Tanggapan Alih (Transient Respond) dan Kestabilan System Indrazno Siradjuddin April 8, 2017 1 Bilangan Kompleks (a) Koordinat cartesian (b) Koordinat polar Gambar 1: Representasi bilangan kompleks dalam koordinat cartesian dan polar Bilangan kompleks C adalah sistem bilangan yang mengandung bilangan real atau bilangan nyata R dan bilangan imaginary (imajiner) yang dinotasikan dengan I. Sebuah bilangan kompleks r C dapat dipresentasikan atau ditulis dalam sistem koordinat cartesian maupun dalam bentuk representasi koordinat polar seperti persamaan berikut ini: r = a + jb (cartesian) (1) r = r e φ (polar) (2) dimana e adalah bilangan Euler (ln(e) = 1, e=2.71828). Sedangkan magnitude r dan sudut φ yang digunakan untuk mengkonversi dari koordinat cartesian menjadi 1
1.00 Bidang Kompleks 1.00 Plot bilangan kompleks dengan r(t) = 1 0.75 0.75 0.50 0.50 Imaginary (I) 0.25 0.00 0.25 r = (e jφ ) 0.25 0.00 0.25 0.50 0.50 0.75 0.75 1.00 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 Real (R) (a) Bidang kompleks 1.00 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Waktu, t (s) (b) Gelombang fungsi r(t) Gambar 2: Jejak bilangan kompleks pada bidang kompleks dan gelombang r(t) untuk 0 < t < 2s dan t = 0.01s polar dapat dihitung dengan r = a 2 + b 2 (3) ( ) b tan 1 a > 0 a φ = ( ) (4) b tan 1 ± π a < 0 a Representasi bilangan kompleks r dalam koordinat cartesian dan polar dapat dilihat pada Gambar 1. Identitas Euler menyatakan bahwa e jφ = cos φ + j sin φ (5) yang dapat dibuktikan dengan menggunakan deret Taylor untuk sin φ, cos φ dan e jφ seperti dibawah ini sin φ = φ φ3 3! + φ5 5! φ7 7! + (6) cos φ = 1 φ2 2! + φ4 4! φ6 6! + (7) e jφ = 1 + jφ φ2 2! j φ3 3! + φ4 4! + j φ5 5! + (8) dengan menggabungkannya akan didapatkan cos φ + j sin φ = 1 + jφ φ2 2! j φ3 3! + φ4 4! + j φ5 5! + (9) = e jφ (10) 2
Jika φ adalah sudut yang dihasilkan oleh kecepatan angular ω yang konstan, maka fungsi φ terhadap waktu t dapat ditulis sebagai berikut maka dari itu, fungsi r(t) menjadi φ(t) = ωt (11) r(t) = e jωt (12) = cos(ωt) + j sin(ωt) (13) yang memiliki komponen real R = cos(ωt) dan imaginary I = sin(ωt). Jika Program 1: Jejak r(t) pada bidang kompleks 1 import numpy as np import m a t p l o t l i b. p y p l o t as p l t 3 # P l o t B i l a n g a n Kompleks 5 f = 1 #f r e k u e n s i dalam Hz omega = 2 np. p i f #a n g u l a r f r e k u e n s i dalam rad / s 7 t = np. l i n s p a c e ( 0. 0, 2. 0, 200) #waktu t d a r i 0 s /d 2 dengan r e n t a n g 1/ 100 s r e a l = np. cos ( omega t ) 9 i m a g i n a r y = np. s i n ( omega t ) 11 p l t. r c ( t e x t, u s e t e x=true ) p l t. r c ( f o n t, f a m i l y= s e r i f ) 13 p l t. p l o t ( r e a l, i m a g i n a r y ) 15 p l t. x l a b e l ( r Real ( $\ mathcal {R}) $ ) p l t. y l a b e l ( r I m a g i n a r y ( $\ mathcal { I }$ ) ) 17 p l t. t i t l e ( r Bidang Kompleks ) 19 p l t. a x e s ( ). s e t a s p e c t ( e q u a l, d a t