Model Dinamik Robot Planar 1 DOF dan Simulasi

Transkripsi

1 Model Dinamik Robot Planar 1 DOF dan Simulasi Indrazno Siradjuddin Pemodelan pergerakan suatu benda dalam sistem dinamik dapat dilakukan dengan beberapa cara diantaranya adalah dengan menggunakan metode Lagrangian, Hamiltonian dan Newton- Euler. Semua teknik dapat digunakan untuk menghasilkan persamaan gerak dinamik yang sama. Persamaan gerak dinamik adalah merupakan persamaan yang merelasikan input dalam hal ini gaya F dan torsi τ dengan output atau gejala dinamik (translasi: percepatan ẍ, kecepatan ẋ dan posisi x atau rotasi: percepatan sudut θ, kecepatan sudut θ dan sudut θ). Teknik yang digunakan untuk penurunan persamaan gerak dinamik dalam penjelasan ini adalah dengan teknik Lagrangian. 1 Review Gerak Translasi dan Rotasi Sebelum membahas lebih lanjut derivasi persamaan gerak dinamik, Tabel 1 berikut akan mengingatkan kita analogi dan istilah standar pada persamaan gerak translasi dan rotasi Tabel 1: Analogi gerak translasi dan gerak rotasi No Gerak translasi Gerak rotasi 1 Posisi, x Sudut, θ 2 Kecepatan translasi, ẋ, dx dt, v dθ Kecepatan sudut, θ, dt, ω 3 Percepatan translasi, ẍ, d2 x Percepatan sudut, ω, θ, d2 θ dt 2, α dt 2, a 4 Massa, m Inersia, I 5 Gaya, F = mẍ Torsi, τ = I θ 6 Usaha, W = F x Usaha, W = τ θ 7 Energi kinetik, K = 1 2 mẋ2 Energi kinetik, K = 1 2 I θ 2 8 Daya, P = F ẋ Daya, P = τ θ 2 Persamaan Euler-Lagrange Metode lagrangian menggunakan diskripsi dari total energi kinetik K dan energi potensial P untuk memperoleh persamaan gerak sistem dinamik. Persamaan gerak sistem dinamik Euler- Lagrange diperoleh dengan Q i = d L L (1) dt q i q i dimana Q i adalah gaya ke i yang digeneralisasi (gaya yang dimaksud dapat berupa torsi). q i adalah generalisasi koordinat ke i (contoh: posisi x atau sudut θ). Persamaan Lagrange dino- 1

2 tasikan dengan L dan dihitung dengan L = K P (2) 3 Energi Kinetik dan Energi Potensial 1 DOF Robot Lengan Gambar 1: Robot Lengan 1 DOF Total energi kinetik K robot lengan Gambar 1 terdiri dari energi kinetik gerak translasi K t dan energi kinetik gerak rotasi K r. Untuk energi kinetik gerak translasi, kecepatan transalasi diproyeksikan pada sumbu x dan sumbu y, sehingga didapat K = K t + K r (3) = 1 2 mv I θ 2 (4) = 1 2 m(v2 x + v 2 y) I θ 2 (5) dari transformasi geometri, proyeksi koordinat titik pusat berat lengan pada sumbu x dan y adalah sehingga dapat diturunkan menjadi dx dt dy dt x = l c cos θ (6) y = l c sin θ (7) (8) = v x = l c θ sin θ (9) = v y = l c θ cos θ (10) dengan mensubstitusikan persamaan (9) dan (10) kedalam persamaan (5) didapatkan K = 1 2 ml2 c θ I θ 2 (11) 2

3 Energi potensial untuh sebuah massa m akibat gaya gravitasi secara umum dapat dituliskan sebagai berikut P = mgh (12) dimana h adalah tinggi proyeksi titik pusat berat terhadap sumbu y, oleh karena itu energi potensial dapat dihitung dengan 4 Persamaan Gerak Dinamik 1 DOF P = mgl c sin θ (13) Dari penjelasan sebelumnya, energi kinetik dan energi potensial dari sistem 1 DOF robot lengan dapat dituliskan ulang dalam persamaan Lagrange sebagai berikut L = ( 1 2 ml2 c θ I θ 2 ) (mgl c sin θ) (14) Pada kasus sistem dinamik 1 DOF robot lengan ini, gaya yang digeneralisasi pada Persamaan (1) adalah torsi Q i = τ dan koordinat yang digeneralisasi adalah posisi sudut q i = θ, sehingga persamaan Euler-Lagrange dapat ditulis kembali menjadi Komponen L θ τ = d L L dt θ θ dapat diturunkan sebagai berikut L θ (15) ( ( 1 2 ml2 θ c ) 2 I θ 2 ) (mgl c sin θ) = (16) θ = mgl c cos θ (17) Komponen L dapat diturunkan sebagai berikut θ ( ( 1 L 2 ml2 θ c ) 2 I θ 2 ) (mgl c sin θ) θ = θ (18) = mlc 2 θ + I θ (19) Oleh karena itu d L dt θ = ( ) d ml c θ + I θ dt (20) = ml 2 c θ + I θ (21) Sehingga persamaan akhir dari sistem dinamik 1 DOF robot lengan adalah τ = (ml 2 c + I) θ + mgl c cos θ (22) 3

