sejumlah variabel keputusan; fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut sebagai fungsi objektif nilai variabel-variabel keputusannya memenuhi suatu himpunan kendala yang berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear 3 terdapat pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Misalkan untuk sembarang variabel nilai dari harus taknegatif ( ) atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted in sign). Definisi 3 (Bentuk Standar Pemrograman Linear) Misalkan diberikan suatu pemrograman linear (PL) dengan m kendala dan n variabel ( ). Bentuk standar dari PL tersebut adalah: maksimumkan z (atau minimumkan) dengan kendala: () () (3) (... ). Kendala () () dan (3) dapat ditulis dalam bentuk: Ax b dengan (4) A.. Solusi Pemrograman Linear Suatu PL dapat diselesaikan dengan berbagai metode salah satunya adalah metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan suatu solusi yang optimum bagi PL yang menggunakan proses iteratif pada penyelesaiannya. Vektor x yang memenuhi kendala disebut solusi. Misalkan matriks A dinyatakan sebagai A (B N) dengan B adalah matriks taksingular berukuran m m yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks berukuran m (n m) yang elemenelemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Misalkan vektor x dinyatakan sebagai x dengan adalah vektor variabel basis dan adalah vektor variabel nonbasis maka dapat dinyatakan sebagai : ( ) B N b. (5) Matriks B memiliki invers karena merupakan matriks taksingular sehingga dari (5) dapat dinyatakan sebagai: (6) dan fungsi objektifnya berubah menjadi: minimumkan z. Definisi 4 (Daerah Fisibel) Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut. Definisi 5 (Solusi Basis) Misalkan terdapat suatu masalah PL AxB yang dibentuk dari m persamaan linear dan n variabel (n m). Solusi basis dari AxB dapat diperoleh dengan mengatur nilai n-m variabel sama dengan nol dan menyelesaikan m variable sisanya. Cara tersebut dapat menghasilkan nilai yang unik untuk m variable sisanya. Kolom-kolom untuk m variabel sisanya adalah bebas linear. Definisi 6 (Solusi Fisibel Basis) Solusi fisibel basis adalah solusi basis pada PL yang semua variabel-variabelnya taknegatif. Definisi 7 (Solusi Optimum) Solusi optimum suatu PL untuk masalah maksimisasi merupakan suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Sedangkan solusi optimum suatu PL untuk masalah minimisasi adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil. Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis diberikan dalam Contoh. Contoh Misalkan diberikan PL berikut: minimumkan z 3 terhadap 3. (7)
3 Dari PL tersebut diperoleh: A PL-relaksasi untuk masalah minimisasi lebih kecil atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif ILP. b. 3 Misalkan dipilih: ( ) dan ( maka matriks basisnya adalah: B N ( 3 ) (.3 Algoritme Branch and Bound ) ) dengan menggunakan matriks basis tersebut diperoleh: ( ) 8. 5 (8) Solusi (8) merupakan solusi basis karena memenuhi kendala pada PL (7) dan kolomkolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (8) yaitu B bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (8) juga merupakan solusi fisibel basis karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol. Definisi 8 (Integer Linear Progamming) Integer linear progamming (ILP) adalah suatu pemrograman linear yang variabelnya merupakan bilangan bulat yang taknegatif. Apabila semua variablenya merupakan bilangan bulat maka ILP disebut sebagai pure integer progamming. Masalah ILP yang hanya beberapa variabelnya saja berupa bilangan bulat disebut sebagai mixed integer progamming. Selain itu masalah ILP yang semua variabelnya harus bernilai atau disebut sebagai integer progamming -. Definisi 9 (Pemrograman Linear Relaksasi) Relaksasi pemrograman linear atau sering disebut PL-relaksasi merupakan suatu pemrograman linear yang