Bab 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

Transkripsi

1 Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dewasa ini, manusia sering dihadapi oleh permasalahan melibatkan optimasi tujuan ganda (multi-objective), contohnya dalam hal perencanaan atau peramalan pasar yang biasanya pihak manajemen perusahaan akan melakukan survey terhadap produk yang digemari oleh konsumen, yang selanjutnya akan memproduksi produk tersebut semaksimal mungkin sesuai dengan selera konsumen sekaligus meminimumkan biaya produksi sesuai dengan batasanbatasan yang ada. Dalam beberapa permasalahan, terkadang pihak manajemen membutuhkan hasil atau solusi yang merupakan bilangan bulat. Permasalahan ini disebut juga dengan multi-objective integer programming atau juga dikenal dengan istilah goal programming. Multi-Objective Integer Programming (MOIP) dapat dilihat sebagai bentuk pengembangan dari Integer Programming (IP) yang dapat digunakan dalam pengambilan keputusan di dalam kehidupan sehari-hari, misalnya perencanaan, logistik, alokasi barang, penjadwalan, routing, dan sebagainya. Multi-objective Integer Programming memungkinkan si pembuat keputusan untuk mempertimbangkan tidak hanya satu tujuan (single-objective) melainkan beberapa tujuan (multi-objective) secara bersamaan, seperti biaya pengeluaran, keuntungan, kerusakan mesin, waktu kerja, dan sebagainya. Banyak metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah Multi- Objective Integer Programming (MOLP) yang masing-masing mempunyai kelebihan dan kelemahan. Memperhatikan hal ini maka penulis mencoba mempelajari metode branch and cut dalam menyelesaikan masalah Multi- Objective Integer Programming (MOLP).

2 Berdasarkan uraian yang dikemukakan di atas maka penulis tertarik untuk membahas masalah MOLP dengan judul Metode Branch and Cut Untuk Menyelesaikan Multi Objective Integer Programming. 1.2 Perumusan Masalah Permasalahan yang akan dibahas adalah apakah metode branch and cut dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan multi-objective integer programming. 1.3 Batasan Masalah Dalam penulisan ini, penulis hanya membatasi pada persoalan multi-objective integer programming dengan menggunakan metode branch and cut. Dalam hal ini masalah yang diangkat adalah masalah goal programming dan pure integer programming. 1.4 Tinjauan Pustaka Matthias Ehrgott dan Xavier Gandibleux dalam bukunya yang berjudul Multiple Criteria Optimization: State Of The Art Annotated Bibliographic Surveys menjelaskan bahwa masalah optimasi banyak fungsi objektif yang berlawanan sekaligus dengan kendala-kendala yang diberikan disebut masalah multiobjective programming dan dapat diformulasikan sebagai vektor minimasi sebagai berikut: Minimumkan,, Kendala 0, 1,, di mana,,, adalah k fungsi objektif berbeda dari vektor keputusan,,, adalah m pertidaksamaan kendala-kendala dan X adalah himpunan keputusan yang mungkin dari kendala-kendala yang ada.

3 Thomas Vincent dalam makalahnya yang berjudul Multi-objective Branch and Bound for Mixed 0-1 Linear Programming: Corrections and Improvements for the Biobjective Case menjelaskan bahwa multiple objective linear program (MOLP) dan diformulasikan sebagai berikut: Min Kendala Dalam hal ini,,, dengan baris,, merupakan sebuah matriks linear p x n, merupakan vektor dari variable-variabel, dan,0 adalah himpunan yang mungkin dalam ruang keputusan. A adalah matriks m x n dari kendala-kendala dan adalah vektor sisi sebelah kanan. Kita tunjukkan : sebagai outcome set di ruang objective. Melih Ozlen dan Benjamin A. Burton (2009) dalam makalahnya yang berjudul Multi-Objective Integer Programming: An Improved recursive algorithm menerangkan bahwa bentuk umum dari MOIP didefinisikan sebagai berikut : Min,,, Kendala di mana X adalah himpunan titik-titik layak yang didefinisikan oleh masingmasing fungsi objektifnya didefinisikan, 0 dan untuk semua 1, 2,,. Masing masing fungsi objektifnya didefinisikan oleh,,, dimana untuk semua 1, 2, 3,, dan 1, 2, 3,,.

4 Sebuah titik disebut -objektif yang efisien jika dan hanya jika tidak ada yang mengakibatkan untuk setiap 1,2,3,, dan untuk sedikitnya satu. Hasil vector objektif,,, dikatakan -objektif yang tidak terdominasi. John E. Mitchell dalam makalahnya yang berjudul Branch and Cut Algorithms for Combinatorial Optimization Problems menjelaskan bahwa algoritma branch and cut memodifikasi strategi dasar branch and bound dengan mencoba menguatkan linear programming relaxation (LPR) dari permasalah integer programming (IP) dengan pertidaksaman baru sebelum melakukan mencabangan solusi bagian. Branch and bound murni dapat dipercepat dengan menggunakan cutting planes baik di awal diagram pohon branch and bound maupun di tiap-tiap nodenya, karena cutting planes mampu mengurangi banyak diagram pohon tersebut. Branch and cut dapat digunakan dalam penyambungan dengan heuristic untuk memperoleh batas yang lebih rendah pada nilai optimal dengan menggunakan algoritma branch and bound. Shon Albert dalam makalahnya yang berjudul Solving Mixed Integer Linear Programs Using Branch and Cut Algorithm menerangkan bahwa metode branch and cut menggabungkan keuntungan dari skema branch and bound murni dan skema gomory cutting plane. Menyelesaikan masalah dengan metode branch and cut akan lebih cepat dibandingkan dengan branch and bound saja. Gomory cutting plane cepat, tetapi tidak dapat diandalkan. Branch and bound dapat diandalkan, tetapi lambat. Akibatnya kedua metode dapat digabung menjadi satu yaitu dinamakan branch and cut. Pertama ditambahkan beberapa cut dari menggunakan skema gomory kemudian mengaplikasikan sisanya menggunakan branch and bound. Algoritma tersebut tidak hanya dapat diandalkan hasilnya, tetapi juga lebih cepat.

5 1.5 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan penyelesaian multi-objective integer programming dengan menggunakan metode branch and cut. 1.6 Kontribusi Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Membantu penulis menerapkan ilmu yang telah diperoleh dari perkuliahan ke dunia nyata. 2. Menambah wawasan penulis dan pembaca tulisan ini tentang penyelesaian multi-objective integer programming dengan menggunakan metode branch and cut. 1.7 Metode Penelitian Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Mencari literatur dari beberapa buku dan jurnal tentang metode branch and cut serta pemrograman bilangan bulat (integer programming). 2. Menjelaskan definisi dari linear programming dan klasifikasinya. 3. Menjelaskan definisi dari integer linear programming. 4. Menjelaskan beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan integer linear programming. 5. Memberikan contoh penyelesaian single-objective integer programming dengan menggunakan metode pendekatan, metode grafik, gomory (cutting plane) dan metode branch and bound. 6. Menjelaskan bagaimana penyelesaian multi-objective integer programming dengan menggunakan simpleks. 7. Mengambil contoh soal untuk diselesaikan dengan metode branch and cut. 8. Mengambil contoh soal untuk diselesaikan dengan metode branch and bound, cutting plane, dan branch and cut kemudian membandingkannya.