a l i m ) p l t. g r i d ( True ) 21 p l t. s a v e f i g ( b i d a n g k o m p l e k s. pdf ) p l t. show ( ) fungsi r(t) pada (13) digambarkan dalam sistem koordinat cartesian maupun polar akan membentuk jejak lingkaran dengan jari-jari atau magnitude r(t) = 1. Gambar 2 memberikan ilustrasi jejak fungsi r(t) dalam koordinat cartesian serta sebagai fungsi terhadap perubahan waktu. Program Python untuk mensimulasikan fungsi r(t) pada bidang kompleks ditunjukkan pada Program 1. Sedangkan program untuk mensimulasikan fungsi r(t) sebagai fungsi waktu dicontohkan pada Program 2. 3
Program 2: Jejak r(t) sebagai fungsi waktu t import numpy as np 2 import m a t p l o t l i b. p y p l o t as p l t 4 # P l o t B i l a n g a n Kompleks f = 1 #f r e k u e n s i dalam Hz 6 omega = 2 np. p i f #a n g u l a r f r e k u e n s i dalam rad / s t = np. l i n s p a c e ( 0. 0, 2. 0, 200) #waktu t d a r i 0 s /d 2 dengan r e n t a n g 1/ 100 s 8 r e a l = np. cos ( omega t ) i m a g i n a r y = np. s i n ( omega t ) 10 magnitude = np. s q r t ( r e a l 2 + i m a g i n a r y 2) p h i = np. a r c t a n 2 ( imaginary, r e a l ) 12 r = magnitude np. exp ( p h i 1 j ) 14 p l t. r c ( t e x t, u s e t e x=true ) p l t. r c ( f o n t, f a m i l y= s e r i f ) 16 p l t. p l o t ( t, r ) 18 p l t. x l a b e l ( r Waktu, $t$ ( s ) ) p l t. y l a b e l ( r $r = ( e ˆ{ j \ p h i }) $ ) 20 p l t. t i t l e ( r P l o t b i l a n g a n kompleks dengan $\mid r ( t ) \mid =1$ ) p l t. a x e s ( ). s e t a s p e c t ( e q u a l, d a t a l i m ) 22 p l t. g r i d ( True ) p l t. s a v e f i g ( bidang kompleks waktu. pdf ) 24 p l t. show ( ) Dengan mendifinisikan sebuah fungsi baru ˆr(t) sebagai berikut dimana maka akan didapatkan bahwa ˆr(t) = e st (14) s = σ + jω (15) ˆr(t) = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt = e σt r(t) (16) Dapat dilihat pada Persamaan (16), bahwa komponen e σt akan memvariasikan besaran magnitute dari sebuah jejak bilangan kompleks r(t) yang berotasi pada bidang kompleks dengan frekuensi ω. Terdapat tiga kemungkinan kondisi fungsi ˆr(t) dilihat dari variasi nilai σ, yaitu: 1. Jika σ > 0, maka magnitude dari ˆr(t) akan membesar tanpa batas. Kondisi seperti ini dapat dikatakan bahwa ˆr(t) adalah fungsi yang tidak stabil. 4
Plot fungsi ˆr(t) dengan variasi σ 2 σ = 0.5 σ = 0 σ = 2 1 ˆr = (e σt e jωt ) 0 1 2 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 Waktu, t (s) Gambar 3: Jejak r(t) dengan variasi σ 2. Jika σ = 0, maka magnitude dari ˆr(t) akan konstan (e 0 = 1). Kondisi ini dapat dikatakan bahwa fungsi ˆr(t) adalah stabil marginal karena magnitude tidak membesar tanpa batas namun juga tidak menuju ke nol atau konvergen. 