diperoleh dari suatu ILP dengan menghilangkan kendala integer atau kendala - pada setiap variabelnya. Nilai optimum fungsi objektif PL-relaksasi untuk masalah maksimisasi lebih besar atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif ILP. Sedangkan nilai optimum fungsi objektif Solusi optimum dari masalah ILP pada karya ilmiah ini dicari menggunakan perangkat lunak LINGO. yaitu sebuah program yang dirancang untuk menentukan solusi model linear nonlinear dan optimisasi integer. Perangkat lunak LINGO. ini menggunakan algoritme branch and bound untuk menyelesaikan masalah ILP. Menurut Taha (975) terdapat dua konsep dasar dalam algoritme branch and bound yaitu: Branching Branching (pencabangan) adalah proses membagi permasalahan menjadi subproblemsubproblem yang mungkin mengarah ke solusi. Bounding Bounding (pembatasan) adalah suatu proses untuk mencari atau menghitung batas atas (dalam masalah minimisasi) dan batas bawah (dalam masalah maksimisasi) untuk solusi optimum subproblem yang mengarah ke solusi optimum ILP. Metode branch and bound diawali dengan menyelesaikan PL-relaksasi dari suatu ILP. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimum sudah berupa integer maka solusi tersebut merupakan solusi optimum ILP. Jika tidak dilakukan pencabangan dan penambahan batasan kendala pada PL-relaksasinya. Menurut Winston (4) pada kasus maksimisasi nilai fungsi objektif optimum dari ILP nilai fungsi objektif optimum dari PL-relaksasi sehingga nilai fungsi objektif optimum PL-relaksasi merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimum untuk masalah ILP. Selain itu untuk masalah maksimisasi nilai fungsi objektif optimum suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimum masalah ILP asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah ILP artinya fungsi objektif dan semua variabelnya sudah bernilai integer. Suatu subproblem dikatakan terukur (fathomed) jika terdapat situasi sebagai berikut: subproblem tersebut takfisibel sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimum untuk ILP
4 subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimum dengan semua variabelnya bernilai integer; jika solusi optimum ini mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimum dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah (dalam masalah maksimisasi) dan batas atas (dalam masalah minimisasi); subproblem tersebut dimungkinkan menghasilkan solusi optimum masalah ILP 3 nilai fungsi objektif optimum subproblem tersebut tidak melebihi batas bawah saat itu (untuk masalah maksimisasi) maka subproblem ini dapat dieliminasi. Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch and bound. Langkah Definisikan z sebagai batas bawah dari nilai fungsi objektif (solusi) ILP yang optimum dan tetapkan z serta i. Langkah Subproblem PL( ) dipilih sebagai bagian masalah berikutnya untuk diperiksa. Subproblem tersebut diselesaikan dan diukur dengan kondisi yang sesuai. a) Jika PL( ) terukur dan solusi ILP yang lebih baik ditemukan maka batas bawah z diperbarui. Jika tidak bagian masalah (subproblem) baru i dipilih dan langkah diulangi. Jika semua subproblem telah diperiksa maka proses dihentikan. b) Jika PL( ) tidak terukur proses dilanjutkan ke langkah untuk melakukan pencabangan PL( ). Langkah Pilih salah satu variabel yang nilai optimumnya adalah dan tidak memenuhi batasan integer dalam solusi PL( ). Kemudian bidang x*j x j x*j dipecah menjadi dua subproblemyaitu x j x*j dan x j x*j dengan [ ] didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan. Jika PL( ) masih tidak terukur maka kembali ke langkah. (Taha 996) Ilustrasi dari masalah ILP yang akan diselesaikan dengan algoritme branch and bound diberikan pada Contoh. Contoh Misalkan diberikan ILP sebagai berikut maksimumkan z 6x x terhadap x x 8x x 9 x x x x bilangan bulat. (8) Algoritme branch and bound untuk