Takstabil Stabil -Takstabil 1.3 -Stabil -Takstabil Dari Tabel 1 dapat di lihat bahwa jika semakin tinggi tingkat vaksinasi yang diberikan maka nilai bilangan reproduksi dasar akan semakin menurun. Namun demikian < c= , nilai sehingga penyakit campak measles) akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak batas. Makinde 2007) menyatakan tingkat vaksinasi yang dilakukan harus lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum yang

5 13 diberikan agar penyebaran campak measles) dapat dicegah dengan sangat baik. Oleh karena itu, selanjutnya akan dilakukan simulasi nilai yang lebih besar dari Selajutnya akan menganalisis bagaimana pengaruh vaksinasi jika tingkat vaksinasi yang diberikan lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum. Gambar 10. Proporsi individu I pada saat nilai = , = 0.6, = 0.9, dan =1 Dalam waktu kurang lebih 15 tahun maka sistem akan mencapai stabil dan mencapai titik stabi di = 0.5, 0). merupakan titik tetap bebas penyakit dikarenakan proporsi individu I = 0. Besarnya bilangan reproduksi dasar ialah = Titik tetap bebas penyakit tersebut bersifat stabil asimtotis karena nilai. Jika setiap kelahiran memperoleh vaksin sebesar = 1. Diberikan vaksinasi pada tingkat = 1, maka proporsi individu I ditunjukan oleh warna biru. Untuk = 1, penyakit akan menghilang dari populasi dalam jangka waktu kurang lebih 15 tahun. Dalam waktu kurang lebih 15 tahun maka sistem akan mencapai stabil dan mencapai titik stabil di = 0.5, 0). Dengan demikian Penyakit campak measles) akan menghilang dari populasi untuk nilai tingkat vaksinasi lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum Semakin besar tingkat vaksinasi maka semakin cepat penyakit menghilang dari populasi. Tabel 2. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan α Titik tetap Kestabilan Stabil 0.5, -0.2) -Takstabil Stabil 0.5, -0.4) -Takstabil 1 0 -Stabil 50, -16) -Takstabil Dari Tabel 2 dapat di lihat bahwa jika semakin tinggi tingkat vaksinasi yang diberikan maka bilangan reproduksi dasar akan semakin menurun. Namun demikian < c = , nilai sehingga penyakit campak measles akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak batas. Tabel 2 juga menunjukkan bahwa untuk < c = , kenaikan tingkat vaksinasi dapat menyebabkan semakin menurunnya bilangan reproduksi dasar Untuk = 1, titik stabil pada proporsi kelompok individu rentan bernilai nol. Hal tersebut menunjukkan bahwa semua individu rentan kebal dari penyebaran penyakit campak measles) dan akan memasuki kelompok individu pulih. Titik stabil yang dicapai ialah titik tetap stabil bebas penyakit dikarenakan proporsi kelompok individu infeksi bernilai nol. 4.3 Model SEIR Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular an ), sehingga dari persamaan 4) diperoleh : = 0 15) = 0 didapat nilai titik tetap yaitu E 0 s, e, i)= 1, 0, 0) dan E 1 s, e, i)= ) * ) Dengan menggunakan Software Maple 12 dan parameter yang digunakan,,

