BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Model Pertumbuha Betuk ugsi pertumbuha satu jeis spesies pada umumya megguaka otasi ugsi aalitik yag diyataka dalam satu persamaa. Secara umum ugsi pertumbuha meyataka hubuga ukura berat () sebagai ugsi dari waktu (, da ditulis: (. (1) Laju pertumbuha merupaka ugsi dari ukura berat () da waktu ( yag memeuhi persamaa: d (2) u(,. dt (Frace & Thorley 1984) Model pertumbuha satu jeis spesies yag diguaka adalah model pertumbuha Richards. Richards adalah orag yag pertama kali meerapka persamaa pertumbuha yag dibagu dalam model yag disebut model Vo Bertalay utuk meujukka pertumbuha hewa (Gasca et al, 27). Persamaa pertumbuha Richards merupaka persamaa umum dari persamaa pertumbuha moomolekuler, logistik, Gompertz da persamaa laiya. Betuk umum dari persamaa Richards adalah: d k( ) dt (3) dega k da kostata yag berilai positi, serta adalah parameter. Solusi umum dari persamaa Richards adalah: ( 1 kt [ + ( ) e ] (4) (bukti dapat dilihat pada Lampira 1)
dega adalah ukura berat pada t da t. Utuk ilai -1, persamaa (3) mejadi: d dt k ( ) merupaka ukura berat utuk yag merupaka persamaa pertumbuha moomolekuler. Kurva laju pertumbuha model moomolekuler terhadap ukura pada persamaa (5) dega ilai k.2,.5, da.1 serta laju pertumbuha 1 1 diperlihatka pada Gambar 1. (5) 8 k.1 6 k.5 4 2 k.2 2 4 6 8 1 ukura Gambar 1 Laju pertumbuha model moomolekuler utuk ilai k.2,.5 da.1 serta ukura maksimum ( ) 1. Dari Gambar 1 di atas dapat dilihat bahwa pada model ugsi pertumbuha moomolekuler semaki besar ukura idividu maka laju pertumbuhaya semaki meuru. Dega megguaka beberapa ilai parameter k, ampak pula bahwa semaki besar ilai k maka semaki cepat peurua laju pertumbuha. Fugsi ukura idividu terhadap waktu dari model pertumbuha moomolekuler adalah: (bukti dapat dilhat pada Lampira 2) ( ) e ( dega meyataka ukura awal idividu pada saat peebara (ukura pada t ). Kurva ukura terhadap waktu utuk model ugsi pertumbuha kt (6)
moomolekuler pada persamaa (6) dega ilai 2, masig-masig.2,.5, da.1 diperlihatka pada Gambar 2. 1 serta ilai k ukura 1 8 k.1 k.5 6 k.2 4 2 5 1 15 waktu Gambar 2 Fugsi pertumbuha model moomolekuler utuk ilai 2, 1 serta ilai k masig-masig.2,.5 da.1. Dari Gambar 2, dapat dilihat bahwa ugsi pertumbuha model moomolekuler merupaka ugsi yag mooto aik, koveks da ukura berat koverge ke ilai. Semaki besar ilai k ukura berat ika aka semaki cepat meuju ilai kekovergeaya. Utuk 1, persamaa (3) mejadi model persamaa logistik, yaitu: d dt k 1. (7) Graik laju pertumbuha model logistik pada persamaa (7) utuk ilai 1 serta ilai k masig-masig sebesar.2,.5, da.1 ditampilka pada Gambar 3.
laju pertumbuha 25 k.1 2 15 k.5 1 k.2 5 2 4 6 8 1 ukura Gambar 3 Laju pertumbuha model logistik utuk ilai masig-masig sebesar.2,.5, da.1 1 serta ilai k Dari Gambar 3, ugsi laju pertumbuha model logistik merupaka ugsi koveks da simetris serta laju maksimum tercapai pada ukura separuh dari ukura maksimumya. Fugsi ukura setiap idividu terhadap waktu dari model pertumbuha logistik adalah: ( + ( ) e kt (8) (bukti dapat dilihat pada Lampira 3) dega meyataka ukura awal idividu pada saat peebara. Kurva ukura terhadap waktu model ugsi pertumbuha logistik pada persmaa (8) utuk ilai 2, 1 serta ilai k masig-masig sebesar.2,.5 da.1 diperlihatka pada Gambar 4.
