PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN METODE ADAMS BASHFORTH MENGGUNAKAN MATLAB

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN METODE ADAMS BASHFORTH MENGGUNAKAN MATLAB Rati Ayuigemi, S. ST Pratyaksa Kepakisa ABSTRAKSI Bayak metode yag bisa diguaka utuk meyelesaika persamaa diferesial. Sala satuya adala Metode Adams Basfort, metode ii tidak bisa berdiri sediri, metode ii memerluka metode lai utuk memulai perituga. Metode lai yag diguaka adala metode Ruge-Kutta orde empat utuk mecari empat ilai awal yaitu yo, y, y, y 3. Persamaa diferesial dega metode Adams Basfort dapat dicari peyelesaiaya dalam betuk tabel da grafik apabila ifut data da variabel yag diguaka arus disesuaika terlebi daulu dega variabel yag diguaka dalam program komputer gua memudaka dalam meliat asil peyelesaiaya. Baasa pemrograma yag diguaka utuk membuat program peyelesaia persamaa diferesial dega metode Adams Basfort adala baasa komputasi MATLAB (Matrix Laboratory). PENDAHULUAN. Latar Belakag Dega kemajua tekologi komputer yag sagat pesat, pemakaia metode umerik dalam meyelesaika permasalaa juga semaki berkembag pesat. Metode umerik merupaka cara utuk meyelesaika permasalaa-permasalaa yag diformulasika secara matematis dega cara operasi ituga yag berulag-ulag dalam jumla yag bayak. Ole karea itu diperluka suatu program komputer yag dapat meyelesaika perituga dega cepat da teliti seigga kesalaa perituga dapat diidari. Seperti misalya peyelesaia persamaa diferesial, bila dikerjaka secara maual maka aka memerluka waktu yag lama da resiko kesalaa perituga yag dilakuka (uma error) sagat besar. Bayak masala dalam bidag tekik mesi da ilmu pegetaua alam yag dapat dirumuska dalam persamaa diferesial. Sebagia besar dari persamaa diferesial yag dijumpai dalam praktek, tidak dapat diselesaika secara aalitis, seigga arus megguaka metode umerik. Metode utuk meyelesaika persamaa diferesial secara umerik bayak dikembagka ole ilmuwa seperti : Euler, Ruge Kutta da Adams Basfort.. Rumusa Masala Bagaimaa meyelesaika megguaka MATLAB. persamaa diferesial dega Metode Adams Basfort 3. Batasa Masala Meyelesaika persamaa diferesial biasa dega megguaka metode Adams Basfort. 4. Tujua Da Mafaat. Agar dapat memaami cara utuk meyelesaika persamaa diferesial megguaka metode Adams Basfort kemudia megimpletasika dalam program komputer. Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009. Megetaui cara kerja dari metode Adams Basfort dalam meyelesaika masala persamaa diferesial. 3. Agar dapat diguaka sebagai baa studi badig dega metode lai dalam meyelesaika masala persamaa diferesial. 5. Metode Peelitia Metode yag diguaka utuk megumpulka data da iformasi adala sebagai berikut :. Studi pustaka Metode ii dilakuka dega cara mempelajari literatur-literatur atau referesi yag secara lagsug dapat medukug proses peyusua karya tulis ii.. Praktek Metode ii dilakuka dega meyelesaika persamaa diferesial dega megguaka metode Adams Basfort secara maual. Hasil yag diperole secara maual dibadigka dega asil perituga dega program komputer.. TINJAUAN PUSTAKA Persamaa Diferesial Persamamaa diferesial merupaka bagia dari metode umerik yag megaplikasika pada turua fugsi. Persamaa diferesial dapat dibedaka mejadi dua macam yag tergatug pada jumla variabel bebas. Yaitu apabila aya megadug satu variabel bebas, persamaa tersebut dikataka sebagai persamaa diferesial biasa. Da jika megadug dua variabel