6 14, dan diperoleh nilai titik tetap yaitu E 0 = 1, 0, 0) dan E 1 = 0.29, 0.22, 0.45). E 0 merupakan titik tetap tanpa penyakit dan E 1 merupakan titik tetap endemik Konstruksi Matriks Jacobi Untuk Model SEIR Misalkan sistem persamaan 6) dituliskan sebagai berikut: dengan [ ] [ ] * ε + ε 15) 16) Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SEIR Kestabilan sistem di titik tetap E 0 s, e, i) = 1, 0, 0). Titik tetap E 0 disubstitusikan pada persamaan 16), maka akan diperoleh λ 1 = λ 2 = ε) λ 3 = Jika λ 1 < 0, λ 2 < 0 dan λ 3 < 0, maka E 1 bersifat stabil dan jika λ 1 < 0, λ 2 < 0 dan λ 3 > 0, maka bersifat sadel. Teorema 1. a. Jika < c, maka sebuah titik tetap endemik yang tunggal dari model merupakan tititk tetap stabil global. b. Misalakan > c, titik tetap tanpa penyakit merupakan titik tetap stabil global didalam Ὠ. Berdasarkan model SEIR yang digunakan maka diperoleh dua titik tetap endemik c < < *). Dari dua titk tetap endemik yang diperoleh dari model di atas tidak dapat menjadi stabil secara bersamaan di dalam Ὠ Bilangan Reproduksi untuk model SEIR R 0 dari model SIR diperoleh sebagai berikut ε * ε ε + ) 17) Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut; λ 1 = λ 2 = ε) λ 3 = Jika λ 1 < 0, λ 2 < 0 dan λ 3 < 0, maka E 0 bersifat stabil dan jika λ 1 < 0, λ 2 < 0 dan λ 3 > 0, maka E 0 bersifat sadel. Kestabilan sistem di titik tetap E 1 s, e, i) = ) * ) Sehingga akan diperoleh R 0 ) Orbit dan Kestabilan Sistem Model SEIR Orbit kestabilan diperoleh dengan menggunakan software Maple 12 sehingga diperoleh bentuk orbit seperti di bawah ini. Dengan memilih nilai-nilai parameter sebagai berikut; = 0.5, β = 0.8, μ = 0.4, dan ξ = Hal ini berimplikasi R 0 >1 maka akan diperoleh yang bersifat stabil. Orbit disajikan sebagai berikut ; Titik tetap E 1 disubstitusikan pada persamaan 16), maka akan diperoleh J=* ε + ε Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut:

7 15 Gambar 11. Orbit kestabilan model SEIR di bidang SI. Pada gambar 11 terlihat bahwa orbitnya menuju titik. Oleh karena itu titik tetap endemik bersifat titik tetap stabil. Hal tersebut menunjukkan bahwa ada kelompok individu I yang dapat menyebarluaskan penyakit sehingga kelompok individu S terinfeksi penyakit campak measles) dan memasuki kelompok individu R. Pada saat keadaan stabil, penyakit akan tetap ada sampai waktu tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit campak measles) bersifat endemik. Berdasarkan persamaan 10), model SEIR akan mencapai stabil pada saat =. Titik merupakan titik stabil endemik karena. perubahan lagi. Pada keadaan tersebut, sistem berada pada titik stabil. Kelompok individu I mengalami kenaikan. Hal ini disebabkan oleh karena kelompok individu S terjangkit penyakit campak measles). Sehingga pada waktu tertentu kelompok individu S tidak memasuki individu I, semakin besar individu S yang tidak terjangkit penyakit maka kelompok individu I akan semakin berkurang dan akan mencapai titik stabilannya. Besarnya bilangan reproduksi dasar ketika = 0 ialah = Nilai mengakibatkan kedua nilai eigen matriks jacobi pada model SEIR ini berupa bilangan real positif. Hal tersebut menunjukkan titik stabil endemik bersifat stabil. Upaya pencegahan penyebaran penyakit campak measles) dapat dilakukan dengan program vaksinasi pada tingkat. Pengaruh vaksinasi dapat dilihat dari prilaku proposi individu I yang bersifat endemik. Berdasarkan persamaan 6) tingkat vaksinasi minimun yang diperlukan dalam pencegahan penyebaran penyakit campak measles) ialah = Selanjutnya akan menganalisis bagaimana pengaruh vaksin jika tingkat vaksinasi lebih kecil dari vaksinasi minimum. Gambar 12. Dinamika populasi S, E, I, dan R menurut waktu tahun) Pada gambar 12 di atas kita dapat melihat bagaimana hubungan individu rentan, infeksi dan pulih. Seiring berjalannya waktu poroporsi individu S akan semakin berkurang. Hal ini disebabkan oleh kelompok individu S terinfeksi penyakit dan memasuki kelompok individu I. Pada waktu tertentu, proporsi individu pada kelompok S tidak mengalami Gambar 13. Proporsi individu Infeksi pada sataun waktu tahun) Dari gambar 13 warna biru menunjukkan proporsi individu untuk tingkat vaksinasi minimum = Warna hitam menunjukkan proporsi individu I untuk vaksiansi = 0.3, warna merah menunjukkan proporsi individu I untuk vaksinasi = 0.1 dan warna hijau menunjukkan proporsi individu I untuk vaksinasi = 0. Dari kurva di atas terlihat bahwa pada setiap tingkat vaksinasi yang diberikan pada saat yang bersamaan mencapai titik stabil. Proporsi individu kelompok infeksi akan mencapai titik kestabilan dalam jangka waktu kurang lebih 4 tahun. Dari semua vaksinasi

