of Porfolio Trasaios (Almgre & Chriss 000 14 Sisemaika Peulisa Karya ilmiah ii erdiri aas eam bagia Bagia perama berupa pedahulua, erdiri aas laar belakag, ujua peulisa, meode peulisa, da sisemaika peulisa Bagia kedua adalah ladasa eori yag meyajika aspek eoriis peulisa karya ilmiah Bagia keiga merupaka pemodela, yag meampilka model perdagaga da efisie froier sraegi opimal yag aka dilakuka aalisis eksekusi opimal rasaksi porofolio, bagia keempa adalah pembahasa yag membahas aalisis fudameal eksekusi opimal suau rasaksi porofolio Bagia kelima adalah ilusrasi, yag meampilka hasil simulasi rasaksi porofolio opimal uuk parameer yag dipilih, da yag keeam adalah simpula, merupaka hasil yag diperoleh dari pembahasa karya ilmiah II LANDASAN TEORI Ladasa eori meyajika aspek eoriis yag mejadi ladasa peulisa karya ilmiah ii Ladasa eori mejelaska megeai defiisi-defiisi dasar, lema, da beberapa eori peig 1 Sekurias, da Porofolio Defiisi 11 (Sekurias Sekurias dalam pasar modal Idoesia dikeal dega sebua efek adalah isrume yag mejajika pembayara di masa depa Sekurias aau efek dierbika oleh isiusi yag dijual perama kali ke publik dega baua peraara keuaga seperi perbaka ivesasi (pejami emisi yag mejualka sekurias ke publik Sekurias erdiri aas berbagai maam beuk, yaiu sura uag (obligasi, kepemilika perusahaa (saham, da beuk-beuk urua lai seperi korak berjagka, da korak opsi (Bodie e al 006 Defiisi 1 (Porofolio Porofolio didefiisika sebagai koleksi aau kumpula dari berbagai maam sekurias (Bodie e al 006 Perobaa Aak Defiisi 1 (Perobaa Aak Perobaa aak adalah suau perobaa yag dapa diulag dalam kodisi yag sama, yag hasil perobaaya idak dapa diebak dega epa, eapi dapa dikeahui semua kemugkia hasil yag muul (Craig, Hogg, & MKea 005 3 Ruag Cooh Defiisi 31 (Ruag Cooh Ruag ooh adalah himpua semua kemugkia yag dapa erjadi dari suau perobaa aak, dioasika dega (Ghahramai 005 4 Peubah Aak Defiisi 41 (Peubah Aak Misalka adalah ruag ooh dari suau perobaa aak Fugsi yag erdefiisi pada yag memeaka seiap usur ke sau da haya sau bilaga real x disebu peubah aak Ruag dari adalah himpua bagi bilaga real A x : x, (Craig, Hogg, & MKea 005
Dalam melakuka aalisis porofolio, para ivesor berhadapa dega keidakpasia saa mereka berivesasi Karea bayak sekali kemugkia yag aka erjadi, maka para ivesor idak meliha seiap kemugkia yag mempuyai peluag uuk erjadi seara rii, eapi ukup dega meliha parameer, yaiu ilai-ilai yag mejadi iri dari aalisa yag mereka lakuka Peubah aak mempuyai parameerparameer, di aaraya ilai egah, ragam, peragam, da koefisie korelasi Dalam ligkup porofolio, jika aalisis yag dimaksud adalah proses memiimumka kombiasi risiko volailias da peigkaa biaya rasaksi dari dampak pasar permae da emporer, maka peubah aak berkaia dega biaya rasaksi, adapu parameer-parameerya yaiu ilai harapa biaya rasaksi, da ragam biaya rasaksi Defiisi 4 (Peubah Aak Diskre Peubah aak dikaaka peubah aak diskre jika ilai peubah