bebas disebut dega persamaa diferesial parsial. Peyelesaia persamaa diferesial adala suatu fugsi yag memeui persamaa diferesial da juga memeui kodisi awal yag diberika pada persamaa tersebut (Dr. Ir. Bambag Triatmojo, 99). Di dalam peyelesaia persamaa diferesial secara aalitis adala mecari peyelesaia umum yag megadug kostata sembarag, kemudia megevaluasi kostata tersebut sedemikia rupa igga asilya sesuai dega kodisi awal. Metode peyelesaia persamaa diferesial terbatas pada persamaa-persamaa dega betuk tertetu, da biasa aya utuk meyelesaika persamaa liear dega koefisie kosta. Misalka suatu persamaa diferesial biasa order satu seperti dalam persamaa (.) berikut: dy y (.) Peyelesaia dari persamaa (.) adala persamaa (.) berikut: x y Ce (.) Yag memberika bayak fugsi utuk koefisie C. Utuk medapatka peyelesaia tuggal diperluka iformasi tambaa, misalka ilai y(x) da/ atau turuaya pada ilai x tertetu. Utuk persamaa order biasaya diperluka kodisi utuk medapatka peyelesaia tuggal y(x). Apabila semua kodisi diberika kepada x yag sama (misal x 0 ), maka permasalaa disebut dega masala ilai awal. Apabila dilibatka lebi dari satu x, permasalaa disebut dega problem ilai batas. Misalka persamaa (.) disertai dega kodisi awal seperti dalam persamaa (.3) berikut: x = 0, y(0) = (.3) substitusi persamaa (.3) ke dalam persamaa (.) memberika: = Ce 0 Atau C = Dega demikia peyelesaia tuggal yag memeui persamaa: Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009 dy y, y(0) = adala: y = e x Metode peyelesaia umerik tidak ada batasa megeai betuk persamaa diferesial. Peyelesaia berupa tabel ilai-ilai umerik dari fugsi utuk berbagai variabel bebas. Peyelelesaia suatu persamaa dilakuka pada titik-titik yag ditetuka secara beruruta. Utuk medapatka asil yag lebi teliti, maka jarak (iterval) atara titik-titik yag beruruta tersebut dibuat kecil. Misalka aka diselesaika persamaa (.) da (.3). Peyelesaia dari persamaa tersebut adala mecari ilai y sebagai fugsi dari x. Persamaa diferesial memberika kemiriga kurva pada setiap titik sebagai fugsi x da y. Beberapa Pegertia Dalam Persamaa Diferesial Di dalam persamaa diferesial dikeal beberapa pegertia yaitu: a. Orde dari persamaa diferesial ditetuka ole orde tertiggi dari turua yag terdapat di dalamya. Sedagka derajat dari persamaa diferesial ditetuka ole pagkat tertiggi dari orde turua. b. Persamaa diferesial parsial disajika dalam persamaa (.4) berikut: z z yx 0 (.4) x xy c. Persamaa diferesial tak liier orde dapat ditulis dalam betuk persamaa (.5) berikut: F(x,y,y',y",y ''',.,y) = 0 (.5) d. Peyelesaia umum adala peyelesaia yag memuat kostata parameter yag bayakya sama dega orde persamaa diferesial tersebut. e. Kodisi awal yaitu suatu ilai tertetu yag diguaka utuk mecari peyelesaia partikuler. f. Peyelesaia partikuler adala suatu peyelesaia, bila kostata parameter tela diyataka dega suatu arga tertetu. 3 Jeis Persamaa Diferesial Persamaa diferesial ada beberapa jeis atara lai: a. Persamaa diferesial orde satu ditulis dalam betuk persamaa (.6) berikut: dy F ( x, y) (x,y) = 0 atau bisa juga ditulis: F(x,y)dy + (x,y) = 0 (.6) b. Persamaa diferesial yag ditulis dalam betuk persamaa (.7) berikut: dy = Py + Qy + R (.7) c. Persamaa diferesial orde satu derajat tiggi yag ditulis dalam betuk persamaa (.8) berikut: dy f x. y, 0 (.8) d. Persamaa diferesial orde tiggi yag ditulis dalam betuk persamaa (.9) berikut: d y d y a0 a a y f ( x) (.9) d Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag 3