8 16 yang diberikan bahwa penyakit akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit campak measles) bersifat endemik. Dengan demikian vaksinasi yang dilakukan tidak berhasil membuat penyakit campak measles) menghilang dari populasi individu I. Dengan demikian jika < c = , maka penyakit campak measles) tidak akan menghilang dari populasi individu I dalam jangka waktu yang tak terbatas. Titik stabil yang dicapai dalam individu I merupakan titik stabil endemik. Tabel 3. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan α Titik stabil kestabilan Stabil Stabil Stabil Dari Tabel 3 dapat dilihat bahwa dengan meningkatkan vaksinasi yang diberikan pada model SEIR ternyata bilangan reproduksi dasar mengalami penurunan. Namun demikian < c = , nilai sehingga penyakit campak measles) tidak akan menghilang dari populasi. Selajutnya akan menganalisis bagaimana pengaruh vaksinasi jika tingkat vaksinasi yang diberikan lebih besar dari tingakat vaksinasi minimum. 0. Besarnya bilangan reproduksi dasar adalah = Titik tetap bebas penyakit tersebut bersifat stabil karena nilai. Jika, setiap kelahiran memperoleh vaksin sebesar = 1. Jika diberikan vaksinasi pada tingkat = 1, maka proporsi individu I ditunjukan oleh warna biru. Untuk = 1, penyakit akan menghilang dari populasi dalam jangka waktu kurang lebih 5 tahun. Dalam waktu kurang lebih 5 tahun maka sistem akan mencapai stabil dan mencapai titik stabi di = 0.29, 0.22, 0.54). Dengan demikian penyakit campak measles) akan menghilang dari populasi untuk nilai tingkat vaksinasi lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum Semakin besar tingkat vaksinasi maka semakin cepat penyakit menghilang dari populasi. Tabel 4. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan α Titik stabil Kestabilan Stabil Stabil Stabil Dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa jika semakin tinggi tingkat vaksinasi yang diberikan pada model SEIR maka nilai rasio reproduksi dasar mengalami penurunan. Dengan demikian, untuk tingkat vaksinasi yang lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum, bilangan reproduksi dasar mengalami penurunan. Namun demikian sehingga penyakit campak measles ) akan selalu ada dalam jangka waktu yang tidak terbatas. 4.4 Model Gambar 14. Proporsi individu I Jika diberikan vaksinasi pada tingkat = 0.6, maka proporsi individu I ditunjukan oleh warna hijau. Untuk = 0.6, penyakit akan menghilang dari populasi dalam jangka waktu kurang lebih 4 tahun dan mencapai titik stabil di = 0.29, 0.22, 0.54). merupakan titik tetap endemik dikarenakan proporsi individu I Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular an 7) diperoleh : ), sehingga dari persamaan 18)