menyelesaikan ILP (8) dimulai dengan mencari solusi PL-relaksasi yang disebut sebagai subproblem. Solusi optimal dari PLrelaksasi adalah z 8.5 x 3.75 dan x.5 yang dapat dilihat di Lampiran. Berdasarkan teori yang telah diberikan sebelumnya bahwa nilai optimum z dari ILP nilai optimum z dari PL-relaksasi maka nilai optimum z dari ILP (8) tidak dapat melebihi 8.5. Kemudian nilai optimum z dari PL-relaksasi ditetapkan sebagai batas atas. Langkah selanjutnya adalah memartisi wilayah fisibel dari PL-relaksasi untuk menemukan solusi optimal dari ILP (8). Nilai dari varibel x dan x pada PL-relaksasi belum menunjukkan nilai yang integer. Oleh karena itu partisi dapat dimulai dengan melihat nilai x atau x. Misalkan variabel pertama yang akan dipartisi adalah x. Setiap titik pada wilayah fisibel ILP (8) harus memenuhi x 3 atau x 4 sehingga pencabangan dari variabel x menghasilkan dua subproblem yakni subproblem dan 3. Subproblem merupakan subproblem dengan kendala tambahan x 4 dan subproblem 3 merupakan subproblem dengan kendala tambahan x 3. Solusi optimal dari subproblem adalah z 8 x 4 dan x.8 yang dapat dilihat di Lampiran. Nilai x dari subproblem belum berupa integer sehingga dilakukan pencabangan yang menghasilkan subproblem 4 dan 5. Subproblem 4 merupakan subproblem dengan kendala tambahan x dan subproblem 5 merupakan subproblem dengan kendala tambahan x. Terdapat tiga subproblem yang belum diselesaikan yakni 3 4 dan 5. Berdasarkan aturan LIFO (last-infirst-out) subproblem yang akan diselesaikan terlebih dahulu adalah subproblem 4 atau 5. Misalkan dipilih subproblem 4 solusi dari subproblem 4 ternyata takfisibel yang dapat dilihat di Lampiran. Oleh karena itu subproblem 4 tidak dapat dijadikan sebagai solusi optimal ILP (8). Sedangkan solusi
5 optimal dari subproblem 5 adalah z 8. x 4.44 dan x yang dapat dilihat di Lampiran. Nilai x pada subproblem 5 belum berupa integer sehingga dilakukan kembali pencabangan menjadi subproblem 6 dan 7. Subproblem 6 merupakan subproblem 5 dengan kendala tambahan x 5 dan kendala tambahan x 4 untuk subproblem 7. Terdapat tiga subproblem yang belum diselesaikan yakni 3 6 dan 7. Berdasarkan aturan LIFO subproblem yang harus diselesaikan terlebih dahulu adalah subproblem 6 dan 7. Misalkan dipilih subproblem 7. Solusi optimal dari subproblem 7 adalah z 74 x 4 dan x yang dapat dilihat di Lampiran. Nilai variabel x dan x dari subproblem 7 sudah berupa integer sehingga solusi tersebut merupakan solusi yang fisibel dan merupakan kandidat solusi optimal ILP (8). Kemudian nilai z 74 dijadikan sebagai batas bawah. Solusi dari subproblem 6 adalah z 8 x 5 dan x yang dapat dilihat di Lampiran. Setiap variabel keputusan dari subproblem 6 juga sudah berupa integer sehingga turut menjadi salah satu kandidat solusi optimal dari ILP (8). Nilai z pada subproblem 6 lebih besar dari nilai z pada subproblem 7 sehingga batas bawah diganti menjadi z 8. Subproblem 3 merupakan satu-satunya masalah yang belum diselesaikan. Solusi dari subproblem 3 adalah z 78 dan x x 3 yang dapat dilihat di Lampiran. Walaupun setiap variabel dari subproblem 3 sudah berupa integer nilai z-nya kurang dari batas bawah yakni z 8. Oleh karena itu subproblem 6 dipilih menjadi solusi optimal ILP (8) dengan nilai z 8 x 5 dan x. Bagan dari penyelesaian ILP (8) dengan algoritme branch and bound ditunjukkan pada Gambar..4 Masalah Penjadwalan Job-Shop Masalah penjadwalan job-shop akan dijelaskan dengan terlebih dahulu memahami definisi masalah penjadwalan berikut ini. Masalah Penjadwalan Terdapat tiga istilah yang digunakan dalam pembahasan masalah penjadwalan. Ketiga istilah tersebut adalah pekerjaan (job) prosesor (processor) dan operasi (operation). Pekerjaan merupakan sekumpulan aktivitas yang harus diproses misalnya pembuatan suatu barang pada pabrik manufaktur atau operasi bedah yang akan dilakukan di suatu