aak x1, x, merupaka himpua eraah (Grimme & Sirzaker 199 5 Fugsi Sebara Defiisi 51 (Fugsi Sebara Jika suau peubah aak, fugsi sebara didefiisika sebagai F ( x P( x uuk seiap x, 6 Fugsi Massa Peluag (Ghahramai 005 Defiisi 61 (Fugsi Massa Peluag Fugsi massa peluag p suau peubah aak yag memiliki himpua semua ilai kemugkia x1, x, didefiisika sebagai suau fugsi dari ke yag memeuhi sifa beriku : a p( x 0 ; jika x x1, x, b p( xi P( xi da p( xi 0, ( i 1,,3, i1 p( x 1 i (Ghahramai 005 7 Nilai Harapa, Ragam, Peragam, da Koefisie Korelasi Peubah Aak Diskre Defiisi 71 (Nilai Harapa Jika adalah peubah aak yag memiliki fugsi massa peluag p ( x, maka didefiisika ilai harapa peubah aak, E( adalah: E( xp ( x (1 x (Bai 199 Defiisi 7 (Ragam Jika adalah peubah aak yag memiliki ilai harapa E(, maka didefiisika ragam peubah aak, adalah: ( ( E E (Bai 199 Defiisi 73 (Peragam Jika da Y adalah peubah aak yag memiliki ilai harapa beruru-uru E( da E( Y, maka didefiisika peragam aara peubah aak da peubah aak Y adalah: ov(, Y E[ E( ][ Y E( Y] (3 aau ov(, Y E( Y E( E( Y (4 (Bai 199 Defiisi 74 (Koefisie Korelasi Jika da Y adalah peubah aak yag memiliki sadar deviasi beruru-uru da Y, sera peragam aara peubah aak da peubah aak Y adalah ov(, Y maka didefiisika koefisie korelasi aara peubah aak da peubah aak Y adalah: ov(, Y Y Y (5 (Bai 199
Teorema 75 Uuk peubah aak 1,,, didefiisika pada ruag ooh yag sama E( E( i i i i i1 i1 (14 (Ghahramai 005 Corollary Misalka 1,, suau peubah aak pada ruag ooh yag sama, maka: E( 1 ( ( ( (15 E 1 E E (Ghahramai 005 Teorema 76 Jika da Y peubah aak yag salig bebas, maka: a E( Y E( E( Y (7 b Cov(, Y 0 (8 Jika da Y peubah aak dega a da b kosaa maka : E( Y E( E( Y (9 d E( a b ae( b (10 (Bai, 199 Teorema 77 Jika adalah suau peubah aak yag berilai kosa, maka jika P( 1 uuk suau kosaa maka E( (11 (Ghahramai 005 Teorema 78 Misalka adalah peubah aak diskre dega himpua ilai peluag A da fugsi massa peluag p( x, da misalka g adalah fugsi berilai real maka g( adalah peubah aak dega: E[ g( ] g( x p( x (1 xa (Ghahramai 005 misalka 1,,, adalah bilaga real, maka E[ 1g1( g( g( ] 1E[ g1( ] E[ g( ] E[ g ( ] (13 (Ghahramai 005 8 Kebebasa Defiisi 81 (Kebebasa Peubah aak,, 1 salig bebas jika f 1, ( x1,, x ( 1 1 ( f x f x uuk semua x,, 1 x (6 (Helms 1997 9 (Covex da Srily Covex Defiisi 93 (Himpua Covex Suau himpua S di disebu himpua ovex jika uuk seiap x da y di S, segme garis yag meghubugka x da y juga erleak di S (Peressii e al 1988 Defiisi 94 (Covex Suau fugsi f ( x : disebu fugsi ovex di S jika f x (1 y f ( x (1 f ( y x, y, da 0,1 (Sydsaeer & Hammod 1995 Defiisi 95 (Srily Covex Suau fugsi f ( x : disebu fugsi srily ovex di S jika f x (1 y f ( x (1 f ( y x y da 0,1 (Sydsaeer & Hammod 1995 Corollary Misalka adalah peubah aak diskre, g1, g,, g adalah fugsi berilai real da