9 17 Titik tetap. Jika, maka akan memperoleh titik kestabilan endemik di D sebagai berikut; dimana * * * Jika < 1, maka < 0 untuk t > 0, hal ini menunjukkan bahwa jumlah penderita penyakit campak measles) berangsur - angsur semakin berkurang sedemikian hingga penyakit akan menghilang dari populasi dan tidak terjadi endemik pada populasi tersebut. Jika > 1, maka > 0 untuk t > 0, artinya jumlah penderita akan bertambah sehingga penyakit akan menyebarluas dan menjadi endemik. Titik tetap endemik pada model juga menunjukkan bahwa terdapat individu pada kelompok I yang dapat menyebarkan penyakit kepada individu S Konstruksi Matriks Jacobi untuk Model Misalkan sistem persamaan 10) dituliskan sebagai berikut; Analisis Kestabilan Titik Tetap Model Kestabilan sistem di titik tetap E 1 Matriks jacobi di titik E 1 = adalah * + Dengan menggunakan persamaan di atas di peroleh nilai eigen sebagai berikut; λ = Sehingga ada nilai λ positif, jika maka merupakan stabil. Jika merupakan titik tetap stabil hiperbolik yang tidak stabil dengan mainfold dan terjadi persinggungan dengan daerah D, sehingga merupakan stabil global Bilangan Reproduksi Dasar Model R 0 dari model diperoleh sebagai berikut; Sehingga akan diperoleh Orbit dan Kestabilan Sistem Model Orbit kestabilan diperoleh dengan menggunakan software Maple 12 sehingga diperoleh bentuk orbit seperti dibawah. Dengan memilih nilai-nilai parameter sebagai berikut; = 0.5, β = 0.8, μ = 0.4, dan ξ = 0.03, maka akan diperoleh yang bersifat stabil karena nilai. Orbit disajikan sebagai berikut; [ ] * + 19) Kestabilan persamaan 5), 6), 9), dan 10) akan diperoleh dengan menganalisis nilai eigen matriks Jacobi pada titik tetap yang didapat.

10 18 Semakin besar individu rentan terjangkit virus maka kelompok individu infeksi akan semakin berkurang dan akan mencapai titik stabilannya. Berdasarkan definisi titik kestabilan, nilai S pada persamaan 2) dan 4) didekati dengan titik kestabilan bebas penyakit yaitu, sehingga akan diperoleh nilai dapat disederhanakan sebagai berikut; = = Gambar 15. Orbit kestabilan model di bidang SI. Dari gambar 15 terlihat bahwa orbitnya menuju titik tetap. Oleh karena itu, titik tetap bersifat titik tetap stabil. Hal tersebut menunjukkan bahwa ada kelompok individu infeksi yang dapat menyebarluaskan virus sihingga kelompok individu rentan terinfeksi penyakit dan individu rentan akan memasuki individu infeksi. = = dan 21) Dari ketiga persamaan di atas dapat didefinisiskan tingkat vaksinasi minimum yang diperlukan untuk mencegah penyebaran penyakit. Tingkat vaksinasi yang diperlukan untuk mencegah penyebaran penyakit, dengan penyakit akan berangsur-angsur menghilang dari populasi I dan akan memasuki klompok individu R untuk Dengan demikian, untuk diperoleh tingkat vaksinasi minimum untuk model SIR sebagai berikut; 22) Dan tingkat vaksinasi minimum untuk model SEIR sebagai berikut; 23) Gambar 16. Proporsi individu S, I, E dan R dalam satuan waktu tahun) Dari gambar 16 di atas kita dapat melihat bagaimana hubungan ketiga individu tersebut. Seiring dengan berjalannya waktu proporsi individu rentan akan semakin berkurang. Hal ini disebabkan individu rentan telah terinfeksi oleh virus dan individu rentan memasuki individu infeksi. Pada waktu tertentu, proporsi individu pada kelompok individu rentan tidak mengalami perubahan lagi dan sistem berada pada titik stabil. Dengan meningkatnya individu rentan menyebabkan kelompok individu infeksi mengalami penurunan. Menurut Makinde 2007) menyatakan bahwa tingkat vaksinasi yang diberikan harus lebih besar daripada supaya penyakit dapat dicegah penyebarannya. Jika tingkat vaksinasi yang diberikan lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum maka pa a model SIR dan model SEIR masingmasing diberikan sebagai berikut; < < = 1 = 1