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009 4 Metode Euler Metode Euler adala sala satu metode satu lagka yag palig sederaa, bila dibadigka dega beberapa metod laiya, metode ii petig utuk mempelajari metode laiya. Metode Euler dapat dituruka dari deret Taylor dalam persamaa (.0) berikut: y + = y + y +! y"+ 3 3! y + (.0) Apabila ilai kecil, maka suku yag megadug pagkat lebi tiggi atau sama dega adala sagat kecil da dapat diabaika, seigga didapat persamaa (.) berikut: y + = y + y (.) Dega membadigka persamaa (.0) da (.) maka dapat disimpulka bawa dalam metode Euler, kemiriga = y = f (x,y ) seigga persamaa (.) dapat ditulis dalam persamaa (.) berikut: y + = y + f(x, y ) (.) Formula ii aka diguaka di titik yag megubugka x utuk medapatka peyelesaia umerik utuk persamaa diferesial y = f(x,y) yag dapat diuraika dalam persamaa (.3) berikut: y = y 0 + f (x 0, y 0 ) y = y + f(x, y ) y = y - + f(x -, y -) dega memili ilai, ilai y dapat diitug dega megguaka syarat awal (y 0 ) yag diberika dalam persamaa diferesial. Algoritma Euler. Utuk persamaa y = f(x.y), dega y(x 0 ) = y 0, diatara iterval [a,b]. b a. Pili lagka ilai awal = da tetuka x + = x + =0,,,3, 3. Betuk aproksimasi y teradap y(x ) dari rekursi: y + = y + f(x,y ) 4. Tetuka ilai kesalaa dega megguaka rumus: E = y' ( ) 5 Metode Ruge-Kutta Metode Ruge-Kutta adala suatu metode persamaa diferesiasi lagka satu yag dikembagka ole dua ali yaitu Ruge da Kutta, seperti yag tela dijelaska di atas, dalam meyelesaika persamaa diferesiasi membutuka turua yag lebi tiggi utuk mecapai derajat ketelitia tepat, aka tetapi dalam metode Ruge-Kutta ii, dalam mecapai derajat yag lebi tiggi tidak membutuka turua yag sagat kompleks, al ii didasarka atas pertimbaga bawa bila turua f(x) yag dikembagka sampai mecapai derajat yag lebi tiggi aka mecapai suatu kerumita dalam memecaka permasalaa tersebut, seigga pemecaa seperti algoritma Taylor tidak bisa diterima sebagai prosedur umum serbagua. Dalam mecapai suatu derajat ketelitia yag tiggi, metode Ruge-Kutta megevaluasi fugsi f(x,y) pada titik terpili dalam setiap subselag, seigga tidak membutuka turua dari fugsi. Betuk umum metode Ruge-Kutta adala dalam persamaa (.4) berikut: y + = y + (x,y, ) (.4) Dega ( x,y, ) adala fugsi pertambaa yag merupaka kemiriga rerata pada iterval. Fugsi pertambaa dapat ditulis dalam betuk persamaa (.5) berikut: a k.a k..a k (.5) dega a adala kostata da k adala: Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag 4

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009 k.f(x.y ) k f(x +p,y +q k ) k 3 f(x +p,y +q k ) k f(x +p i-,y +q i- k +q i-, k + +q i-,i- k i- ) Persamaa tersebut meujukka bawa ilai k mempuyai ubuga beruruta. Nilai k mucul dalam permasalaa k, yag keduaya juga mucul dalam persamaa k 3, da seterusya. Hubuga yag beruruta ii membuat metode Ruge-Kutta adala efisie utuk ituga komputer. Ada beberapa tipe metode Ruge-Kutta yag tergatug pada ilai yag diguaka. Utuk =, yag disebut metode Ruge-Kutta orde satu, di sii utuk megitug peyelesaia persamaa diferesial dega megguaka metode Adams Basfort aka diguaka metode Ruge-Kutta orde empat utuk meetuka (y 0,f 0 ), (y,f ),(y,f ) da (y 3,f 3 ). Rumus metode Ruge- Kutta orde empat adala seperti persamaa (.7) berikut: y + = y + 6 dimaa: k = f(x,y ) k = f(x,+ k 3 = f(x,+ (k + k + k 3 + k 4 ) (.7),y +,y + k k ) (.8) ) k 4 = f(x,+,y + k 3 ) Metode Ruge-Kutta merupaka bagia dari lagka yag bisa diguaka di dalam algoritma metode Adams Basfort 6 Algoritma Ruge-Kutta Orde 4. Tetuka dy =f(x,y),, pili iterval peyelesaia yaitu I=[a,b] atau dibetuk partisi pada iterval [a,b]. a = x 0 < x < x <. <x = b sedemikia igga cukup kecil b a. Hitug ilai 3. Tetuka ilai awal x yaitu: x 0 = a x + = x + 4. Harga pedekata y + dari y(x + ) diperole dari formula: y + = y + 6 (k + k + k 3 + k 4 ) dimaa: k = f(x,y ) k k = f(x +,y + ) k k 3 = f(x +,y + ) k 4 = f(x +,y + k 3 ) Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag 5

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009 Iterasi i = 0 y = y 0 + 6 dimaa k = f(x 0,y 0 ) Iterasi i = (k + k + k 3 + k 4 ) k k = f x, 0 y k k 3 = f x 0, y k 4 = f(x 0,+,y 0 + k 3 ) y = y + 6 dimaa k = f(x,y ) k = f x Iterasi i = - (k + k + k 3 + k 4 ) k, y k k 3 = f x, y k 4 = f(x,+,y + k 3 ) y + = y + 6 (k + k + k 3 + k 4 ) dimaa: k = f(x -,y - ) k k = f x, y k k 3 = f x, y k 4 = f(x -,+,y - + k 3 ) 5. Barisa {y, y, y3,.y -} merupaka barisa peyeleasaia umerik dari persamaa yag diberika. Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag 6

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009 PERANCANGAN SISTEM. Racaga Iput da Output a. Racaga Iput Iput / masuka yag diperluka dalam peyelesaia persamaa diferesial adala sebagai berikut : dy. f ( x, y) persamaa diferesial yag aka dicari peyelesaiaya. Dega megguaka fugsi eksak ii maka aka dicari peyelesaia secara eksak seigga asilya ati bisa dibadigka dega peyelesaia secara umeris. Jika fugsi eksak tidak diketaui maka utuk fugsi eksak tidak perlu di iputka.. Nilai a da b Nilai awal iterval yag dijadika sebagai pedekata rata rata pada semua iterval. Nilai a adala ilai x awal (x o ) da ilai b adala ilai x akir (x akir ). 3. Nilai yo adala ilai awal y 4. Nilai adala bayakya partisi dalam iterval atara a da b b. Racaga Output Output / keluara yag aka ditampilka adala sebagai berikut :. Nilai x. Nilai y diitug secara umeris 3. Nilai y eksak dimaa ilai y eksak merupaka peyelesaia eksak dari persamaa diferesial, jika fusi eksak tidak diiputka, maka output ilai y eksak tidak ditampilka. 4. Nilai error adala didapatka dari ilai absolut selisi atara ilai y di itug secara umeris da ila y eksak, jika ilai eksak tidak ada maka output ilai error tidak ditampilka.. Metode Adams Basfort Metode Adams Basfort pegguaaya tidak dapat berdiri sediri. Agar metode ii dapat diguaka diperluka data awal sebayak m bua. Utuk mecari ke m data tersebut (yag merupaka pasaga ilai (xi, yi) utuk i =,,, m dega yi merupaka ilai pedekata y (xi) yag merupaka peyelesaia yag dicari arus memperguaka metode lai. misalya dalam karya tulis ii aka diperguaka metode Ruge-Kutta. Disampig metode Ruge-Kutta bisa juga diguaka metode laiya utuk mecari peyelesaia masala ilai persamaa ilai biasa orde satu. dy = f (x,y) y (a) = y 0 Pada iterval a, b Terutama pada pegguaa algoritma Taylor da metode Ruge Kutta aya diperluka data pada suatu titik x = x da dega data ii diperguaka utuk meetuka ilai pedekata y pada titik x = x +. Pada pegguaa metode Adams Basfort diperluka data utuk beberapa titik, yaitu misalka diketaui ilai-ilai y da y pada titik-titik x 0, x, x, x. Dasar pemikira pada metode Adams Basfort ii adala prisip pada itergrasi umerik. Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag 7