Gambar 1 Ilusrasi fugsi ovex 10 Sig Fuio Defiisi 101 (Sig Fuio Sig fuio dari bilaga real x didefiisika sebagai: 1, jika x 0 sig( x 0, jika x 0 1, jika x 0 (Shirokov 1979 11 Pegali Lagrage Suau meode uuk memperoleh ilaiilai maksimum relaif aau miimum relaif dari fugsi f ( x, y yag dipegaruhi oleh kodisi persyaraa g( x, y 0, erdiri aas pembeuka fugsi peolog F( x, y, f ( x, y g( x, y dega syara: F F F 0, 0, 0 yag merupaka x y syara perlu uuk maksimum relaif maupu miimum relaif Parameer yag idak bergaug pada x da y disebu pegali lagrage Kasus dega sau pegali lagrage Uuk suau masalah yag melibaka sau persyaraa, diperluka haya sau parameer sebagai pegali lagrage Jika f ( x, y adalah fugsi yag dieuka maksimum aau miimum relaifya da g( x, y 0 adalah persyaraa yag harus dipeuhi, maka fugsi peologya berbeuk : F( x, y, f ( x, y g( x, y Fugsi peolog F( x, y, adalah fugsi dari iga variabel x, y, da Dapa diujukka bahwa suau maksimum relaif aau miimum relaif dari F adalah juga merupaka maksimum aau miimum relaif dari f ( x, y dega persyaraa g( x, y 0, maka harus dipeuhi persyaraa: F f g 0 x x x F f g 0 y y y F g( x, y 0 Seiap peyelesaia dari sisem persamaa ii adalah suau ilai kriis dari fugsi f ( x, y (Soemarojo 1987 1 Persamaa Beda (Differee Equaio Kosep persamaa beda diguaka dalam aalisis sisem diamik dega variabel diskre uuk meujukka diamika/perubaha suau variabel pada periode ereu Uuk fugsi y, ilai y berubah bila ilai berubah dari ieger yag sau ke ieger berikuya, misalya 1,, 3, da seerusya Pola perubaha y digambarka dega isilah beda (differee Misalka y meujukka besarya perubaha y pada dua periode berurua, sehigga dapa diulis y y 1 y dega y adalah ilai y pada periode ke-, da y 1 adalah ilai y pada sau periode seelah periode ke- Beuk di aas dapa diulis y 1 y y y y1 y y 3 y y da seerusya Misalka 0 T, maka kia dapa meyaaka yt dalam yt 1 higga y 0 Hal yag sama berlaku juga sebalikya, dalam hal ii jika persamaa berbeuk y y 1 y (Chiag & Waiwrigh 005
Defiisi 11 (Persamaa beda orde-1 Persamaa beda orde-1 adalah persamaa beda yag melibaka ekspresi y yag disebu beda ke-1, da haya melibaka lag waku sau periode (Chiag & Waiwrigh 005 Peyelesaia persamaa beda orde-1 Misalka diberika persamaa beda orde-1 y 1 ay dega a da adalah kosaa Solusi umum erdiri aas pejumlaha dua kompoe, yaiu solusi parikular y yag merupaka solusi dari persamaa ak homoge legkap, da fugsi kompleme y yag merupaka solusi umum dari persamaa y 1 ay 0 Pejumlaha yp da y merupaka solusi umum, da diperluka pemberia ilai awal uuk memperoleh solusi khusus persamaa beda Misalka solusi persamaa beda berbeuk 1 y Ab ( Ab 0, berari y 1 Ab sehigga persamaa homogeya mejadi 1 Ab aab 0, dega meghilagka fakor akol Ab diperoleh b a 0 aau b a maka fugsi komplemeya dapa diuliska sebagai y ( Ab A( a Uuk meeuka solusi parikular, misalka solusi palig sederhaa berbeuk y k da y 1 k dega k suau kosaa Subsiusika ilai ii ke dalam persamaa y 1 ay sehigga k ak k, ( a 1 1 a maka diperoleh solusi parikular y p ( k ( a 1 1 a Solusi umum persamaa beda dapa dihiug dega