11 19 Dan 24) = 1 Dari persamaan 24) mengakibatkan bahwa jumlah individu pada kelompok I secara berangsur-angsur akan semakin berkurang dan penyakit akan menghilang dan akan memasuki ke dalam kelompok R dalam waktu tertentu. Jika vaksinasi maka Dan > > = 1 = 1 = 1 Hal ini menunjukkan bahwa jumlah individu pada kelompok I dalam jangka waktu yang berangsur- angsur akan semakin meningkat dan penyakit akan menjadi endemik. Tabel 5. Perbandingan Bilangan Reproduksi Dasar antara model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MODEL Bilangan Reproduksi Dasar SIR SIR vaksinasi SEIR ε Dari Tabel 5 terlihat bahwa adanya perbedaan bilangan reproduksi dasar antara model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan. Dengan mengambil parameter β,, μ, ε, ξ dan bilangan positif, bilangan reproduksi dasar pada model lebih kecil dari model SEIR, SIR vaksinasi dan SIR. Hal ini menunjukkan bahwa kondisi bebas penyakit pada model lebih cepat tercapai titik kestabilan daripada model SEIR,SIR vaksinasi dan SIR sehingga kelompok individu infeksi akan memasuki kelompok individu pulih. Begitu juga hal sebaliknya, kondisi penyakit campak measles) akan lebih cepat tercapai pada model SEIR, SIR vaksinasi dan SIR jika dibandingkan dengan model. Kriteria kestabilan titik tetap yang dilihat dari nilai bilangan reproduksi dasar antara model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan disajikan sebagai berikut; Tabel 6. Kriteria Kestabilan Titik Tetap model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan Kriteria Kestabilan Titik Tetap Bebas penyakit stabil Tetap endemik stabil Model SIR Model SIR vaksinasi Model SEIR ε * ε * Model

12 20 Tabel 7. Perbandingan Titik Tetap antara model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan Tititk Tetap Bebas Penyakit Model SIR 1, 0) Titik Tetap Endemik ) Model SIR 1-α, 0) vaksinasi Model SEIR 1, 0, 0) ) ε ε ) ) *, Model 1, 0, 0) * * * Dari Table 7 di atas, diketahui bahwa model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan memilki titik tetap bebas penyakit yang sama yaitu populasi total hanya terdiri dari kelompok individu rentan, sedangkan kelompok individu kelas populasi lainnya tidak ada. Hal ini berarti bahwa populasi beresiko tinggi mencapai kapasitas maksimum. Dari Table 7 juga terlihat adanya perbedaan titik tetap endemik antara model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan. Perbedaan tersebut terjadi karena pada model SIR dan SIR vaksinasi kelompok individu rentan tidak memasuki individu laten, individu rentan tersebut langsung memasuki kelompok individu infeksi. Pada model SEIR dan individu rentan masuk terlebih dahulu ke individu laten kemudian dilanjutkan ke individu infeksi. Akibatnya ketika penyakit campak measles) terjadi, jumlah setiap kelas populasi pada model SIR, SIR vaksiansi berbeda dengan jumlah setiap kelas populasi pada model SEIR dan.

13 21 Tabel 8. Plot Bidang Fase dan Bidang Solusi untuk model SIR,SIR vaksinasi, SEIR dan Model SIR Bidang Fase Bidang Solusi Model SIR vaksinasi Model SEIR Model

14 22 Tabel 9. Plot Bidang Fase dan Bidang Solusi untuk model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan Model SIR Bidang Fase Bidang Solusi Model SIR vaksinasi Model SEIR Model

15 23 Dari Tabel di atas dapat dilihat bahwa dengan menggunakan parameter positif yang sama pada setiap masing-masing model, diperoleh plot bidang fase dan bidang solusi yang berbeda dari setiap masing- masing model. Titik tetap endemik model SIR, SIR vaksinasi dan SEIR merupakan titik tetap yang bersifat stabil, seperti pada tabel 9, semua orbit yang berada di sekitar titik tetap bergerak mendekati titik tersebut. Sedangkan pada titik tetap model merupakan titik tetap yang bersifat tak stabil, dimana semua orbit yang berada di sekitar titik tetap bergerak menjauhi titik tersebut. Titik tetap bebas penyakit model SIR dan SIR vaksinasi bersifat stabil dan titik tetap bebas penyakit model SEIR dan bersifat tak stabil, dengan menggunakan parameter yang sama diperoleh titik endemik model bersifat stabil. Hal ini disebabkan adanya perbedaan kriteria kstabilan model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan, baik kriteria kestabilan titik tetap bebas penyakit maupun kriteria kestabilan titik tetap endemik.