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009 Bila kedua ruas persamaa differesial y = f (x,y) diitergralka dari x sampai x + maka aka diperole : x x y' x x f (x, y(x)) Atau dapat juga ditulis seperti dalam persamaa (3.) berikut : y + = y + f (x,y (x)) (3.) x x Utuk mecari itegral diruas kaa dapat diperguaka rumus mudur dari Newto dega memafaatka ilai-ilai pedekata f (x,y) (x)) pada (m + ) bua titik x, x +,.., x + m, yaitu (m + ) bua diatara data yag diberika, maka otasiya mejadi sebagai berikut : F (x k, y (x k )) = f k Rumus mudur dari Newto orde m diguaka utuk : s k k P m (x) = ) Δ f s = x x ( k k Jika dimasukka ke dalam persamaa (3.) maka aka diperole rumus seperti dalam persamaa (3.) berikut : Y + = y + y m 0f v yδf... ymδ f m (3.) Utuk m = 3 diguaka tabel deferesi maka rumus (3.) aka mejadi seperti dalam persamaa (3.3) berikut : Y + = y + 5 3 3 f Δf Δ f Δ f 3 (3.3) 8 Dega megguaka defiisi operator deferesi maju maka : Δf f f Δ Δ f 3 f 3 f f f 3f f 3f Jika disubstitusika ke dalam (3.) maka aka diperole rumus persamaa (3.4) berikut : y + = y + (55f 59f - + 37f - 9f -3 ) (3.4) 4 f 3 a. Algoritma Metode Basfort dy. Tetuka = f (x,y), iterval = (a,b), y0,, x 0 = a. Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag 8

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009. Hitug = b a 3. Utuk i = sampai dega + itug x + = a + i. 4. Guaka formula metode Ruge Kutta atau metode Euler utuk meetuka y 0, y, y, y 3 da f 0, f, f, f 3. 5. Hitug ilay y + utuk = 3, 4,.. dega megguaka rumus : y + = y + 4 6. Hitug ilai : f + = f (x +, y + ) b. Diagram Alir Metode Adams Basfort (55f 59f - + 37f - 9f -3 ) Mulai iput f(x,y),y0,, I=[a,b] for x(0)=a x(+)=x()+ for =0:3 Metode Euler/Rk y0,y,y,y3 da f0,f,f,f3 for 3 : y(+)=y()+(55*f()-59*f(-)+37*f(-)-9*f(-3))/4 f()=f(x(),y()) cetak,x(),y() Selesai Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag 9

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009 c. Peyelesaia Coto Soal Secara Maual Megguaka Metode Adams BasFort Berikut ii coto soal yag aka diselesaika secara maual dega megguaka Metode Basfort. Coto : Jawab : dy = = 0, = x + y. yo =, iterval = b a 5 = 0., = 5 x + = x + =0,,,3,4,5 x 0 = 0 x = 0 + 0. = 0. x = 0. + 0. = 0.4 x 3 = 0.4 + 0. = 0.6 x 4 = 0.6 + 0. = 0.8 x 5 = 0.8 + 0. = Diitug dega megguaka metode Ruge Kutta maka didapatka ilai y 0, y, y da Y 3 sebagai berikut : y 0 = 0 y =.48 y =.5836 y 3 =.044 y + = y + 4 Dega = 0. Dimaa : f 0 = f (x 0, y 0 ) f 0 = 0 + 0 = 0 (55 f + 37 f 9 f 3 ) f = f (x, y ) f = 0. + 0.04 = 0.4 f = f (x, y ) f = 0.4 + 0,09880 f = 0.49880 f 3 = f (x 3, y 3 ) f 3 = 0.6 + 0.065 f 3 = 0.8065 = 3 y 4 = y 4 + (55 f3 59 f + 37 f - 9 f 0 ) 4 0. y 4 = 0.065 + 4 (55 * 0.8065 59 * 0.49880 + 37 * 0.4 9 * 0) Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag 0

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009 y 4 =,6507 = 4 y 5 = y 4 + 4 y 5 = 0.453598 + 0.4) y 5 = 0.453598 + y 5 = 3.4356 (55 f 4 59 f 3 + 37 f - 9 f ) 0. 4 0. 