mejumlahka solusi parikular yp da fugsi kompleme y sehigga y A( a dega a 1 1 a (Chiag & Waiwrigh 005 p Defiisi 1 (Persamaa beda orde- Persamaa beda orde- adalah persamaa beda yag melibaka ekspresi y yag disebu beda ke- dari y, eapi idak megadug beda yag orde-ya lebih iggi dari Didefiisika y ( y ( y 1 y = ( y y 1 ( y 1 y = y y 1 y (Chiag & Waiwrigh 005 Peyelesaia persamaa beda orde- Misalka persamaa beda orde- y a1 y 1 a y merupaka persamaa beda liear ak homoge dega koefisie kosa ( a1, a da kosaa Solusi parikular Misalka y k da y 1 k Subsiusika ilai kosaa y ke dalam persamaa y a1 y 1 a y, diperoleh k a1k ak k (1 a1 a 0 1 a1 a sehigga y ( p k 1 a 1 a Fugsi kompleme Persamaa beda homoge berbeuk y a1 y 1 a y 0 Misalka solusi berbeuk y Ab maka 1 y 1 Ab, da y Ab 1 Subsiusika y Ab, y 1 Ab da y Ab pada persamaa y a1 y 1 a y 0 sehigga persamaa mejadi 1 Ab a1 Ab a Ab 0 Dega meghilagka fakor akol Ab diperoleh persamaa karakerisik b a1b a 0, yag memiliki dua akar karakerisik a1 a1 4a b1, b Berdasarka karakerisik akar pada akar kuadra dega ekspresi a1 a1 4a b1, b erdapa iga kasus:
Kasus 1 : Akar real berbeda Keika a1 4a, persamaa beda memiliki akar real berbeda Fugsi kompleme dapa diulis sebagai kombiasi liear berbeuk y A1 b1 Ab Kasus : Akar real sama Keika a1 4a, persamaa beda memiliki akar real sama a1 b( b1 b Fugsi komplemeya memiliki beuk y A3b A4b Kasus 3 : Akar kompleks Keika a1 4a, persamaa beda memiliki akar kompleks b1, b h vi dega 4a 1 a1 a h da v da fugsi komplemeya berbeuk y R ( A os A si 5 6 a1 4a a1 dega R h v a 4 A5 A1 A A6 ( A1 A i (Chiag & Waiwrigh 005 13 Trigoomeri Hiperbolik Defiisi 131 (Fugsi Trigoomeri Hiperbolik Fugsi sius hiperbolik, kosius hiperbolik, da age hiperbolik didefiisika sebagai: 1 x x sih( x e e 1 x x osh( x e e sih( x ah( x osh( x (Purell & Varberg 1999 3 sihx 1 oshx 1 1 1 ahx 3 Gambar Ilusrasi fugsi rigoomeri hiperbolik III PEMODELAN 31 Model Perdagaga Uuk memahami lebih laju megeai model perdagaga, dalam hal ii diperluka pemahama megeai defiisi sraegi perdagaga da gambara diamika harga dalam kaiaya dega model, diawali dega defiisi formal megeai sraegi perdagaga uuk eksekusi program pejuala yag erdiri aas likuidasi sekurias uggal Defiisi da hasil uuk program pembelia dapa diaalogika seara legkap sama dega program pejuala Di bawah ii aka dijelaska megeai defiisi sraegi perdagaga da diamika harga yag berpera dalam model perdagaga 311 Defiisi Sraegi Perdagaga Misalka aka dilakuka eksekusi sebayak ui saham dari sebuah sekurias yag seara legkap aka dilikuidasi sebelum waku T T dibagi ke dalam N ierval T dega pajag, da didefiisika N waku diskre k k, uuk k 0,, N Suau rayekori perdagaga didefiisika sebagai x,, 0 x N, dega x k yaiu ui saham yag direaaka uuk dieksekusi pada waku k Bayakya saham awal adalah x0, da likuidasi pada waku T adalah xn 0 Dega ara serupa seperi defiisi pada rayekori perdagaga, seara spesifik sraegi perdagaga erdiri aas,, 1 N