ukura 1 8 k.1 k.5 6 k.2 4 2 1 2 3 4 5 waktu Gambar 4 Fugsi pertumbuha model logistik utuk ilai 2, serta ilai k sebesar.2,.5 da.1 1 Pada Gambar 4, ampak bahwa ugsi pertumbuha model logistik merupaka ugsi yag mooto aik, koveks da mecapai kestabila pada ilai Semaki besar ilai k semaki cepat meuju titik kestabilaya.. (Frace & Thorley, 1984) 2.2. Model Ekoomi Pemaea Nilai sekarag (preset value) dari jumlah arus kas diskret c c,..., c, t 1 t 2 t yag dibayarka pada periode t 1, t 2,... t dega t < t <. < t 1 2.. adalah: dega PV i 1 c v( ) t t i i 1 v( ti ) t (1 + r) i, r tigkat suku buga per periode waktu. Jika berlaku (9) suku buga majemuk kotiu δ yag berilai kosta utuk setiap waktu t maka ilai sekarag dari tigkat disko utuk 1 satua ilai pada setiap t dideiisika v δ t ( e. Jika M( meyataka total pembayara pada selag waktu [, t] maka dideiisika ρ ( t ) M '( utuk setiap t. Nilai sekarag dari total pembayara yag dilakuka pada waktu t T adalah:
PV T v T δ t ( ρ( dt e ρ( dt. (McCutcheo & Scott 1986) Misalka laju pertumbuha populasi ika diyataka dega F() da laju pae dega h(, maka laju pertumbuha berat ika & memeuhi persamaa: d & F( ) h(, t. dt Jika diasumsika p adalah harga pada waktu pae berilai kosta da c() ugsi biaya pada waktu ika berukura, maka peerimaa hasil pae pada waktu t diotasika dega R( memeuhi persamaa: [ p c( ) ] h( ) R( t. Diasumsika δ > adalah aktor disko kotiu, maka ilai sekarag dari ugsi peerimaa adalah: (1) (11) (12) PV e δt R( dt. Persamaa (11) da (12) disubstitusika ke persamaa (13) maka diperoleh: (13) PV e [ p c( )][ F( ) ] dt. δt & (Clark 1976) Misalka terdapat suatu ugsi produksi multivariabel, yaitu ugsi yag megguaka iput utuk memproduksi suatu produk.. Jika R meujukka sepaket iput, G() ugsi permitaa da p harga, maka ugsi peerimaaya diyataka dega R() pg(). Jika C() meujukka biaya sepaket iput, maka ugsi keutuga adalah: π ( ) R( ) C( ). Diasumsika bahwa yag membuat keutuga maksimum berada dalam positi, maka turua parsial dari π harus berilai ol pada ilai * optimal seperti yag diyataka oleh perumusa berikut: π i R C ( *) ( *) ( *) i i (14) (15) R (16) (Simo & Blume1994)
2.3. Fugsi Kepadata Peluag Misalka X adalah peubah acak kotiu yag memiliki ugsi kepadata peluag () da terdeiisi pada R. Siat-siat yag harus dipeuhi adalah: a. ( ) utuk semua R b. ( ) d 1. Fugsi kepadata peluag sebara kotiu yag diguaka dalam peetua waktu pae optimal kultur heteroge adalah sebara seragam da sebara beta. 1. Sebara Seragam Misalka X peubah acak yag ilaiya berada dalam selag [a, b]. Jika X meyebar seragam, maka X memiliki ugsi kepadata peluag: 1 ( ) b a, utuk, utuk a < < b laiya Nilai rata-rata da ragam dari sebara seragam berturut-turut adalah: a + b E( ) da 2 2 ( b a) Var( ). Graik ugsi sebara seragam peubah 12 acak X dalam selag [2, 4] disajika pada Gambar 5 berikut: ().5 (17).4.3.2.1 1 2 3 4 5 6 Gambar 5 Fugsi sebara seragam dalam selag [2, 4].
Dari Gambar 5, dapat dilihat bahwa ugsi kepadata peluag utuk 2 4 berupa ugsi kosta, yaitu ( ). 5 sedagka utuk ilai laiya ( ). Nilai rata-rata da ragam ugsi ii masig-masig sebesar 3 da 31. 2. Sebara Beta Peubah acak X yag meyebar beta dega parameter ( α, β ), α >, β > memiliki ugsi kepadata peluag: 1 ( ) B( α, β ) α 1 (1 ) β 1 ; < < 1 ; laiya (18) dega B 1 α 1 β 1 ( α, β ) (1 ) d. Nilai rata-rata da ragam dari sebara beta berturut-turut adalah: α αβ E () da Var ( ) 2 α + β ( α + β + 1)( α + β ). Graik ugsi sebara beta utuk α 3 da β 2 disajika pada Gambar 6 berikut: () 1.5 1..5.2.4.6.8 1. Gambar 6 Fugsi sebara beta ()utuk ilai α 3 da β 2 Pada Gambar 6, ampak bahwa ugsi kepadata peluag sebara beta utuk α 3 da β 2 merupaka ugsi kovek pada selag [, 1]. Pada selag [, 1] 2 rumus ugsi kepadata peluagya adalah ( ) 1 (1 ) da ( ) 3 utuk ilai laiya. Nilai rata-rata da ragam berturut-turut adalah 5 da 1 25. 12
Teorema trasormasi. ugsi kepadata peluag Misalka X merupaka peubah acak kotiu dega X da himpua ilai yag mugki dari adalah A. Utuk ugsi ivers h: A R, misalka Y h(x) merupaka peubah acak dega himpua ilai yag mugki B h(a) {h(a) : a A}. Misalka bahwa ivers dari y h() adalah h 1 ( y) yag dapat didieresialka utuk semua ilai y B. Maka Y sebagai ugsi kepadata peluag dari y diberika oleh: Y 1 1 ( h ( y) ) ( h )'( y) ( y), y B. X (19) (Ghahramai, 25) 2.4. Deret Taylor Misalka I adalah selag yag memuat ilai a. Jika g dapat didieresialka higga orde ke- pada selag I, maka g dapat direpresetasika dalam betuk deret sebagai berikut: ( 1) g ( a) g( ) g( a) + g'( a)( a) + K + ( a) ( 1)! 1 + R ( ) (2) dega R 1 ( ) 1 ( ) g s)( s) ds. 1 (Salas & Hille 1978)