rumah sakit. Prosesor adalah sumber daya yang digunakan untuk memproses pekerjaan misalnya dapat berupa mesin atau alat-alat kedokteran. Prosesor juga disebut sebagai sumber daya (resource) atau mesin (machine). Operasi merupakan aktivitas pemrosesan dari suatu pekerjaan. Berdasarkan ketiga istilah tersebut masalah penjadwalan dapat diartikan sebagai proses pengalokasian sumber daya untuk suatu operasi pada periode waktu tertentu. (Pham 8) Subproblem z 8.5 x 3.75 x.5 t x 4 t x 3 Subproblem z 8 x 4 x.8 Subproblem 3 z 78 x 3 x 3 x x Subproblem 4 (solusi takfisibel) t3 t7 Subproblem 5 z 8. x 4.44 x x 5 t4 x 4 Subproblem 6 z 8 x 5 x BB 8 Subproblem 7 z 74 x 4 x BB 74 t6 t5 Keterangan: BB Batas Bawah; Fathomed; t Iterasi Gambar Bagan dari penyelesaian ILP (8) dengan algoritme branch and bound. Apabila terdapat dua atau lebih pekerjaan menggunakan prosesor yang sama pada saat yang sama pula maka suatu jadwal belum
6 disebut sebagai jadwal yang fisibel. Kondisi tersebut pada karya ilmiah ini disebut sebagai konflik. Representasi dari penjadwalan dalam suatu industri biasanya ditampilkan dengan menggunakan diagram Gantt (Pham 8). Diagram tersebut memperlihatkan pemrosesan setiap pekerjaan pada sumber daya yang tersedia dalam bentuk balok-balok sepanjang waktu tertentu. Salah satu contoh diagram Gantt ditunjukkan pada Gambar a. Masalah penjadwalan job-shop merupakan masalah pengalokasian sumber daya untuk setiap operasi yang diproses sesuai dengan urutan yang ditentukan. Hal ini dapat diartikan bahwa urutan operasi dari suatu pekerjaan dapat berbeda dengan pekerjaan yang lainnya namun operasi-operasi tersebut diproses berdasarkan jadwal penggunaan mesin yang ditentukan. Apabila dilambangkan secara matematis pada umumnya masalah penjadwalan job-shop memiliki karakteristik sebagai berikut: terdapat sekumpulan n pekerjaan J {J J J3... Jn} terdapat sekumpulan m sumber daya M{M M M3... Mm} setiap pekerjaan memiliki sekumpulan operasi (I); pekerjaan ke-i (Ji) memiliki urutan operasi (oi oi oi3... oik) dengan k merupakan banyaknya operasi yang dilakukan untuk pekerjaan i setiap sumber daya dapat beroperasi maksimum satu operasi dalam selang waktu tertentu setiap operasi dari suatu pekerjaan di sebuah sumber daya membutuhkan sejumlah waktu minimum; waktu minimum pekerjaan ke-i beroperasi di sumber daya ke-j dilambangkan dengan pij untuk i n dan j m. (Shukla ) Tujuan dari penyelesaian masalah penjadwalan job-shop adalah menentukan jadwal suatu pekerjaan yang fisibel dengan mempertimbangkan urutan pemrosesan dan kapasitas dari setiap sumber daya. Salah satu kriteria optimasi pada masalah penjadwalan job-shop adalah meminimumkan waktu maksimum pemrosesan dari setiap pekerjaan (makespan) yang dilambangkan dengan Cmaks (Liu dan Kozan 9). Masalah penjadwalan job-shop dengan meminimumkan Cmaks diilustrasikan pada Contoh 3. Contoh 3 Misalkan diberikan himpunan pekerjaan J{ 3} dan himpunan mesin M { 3}. Setiap pekerjaan ke-i (Ji) memiliki tiga operasi yang harus diproses secara berurutan yakni (oi oi oi3). Penugasan mesin dan waktu pemrosesan untuk setiap operasi diberikan pada Tabel. Tabel Waktu pemrosesan setiap operasi (menit) dari Contoh 3 Mesin 3 Operasi o o o3 o o o3 o3 o3 3 3 Diagram Gantt dari contoh kasus tersebut ditunjukkan pada Gambar dengan makespan pekerjaan J J dan J3 masingmasing sebesar 9 6 dan 6 satuan waktu. Total nilai Cmaks adalah sebesar satuan waktu. Urutan penggunaan mesin pada Gambar dapat diubah sehingga menghasilkan diagram lain yang total nilai Cmaks-nya dapat dibandingkan dengan Cmaks sebelumnya. Misalkan pada Mesin Pekerjaan diproses lebih dulu daripada Pekerjaan 3 sehingga menghasilkan diagram seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3. o33 3 Mesin Mesin Mesin 3 3 4 5 6 7 8 9 Waktu Keterangan: Pekerjaan Pekerjaan 3 Pekerjaan Gambar Diagram Gantt dari Contoh 3 Kombinasi.