4 (55 *.53598 59 * 0.8065 + 37 * 0.49880 9 * (35.09575) Seigga didapat tabel peyelesaia sebagai berikut : x Y 0.0000 0..48 0.4.5836 0.6.044 0.8.6507 3.4356 IMPLEMENTASI DAN PEMBAHASAN. Pembaasa Berikut ii aka dibaas beberapa coto soal yag pera dijumpai dalam keidupa mausia, yag aka diselesaika dega megguaka program komputer yag megaplikasika metode Adams Basfort. Coto 4. Suatu kakas yag araya tetap, besarya beruba dega waktu diyataka sebagai persamaa F = 30 - t, dimaa F dalam Newto da t dalam seko, bekerja pada sebua titik massa 3 kg, selama 3 seko. Jika titik massa tersebut mula-mula diam, berapa kecepata akir titik massa tersebut? Peyelesaia : Rumus percepata titik massa adala a= m F, dega F = 30 t da titik massa (m) adala 3 kg dv 30 t maka didapat, pada persamaa percepata titik massa variabel yag diguaka dt 3 utuk kecepata adala v (dalam m/s) da waktu adaala t (dalam s). Sebelum melakuka pemasukka data variabel yag diguaka dalam persamaa percepata titik massa, dimodifikasi Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009 sesuai dega variabel yag diguaka dalam program komputer, maka variabelya aka mejadi variabel x utuk waktu da variabel y utuk kecepata. Maka persamaa diferesialya mejadi : dy 30 x 3 dimaa titik massa mula-mula diam berarti saat waktuya 0 kecepataya juga 0, seigga : y0 = 0, atara selag waktu a sampai b = [0,3], dega = 5 seigga didapat selisi waktu. Dega memasukka data tersebut, maka aka diperole asil perituga ole komputer sebagai berikut : Peyelesaia Persamaa Diferesial Megguaka Metode Adams Basfort dy/ = (30-*x^)/3 fugsi eksak = - y0 = 0.000 = 5.000 a = 0.000 b = 3.000 Diperole Hasil Perituga Sebagai Berikut : ( x) 0. ------ ---------- ------------------ --------------- -------- i x y Numeris y Eksak error ------ ---------- ------------------ --------------- -------- 0 0.0000 0.000000000 - - 0.000.998 - - 0.4000 3.985777778 - - 3 0.6000 5.95000000 - - 4 0.8000 7.886 - - 5.0000 9.777777778 - - 6.000.66000000 - - 7.4000 3.390 - - 8.6000 5.089777778 - - 9.8000 6.704000000 - - 0.0000 8. - -.000 9.633777778 - -.4000 0.98000000 - - 3.6000.094 - - 4.8000 3.777778 - - 5 3.0000 4.000000000 - - Pada peyelesaia di atas dapat diliat utuk kolom x adala waktu (dalam detik ) da kolom y adala kecepata (dalam m/s), pada perituga akir didapat bawa kecepata akir titik massa adala 4 m/s. Perubaa kecepata titik massa dalam selaaag waktu 0. juga dapat dalam betuk grafik, seperti pada Gambar berikut : Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009 5 Grafik Peyelesaia Persamaa Diferesial dy/ =(30-*x )/3 0 5 y 0 5 0 0 0.5.5.5 3 3.5 Gambar Grafik Peyelesaia Diferesial dy Keteraga : Sumbu x utuk waktu (dalam satua seko) Sumbu y utuk kecepata (dalam satua m/s) 30 x 3 Coto 4. Laju seorag peerju payug selama melayag di udara setela payugya megembag adala gm ct / m v( t) e dimaa g = 9.8 masyarakat - adala percepata gravitasi, m = 68. kg adala c masa peerju, c =.5 kgs - adala ambata udara. Berapa jarak yag ditempu ole peerju tersebut selama 0 detik? Sebagai titik awal adala [0.0], yaitu posisi peerju pada waktu meiggalka pesawat terbag. Peyelesaia Bila jarak yag dilalui ole peerju diselesaika secara aalitis, maka aka diitug dega cara megitegralka persamaa laju peerju, dega cara meyelesaika persamaa diferesial yag terjadi dari ubuga : d( t) v( t) dt Karea dalam program computer megguaka variable x da y, sedagka persamaa diferesial diatas megguaka variable t da maka persamaaa laju diatas dimodifikasi sebagai berikut: dy gm cx / m e c dimaa : g = 9.8 ms -, m = 68. kg, c =.5 kgs.utuk selisi waktu ( X ) 0. 5.Dega megiputka data tersebut, maka aka diperole asil perituga ole komputer sebagai berikut : Peyelesaia Persamaa Diferesial x Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag 3