3. Jika σ < 0, maka magnitude dari ˆr(t) akan konvergen. Kondisi ini dikatakan kondisi yang stabil karena ˆr(t) 0 saat t Gambar 3 disajikan sebagai ilustrasi variasi σ pada hasil jejak ˆr(t). Saat σ = 0.5, grafik ˆr(t) memiliki magnitude yang membesar. Untuk σ = 0, ˆr(t) berosilasi dengan magnitude yang konstan. Sebagai perbandingan untuk variasi σ sebelumnya, saat σ = 2, jejak ˆr(t) konvergen atau magnitudenya berkurang menuju nol. Program Python untuk dapat menghasilkan simulasi pada Gambar 3 ditunjukkan seperti pada Program 3. Perbandingan jejak antara sistem r(t) yang stabil marginal dan ˆr(t) yang stabil dalam bidang kompleks ditunjukkan pada Gambar 4, dapat terlihat pada gambar bahwa sistem yang stabil marginal, r(t) memiliki magnitude yang konstan, sedangkan ˆr(t) yang merupakan sistem yang stabil memiliki magnitude yang mengecil menuju 0. 2 Kestabilan System Kestabilan sebuah system dapat diketahui dari letak pole yang didapatkan dari persamaan karakteristik sistem. Jika masukan dari sebuah sistem dinotasikan dengan x(t), keluarannya adalah y(t) dan fungsi transfernya adalah g(t) maka 5
r(t) (stabil marginal) vs ˆr(t) (stabil) 1.00 0.75 r(t) ˆr(t) 0.50 Imaginary, I 0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 Real, R Gambar 4: Jejak r(t) dan ˆr(t) pada bidang kompleks dalam persamaan matematika dapat ditulis sebagai berikut y(t) = g(t)x(t) (17) dalam bentuk Laplace Y (s) = G(s)X(s) (18) dimana fungsi transfer itu sendiri adalah G(s) = Y (s) X(s) (19) yang secara umum, fungsi transfer dinyatakan oleh fungsi numerator (pembilang) N (s) dan fungsi denumerator (penyebut) D(s). Pole sebuah sistem didapatkan dari akar persamaan karakteristik berikut D(s) = 0 (20) 6
Program 3: Jejak ˆr(t) dengan variasi σ import numpy as np 2 import m a t p l o t l i b. p y p l o t as p l t 4 # P l o t B i l a n g a n Kompleks f = 1 #f r e k u e n s i dalam Hz 6 omega = 2 np. p i f #a n g u l a r f r e k u e n s i dalam rad / s t = np. l i n s p a c e ( 0. 0, 2. 0, 200) #waktu t d a r i 0 s /d 2 dengan r e n t a n g 1/ 100 s 8 r e a l = np. cos ( omega t ) i m a g i n a r y = np. s i n ( omega t ) 10 magnitude = np. s q r t ( r e a l 2 + i m a g i n a r y 2) p h i = np. a r c t a n 2 ( imaginary, r e a l ) 12 r = magnitude np. exp ( p h i 1 j ) 14 #sigma > 0 sigma = 0. 5 16 r h a t 1 = np. exp ( sigma t ) r 18 #sigma = 0 sigma = 0 20 r h a t 2 = np. exp ( sigma t ) r 22 #sigma < 0 sigma = 2 24 r h a t 3 = np. exp ( sigma t ) r 26 p l t. f i g u r e ( 1 ) p l t. r c ( t e x t, u s e t e x=true ) 28 p l t. r c ( f o n t, f a m i l y= s e r i f ) p l t. p l o t ( t, r h a t 1,, l a b e l=r $\ sigma = 0. 5 $ ) 30 p l t. p l o t ( t, r h a t 2,, l a b e l=r $\ sigma = 0$ ) p l t. p l o t ( t, r h a t 3, :, l a b e l=r $\ sigma = 2$ ) 32 p l t. x l a b e l ( r Waktu, $t$ ( s ) ) p l t. y l a b e l ( r $\ hat { r } = ( e ˆ{\ sigma t } e ˆ{ j \omega t }) $ ) 34 p l t. t i t l e ( r P l o t f u n g s i $\ hat { r }( t ) $ dengan v a r i a s i $\ sigma$ ) p l t. l e g e n d ( f r a m e a l p h a =0.0) 36 p l t. g r i d ( True ) p l t. s a v e f i g ( v a r i a s i m a g n i t u d e. pdf ) 38 p l t. show ( ) 7