7 Mesin Mesin Mesin 3 3 4 5 6 7 8 9 Waktu Gambar 3 Diagram Gantt dari Contoh 3 Kombinasi. Selain itu dari perubahan tersebut dapat dihasilkan diagram baru yakni dengan mengubah urutan penggunaan Mesin 3. Pekerjaan pada Mesin 3 dapat diproses lebih dulu dari Pekerjaan sehingga menghasilkan diagram pada Gambar 4. Total nilai Cmaks dari Gambar 3 dan 4 masing-masing adalah 3 satuan waktu. Nilai tersebut lebih besar dari total nilai Cmaks sebelumnya sehingga untuk kasus meminimumkan dipilih Cmaks yang terkecil (dalam kasus ini satuan waktu). (D Ariano 8) Mesin Mesin Mesin 3 dwell time yaitu waktu tunggu atau lama berhenti suatu kereta api di stasiun tertentu delay yaitu kondisi yang terjadi pada kereta api yang telah selesai menggunakan suatu petak blok namun petak blok berikutnya masih digunakan oleh kereta api yang lain sehingga kereta api tersebut harus menunda perjalanannya time headway yaitu lama waktu minimum antara dua kereta api yang berurutan menggunakan petak blok yang sama baik di stasiun maupun antarstasiun crossing (persilangan) yaitu kondisi ketika dua kereta api yang berlawanan arah menggunakan petak blok yang sama pada suatu waktu tertentu overtaking (penyusulan) yaitu kondisi pada saat dua kereta api yang arahnya sama menggunakan petak blok yang sama pada suatu waktu tertentu. 3 4 5 6 7 8 9 Waktu Gambar 4 Diagram Gantt dari Contoh 3 Kombinasi 3..5 Aturan Umum Perjalanan Kereta Api Jalur Tunggal dan Ganda Sebelum dibahas mengenai aturan umum perjalanan kereta api akan diberikan beberapa penjelasan mengenai istilah-istilah yang digunakan dalam sistem perkeretaapian sebagai berikut: sinyal yaitu tanda isyarat pada permulaan jalur yang akan dilintasi kereta api untuk memberi informasi apakah kereta api dapat melintas harus berhenti atau mengurangi kecepatan petak blok yaitu segmen jalur di antara dua sinyal berurutan baik di dalam stasiun maupun antarstasiun; satu petak blok hanya dapat digunakan satu kereta api pada suatu waktu tertentu sidding yaitu petak blok yang terdiri atas minimal dua jalur jalur tunggal yaitu satu jalur yang dapat digunakan kereta api dengan dua arah berlawanan jalur ganda yaitu dua jalur yang dapat digunakan kereta api dengan arah yang sama atau berlawanan Aturan umum yang berlaku pada perjalanan kereta api adalah sebagai berikut: aturan penundaan pada kasus persilangan dan penyusulan yaitu apabila akan terjadi persilangan atau penyusulan salah satu kereta api harus ditunda perjalanannya di stasiun atau sidding aturan headway yaitu antara dua kereta api berurutan dalam suatu segmen jalur terdapat jarak aman dalam waktu tertentu sehingga akan menghindari terjadinya tabrakan antarkereta api aturan kecepatan rata-rata minimum dan maksimum kereta api dalam melakukan perjalanan di suatu petak blok yang ditentukan berdasarkan jarak dan waktu tempuh di petak blok tersebut. (Higgins et al. 996) Aturan persilangan pada jalur ganda tidak berlaku. Hal tersebut karena terdapat dua jalur yang dapat digunakan untuk dua kereta api berlawanan arah. Contoh sebuah ilustrasi perjalanan kereta api jalur tunggal dapat dilihat pada Gambar 5. Gambar 5 menunjukkan bahwa terdapat enam stasiun {s s s6} dan delapan petak blok {r r... r8}. Stasiun s dan s dipisahkan oleh dua petak blok { r r} antara stasiun s3 dan s4 terdapat tiga petak blok { r4 r5 r6} dan yang lainnya hanya dipisahkan oleh satu petak blok. Petak blok antarstasiun yang lebih dari satu membentuk petak jalan dan antarpetak blok dipisahkan oleh sinyal (Yuliawan 8).