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009 Megguaka Metode Adams Basfort dy/ = 9.8*68./.5*(-exp(-.5*x/68.)) fugsi eksak = - y0 = 0.000 = 0.000 a = 0.000 b = 0.000 Diperole Hasil Perituga Sebagai Berikut : ------ ------------- ----------------------- --------------- --------------- i x y Numeris y Eksak error ------ ------------- ----------------------- --------------- --------------- 0 0.0000 0.000000000 - - 0.5000.8836847 - -.0000 4.634630 - - 3.5000 0.07940676 - - 4.0000 7.4070583 - - 5.5000 6.43335776 - - 6 3.0000 37.00887059 - - 7 3.5000 48.99805045 - - 8 4.0000 6.7688937 - - 9 4.5000 76.73098 - - 0 5.0000 9.606989 - - 5.5000 08.768574 - - 6.0000 6.69680798 - - 3 6.5000 44.38584985 - - 4 7.0000 63.345555633 - - 5 7.5000 8.983596555 - - 6 8.0000 03.4048854 - - 7 8.5000 4.06963773 - - 8 9.0000 45.3985340 - - 9 9.5000 67.04969443 - - 0 0.0000 89.4405675 - - Utuk pemasuka data fugsi eksak tidak diisika karea peulis megaggap persamaa laju peerju sulit utuk dicari fugsi eksakya seigga peyelesaiaya dicari secara umeris saja. Pada peyelesaia di atas dapat diliat utuk kolom x adala waktu (dalam detik) da kolom y adala jarak (dalam meter) yag ditempu ole peerju, semaki lama semaki pajag jarak yag dilalui ole peerju. Jarak yag ditempu peerju juga dapat dalam betuk grafik, seperti dalam Gambar berikut : Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag 4

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009 300 Grafik Peyelesaia Persamaa Diferesial dy/ =9.8*68./.5*(-exp(-.5*x/68.)) 50 00 y 50 00 50 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 x dy 9.8*68..5* x / 68.5 Gambar Grafik Peyelesaia Persamaa Diferesial e Keteraga : Sumbu x utuk waktu (dalam satua seko) Sumbu y utuk jarak (dalam satua m).5 PENUTUP. Kesimpula. Peyelesaia persamaa diferesial adala suatu fugsi yag memeui persamaa diferesial da juga memeui kodisi awal yag diberika pada persamaa tersebut.. Utuk mecari peyelesaia persamaa diferesial diperluka suatu syarat ilai awal yaitu ilai y 0, ilai x 0 = a, x akir = b, da bayakya partisi dalam iterval a sampai b. 3. Rumus metode Adams Basfort tidak dapat berdiri sediri, tetapi memerluka rumus metode lai. 4. MATLAB mempuyai karakteristik sedikit lebi lambat bila dibadigka dega Fortra atau C karea baasaya lagsug diartika. 5. Dega adaya program peyelesaia persamaa diferesial maka solusi dapat dicari dega cepat tapa ada resiko kesalaa dalam perituga.. Sara. Program ii aya mampu utuk meyelesaika persamaa diferesial biasa orde satu. Utuk itu perlu dikembagka program yag dapat meyelesaika persamaa diferesial orde yag lebi tiggi. Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag 5

Jural Ilmia Tekologi da Iformasi ASIA Vol. 3 No. April 009. Program ii aya mampu meampilka solusi dalam betuk tabel da grafik. Supaya peggua lebi megerti dega solusi yag diperole, solusi perlu ditampilka dalam betuk lai. DAFTAR PUSTAKA Bambag Triatmodjo, Dr., Ir., CES., DEA, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta, 99. Duace Haselma & Bruce Littlefield, MATLAB Baasa Komputasi Tekis, Adi Offset, Yogyakarta, 000. Hasyim Baisui, H.M., Kalkulus, Uiversitas Idoesia, Jakarta, 986. Jo H. Matews, Numerical Metods, Pretice-Hall Iteratioal, Ic, 987. Jo Pey, Dr., & George Lidfield, Numerical Metods Usig Matlab, Departmet of Mecaical Egieerig, Asto Uiversity, 995. Cote, D.D., & Carl de Boor, Dasar-dasar Aalisis Numerik Suatu Pedekata Algoritma, Erlagga, Jakarta, 993. Sekola Tiggi Maajeme Iformatika da Komputer ASIA Malag 6