4 Dalam kasus ini fungsi torsi τ tergantung dari state dinamik θ dan θ. Persamaan (22) adalah disebut persamaan dinamik terbalik (inverse dynamic equation). Persamaan yang menghitung kebutuhan torsi suatu aktuator robot untuk menghasilkan state dinamik θ dan θ. Untuk persamaan dinamik maju (forward dynamic equation) dihasilkan dengan mencari fungsi state dinamik orde yang tertinggi dalam hal ini θ, dapat dihitung dengan θ = τ mgl c cos θ ml 2 c + I (23) untuk state dengan orde yang lebih rendah lainnya, dengan persamaan diskrit dapat didekati dengan menggunakan metode Euler, yaitu θ i = θ i 1 + t θ i (24) θ i = θ i 1 + t θ i (25) dimana i menunjukkan indeks waktu diskrit dan t adalah waktu cuplik (sampling time). Dengan membuat τ = 0 pada Persamaan (23), dengan kata lain tidak ada pengaruh input torsi eksternal, maka gejala alamiah sistem dinamik dapat disimulasikan dengan θ = mgl c cos θ ml 2 c + I (26) Penurunan persamaan Euler-Lagrange untuk sistem dinamik 1 DOF robot lengan diatas dapat dibantu dengan menggunakan program Python dengan cara simbolik. Program Python untuk menyelesaikan persamaan differensial Euler-Lagrange (lihat Program 1). 1 from sympy import 2 #t h e t a = T, time = t, torque = tau 3 #i n e r t i a = I, mass = m, c e n t r e o f mass l e n g t h = l 4 #t h e t a dot = dt, g r a v i t y = g 5 6 T, t, tau, I, m, l, g = symbols ( T t tau I m l g ) 7 dt = d i f f (T( t ), t ) 8 L1 = m g l s i n (T( t ) ) 9 L2 = 0. 5 (m l 2 dt 2 + I dt 2) dl1dt = d i f f ( L1, T( t ) ) 12 dl2ddt = d i f f ( L2, dt) 13 dl2dt = d i f f (dl2ddt, t ) 14 tau = dl2dt dl1dt p p r i n t (dl1dt) 17 p p r i n t ( dl2ddt ) 18 p p r i n t ( dl2dt ) 19 p p r i n t ( tau ) Program 1: Penurunan Persamaan Euler-Lagrange dengan Python Gejala alamiah state sistem dinamik digambarkan pada Gambar 2. Program Python untuk simulasi gejala alamiah state sistem dinamik ditulis seperti pada Program 2. 4

5 θ(t) θ(t) θ(t) rad ), θ( s ) 2 θ( rad s θ(rad), Time, t(s) Gambar 2: Simulasi state gejala alamiah sistem dinamik 1 DOF robot lengan 1 from math import 2 from pylab import 3 from numpy import 4 import m a t p l o t l i b. pyplot as p l t 5 6 d e f Dynamic1DOF( s t a t e, t ) : 7 m = 1. #l i n k mass ( kg ) 8 l = 1. 9 l c = 0. 5 l #l i n k l e n g t h (m) 10 g = #g r a v i t y (m/ s ˆ2) 11 I = ( 1. / 3. ) m l 2 #moment o f i n e r t i a ( kg mˆ2) 12 t h e t a = s t a t e [ 0 ] #i n r a dian 13 t h e t a d o t = s t a t e [ 1 ] #i n radian per second 14 t h e t a d d o t = ( m g l c cos ( t h e t a ) ) / ( I + m l c 2) #i n r adian per second ˆ2 15 dt = t [1] t [ 0 ] #time sampling 16 STATE = z e r o s ( ( s i z e ( t ), 3) ) 17 f o r i i n range ( s i z e ( t ) ) : 18 t h e t a d d o t = ( m g l c cos ( t h e t a ) ) / ( I + m l c 2) # i n r adian per second ˆ2 19 t h e t a d o t = t h e t a d o t + (dt t h e t a d d o t ) 20 t h e t a = t h e t a + (dt t h e t a d o t ) 21 p r i n t theta ddot, t h e t a d o t, t h e t a 22 STATE[ i ] [ 0 ] = t h e t a 23 STATE[ i ] [ 1 ] = t h e t a d o t 24 STATE[ i ] [ 2 ] = t h e t a d d o t 25 r e t u r n STATE t = l i n s p a c e ( 0. 0, , ) 29 s t a t e 0 = [ p i / , 0. 0 ] 30 STATE = Dynamic1DOF( s t a t e 0, t ) 31 p l t. f i g u r e ( 1 ) 5

6 32 p l t. r c ( t e x t, u s e t e x=true ) 33 p l t. r c ( f o n t, f a m i l y= s e r i f ) 34 p l t. x l a b e l ( r Time, $t (\ mathrm{ s }) $ ) 35 p l t. y l a b e l ( r $\ t h e t a (\ mathrm{ rad }) $, $\ dot {\ t h e t a }(\ f r a c {\mathrm{ rad }}{\mathrm{ s }}) $, $\ ddot {\ t h e t a }(\ f r a c {\mathrm{ rad }}{\mathrm{ s }ˆ2}) $ ) 36 #p l t. xlim ( [ 0. 0, ] ) 37 p l t. p l o t ( t, [ dat [ 0 ] f o r dat i n STATE],, l i n e w i d t h = , l a b e l=r $\ t h e t a ( t ) $ ) 38 p l t. p l o t ( t, [ dat [ 1 ] f o r dat i n STATE], :, l i n e w i d t h = , l a b e l=r $\ dot \ t h e t a ( t ) $ ) 39 p l t. p l o t ( t, [ dat [ 2 ] f o r dat i n STATE],., l i n e w i d t h = , l a b e l=r $\ ddot \ t h e t a ( t ) $ ) 40 p l t. l egend ( framealpha =0.0, l o c =1) 41 p l t. g r i d ( True ) 42 p l t. s a v e f i g (.. / Figs /Lagrange1DOFSim. pdf ) 43 p l t. show ( ) Program 2: Simulasi state gejala alamiah sistem dinamik 1 DOF robot lengan 6